精品解析：青海省西宁市第十二中学教育集团2025-2026学年度第二学期九年级 数学学科 一模测试

西宁市第十二中学教育集团2025-2026学年度第二学期 九年级数学学科校一模测试 时间：120分钟总分：120分 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填涂在答题卡上） 1. 在实数0，，，中，最小的数是（ ） A. B. 0 C. D. 2. “月壤砖”是我国科学家模拟月壤成分烧制而成的，拟用于未来建造月球基地．如图是一种“月壤砖”的示意图，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 3. 下列说法正确的是（ ） A. 抛一枚硬币，正面朝下，属于不可能事件 B. 某彩票的中奖机会是，如果买100张彩票一定会有3张中奖 C. 在单词“”中随机选择一个字母，选到字母“e”的概率是 D. 甲、乙两人跳绳成绩的平均数相等，则甲的成绩比乙稳定 4. 函数中，自变量的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，已知直角，①以点A为圆心，以适当长为半径画弧，交于点M，交于点N；②分别以M，N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点P；③作射线交于点D；④分别以A，D为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于G，H两点；⑤作直线，分别交，于点E，F．依据以上作图，若，，则的面积是（ ） A. B. C. D. 7. 公元前三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时，给出“赵爽弦图”，如图，数学课上数学老师把该图放置在在平面直角坐标系中，如图，此时正方形的顶点A的坐标为，顶点B的横坐标为3，若反比例函数的图像经过B，C两点，则的值为（ ） A. 12 B. 15 C. 18 D. 21 8. 表中所列x，y的6对值是二次函数（）图象上的点所对应的坐标，其中，． x … 1 … y … m 0 c 0 n m … 根据表中信息，下列4个结论：①；②；③；④如果，，那么当时，直线与该二次函数图象有一个公共点，则；其中正确的有（ ）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把最后结果填在答题卡对应的位置上） 9. 平方根等于它本身的数是______． 10. 分解因式：_______． 11. 分式方程的解为________． 12. 如图，B处在A处的南偏西方向，C处在A处的南偏东方向，C处在B处的北偏东 方向，则的度数是 ________． 13. 如图，内切于四边形，且，则四边形的周长_______． 14. 如图，菱形的对角线，相交于点，过点C作于点E，连接OE，若，，则菱形的面积为________________． 15. 若关于x的一元二次方程的其中一根为，则关于x的方程的其中一个根为___________． 16. 如图，在四边形中，．分别以A，C两点为圆心，的长为半径作弧，两弧围成如图所示阴影．则阴影部分的面积为_______． 17. 已知的直径，是的弦，，且，垂足为M，则的长为___________． 18. 如图，已知中，，，点P是上一个动点，从A点出发，沿着运动，的最小值是__________． 三、解答题（本大题共8小题，共76分．解答时将文字说明、证明过程或演算步骤写在答题卡相应的位置上） 19. 解决下列问题： （1）计算：； （2）化简： 20. 先化简，再求值：其中a是不等式组的最小整数解； 21. 如图，将长方形纸片ABCD折叠，使点C与点A重合，折痕EF分别与AB、DC交于点E和点F． （1）证明：△ADF≌△AB′E； （2）若AD=12，DC=18，求△AEF的面积． 22. 我市某校八年级学生报名参加某研学基地的A、B、C、D、E五类研学项目（每名学生必须填报一项，且只能填报一项）．为了解学生的报名情况，随机抽取了该校八年级的部分学生进行调查统计，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请你根据图中信息解答下列问题： （1）抽取的学生人数是________，扇形统计图中D类所对应扇形的圆心角的度数是________，补全条形统计图； （2）估计该校400名八年级学生中填报C类研学项目的学生有多少人？ （3）甲、乙两名学生分别从A、B、C三类项目中选择一类填报（他们填报任意一类项目的可能性相同），请用画树状图或列表的方法计算他们两人填报同一项目的概率． 23. 列二元一次方程组解应用题．2023年12月18日甘肃发生6.2级地震，辽宁省应急、交通等部门给予大力帮助．针对灾区房屋安全、电力供应、物资保障等方面进行全方位排查，现安排甲、乙两种货车从某医药公司仓库运输物资到地震灾区，两种货车的情况如表： 甲种货车/辆 乙种货车/辆 总量/吨 第一次 3 4 27 第二次 4 5 35 （1）甲、乙两种货车每辆分别能装货多少吨？ （2）据了解，这次运输中，每辆车都装满，甲种货车拉每吨货物耗费100元，乙种货车拉每吨货物耗费150元，有5辆车参与运货，其中甲种货车a辆．求货车所需总费用w与a之间的函数关系式； （3）在（2）的条件下，要使所需总费用最低，该如何安排拉货？最低总费用是多少？ 24. 如图，为的直径，点C在的延长线上，D为上一点，连接，，E，F分别是，的中点，连接，，延长，交于点P． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，求证：是的切线； （3）在（2）的条件下，若，，的半径为 ． 25. 如图1，已知抛物线的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，A点的坐标为，且抛物线对称轴为直线． （1）求抛物线的解析式； （2）如图2，连接，P为线段下方抛物线上的一个动点，过点P作轴交于点M，作轴交y轴于点N，求的最大值及此时点P的坐标； 26. 综合与实践 在中，，将绕点C旋转得到，点A的对应点D在边上，连接． 【问题提出】 （1）【问题探究】 如图1，求证：； 将下列探究过程补充完整： 解：由旋转的性质可知，，， ，___， ∴（ ） 【深度探究】 （2）如图2，当，时，求的长； 【拓展应用】 （3）如图3，过点E作的平行线交的延长线于点F，连接交于K． ①求证：； ②当时，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 西宁市第十二中学教育集团2025-2026学年度第二学期 九年级数学学科校一模测试 时间：120分钟总分：120分 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填涂在答题卡上） 1. 在实数0，，，中，最小的数是（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了实数的大小比较．根据“正数大于零；零大于负数；负数比较大小，绝对值大的反而小”，比较大小，得出答案即可． 【详解】解：∵， ∴在实数，，，中，最小的数是， 故选：A． 2. “月壤砖”是我国科学家模拟月壤成分烧制而成的，拟用于未来建造月球基地．如图是一种“月壤砖”的示意图，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了判断几何体的三视图（判断简单组合体的三视图）．主视图是从正面看到的视图，据此即可得出答案． 【详解】解：根据题中“月壤砖”的示意图，可知其主视图为 故选：． 3. 下列说法正确的是（ ） A. 抛一枚硬币，正面朝下，属于不可能事件 B. 某彩票的中奖机会是，如果买100张彩票一定会有3张中奖 C. 在单词“”中随机选择一个字母，选到字母“e”的概率是 D. 甲、乙两人跳绳成绩的平均数相等，则甲的成绩比乙稳定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查事件的分类、概率、方差，理解事件的分类、概率、方差的意义是正确判断的前提．根据事件类型、概率计算和方差性质逐一判断即可． 【详解】解：A、抛一枚硬币，正面朝下是可能事件，不属于不可能事件，故错误，不符合题意； B、彩票中奖概率表示可能性，买100张彩票不一定有3张中奖，故错误，不符合题意； C、单词“”中共有8个字母，字母“e”出现4次，则选到“e”的概率为，故正确，符合题意； D、方差越大，数据越不稳定，甲、乙两人跳绳成绩的平均数相等，则乙的成绩比甲稳定，故错误，不符合题意． 故选：C． 4. 函数中，自变量的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围、二次根式有意义的条件、零次幂有意义的条件等知识点，掌握二次根式以及零次幂有题意的条件是解题的关键． 根据被开方数大于或等于0且分母不等于0，列出不等式组求解即可． 【详解】解：由题意可得：，解得：且． 故选C． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据公式，乘方，同底数幂的乘法，计算解答即可； 【详解】解：A. ，错误，不符合要求； B. ，错误，不符合要求； C. ，正确，符合要求； D. ，错误，不符合要求； 6. 如图，已知直角，①以点A为圆心，以适当长为半径画弧，交于点M，交于点N；②分别以M，N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点P；③作射线交于点D；④分别以A，D为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于G，H两点；⑤作直线，分别交，于点E，F．依据以上作图，若，，则的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查角平分线和线段垂直平分线的尺规作图、等腰三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握角平分线和线段垂直平分线的尺规作图是解题的关键． 设与相交于点，连接，根据题意尺规作图可知是的角平分线，是的垂直平分线，证明，进而得到，根据勾股定理求出的长，利用三角形面积公式进行计算即可． 【详解】解：如图，设与相交于点，连接， 由题意尺规作图可知：是的角平分线，是的垂直平分线， 、、， 在和中， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， 即． 7. 公元前三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时，给出“赵爽弦图”，如图，数学课上数学老师把该图放置在在平面直角坐标系中，如图，此时正方形的顶点A的坐标为，顶点B的横坐标为3，若反比例函数的图像经过B，C两点，则的值为（ ） A. 12 B. 15 C. 18 D. 21 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了正方形性质、反比例函数的图象和性质等知识，设点B的坐标为，其中，则点C的坐标为，把两点的坐标代入得到，解方程即可得到答案 【详解】解：∵正方形的顶点A的坐标为，顶点B的横坐标为3， ∴可设点B的坐标为，其中，则点C的坐标为， ∵反比例函数的图像经过B，C两点， ∴， 则 解得或（不合题意，舍去）， ∴， 故选：C 8. 表中所列x，y的6对值是二次函数（）图象上的点所对应的坐标，其中，． x … 1 … y … m 0 c 0 n m … 根据表中信息，下列4个结论：①；②；③；④如果，，那么当时，直线与该二次函数图象有一个公共点，则；其中正确的有（ ）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】①由二次函数的对称性可得对称轴为直线，可直接判断；②由对称轴的位置及且，可知在对称轴右侧，y随x的增大而增大，由此可判断a的符号，进而可判断b和c的符号；③由上述判断可知，当时，，结合可判断；④根据题中给出的数据，可求得函数解析式，进而可判断时，y的取值范围，进而可判断．， 【详解】解：①由表格可知，当和时，函数值相等， ∴对称轴为直线， ∴，即，故①正确，符合题意； ②由表格可知，，且， ∴在对称轴右侧，y随x的增大而增大， ∴， ∴， 由表格可知，当和时，函数值相等， 又∵，， ∴， ∴，故②正确； ③由上分析可知，当时，， 又∵， ∴，故③正确； ④当，时，可知函数过点， ∵对称轴为直线， ∴抛物线跟x轴的另一个交点， ∴函数的解析式可设为， ∵， ∴，解得， ∴函数解析式为：，画出函数图象如图所示： 当时，，当时，， 又抛物线的顶点坐标为， ∴当时，直线y=k与该二次函数图象有一个公共点； ∴若直线与该二次函数图象有一个公共点，则或；故④不正确． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把最后结果填在答题卡对应的位置上） 9. 平方根等于它本身的数是______． 【答案】0 【解析】 【分析】本题考查平方根，熟知平方根的定义是解题的关键．如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根．任何正数a的平方根有两个，它们互为相反数；零的平方根仍旧是零；负数没有平方根． 【详解】解：平方根等于它本身的数是0， 故答案为：0． 10. 分解因式：_______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 原式提取7，再利用平方差公式分解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 11. 分式方程的解为________． 【答案】 【解析】 【分析】先确定分式方程的最简公分母．将分式方程转化为整式方程求解，求解后检验得到原方程的解． 【详解】解：， 两边同乘最简公分母，得： ， ， 整理得：， 解得：， 检验：当时，． 因此原分式方程的解是． 12. 如图，B处在A处的南偏西方向，C处在A处的南偏东方向，C处在B处的北偏东 方向，则的度数是 ________． 【答案】##80度 【解析】 【分析】本题主要考查了方向角，先求出和，再利用三角形内角和求出．解题的关键是根据图正确找出各角之间的关系即可计算． 【详解】解：∵B处在A处的南偏西方向，C处在A处的南偏东方向， ∴， ∵C处在B处的北偏东方向， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 13. 如图，内切于四边形，且，则四边形的周长_______． 【答案】26 【解析】 【分析】利用切线长定理进行求解． 【详解】解：如图所示，与相切于点，与相切于点，与相切于点，与相切于点， ∵内切于四边形， 即是的切线， ∴， ∴， ∴四边形的周长为． 14. 如图，菱形的对角线，相交于点，过点C作于点E，连接OE，若，，则菱形的面积为________________． 【答案】24 【解析】 【分析】根据菱形的性质得到，，利用直角三角形斜边中线的性质得到，再利用菱形面积公式计算即可． 【详解】解：四边形是菱形、， 、，， ， ， ， 菱形的面积为． 15. 若关于x的一元二次方程的其中一根为，则关于x的方程的其中一个根为___________． 【答案】2026 【解析】 【分析】将方程整理为，再利用已知方程的根求出所求方程的根即可． 【详解】解：由方程得到：， 由于方程的其中一根为， 则， 解得， 因此，关于x的方程的其中一个根为2026． 16. 如图，在四边形中，．分别以A，C两点为圆心，的长为半径作弧，两弧围成如图所示阴影．则阴影部分的面积为_______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，证明是的平分线，得，求出，由勾股定理得，再根据求解即可． 【详解】解：连接，如图， ∵ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ． 17. 已知的直径，是的弦，，且，垂足为M，则的长为___________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理、勾股定理等知识点，根据题意正确作出辅助线、构造直角三角形成为解题的关键． 如图，连接，由垂径定理可得，然后分当C点位于优弧上和劣弧上两种情况，分别根据勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵的直径，，， ∴， 如图1：当C点位于优弧上时， ∵， ∴， ∴， ∴； 如图2：当C点位于劣弧上时，同理可得：， ∵， ∴， ∴． 综上，的长为或． 故答案为或． 18. 如图，已知中，，，点P是上一个动点，从A点出发，沿着运动，的最小值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】在的下方作射线，使得，过点P作于点H，过点B作于点T，交于点K．连接，根据含30度角的直角三角形的性质得出，再结合题意及三角形三边关系确定，则当点、、三点共线，且时，有最小值，为的长，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，在的下方作射线，使得，过点P作于点H，过点B作于点T，交于点K．连接， ∵，， ∴， ∴， ∴当点、、三点共线，且时，有最小值，为的长， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴的最小值是． 三、解答题（本大题共8小题，共76分．解答时将文字说明、证明过程或演算步骤写在答题卡相应的位置上） 19. 解决下列问题： （1）计算：； （2）化简： 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查实数运算和整式化简，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）根据负整数指数幂、二次根式、特殊三角函数值及去绝对值运算法则进行计算即可； （2）利用平方差公式、完全平方公式进行化简即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 先化简，再求值：其中a是不等式组的最小整数解； 【答案】， 【解析】 【分析】先利用分式的混合运算法则化简分式，再解不等式组的解集求出最小整数解，代入即可解之． 【详解】解：原式=， 解不等式组， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为， ∴a的最小值为2 ∴原式=． 【点睛】本题考查了分式的化简求值、解一元一次不等式组的解集，熟练掌握分式的混合运算法则，会求一元一次不等式组的整数解是解答的关键． 21. 如图，将长方形纸片ABCD折叠，使点C与点A重合，折痕EF分别与AB、DC交于点E和点F． （1）证明：△ADF≌△AB′E； （2）若AD=12，DC=18，求△AEF的面积． 【答案】 （1）∵四边形ABCD是矩形， ∴∠D=∠C=∠B′=90°，AD=CB=AB′， ∵∠DAF+∠EAF=90°，∠B′AE+∠EAF=90°， ∴∠DAF=∠B′AE， 在△ADF和△AB′E中 ， ∴△ADF≌△AB′E． （2）78 【解析】 【详解】试题分析：（1）利用两角夹边对应相等的两个三角形全等即可判定． （2）利用三角形面积公式求解即可. 试题解析：（1）略 （2）解：由折叠性质得FA=FC，设FA=FC=x，则DF=DC－FC=18－x， 在Rt△ADF中，AD2+DF2=AF2， ∴． 解得． ∵△ADF≌△AB′E， ∴AE=AF=13． ∴S△AEF===78． 22. 我市某校八年级学生报名参加某研学基地的A、B、C、D、E五类研学项目（每名学生必须填报一项，且只能填报一项）．为了解学生的报名情况，随机抽取了该校八年级的部分学生进行调查统计，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请你根据图中信息解答下列问题： （1）抽取的学生人数是________，扇形统计图中D类所对应扇形的圆心角的度数是________，补全条形统计图； （2）估计该校400名八年级学生中填报C类研学项目的学生有多少人？ （3）甲、乙两名学生分别从A、B、C三类项目中选择一类填报（他们填报任意一类项目的可能性相同），请用画树状图或列表的方法计算他们两人填报同一项目的概率． 【答案】（1）50人；； 补条形统计图如下． （2）80人 （3）； 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图的综合运用、用样本估计总体以及用列表法或树状图法求随机事件的概率，解题的关键是从统计图中提取有效信息（如部分数量及对应百分比）计算总人数和各项目人数，再通过样本比例估计总体数量，同时准确列举所有可能结果计算概率． （1）①由B类人数人）及占比求抽取学生总数即可；②先计算D类人数占比，再用360度乘以占比即可求得圆心角；③用总数减去已知类别人数求得C类人数，补全条形图即可； （2）先求得样本中C类人数占比，再用总体人数乘以该占比即可； （3）列表列举甲、乙从A、B、C三类中选择的所有可能结果数，再找出两人选同一项目的结果数，然后用概率公式计算即可． 【小问1详解】 解：∵B类有人，且占抽取学生总数的， ∴抽取的学生人数为（人）． ∵D类有人， ∴D类人数占总人数的比例为， 则扇形统计图中D类所对应扇形的圆心角的度数为． ∵总人数为人，A类8人，B类人，D类人，E类6人， ∴C类人数为（人）， 故答案为：50人；． 【小问2详解】 解：∵样本中C类人数为人，占抽取总人数的比例为， ∴估计该校名八年级学生中填报C类研学项目的学生人数为（人）． 答：估计该校名八年级学生中填报C类研学项目的学生有人． 【小问3详解】 解：设A、B、C三类项目分别用字母A、B、C表示，列表如下： 甲\乙 A B C A B C 由表格可知，共有9种等可能的结果，其中两人填报同一项目的结果有3种：、、． ∴他们两人填报同一项目的概率为． 答：他们两人填报同一项目的概率是． 23. 列二元一次方程组解应用题．2023年12月18日甘肃发生6.2级地震，辽宁省应急、交通等部门给予大力帮助．针对灾区房屋安全、电力供应、物资保障等方面进行全方位排查，现安排甲、乙两种货车从某医药公司仓库运输物资到地震灾区，两种货车的情况如表： 甲种货车/辆 乙种货车/辆 总量/吨 第一次 3 4 27 第二次 4 5 35 （1）甲、乙两种货车每辆分别能装货多少吨？ （2）据了解，这次运输中，每辆车都装满，甲种货车拉每吨货物耗费100元，乙种货车拉每吨货物耗费150元，有5辆车参与运货，其中甲种货车a辆．求货车所需总费用w与a之间的函数关系式； （3）在（2）的条件下，要使所需总费用最低，该如何安排拉货？最低总费用是多少？ 【答案】（1）甲、乙两种货车每辆分别能装货5吨、3吨 （2） （3）要使所需总费用最低，安排5辆乙种货车拉货，最低总费用是2250元 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，写出相应的函数关系式，利用一次函数的性质求最值． （1）根据表格中的数据，可以列出相应的二元一次方程组，然后求解即可； （2）根据题意和题目中的数据，可以写出货车所需总费用w与a之间的函数关系； （3）根据（1）中的函数关系式和a的取值范围，利用一次函数的性质，可以求得w的最小值． 【小问1详解】 解：设甲、乙两种货车每辆分别能装货m吨、n吨， 由表格可得：， 解得． 答：甲、乙两种货车每辆分别能装货5吨、3吨． 【小问2详解】 解：设甲种货车a辆，则乙种货车辆， 由题意可得：， 即货车所需总费用y与x之间的函数关系是； 【小问3详解】 解：∵， ∴w随a的增大而增大， ∵， ∴当时，y取得最小值，此时， 答：要使所需总费用最低，安排5辆乙种货车拉货，最低总费用是2250元． 24. 如图，为的直径，点C在的延长线上，D为上一点，连接，，E，F分别是，的中点，连接，，延长，交于点P． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，求证：是的切线； （3）在（2）的条件下，若，，的半径为 ． 【答案】（1） 证明：∵E，F分别是，的中点， 、， ∴, 为的直径， ∴， 四边形是矩形； （2） 证明：连接，则， ， ∵， ， ， ， 即， ， 是的半径， 是的切线； （3）3 【解析】 【分析】本题考查矩形的判定与性质、解直角三角形、圆的切线的判定与性质、垂径定理、勾股定理，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． （1）根据垂径定理可得、，再根据得出结论即可； （2）连接，则，进而得到，从而得出结论； （3）由，设，则，证明，根据平行线分线段成比例求出的长，利用勾股定理列方程求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：、， 设，则， 在中，由勾股定理得：， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， 解得， ， ， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得或（舍去）， ， 的半径为3． 25. 如图1，已知抛物线的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，A点的坐标为，且抛物线对称轴为直线． （1）求抛物线的解析式； （2）如图2，连接，P为线段下方抛物线上的一个动点，过点P作轴交于点M，作轴交y轴于点N，求的最大值及此时点P的坐标； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）通过对称轴确定系数a和b的关系，再代入点A的坐标，即可求出解析式； （2）根据解析式求出点B，C的坐标，从而得到直线的解析式，设出点P的坐标，从而用所设字母表示出点M，N的坐标和和，构造函数关系求最值即可． 【小问1详解】 解：∵已知抛物线的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，A点的坐标为，且抛物线对称轴为直线， ， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：∵抛物线对称轴为直线，A点的坐标为， ∴， 当，， ∴， 设直线解析式为， ， 解得， ∴直线表达式为， 设， 则由题意得，， ∴，， ∴， ∵， ∴当时，取得最大值，最大值为， 此时， ∴． 【点睛】掌握二次函数的图象与性质，通过对称轴确定系数a和b的关系，并通过设坐标表示出的值是解题关键． 26. 综合与实践 在中，，将绕点C旋转得到，点A的对应点D在边上，连接． 【问题提出】 （1）【问题探究】 如图1，求证：； 将下列探究过程补充完整： 解：由旋转的性质可知，，， ，___， ∴（ ） 【深度探究】 （2）如图2，当，时，求的长； 【拓展应用】 （3）如图3，过点E作的平行线交的延长线于点F，连接交于K． ①求证：； ②当时，直接写出的值． 【答案】（1）；；利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 （2） （3） ①证明：由旋转的性质可知，，，， ， ， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ② 【解析】 【分析】（1）由旋转的性质可得，，旋转角相等即，则，根据两边对应成比例且夹角相等，可证； （2）由推得，在中由勾股定理得，即，结合相似比与勾股定理，即可求解； （3）①由旋转性质得，，结合推得，满足全等条件，可证；②设，则、，由等腰三角形三线合一得，证得，再根据证明，进而即可求解． 【小问1详解】 证明：由旋转的性质可知，，，， ， （利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似）； 【小问2详解】 解：由（1）可知，， ，， 又， ， ， 在直角中，， ， ， ， ， 在直角中，， ， 解得，； 【小问3详解】 ①略 ②解：如图，作，垂足为，延长、交于点，设， ， ， 在直角中，， ， ， ， ， ， ， ， ∴是等腰三角形，且， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题以直角三角形的旋转为核心载体，融合旋转性质、相似与全等三角形判定、勾股定理等知识，通过角度与线段的转化推导结论，体现了转化化归与逻辑推理的核心数学思想． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $