8.1 平方根 知识点专项训练 2025-2026学年人教版数学七年级下册

人教版2025-2026学年下学期七年级数学 8.1 平方根 知识点专项训练答案解析 一、单选题 1．的平方根是（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查平方根，掌握相关知识是解决问题的关键． 根据平方根的定义，正数的平方根有两个，它们互为相反数． 【详解】解：∵ ， ∴ ． 故选：B． 2．的值是（   ） A．5 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了求一个数的算术平方根，直接计算的算术平方根，即可作答． 【详解】解：依题意，， ∴的值是5， 故选：A． 3．的平方根是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平方根、算术平方根的定义，掌握平方根、算术平方根的定义并认真审题是解题关键，先计算的值，再根据平方根的定义求解该结果的平方根即可． 【详解】解：∵， 又∵， ∴9的平方根是，即的平方根是． 故选：C． 4．下列说法：①10的平方根是；②负数和零没有立方根；③的相反数是；④16的算术平方根是4；⑤的立方根是，其中正确的有（    ）. A．4个 B．3个 C．2个 D．5个 【答案】A 【分析】本题主要考查了平方根、算术平方根、立方根、相反数等知识点，理解相关定义是解题的关键． 根据平方根、算术平方根、立方根的定义及相反数的概念逐项判断即可解答． 【详解】解：∵正数的平方根有两个，且互为相反数，10是正数， ∴10的平方根是，①说法正确； ∵任何实数都有立方根，负数的立方根是负数，0的立方根是0， ∴“负数和零没有立方根”的说法错误，②说法错误； ∵互为相反数的两个数和为0，， ∴的相反数是，③说法正确． ∵算术平方根是一个非负数的正的平方根，， ∴16的算术平方根是4，④说法正确． ∵， ∴0.008的立方根是0.2，⑤说法正确． 综上，正确的说法有①③④⑤，共4个． 故选：A． 5．下列说法错误的是（   ） A．是25的平方根 B．的算术平方根是2 C．的平方根是 D． 【答案】C 【分析】此题考查了平方根以及算术平方根的定义．分别根据平方根的定义，算术平方根的定义判断即可得出正确选项． 【详解】解：A、是25的平方根，说法正确，该选项不符合题意； B．，则的算术平方根是2，说法正确，该选项不符合题意； C、的平方根是，故原说法错误，该选项符合题意； D、，说法正确，该选项不符合题意． 故选：C． 6．下列各式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了算术平方根与平方根的定义及性质，解题的关键是明确算术平方根的结果为非负数，以及平方根与平方运算的区别． 逐一计算每个选项的表达式，结合算术平方根和平方根的定义判断正误． 【详解】解：A、，此选项不符合题意； B、，此选项不符合题意； C、，此选项不符合题意； D、，此选项符合题意． 故选：D． 7．一个正数的两个不同的平方根分别是和，则a的值为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】本题考查平方根的性质，熟练掌握其性质是解题的关键． 根据平方根的性质，一个正数的两个平方根互为相反数，因此它们的和为零，列出方程求解即可． 【详解】解：一个正数的两个不同的平方根分别是和，根据题意得： ， 即， 解得， 故选：B． 8．的值在两个连续整数之间，则这两个连续整数是（    ） A．7与8 B．6与7 C．5与6 D．4与5 【答案】A 【分析】本题主要考查了算术平方根的取值范围．通过比较平方数确定的范围． 【详解】解：∵ ， ， 且， ∴， 因此这两个连续整数是7和8． 故选：A． 9．下列说法正确的是（    ） A．16的平方根是4 B．0的平方根是0 C．81的平方根是－9 D．负数的平方根有两个 【答案】B 【分析】本题主要考查的是平方根和算术平方根的定义，掌握平方根和算术平方根的定义是解题的关键． 根据平方根的定义，正数有两个平方根，的平方根是，负数没有实数平方根，逐一判断即可. 【详解】解：A、的平方根是，而非仅，该选项说法错误，不符合题意； B、的平方根是，该选项说法正确，符合题意； C、的平方根是，而非仅，该选项说法错误，不符合题意； D、负数在实数范围内无平方根，该选项说法错误，不符合题意； 故选：B． 10．若，，则的值约为（    ） A．1.01 B．0.101 C．0.341 D．0.0341 【答案】A 【分析】本题考查算术平方根．根据算术平方根的性质求解即可． 【详解】解：∵被开方数由102.01到1.0201缩小了100倍 ∴结果由10.1缩小10倍，即1.01． 故选：A． 11．已知，那么的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了非负数的性质，代数式求值，利用算术平方根和绝对值的非负性求出的值，再代入代数式计算即可求解，掌握非负数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， 解得，， ∴， 故选：． 12．，则的值为（    ） A．2 B． C． D．4 【答案】C 【分析】该题考查了平方根的性质，根据平方根的性质解方程即可． 【详解】解：， ∴， 故选：C． 13．若， 则x的值为（     ） A．5 B．1 C．5或 D．1或 【答案】C 【分析】本题主要考查了平方根，利用平方根的定义先得一元一次方程，再解一元一次方程即可． 【详解】解：∵， ∴． ∴． ∴或． 故选：C． 14．一个自然数的一个平方根是a，则与它相邻的下一个自然数的平方根是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平方根，以及已知一个数的平方根，求这个数，先用a表示该自然数，然后再求出这个自然数相邻的下一个自然数，进而得到其平方根． 【详解】解：由题意可知：该自然数为， 该自然数相邻的下一个自然数为， 的平方根为． 故选：D． 15．已知，，，，…，依上述规律，（　　） A．2023 B．2025 C．1012 D．1013 【答案】D 【分析】本题考查了算术平方根定义的应用，数字规律的探索．根据式子得出，，，，由此得出规律，即可得出答案． 【详解】解：，，，…， ， 故选：D． 二、填空题 16．的算术平方根是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了算术平方根的意义，一般地，如果一个非负数x的平方等于a，即，那么这个非负数x叫做a的算术平方根． 根据算术平方根的定义作答即可． 【详解】解：∵， ∴4的算术平方根是2． 故答案为：2． 17．计算： ． 【答案】4 【分析】本题主要考查算术平方根的定义，熟练掌握算术平方根的定义，是解题的关键．根据算术平方根的定义进行计算即可． 【详解】解：因为，所以． 故答案为：4． 18．若，为实数，且满足，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质，代数式求值，掌握平方和算术平方根的非负性是解题关键．根据平方和算术平方根的非负性可求出和的值，再计算乘积即可． 【详解】解： ，，且 ， 且， 解得，， ． 故答案为：． 19．若为整数，且，则整数的值为 ． 【答案】5 【分析】本题考查无理数的大小估算，熟练记忆常用的完全平方数是解题关键． 通过比较完全平方数，估算的范围，从而确定的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 20．已知，则的值等于 ． 【答案】4或 【分析】本题考查了平方根，运用平方根的性质进行解方程，即可作答． 【详解】解：∵， ∴或， 解得或， 故答案为：4或． 21．已知，，那么的值约为 ．（结果精确到0.01） 【答案】17.32 【分析】本题主要考查算术平方根的性质，熟练掌握算术平方根的性质是做题的关键．根据被开方数的小数点每向右移动两位，算术平方根的小数点向右移动一位，进行求解即可． 【详解】解：由算术平方根的性质可知，． 故答案为：17.32． 22．若的算术平方根是5，则 ． 【答案】13 【分析】本题考查了算术平方根的定义，掌握算术平方根的定义是解题的关键． 根据算术平方根的定义，由的算术平方根是，可得，解方程即可求出． 【详解】解：∵ 的算术平方根是， ∴ ， 解得． 故答案为：． 23．一个正数的平方根是与，则这个正数等于 ． 【答案】 【分析】本题考查平方根，解题的关键是理解平方根的概念：一个正数的平方根有两个且互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．据此列出方程求出的值，可得答案． 【详解】解：∵一个正数的平方根是与， ∴和互为相反数， ∴， 解得：， ∴，， ∴这个正数为：． 故答案为：． 三、解答题 24．解方程： (1)． (2)． 【答案】(1)，． (2)，． 【分析】本题考查了平方根，掌握平方根的定义是关键． （1）（2）根据平方根的定义进行计算即可． 【详解】（1）解：由得， ∴， 解得，． （2）解：由得， ∴， 解得，． 25．已知一个正数的两个平方根分别是与． (1)求的值； (2)求关于的方程的解． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查平方根的概念，解一元一次方程，解一元二次方程，熟练掌握相关知识是关键． （1）正数的两个平方根互为相反数，构造方程并求解即可； （2）使用直接开方法解方程即可． 【详解】（1）解：由题意可得，， 解得； （2）解：将代入方程，得， ， 两边开方，得， 解得，． 26．已知数有平方根． (1)若数的平方根是它本身，求的值． (2)若和是数的平方根，求的值． 【答案】(1) (2)81或9． 【分析】本题考查了平方根的性质，解题关键是利用“平方根等于本身的数是” 和“一个数的两个平方根要么互为相反数，要么相等”这两个核心性质来建立方程． （1）一个数的平方根是它本身，说明这个数是，由此可列方程求； （2）一个数的平方根有两种情况：互为相反数或相等，需分类讨论，据此列方程求出，再代入求． 【详解】（1）解：∵数的平方根是它本身， ∴． 解得：． （2）解：∵和是数的平方根， ① 解得： 解得：． 将代入，得一个平方根为， ∴． ② 解得： 将代入，得一个平方根为， ∴． ∴ 的值为或． 27．【阅读与思考】请阅读下面材料，并完成相应的任务． 在学习完实数的相关运算之后，某数学兴趣小组提出了一个有趣的问题：两个数的积的算术平方根与这两个数的算术平方根的积存在什么关系？小聪和小明分别用自己的方法进行了验证： 小聪：，．所以． 小明：，． 这就说明和都是的算术平方根，而的算术平方根只有一个，所以． 任务： (1)猜想：当，时，和之间存在怎样的关系？ (2)运用以上结论，计算： ； ． (3)解决实际问题：已知一个长方形的长为，宽为，求这个长方形的面积． 【答案】(1) (2)①24；②77 (3)15 【分析】本题考查了两个数的积的算术平方根与这两个数的算术平方根的积的关系，解题的关键是： （1）根据已知可得，即可求解； （2）①根据关系得，即可求解； ②根据关系得，即可求解； （3）可得面积为，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，得； （2）解：①； ②； （3）解：根据题意，得， 答：这个长方形的面积15． 28．先观察下列等式，再回答问题：第一个等式；第二个等式；第三个等式． (1)根据上述三个等式提供的信息，请你猜想第五个等式； (2)请按照上面各等式反映的规律，试写出第n个等式（n为正整数）； (3)对于任何实数a，表示不超过a的最大整数，如，，计算：的值． 【答案】(1) (2) (3)2023 【分析】本题考查了与算术平方根有关的规律探索，正确找到题中的规律是解题关键． （1）根据题中所给信息可判结果； （2）根据第一问的结果用字母代替数字即可； （3）根据规律将原式进行正确变形求解； 【详解】（1）解：∵第一个等式； 第二个等式； 第三个等式； ∴根据规律可猜测第五个等式为； （2）解：根据（1）总结规律可得：第n个等式为； （3）解：依题意，根据规律可化简： 原式 ． 29．观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律： ①，②，③，… (1)观察算式规律，计算，的值． (2)用含正整数的式子表示上述算式的规律． (3)根据规律，求的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题主要考查算术平方根、完全平方公式及规律问题，解题的关键是找到题中的一般规律． （1）由题意可直接进行求解； （2）根据题意及完全平方公式可找出规律； （3）由（2）中的规律可进行求解． 【详解】（1）解：， ； （2）解：由题意得， ， ， ， …… 以此类推：； （3）解：原式 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教版2025-2026学年下学期七年级数学 8.1 平方根 知识点专项训练 一、单选题 1．的平方根是（    ） A． B． C．2 D． 2．的值是（   ） A．5 B． C． D． 3．的平方根是（    ）． A． B． C． D． 4．下列说法：①10的平方根是；②负数和零没有立方根；③的相反数是；④16的算术平方根是4；⑤的立方根是，其中正确的有（    ）. A．4个 B．3个 C．2个 D．5个 5．下列说法错误的是（   ） A．是25的平方根 B．的算术平方根是2 C．的平方根是 D． 6．下列各式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 7．一个正数的两个不同的平方根分别是和，则a的值为（   ） A． B． C．1 D．2 8．的值在两个连续整数之间，则这两个连续整数是（    ） A．7与8 B．6与7 C．5与6 D．4与5 9．下列说法正确的是（    ） A．16的平方根是4 B．0的平方根是0 C．81的平方根是－9 D．负数的平方根有两个 10．若，，则的值约为（    ） A．1.01 B．0.101 C．0.341 D．0.0341 11．已知，那么的值为（　　） A． B． C． D． 12．，则的值为（    ） A．2 B． C． D．4 13．若， 则x的值为（     ） A．5 B．1 C．5或 D．1或 14．一个自然数的一个平方根是a，则与它相邻的下一个自然数的平方根是（   ） A． B． C． D． 15．已知，，，，…，依上述规律，（　　） A．2023 B．2025 C．1012 D．1013 二、填空题 16．的算术平方根是 ． 17．计算： ． 18．若，为实数，且满足，则 ． 19．若为整数，且，则整数的值为 ． 20．已知，则的值等于 ． 21．已知，，那么的值约为 ．（结果精确到0.01） 22．若的算术平方根是5，则 ． 23．一个正数的平方根是与，则这个正数等于 ． 三、解答题 24．解方程： (1)． (2)． 25．已知一个正数的两个平方根分别是与． (1)求的值； (2)求关于的方程的解． 26．已知数有平方根． (1)若数的平方根是它本身，求的值． (2)若和是数的平方根，求的值． 27．【阅读与思考】请阅读下面材料，并完成相应的任务． 在学习完实数的相关运算之后，某数学兴趣小组提出了一个有趣的问题：两个数的积的算术平方根与这两个数的算术平方根的积存在什么关系？小聪和小明分别用自己的方法进行了验证： 小聪：，．所以． 小明：，． 这就说明和都是的算术平方根，而的算术平方根只有一个，所以． 任务： (1)猜想：当，时，和之间存在怎样的关系？ (2)运用以上结论，计算： ； ． (3)解决实际问题：已知一个长方形的长为，宽为，求这个长方形的面积． 28．先观察下列等式，再回答问题：第一个等式；第二个等式；第三个等式． (1)根据上述三个等式提供的信息，请你猜想第五个等式； (2)请按照上面各等式反映的规律，试写出第n个等式（n为正整数）； (3)对于任何实数a，表示不超过a的最大整数，如，，计算：的值． 29．观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律： ①，②，③，… (1)观察算式规律，计算，的值． (2)用含正整数的式子表示上述算式的规律． (3)根据规律，求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $