精品解析：吉林延边第二中学2025-2026学年高二第二学期第一次阶段检测数学试卷

延边第二中学2025—2026学年度第二学期第一次阶段检测 高二年级数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列求导正确的（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用导数加法运算法则判断A；根据复合函数的导数判断B；根据导数除法运算法则判断C；根据导数乘法运算法则判断D. 【详解】，A不正确； ，B不正确； ，C不正确； ，D正确. 故选：D 2. 若，则（ ） A. B. 6 C. 3 D. -3 【答案】C 【解析】 【分析】由导数的定义可得； 【详解】. 故选：C. 3. 曲线的单调增区间是（ ） A. B. C. 和 D. 和 【答案】B 【解析】 【分析】求函数的导函数，令，可求单调递增区间. 【详解】由，可得， 令，可得，因为，所以，则有， 所以函数的单调递增区间是. 故选：B. 4. 已知函数 的图象如图所示， 是 的导函数，则下列数值排序正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据图象判断函数增长速度即可得解. 【详解】由图可知，的增长速度越来越慢，所以， 表示在上的平均变化率， 由图可知. 故选：A 5. 若函数在区间上单调递增，则实数k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求导，可得对恒成立，可得对恒成立，求得的最大值即可. 详解】由，可得， 因为函数在区间上单调递增， 所以对恒成立，即对恒成立， 即对恒成立， 令，则，因为，所以， 所以在上单调递减， 所以，所以， 所以实数k的取值范围是. 故选：D. 6. 已知函数的定义域为，且，对任意，，则不等式的解集是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，由恒成立，在上单调递减，由可得，由单调性解不等式即可. 【详解】设，则 ， 对任意，，恒成立，即在上单调递减， 由可得，，解得，即解集为. 故选：A 7. 若在处取得极大值，则的值为（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出，由题意可得出，解出、的值，再结合题意进行检验，即可得解. 【详解】因为，则 又在处取得极大值， ，解得或， 当，时，， 当时，，当时，， 则在处取得极小值，与题意不符； 当，时，， 当时，，当时，， 则在处取得极大值，符合题意，则， 故选：C. 8. 已知函数，则（ ） A. 有最大值，无最小值 B. 无最大值，有最小值 C. 既有最大值，也有最小值 D. 既无最大值，也无最小值 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意对函数求导得到，然后利用导数分析讨论最大值和最小值. 【详解】函数的定义域为，由题得， 当时，单调递增； 当时，单调递减． 又当时，与二次函数相比，指数函数呈爆炸性增长，从而； 当时，．所以函数无最大值，有最小值，故B正确. 故选：B. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 函数的导函数在区间上的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. 函数在处有极小值 B. 函数在处有极小值 C. 函数在区间内有个极值点 D. 导函数在处有极大值 【答案】BD 【解析】 【分析】根据导函数的图象，利用极值点、极值的定义，对各个选项逐一分析判断，即可求解. 【详解】对于选项A，由图知在左右两侧均有，所以不是的极值点，故选项A错误， 对于选项B，由图知在左右两侧的符号：左侧，右侧， 所以函数在处有极小值，故选项B正确， 对于选项C，根据图象可知，有个极值点，左右两侧均有， 所以不是的极值点，故选项C错误， 对于选项D，由的图象知，在左侧单调递增，在右侧单调递减， 所以在处有极大值，故选项D正确， 故选：BD. 10. 已知函数，则（ ） A. 在区间上单调递增 B. 有最大值 C. 当时，的图象过的切线有且仅有条 D. 关于的方程有两个不等实根，则的取值范围是 【答案】AC 【解析】 【分析】利用函数的单调性与导数的关系可判断A选项；分析函数的单调性，利用函数的最值与导数的关系可判断B选项；设切点坐标为，利用导数求出切线方程，再将点的坐标代入切线方程，判断关于的方程解的个数，可判断C选项；令，求导得到其单调性和最值，数形结合可判断D选项. 【详解】对于A选项，对任意的，恒成立， 所以，在区间上单调递增，A对； 对于B选项，当时，，当时，. 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以有最小值，无最大值，B错； 对于C选项，当时，，设切点为， ，则切线斜率为， 所以曲线在点的切线方程为， 将点的坐标代入切线方程为，整理可得， ，即方程有两个不等的实根， 所以，当时，的图象过的切线有且仅有条，C对； 对于D选项，方程，即， 令，而， 当时，，当时，. 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， 当时，且，如图， 要使方程有两个不等实根，的范围是，D错. 故选：AC. 11. 设函数，函数有三个零点，且满足，则下列结论正确的是（ ） A. 函数有且仅有三个极值点 B. 存在实数 C. 实数的取值范围是 D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】对函数分段求导，可得到函数的单调性和极值点，作出函数图像，可判断A、C；设立新函数，结合零点存在定理，可求得满足题意的实数，可判断B；通过设立新函数并求导，利用函数单调性可推导出D正确. 【详解】由题意，时，，则， 所以，时，，单调递增； 时，，单调递减. 所以在时取得极大值. 时，，则， 所以，时，，单调递减； 时，，单调递增. 所以在时取得极小值. 对于A，函数有且仅有两个极值点，故A错误； 对于B，存在，使，证明如下： 若，则，， 所以. 设函数，则， 当时，，则，单调递增， 又因为根据零点存在定理，存在，使即.故B正确； 对于C，根据上述分析，可作出函数图像如图， 因为函数有三个零点，所以实数的取值范围是. 故C正确； 对于D，当时，令，解得，所以. 当时，设， 则 ， 所以函数在上单调递减，则，即. 又因为，所以，， 因为时，单调递增，所以即. 当时，设， 则. 设函数，则， 设函数，则. 所以，时，，即函数单调递减， 则有，即，故函数单调递增. 因为当时，，则有即， 所以当时，即. 又因为，所以，则， 因为，，且时，单调递增，所以即. 所以时，有.故D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数图象在点处的切线方程是，则_______． 【答案】2 【解析】 【分析】根据切点在切线上以及导数的几何意义求解即可. 【详解】由已知得，， . 故答案为：. 13. 若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】求，根据分离参数，构造函数可得的取值范围. 【详解】∵，∴， ∵区间内存在单调递增区间， ∴在上有解，故在上有解， 令，则， ∵，∴，即在上为减函数， ∴，故． 故答案为：. 14. 已知函数，若，且，有恒成立，则实数的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【详解】将条件转化为在上单调递增，再转化为在上恒成立，利用导数求函数的最小值，可得结论. 【分析】不妨设，则不等式可化为， 所以， 设，由已知可得在上单调递增， 所以在上恒成立， 所以在上恒成立， 所以在上恒成立， 设，则， 设，则， 所以函数在上单调递增， 又，， 所以存在，满足， 即，所以， 设，则， 所以在上单调递增，又， 所以， 所以当时，，，函数在上单调递增， 当时，，，函数在上单调递减， 所以，又， 所以， 所以，所以， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于将条件转化为在上单调递增，进一步转化为在上恒成立. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 若. （1）求函数的单调区间与极值； （2）证明：恒成立； 【答案】（1）的单调增区间为，单调减区间为，极大值为，无极小值 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求出，再解不等式和即可得出单调区间； （2）构造新函数，通过研究函数的单调性，求出其最小值，证明即可. 【小问1详解】 ， 当时，单调递增；当时，单调递减； 则的单调递增区间为，单调递减区间为， 所以是的极大值点，极大值为 所以的单调增区间为，单调减区间为， 极大值为，无极小值； 【小问2详解】 令， ， 当时，单调递减；当时，单调递增； 则的单调递减区间为，单调递增区间为， 所以，所以恒成立，即恒成立. 16. 已知函数上点处的切线方程为 （1）求的解析式； （2）若函数在上有两个零点，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求函数导函数，根据导数的几何意义和题意可知，，，建立关于、的方程组，求出、，从而可得函数的解析式； （2）由，可得出，令，其中，利用导数分析函数的单调性与极值，分析可知，直线与函数在上的图象有且只有两个交点，数形结合可得出实数的取值范围. 【小问1详解】 由题意可知， 因为函数图象上点处的切线方程为， 所以，，，解得，， 所以，. 【小问2详解】 由，可得， 令，其中，则， 当时，，此时函数单调递减， 当时，，此时函数单调递增， 所以，函数的极小值为，，， 由题意可知，直线与函数在上的图象有且只有两个交点，如下图所示： 由图可知，实数的取值范围是. 17. （1）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，求a； （2）从点可向曲线引三条不同切线，求的取值范围； （3）已知，使得成立，求实数的取值范围 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义先求得切线方程，进而得到，可得，进而求解即可； （2）设曲线在点处的切线过点，根据导数的几何意义结合题意可得有三个不同的解，设，利用导数分析其单调性，进而求解即可； （3）由题意可得，利用导数分析其单调性，进而求解即可. 【详解】（1）由，求导得，令得切线斜率， 故曲线在点处的切线方程为，即， 由，求导得， 设的切点为， 根据题意可得，即， 又，解得. （2）设曲线在点处的切线过点， 由，求导得，所以， 所以曲线在处的切线方程为， 因为从点可向曲线引三条不同切线， 所以有三个不同的解，即有三个不同的解， 设，该函数有三个不同零点，求导得， 令，则或， 当或，当， 所以函数在区间上单调递减，在和区间上单调递增， 所以函数在和处分别取得极大值和极小值，要想函数有三个不同零点， 则，解得， 则的取值范围为. （3）因为，使得成立等价于在上，. 易得，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以函数在上的最小值为，易知在上单调递增， 所以函数在上的最小值为，则， 即实数的取值范围是. 18. 已知函数. （1）讨论函数的单调性； （2）若对恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）答案见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）求导，分，，，四种情况求解即可； （2）转化问题为，恒成立，令，进而利用导数分析单调性求解即可. 【小问1详解】 因为， 则， ①当时，，由可得，由可得， 此时，函数的减区间为，增区间为； ②当时，，则， 由可得或，由可得， 此时，函数的增区间为，，减区间为； ③当时，， 当时，，则， 当时，，则， 此时，函数在上单调递增； ④当时，，则， 由可得或，由可得， 此时，函数的增区间为，，减区间为. 【小问2详解】 因为， 对任意的，有，所以时，，即， 令，则， 所以，函数上单调递减，则，故， 因此，实数的取值范围是. 19. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若有两个极值点，求的取值范围； （3）在（2）的条件下，证明：当时，. 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线斜率，进而得到切线方程； （2）求出函数的导函数，依题意可得有两个不同的变号正根，设，，利用导数说明函数的单调性，即可求出的取值范围； （3）根据极值点的性质得到相关等式，再通过构造函数进行证明. 【小问1详解】 当时，，所以， 所以，所以曲线在点处的切线斜率， 所以曲线在点处的切线方程为，即. 【小问2详解】 函数的定义域为， 因为有两个极值点， 意味着有两个不同的变号正根. 设，，则. 若，，在上单调递增，不会有两个正根； 当，令，得， 所以当时，所以在上单调递增； 当时，所以上单调递减. 又当时，当时， 要使有两个正根，需，即，解得. 所以当时，有两个极值点. 【小问3详解】 的定义域为， 因为有两个极值点，意味着是有两个不同正根. 所以，且， 所以，所以， 所以，当时， ， 令，即证当时，对恒成立. 令，则. 因为，所以，所以， 所以在上单调递增，所以，即， 所以当时，恒成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 延边第二中学2025—2026学年度第二学期第一次阶段检测 高二年级数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列求导正确的（ ） A. B. C. D. 2. 若，则（ ） A. B. 6 C. 3 D. -3 3. 曲线单调增区间是（ ） A. B. C. 和 D. 和 4. 已知函数 的图象如图所示， 是 的导函数，则下列数值排序正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 若函数在区间上单调递增，则实数k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数的定义域为，且，对任意，，则不等式的解集是（    ） A. B. C. D. 7. 若在处取得极大值，则的值为（ ） A. 或 B. 或 C. D. 8. 已知函数，则（ ） A. 有最大值，无最小值 B. 无最大值，有最小值 C. 既有最大值，也有最小值 D. 既无最大值，也无最小值 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 函数的导函数在区间上的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. 函数在处有极小值 B. 函数在处有极小值 C. 函数在区间内有个极值点 D. 导函数在处有极大值 10. 已知函数，则（ ） A. 在区间上单调递增 B. 有最大值 C. 当时，的图象过的切线有且仅有条 D. 关于的方程有两个不等实根，则的取值范围是 11. 设函数，函数有三个零点，且满足，则下列结论正确的是（ ） A. 函数有且仅有三个极值点 B. 存在实数 C. 实数取值范围是 D. 若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数的图象在点处的切线方程是，则_______． 13. 若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是_______． 14. 已知函数，若，且，有恒成立，则实数的取值范围是________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 若. （1）求函数单调区间与极值； （2）证明：恒成立； 16. 已知函数上点处切线方程为 （1）求的解析式； （2）若函数在上有两个零点，求取值范围． 17. （1）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，求a； （2）从点可向曲线引三条不同切线，求的取值范围； （3）已知，使得成立，求实数的取值范围 18. 已知函数. （1）讨论函数的单调性； （2）若对恒成立，求实数的取值范围. 19. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若有两个极值点，求的取值范围； （3）在（2）的条件下，证明：当时，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $