黑龙江绥化市绥棱县第一中学2025-2026学年度第二学期开学测试数学试卷

( …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) 绝密★启用前 绥化市绥棱县第一中学2025-2026学年度第二学期开学测试卷 高二数学 （适用地区：黑龙江、吉林、辽宁、内蒙古、新疆、西藏、宁夏、甘肃、青海） 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.经过点，且与直线平行的直线方程为(    ) A. B. C. D. 2.在某项测量中，测量结果服从正态分布，则(    ) A. B. C. D. 3.统计学中，常用的显著性水平以及对应的分位数如下表所示． 在检验与是否有关的过程中，根据已知数据计算得，则(    ) A. 在犯错误的概率不超过的前提下，可以认为与有关 B. 在犯错误的概率不超过的前提下，可以认为与有关 C. 有的把握认为与有关 D. 有的把握认为与有关 4.在正方体中，，分别为棱，的中点，则异面直线与所成角的余弦值为(    ) A. B. C. D. 5.已知数列满足，且，则(    ) A. B. C. D. 6.已知点到直线的距离与到轴的距离相等，则(    ) A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 7.某公司生产的糖果每包的标识质量是克，但公司承认实际质量存在误差已知每包糖果的实际质量服从正态分布，且任意一包的糖果质量介于克到克之间的可能性为，则随意买一包该公司生产的糖果，其质量超过克的可能性约为(    ) A. B. C. D. 8.已知两点，，直线过点且与线段有交点，则直线的倾斜角的取值范围为(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.在空间直角坐标系中，为坐标原点，若点，则下列叙述正确的有(    ) A. 点关于轴的对称点是 B. 点关于平面的对称点是 C. 点关于轴的对称点是 D. 点关于原点的对称点是 10.随机变量服从参数为，的二项分布，即，其概率分布可用下图直观地表示，则(    ) A. B. C. D. 11.已知数列的前项和为，则下列说法正确的是(    ) A. 若，则是等差数列 B. 若是等差数列，且，，则数列的前项和有最大值 C. 若等差数列的前项和为，前项中，偶数项的和与奇数项的和之比为：，则公差为 D. 若是等差数列，则三点、、共线 12.在正三棱柱中，，则(    ) A. 直线与所成的角为 B. 直线与所成的角为 C. 与平面所成角的正弦值为 D. 与侧面所成角的正弦值为 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13.抛物线的准线方程为          ． 14.若，则        ． 15.方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是        ． 16.已知书架的第一层随机摆放了本语文书，本不同的数学书，本不同的英语书现从中抽取本书，则在已经确定第一本抽取的是语文书的条件下，第二本抽取的是数学书的概率为      ． 四、解答题：本题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分 某机构为了调查平衡力的好坏与心脏病风险是否有关联无法单脚站立秒者，被认为平衡力差，反之，被认为平衡力好，随机邀请了名平衡力好和名平衡力差的人作为研究对象，在跟踪了这人在年内的健康情况后，统计数据，得到受试者中患心脏病的频率为，平衡力差的人中患心脏病的频率是平衡力好的人中患心脏病的频率的倍． 根据题中信息，完成下面列联表； 单位：人 平衡力 心脏病 合计 未患心脏病 患心脏病 平衡力好 平衡力差 合计 根据小概率值的独立性检验，能否推断平衡力的好坏与心脏病风险有关联？ 附：，． 18.本小题分 袋中有除颜色外均相同的个红球，个黑球，若从中任取个． 求恰有个红球的概率； 设个球中，黑球的个数为，求的分布列及数学期望； 当个球均为一种颜色时，求这种颜色为黑色的概率． 19.本小题分 已知数列中，，，． 求数列的通项公式； 设，求数列的前项和． 20.本小题分 如图，在三棱柱中，，，点为棱的中点，平面平面，且． 求证：平面； 若，求二面角的正弦值． 21.本小题分 已知三角形的顶点坐标为、、，是边上的中点． 求边所在的直线方程； 求中线的长； 求边的高所在直线方程． 答案和解析 1.【答案】  【解析】解：设所求直线方程为， 因为点在直线上， 所以，解得， 所以经过点，且与直线平行的直线方程为． 故选：． 2.【答案】  【解析】解：由服从正态分布， 可得曲线关于对称， 故． 故选：． 3.【答案】  【解析】解：因为，所以， 则有的把握认为与有关， 即在犯错误的概率不超过的前提下，认为与有关． 故选：． 4.【答案】  【解析】解：设的中心为，的中心为，连接，， 易证，， 或其补角为异面直线与所成的角， 设正方体的棱长为， 则在中，，， ． 异面直线与所成角的余弦值为． 故选：． 设的中心为，的中心为，连接，，可得或其补角为异面直线与所成的角，求解即可． 本题考查异面直线所成角的计算，属基础题． 5.【答案】  【解析】解：，则， ，，，， 以上各式相加可得，， ． 故选：． 6.【答案】  【解析】解：根据题意，点到轴的距离为， 所以点到直线的距离，解得或． 故选：． 7.【答案】  【解析】解：由每包糖果的实际质量服从正态分布， 可得． 故选：． 8.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了斜率计算公式、斜率与倾斜角的关系，属于一般题． 直线与线段有公共点且过点，直线的倾斜角介于直线与直线的倾斜角之间，利用斜率计算公式即可得出． 【解答】 解：直线与线段有公共点且过点 直线的倾斜角介于直线与直线的倾斜角之间 ， 直线的斜率的取值范围是 直线的倾斜角的取值范围为， 故选：． 9.【答案】  【解析】解：由空间直角坐标系对称性知： 点关于轴的对称点是，故A正确； 点关于平面的对称点是，故B正确； 点关于轴的对称点是，故C错误； 点关于原点的对称点是，故D正确． 故选：． 利用空间直角坐标系对称性求解． 本题考查空间直角坐标系对称性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 10.【答案】  【解析】解：对于，由概率分布直观图可知，可以取，，，，，所以，故A错误； 对于，由概率分布直观图可知，， 解得，故B正确； 对于，由可知，， 所以，所以，故C错误； 对于，由可知，， 所以，故D正确． 故选：． 根据二项分布的定义，概率及方差公式计算判断各个选项． 本题主要考查了二项分布的概率公式和方差公式，属于基础题． 11.【答案】  【解析】解：项，时，，时，， 当时，，所以，不是等差数列；所以不正确； 项，由已知可得，，又，所以，，所以，有最大值；所以B正确； 项，由已知可得，偶数项和为，奇数项和为，两者作差为，所以；所以C正确； 项，设三点分别为，，，，则，，． 则，，，所以三点共线．所以D正确； 故选：． 根据等差数列及等差数列前项和的性质，逐项分析判断． 本题考查数列的简单应用，是中档题． 12.【答案】  【解析】解：对于，依题意，取的中点，的中点，连接，，如图： 易得，又面，所以面， 又，面，所以，， 又是正三角形，是的中点，故EB，则，，两两垂直， 故以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图， 设，则， 则， 故， 则， 又，所以直线与所成的角为，故A正确； 对于，又， 则， 又，则直线与所成的角不为，故B错误； 对于，易得平面的一个法向量为， 所以与平面所成角的正弦值为： ，，故C正确； 对于，取的中点，连接， 因为面，面，所以， 又是正三角形，是的中点，故C， 因为，，面，所以面， 易得的坐标为， 所以侧面的一个法向量为， 所以与侧面所成角的正弦值为： ，，故D正确． 故选：． 依题意建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角余弦的坐标表示，对各选项逐一分析判断即可得解． 本题考查立体几何的综合应用，属中档题． 13.【答案】  【解析】【分析】 本题考查抛物线的焦点、准线．属于基础题． 先把抛物线方程整理成标准方程，进而求得，再根据抛物线性质得出准线方程． 【解答】 解：整理抛物线方程得，， 抛物线方程开口向上， 准线方程是． 故答案为：． 14.【答案】  【解析】解：由题意得 ． 故答案为：． 根据二项式定理，求得，然后根据组合数的性质化简，求得，运用组合数公式求得本题答案． 本题主要考查二项式定理、组合数的性质等知识，考查了等价转化的数学思想，属于中档题． 15.【答案】  【解析】解：因为方程表示焦点在轴上的椭圆， 所以，得． 故答案为：． 根据椭圆标准方程的结构特征，结合焦点在轴上可得的范围． 本题考查椭圆的性质的应用，属于基础题． 16.【答案】  【解析】解：在已经确定第一本抽取的是语文书的条件下，抽取第二本书有个不同结果，第二本抽取的是数学书有个结果， 所以所求概率为． 故答案为：． 根据给定条件，利用缩小空间的方法求出条件概率． 本题主要考查了条件概率的定义，属于基础题． 17.【答案】认为平衡力的好坏与心脏病风险有关联．  【解析】由题意可知，受试者中患心脏病的人数为人， 设平衡力差的人中患心脏病的人数为人， 因为平衡力差的人中患心脏病的频率是平衡力好的人中患心脏病的频率的倍， 所以， 解得， 补全列联表如下： 平衡力 心脏病 合计 未患心脏病 患心脏病 平衡力好 平衡力差 合计 零假设：平衡力的好坏与心脏病风险没有关联， ， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为平衡力的好坏与心脏病风险有关联． 由题意计算填写可得； 由卡方的计算可得． 本题主要考查了独立性检验的应用，属于基础题． 18.【答案】  的分布列为：    【解析】解从袋中有除颜色外均相同的个红球，个黑球，任取个， 设从袋中任取个球恰有个红球为事件， 则； 的可能取值为，，，， ， ， 的分布列为： ． 设从袋中任取个球为一种颜色为事件，则， 设从袋中任取个球都为黑色为事件，则， 则所求概率． 由古典概型结合组合数计算即可求解； 依题意求出随机变量的所有可能取值并求出每个取值相应的概率即可求分布列，再由数学期望公式即可计算求解数学期望； 先求出从袋中任取个球为一种颜色的事件的概率、从袋中任取个球都为黑色的事件的概率，再由条件概率定义即可计算求解． 本题考查离散型随机变量的分布列以及数学期望相关知识，属于中档题． 19.【答案】解：因为，， 所以， 当时，满足上式， 所以； 因为， 所以， 所以．  【解析】利用累乘法即可得解； 利用裂项相消法即可得解． 本题考查数列的递推式和数列的裂项相消求和，考查转化思想和运算能力，属于中档题． 20.【答案】解：证明：，， 为正三角形， 又为中点，， 又平面平面，平面平面， 平面， 平面； 由，，为中点，可得，又平面， 故以为坐标原点，以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系， 不妨设，由题意知：，，，， ，由，可得， 则，，设平面的法向量为， 则由，可得， 取，可得平面的一个法向量， 又，，设平面的法向量为， 则由，可得， 取，可得平面的一个法向量， 设二面角的平面角为， 则， 所以二面角的正弦值．  【解析】根据面面垂直的性质，只需证即可； 建立空间直角坐标系，求出两平面的法向量，代入夹角公式可求得二面角的余弦，进而求出正弦值． 本题考查线面垂直的判定，面面垂直的性质，二面角的求法，属中档题． 21.【答案】解：由题意可得直线的斜率， 故直线的方程为：， 化为一般式可得：． 由中点坐标公式可得的中点， 故A． 由可知的斜率为，故AB边上的高所在直线斜率为， 故方程为， 化为一般式可得．  【解析】本题考查直线的一般式方程，涉及两点间的距离公式，属基础题． 由题意可得直线的斜率，可得点斜式方程，化为一般式可得； 由中点坐标公式可得的中点，代入距离公式可得； 由可知的斜率为，故AB边上的高所在直线斜率为，可得点斜式方程，化为一般式可得． 第2页，共2页 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $