黑龙江佳木斯市第十一中学2025-2026学年高一下学期期末考试数学试题

**基本信息** 高中数学期末卷以统计、立体几何、向量等知识为载体，融入西周青铜器体积计算等文化情境，设置劳动教育满意度调研、社团考核分析等应用问题，实现基础巩固与能力提升的梯度考查，体现数学眼光、思维与语言的核心素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|数据特征、空间位置关系、概率|第8题结合文物圆台与圆柱体积比，考查空间想象与运算能力| |多选题|3/18|百分位数、方差、对立事件|第9题综合考查统计概念辨析，培养推理意识| |填空题|3/15|向量模、分层抽样、球内接三角形|第14题结合球体积与等边三角形，体现几何直观| |解答题|5/77|向量运算、解三角形、统计案例、四棱锥证明与计算|17题以频率分布直方图求中位数及概率，19题综合空间证明与二面角计算，发展应用意识与逻辑推理|

《2025-2026年度第二学期期末考试》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A A C B C B D B BD ABC 题号 11 答案 ABD 1．A 【详解】该组数据的平均数为， 该组数据共8个数，则中位数为第4个和第5个数的平均数，是， 该组数据的众数， 所以. 2．A 【详解】因为，所以， 所以． 3．C 【详解】选项A，若，，则或，错误. 选项B，若，，则或，错误. 选项C，由线面平行的性质定理可知，若直线平行于一个平面，且该直线包含于另一个与已知平面相交的平面内，则这条直线与两平面的交线平行，题设条件完全符合定理要求，故，正确. 选项D：若，，则或，结合，可得与的位置关系可能为平行、相交或，不一定垂直，错误. 4．B 【详解】设末位数字是奇数为事件，则末位数字可以为：，共10种情况，而末位数字为奇数的情况有：，共5种情况，所以末位数字是奇数的概率. 5．C 【解析】先根据向量的平行求出的值，再根据向量的坐标运算计算即可． 【详解】解：∵，，且， ， 解得，， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了向量的平行和向量的坐标运算，属于基础题． 6．B 【分析】在直观图中求得的长，然后利用直观图性质得出原图形中三角形边长，再由勾股定理可得. 【详解】如图，作于，，则，所以， 在原图形中，， 所以. 7．D 【详解】，，，. . 8．B 【详解】依题意，设圆台上底面半径为4，下底面半径为5，高为3，圆柱的高为5， 则圆台的体积为， 圆柱的体积为， 所以. 9．BD 【详解】对于A，，第60百分位数为第6位和第7位数据的平均值，即，故A错误； 对于B，由数据2，3，5，x，8的平均数为5，得； ，故B正确； 对于C，分层随机抽样为等概率抽样，每个个体被抽到的概率等于样本容量与总体容量的比值，与个体所在层的个体总数无关，因此各层个体被抽到的概率相同，故C错误； 对于D，，，…，的方差为2，则，，…，的方差为. 10．ABC 【分析】通过互斥事件和对立事件的定义与概率性质，逐一分析各选项即可. 【详解】若，互为对立事件，则，已知，可得，故A正确； 事件两两互斥，则事件不能同时发生，则事件与也不可能同时发生， 则事件与互斥，故B正确； 事件与对立，则，故C正确； 若，互斥但不对立，则它们的对立事件不互斥，故D错误. 故选：ABC 11．ABD 【分析】由余弦定理结合已知条件求得，从而求得，判断A；根据正弦定理对进行边角互化得，从而求得，判断B；求出的值，判断C；求出的面积，判断D. 【详解】选项A：由余弦定理得， 所以， 化简得，即， 又，故，故A正确. 选项B，由题意得， 由正弦定理得，所以，故B正确. 选项C，由，得， 所以，所以，故C错误. 选项D，由题意得的面积为，故D正确. 12．-21 【详解】因为， 所以，所以． 13．48 【详解】由题意得，，得 14． 【分析】根据球的体积得出球的半径，由正三棱锥的对称性得出球心的位置，然后由勾股定理，列方程组求解. 【详解】由球的体积公式，，解得， 设的外心为，连接， 由题意知为该三棱锥的高，所以该三棱锥的外接球的球心在上， 不妨设在线段上，连接， 设的边长为，由正弦定理可得，， 再设，由题知，， 解得（负值表示球心在线段的延长线上，实际情况如右图）， 所以， 由三角形面积公式，. 15．(1) (2) 【分析】（1）由向量的模长公式计算即可； （2）由向量的数量积公式列方程求解即可. 【详解】（1）当时，， 则， 所以. （2）当时，， 解得． 16．(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理对边化角，即可求解； （2）由三角形面积公式先求得，再结合余弦定理得到，即可求解. 【详解】（1），由正弦定理知， 因为，， 所以，即． 又因为，所以． （2）因为的面积为，所以． 由（1）知，所以，所以． 由余弦定理知，， 所以， 所以，所以， 所以的周长为． 17．(1) (2) 【详解】（1）由频率分布直方图可知，各组频率之和为1，则，解得. 前两组的频率之和为，前三组的频率之和为； ，中位数位于区间内. 设中位数为，则，解得. 估计满意度评分的中位数为. （2）满意度评分在的频率为，满意度评分在的频率为，两组频率之比为. 采用分层抽样的方法从这两组中抽取6人，则在中抽取的人数为，记为；在中抽取的人数为，记为. 则从6人中任取2人，所有可能的情况有，，，，，，，，，，，，，，，共15种； 其中一人的满意度评分在内，另一人的满意度评分在内的情况有，，，，，，，，共8种； . 一人的满意度评分在内，另一人的满意度评分在内的概率为. 18．(1)； (2)平均数都是88；组方差为17，组方差为；由于，，所以组的成绩更稳定． 【分析】（1）先根据按比例分层抽样求出从两组抽取的成绩优秀的人数，用字母表示并列出“从中任取两人”的样本空间和“两人来自同一组”的样本点，根据古典概型概率公式计算； （2）分别计算出两组成绩的平均数与方差，对应比较即得结果. 【详解】（1）由题意知，抽取的样本数据中考核成绩为优秀的成员共有5人， 其中组有2人，分别记为，；组有3人，分别记为，，； 从上述5人中随机抽取2人的样本空间为： ，共包含10个样本点， 其中，这两人来自同一组包含4个样本点， 则， 所以考核成绩“优秀”的5人中任取两人，两人来自同一组的概率为. （2）记抽取的4名组成员的考核成绩的平均数为，方差为， 记抽取的6名组成员的考核成绩的平均数为，方差为， 则， ， ， ， 由于，，所以组的成绩更稳定． 19．(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）连接交于，连接，证明，然后由线面平行的判定定理得证； （2）先证明平面，再由面面垂直的判定定理得证； （3）以为轴建立空间直角坐标系，用空间向量法求二面角. 【详解】（1）如图，连接交于，连接， 是正方形，则是中点，又E为中点， 所以，又因为平面，平面， 所以平面； （2）因为平面，平面，所以， 又，平面， 所以平面，而平面， 所以平面 平面； （3）分别以为轴建立空间直角坐标系，如图， ，从而， 所以，， 设平面的一个法向量是， 则，取得， 易知平面的一个法向量是， ， 所以二面角的余弦值为，从而正弦值为. 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026年度第二学期期末考试 数学试卷 一、单选题(共8小题，每小题5分，共40分) 1．一组数据为1，2，4，4，6，7，9，10，记该组数据的平均数，中位数，众数分别为，，，则（    ） A． B． C． D． 2．已知，则（    ） A． B． C． D． 3．设，是两个平面，，是两条直线，则下列命题为真命题的是（     ） A．若，，则 B．， C．若，，，则 D．若，，，则 4．某快递公司的取件码由8位数字组成，每一位置的数字随机选自，则取件码末位数字是奇数的概率是（    ） A． B． C． D． 5．已知平面向量，，且，则等于 A． B． C． D． 6．水平放置的的直观图如图所示，若，的面积为，则的长为（    ） A． B． C． D． 7．已知向量，，则（     ） A． B． C． D． 8．如图，西周琱（diāo）生簋（guǐ）是贵族琱生为其祖先制作的宗庙祭祀时使用的青铜器．该青铜器可看成由上、下两部分组成，其中上面的部分可看作圆台，下面的部分可看作圆柱，且圆柱和圆台的高之比约为5∶3，圆台的上底面与圆柱的底面完全重合，圆台上、下底面直径之比约为4∶5，则圆柱与圆台的体积之比约为（     ）    A．80∶81 B．80∶61 C．9∶8 D．1∶2 二、多选题(共3 小题，每小题6分，共18分) 9．下列说法正确的是（    ） A．1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的第60百分位数是6 B．已知一组数据2，3，5，x，8的平均数为5，则这组数据的方差是 C．用分层随机抽样时，个体数最多的层里的个体被抽到的概率最大 D．若，，…，的方差为2，则，，…，的方差是18 10．（多选题）下列结论正确的是（   ） A．若，互为对立事件，，则 B．事件，，两两互斥，则事件与互斥 C．事件与对立，则 D．若与互斥，则它们的对立事件也互斥 11．已知内角，，所对的边分别为，，，，，，则（    ） A． B． C． D．的面积为 三、填空题(共3小题，每小题5分，共15分) 12．已知向量，则_________． 13．某企业生产，，三种不同型号的产品，其产量之比为5∶4∶3，现用按比例分配的分层随机抽样的方法，抽取一个容量为的样本，若样本中型号的产品有12件，则________． 14．已知球的体积为，A，B，C，D四点均在球O的球面上，为等边三角形，，则的面积为__________． 四、解答题 (15题13分 ，16题17分，17题15分，18题15分，19题每题17分) 15．已知平面向量，的夹角为，且，，． (1)若，求； (2)若，求实数． 16．记的内角的对边分别为，已知，的面积为，． (1)求； (2)求的周长. 17．为调研某校学生的劳动教育课程开展情况，调研人员从全校学生中随机抽取1000名，记录其对劳动教育课程开展情况的满意度评分，学生独立地进行满意度评分．将满意度评分数据整理统计后，得到如下频率分布直方图． (1)估计满意度评分的中位数； (2)现采用分层抽样的方法，从满意度评分在内的学生中随机抽取6人，再从这6人中任取2人，求一人的满意度评分在内，另一人的满意度评分在内的概率． 18．某学校的羽毛球社团有，两个训练小组，其中组人，组人，期末学校对羽毛球训练成效进行考核，满分为分．为了解两个小组的训练成效，现采用按比例分层抽样的方法从该社团成员中抽取容量为的样本，记录样本中每名成员的考核成绩（单位：分），统计结果如下： 抽取的名组成员考核成绩为：，，，； 抽取的名组成员考核成绩为：，，，，，． 规定：考核成绩不低于分为“优秀”． (1)根据个样本数据，从考核成绩为“优秀”的成员中任取两人，求这两人来自同一组的概率； (2)以样本估计总体，分别估计，两组考核成绩的平均数与方差，判断哪组的成绩更稳定？请说明理由． 19．如图，在四棱锥中，四边形为正方形，平面，且，E为中点． (1)证明：平面； (2)证明：平面 平面； (3)求二面角的正弦值． 第1页，共2页 第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $