6.2 三角形的中位线 强化训练2025-2026学年北师大版数学八年级下册

北师大版（2024）八年级下册 6.2 三角形的中位线 强化训练 【题型1】用三角形的中位线求边长 【典例】如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，BC=6，AE平分∠BAD，DF平分∠ADC，且AE，DF相交于点O，若点P为线段EF的中点，连接OP，则线段OP的长为（　　） A. B.2 C. D.1 【强化训练1】如图，在四边形ABCD中，AB=2，CD=9，由尺规作图可以确定BC边上一点E，取AD的中点F，连接EF，则EF的长可能是（　　） A.2 B.3 C.5 D.7 【强化训练2】如图，在△ABC中，AB＝5，BC＝6，AC＝7，点D，E，F分别是△ABC三边的中点，则△DEF的周长为(　　) A.9 B.10 C.11 D.12 【强化训练3】如图，在△A1B1C1中，A1B1＝4，A1C1＝5，B1C1＝7.点A2，B2，C2分别是边B1C1，A1C1，A1B1的中点；点A3，B3，C3分别是边B2C2，A2C2，A2B2的中点；…；以此类推，则△A4B4C4的周长是________，△AnBnCn的周长是________． 【强化训练4】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，若CD＝6 cm，则EF＝________ cm. 【强化训练5】如图所示．在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线BE，CF相交于点O，AG⊥BE于点G，AH⊥CF于点H. (1)求证：GH∥BC； (2)若AB＝9厘米，AC＝14厘米，BC＝18厘米，求GH. 【题型2】用三角形的中位线求角度 【典例】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D，E分别是边AC，BC的中点，F是DE的中点，连接CF，若∠B=36°，则∠DCF的度数为（　　） A.36° B.40° C.48° D.54° 【强化训练1】如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，E，F，G分别是AB，CD，AC的中点，若∠DAC＝20°，∠ACB＝66°，则∠FEG的度数为(　　) A.47° B.46° C.41° D.23° 【强化训练2】如图，BD是等腰△ABC底边AC上的中线，ED∥AB，∠C=65°，则∠BDE的度数是（　　） A.24° B.25° C.30° D.35° 【强化训练3】在等腰△ABC中，AC为腰，O为BC中点，OD∥AC交AB于点D，∠C=30°，则∠ADO的度数是                . 【强化训练4】如图1，小明和小聪玩跷跷板游戏，图2是跷跷板的示意图，O是横板AB的中点，横板AB绕点O转动，立柱OH与地面EF垂直，且OH=60 cm. （1）当小明从水平位置AB下降的高度KD为40 cm时，记小聪升高的高度为CG，求此时小聪离地面EF的高度CE； （2）如图3，当一端落地时，另一端上升到最高点．当A端落地时，∠AOH=70°，求横板AB上下可转动的最大角度（即求∠AOM的度数）． 【强化训练5】如图，在四边形ABCD中，已知AB＝CD，点E，F分别为AD，BC的中点，延长BA，CD，分别交射线FE于P，Q两点．求证：∠P＝∠CQF. 【题型3】三角形的中位线与证明 【典例】现有一四边形ABCD，借助此四边形作平行四边形EFGH，两位同学提供了如下方案，对于方案Ⅰ、Ⅱ，下列说法正确的是（　　） A.Ⅰ可行、Ⅱ不可行 B.Ⅰ不可行、Ⅱ可行 C.Ⅰ，Ⅱ都可行 D.Ⅰ，Ⅱ都不可行 【强化训练1】数学课上，大家一起研究三角形中位线定理的证明．嘉嘉和淇淇各自尝试作了一种辅助线，如图1和图2．其中辅助线作法能够用来证明三角形中位线定理的是（　　） A.嘉嘉的不可以，淇淇的辅助线作法可以 B.嘉嘉的辅助线作法可以，淇淇的不可以 C.嘉嘉和淇淇的辅助线作法都不可以 D.嘉嘉和淇淇的辅助线作法都可以 【强化训练2】如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC=120°，AB=2BC，DE平分∠ADC，对角线AC，BD相交于点O，连接OE，下列结论中正确的有（　　） ①∠BDC=30°； ②AD=2OE； ③DE=BC； ④OD=AD； ⑤S平行四边形ABCD=AD•BD． A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 【强化训练3】如图，①是一个三角形，分别连接这个三角形三边中点得到图②，再连接图②中间小三角形三边的中点得到图③，按这样的方法进行下去，第n个图形中共有三角形的个数为__________． 【强化训练4】如图，将一张等边三角形纸片沿中位线剪成4个小三角形，称为第一次操作；然后，将其中的一个三角形按同样方式再剪成4个小三角形，共得到7个小三角形，称为第二次操作；再将其中一个三角形按同样方式再剪成4个小三角形，共得到10个小三角形，称为第三次操作；…根据以上操作，第n次操作后，三角形共有________个，若要得到100个小三角形，则需要操作的次数是________． 【强化训练5】点O在△ABC的内部，点D，E，F，G分别是AB，OB，OC，AC的中点． (1)如图1，求证：四边形DEFG是平行四边形； (2)如图2，射线AO交BC边于点H，连接DH，GH，若AB＝AC，DE⊥EF，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中所有的等腰三角形(不包含以∠BAC为内角的三角形)． 学科网（北京）股份有限公司 $ 北师大版（2024）八年级下册 6.2 三角形的中位线 强化训练（参考答案） 【题型1】用三角形的中位线求边长 【典例】如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，BC=6，AE平分∠BAD，DF平分∠ADC，且AE，DF相交于点O，若点P为线段EF的中点，连接OP，则线段OP的长为（　　） A. B.2 C. D.1 【答案】D 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，CD =AB =4，AB∥CD， ∴∠DAE=∠AEB， ∵AE平分∠BAD， ∴∠DAE=∠EAB， ∴∠AEB=∠EAB， ∴BE = AB =4， 同理可得，CF = CD =4， ∴EF=BE+CF-BC=4+4-6=2， ∵AB∥CD， ∴∠DAB+∠ADC=180°， ∵AE平分∠BAD，DF平分∠ADC， ∴∠DAO+∠ADO=90°， ∴△FOE是直角三角形， ∵OP是Rt△FOE的斜边EF的中线， ∴OP=EF=1. 故选：D． 【强化训练1】如图，在四边形ABCD中，AB=2，CD=9，由尺规作图可以确定BC边上一点E，取AD的中点F，连接EF，则EF的长可能是（　　） A.2 B.3 C.5 D.7 【答案】C 【解析】如图，连接BD，取BD的中点M，连接EM，FM， 由题意可知，点E是BC的中点， ∵点F是AD的中点， ∴FM是△ABD的中位线，EM是△BCD的中位线， ∴FM=AB=1，EM=CD=， ∵EM-FM＜EF＜EM+FM， ∴-1＜EF＜+1， 即＜EF＜， ∴EF的长可能是5. 故选：C． 【强化训练2】如图，在△ABC中，AB＝5，BC＝6，AC＝7，点D，E，F分别是△ABC三边的中点，则△DEF的周长为(　　) A.9 B.10 C.11 D.12 【答案】A 【解析】∵D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，∴DE，FE，DF为△ABC的中位线，∴DF＝BC，FE＝AB，DE＝AC，∴DF＋FE＋DE＝BC＋AB＋AC＝(BC＋AB＋AC)＝×(6＋5＋7)＝9. 故选A. 【强化训练3】如图，在△A1B1C1中，A1B1＝4，A1C1＝5，B1C1＝7.点A2，B2，C2分别是边B1C1，A1C1，A1B1的中点；点A3，B3，C3分别是边B2C2，A2C2，A2B2的中点；…；以此类推，则△A4B4C4的周长是________，△AnBnCn的周长是________． 【答案】2； 【解析】∵△A1B1C1中，A1B1＝4，A1C1＝5，B1C1＝7， ∴△A1B1C1的周长是16， ∵A2，B2，C2分别是边B1C1，A1C1，A1B1的中点， ∴B2C2，A2C2，A2B2分别等于B1C1，A1C1，A1B1的，…， 以此类推，则△A4B4C4的周长是()3×16＝2； ∴△AnBnCn的周长是()n-1×16=. 【强化训练4】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，若CD＝6 cm，则EF＝________ cm. 【答案】6 【解析】∵∠ACB＝90°，D为AB的中点， ∴AB＝2CD， ∵CD＝6 cm， ∴AB＝12 cm， ∵E，F分别是BC，CA的中点， ∴EF＝AB＝6 cm. 【强化训练5】如图所示．在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线BE，CF相交于点O，AG⊥BE于点G，AH⊥CF于点H. (1)求证：GH∥BC； (2)若AB＝9厘米，AC＝14厘米，BC＝18厘米，求GH. 【答案】(1)证明：分别延长AG，AH交BC于点M，N， ∵在△ABM中，BG平分∠ABM，BG⊥AM， ∴△ABG≌△MBG(ASA)． ∴G是AM的中点．同理可证△ACH≌△NCH(ASA)， ∴H是AN的中点． ∴GH是△AMN的中位线， ∴HG∥MN，即HG∥BC. (2)解：由(1)知，△ABG≌△MBG及△ACH≌△NCH， ∴AB＝BM＝9厘米，AC＝CN＝14厘米．又∵BC＝18厘米， ∴BN＝BC－CN＝18－14＝4(厘米)，MC＝BC－BM＝18－9＝9(厘米)． ∴MN＝18－4－9＝5(厘米)， ∴GH＝MN＝厘米. 【题型2】用三角形的中位线求角度 【典例】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D，E分别是边AC，BC的中点，F是DE的中点，连接CF，若∠B=36°，则∠DCF的度数为（　　） A.36° B.40° C.48° D.54° 【答案】D 【解析】∵D，E分别是边AC，BC的中点， ∴DE∥AB， ∴∠CED=∠B=36°， ∵∠ACB=90°，F是DE的中点， ∴DF=CF=EF， ∴∠FCE=∠FEC=36°， ∴∠DCF=90°-∠FCE=54°. 故选：D． 【强化训练1】如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，E，F，G分别是AB，CD，AC的中点，若∠DAC＝20°，∠ACB＝66°，则∠FEG的度数为(　　) A.47° B.46° C.41° D.23° 【答案】D 【解析】∵E，F，G分别是AB，CD，AC的中点，∴GF是△ACD的中位线，GE是△ACB的中位线，又∵AD＝BC，∴GF＝GE，∠FGC＝∠DAC＝20°，∠AGE＝∠ACB＝66°，∴∠FGE＝∠FGC＋∠EGC＝20°＋(180°－66°)＝134°，∴∠FEG＝(180°－∠FGE)＝23°. 故选D. 【强化训练2】如图，BD是等腰△ABC底边AC上的中线，ED∥AB，∠C=65°，则∠BDE的度数是（　　） A.24° B.25° C.30° D.35° 【答案】B 【解析】∵BA=BC，BD是△ABC底边AC上的中线， ∴∠A=∠C=65°，BD⊥AC， ∴∠ABD=90°-65°=25°， ∵ED∥AB， ∴∠BDE=∠ABD=25°. 故选：B． 【强化训练3】在等腰△ABC中，AC为腰，O为BC中点，OD∥AC交AB于点D，∠C=30°，则∠ADO的度数是                . 【答案】60°或105° 【解析】如图，当AB=AC时， ∵O为BC的中点， ∴AO⊥BC， ∵OD∥AC，∠C=30°， ∴∠DOB=∠C=∠B =30°， ∴∠ADO=∠B+∠DOB=60°； 如图，当AC=BC时， ∵O是BC的中点，OD∥AC， ∴D为AB的中点，∠DOB=∠C=30°， ∵∠B=∠CAB=×（180°-∠C）=×（180°-30°）=75°， ∴∠ADO=∠B+∠DOB=75°+30°=105°. 【强化训练4】如图1，小明和小聪玩跷跷板游戏，图2是跷跷板的示意图，O是横板AB的中点，横板AB绕点O转动，立柱OH与地面EF垂直，且OH=60 cm. （1）当小明从水平位置AB下降的高度KD为40 cm时，记小聪升高的高度为CG，求此时小聪离地面EF的高度CE； （2）如图3，当一端落地时，另一端上升到最高点．当A端落地时，∠AOH=70°，求横板AB上下可转动的最大角度（即求∠AOM的度数）． 【答案】解：（1）∵O为CD，GK的中点， ∴OC=OD，OG=OK， ∵∠COG=∠DOK， ∴△COG≌△DOK（SAS）， ∴CG=DK=40 cm, ∵GE=OH=60 cm, ∴CE=CG+GE=40+60=100（cm）， ∴此时小聪离地面EF的高度CE为100 cm. （2）∵OH⊥AN， ∴∠OHN=∠OHA=90°， ∵H为AN的中点， ∴HA=HN， ∵OH=OH， ∴△OHA≌△OHN（SAS）， ∴∠AOH=∠NON=70°， ∵∠AOM+∠AOH+∠NOH=180°， ∴∠AOM=180°-70°-70°=40°． 【强化训练5】如图，在四边形ABCD中，已知AB＝CD，点E，F分别为AD，BC的中点，延长BA，CD，分别交射线FE于P，Q两点．求证：∠P＝∠CQF. 【答案】证明：如图，连接BD，作BD的中点M，连接EM，FM. ∵点E是AD的中点， ∴在△ABD中，EM∥AB，EM＝AB， ∴∠MEF＝∠P， 同理可证，FM∥CD，FM＝CD. ∴∠MFQ＝∠CQF， 又∵AB＝CD， ∴EM＝FM， ∴∠MEF＝∠MFE， ∴∠P＝∠CQF. 【题型3】三角形的中位线与证明 【典例】现有一四边形ABCD，借助此四边形作平行四边形EFGH，两位同学提供了如下方案，对于方案Ⅰ、Ⅱ，下列说法正确的是（　　） A.Ⅰ可行、Ⅱ不可行 B.Ⅰ不可行、Ⅱ可行 C.Ⅰ，Ⅱ都可行 D.Ⅰ，Ⅱ都不可行 【答案】C 【解析】方案Ⅰ：如图，连接BD， ∵l1，l2，l3，l4是边AB，BC，CD，AD的垂直平分线， ∴GF和EH分别是△BDC和△BDA的中位线， ∴GF∥BD，GF=BD，EH∥BD，EH=BD， ∴GF=EH，GF∥EH， ∴四边形EFGH是平行四边形； 方案Ⅱ：∵GH∥AC∥EF，EH∥BD∥FG， ∴GH∥EF，EH∥FG， ∴四边形EFGH是平行四边形． 故选：C． 【强化训练1】数学课上，大家一起研究三角形中位线定理的证明．嘉嘉和淇淇各自尝试作了一种辅助线，如图1和图2．其中辅助线作法能够用来证明三角形中位线定理的是（　　） A.嘉嘉的不可以，淇淇的辅助线作法可以 B.嘉嘉的辅助线作法可以，淇淇的不可以 C.嘉嘉和淇淇的辅助线作法都不可以 D.嘉嘉和淇淇的辅助线作法都可以 【答案】D 【解析】嘉嘉的作法：∵AE=EC，DE=EF， ∴四边形ADCF是平行四边形， ∴AD=CF，AD∥CF， ∵AD=BD， ∴BD=CF，BD∥CF， ∴四边形DBCF是平行四边形， ∴DF∥BC，DF=BC， ∴DE∥BC，DE=DF=BC； 淇淇的作法：∵AF∥BC， ∴∠EAF=∠C，∠F=∠CGE， 在△AEF和△CEG中， ∴△AEF≌△CEG（AAS）， ∴AF=CG，EF=EG， ∵AF∥BG，AB∥FG， ∴四边形ABGF是平行四边形， ∴AB=FG， ∵BD=AB，GE=FG， ∴BD=EG，AF=BG， ∵BD∥EG， ∴四边形DBGE是平行四边形， ∴DE∥BG，DE=BG=AF=CG， ∴DE∥BC，DE=BC， ∴嘉嘉和淇淇的辅助线作法都可以. 故选：D． 【强化训练2】如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC=120°，AB=2BC，DE平分∠ADC，对角线AC，BD相交于点O，连接OE，下列结论中正确的有（　　） ①∠BDC=30°； ②AD=2OE； ③DE=BC； ④OD=AD； ⑤S平行四边形ABCD=AD•BD． A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 【答案】C 【解析】∵在平行四边形ABCD中，∠ABC=120°， ∴∠DAB=∠BCD=180°-120°=60°， AB=CD，∠ADC=∠ABC=120°，BO=OD， ∵DE平分∠ADC， ∴∠ADE=∠EDC=60°， ∴∠AED=180°-∠DAB-∠ADE=60°=∠DAB=∠ADE， ∴△ADE是等边三角形， ∴AD=AE=DE， ∵AB=2BC， ∴AB=2AD=2AE， ∴E是AB的中点， ∴AE=BE， ∵DE=AE， ∴DE=BE， ∴∠EDB=∠EBD=∠AED=30°， ∴∠ADB=∠ADE+∠EDB=90°， ∴∠BDC=30°，S平行四边形ABCD=AD•BD， 故①，⑤正确； ∵AE=BE，BO=OD， ∴OE=AD， 即AD=2OE， 故②正确； ∵AD=AE=DE，AD=BC， ∴DE=BC， 故③正确； ∵OD=BD，AD=AB，BD≠AB， ∴OD≠AD， 故④错误， 正确的有4个. 故选：C． 【强化训练3】如图，①是一个三角形，分别连接这个三角形三边中点得到图②，再连接图②中间小三角形三边的中点得到图③，按这样的方法进行下去，第n个图形中共有三角形的个数为__________． 【答案】4n－3 【解析】第①是1个三角形，1＝4×1－3； 第②是5个三角形，5＝4×2－3； 第③是9个三角形，9＝4×3－3； ∴第n个图形中共有三角形的个数是4n－3. 【强化训练4】如图，将一张等边三角形纸片沿中位线剪成4个小三角形，称为第一次操作；然后，将其中的一个三角形按同样方式再剪成4个小三角形，共得到7个小三角形，称为第二次操作；再将其中一个三角形按同样方式再剪成4个小三角形，共得到10个小三角形，称为第三次操作；…根据以上操作，第n次操作后，三角形共有________个，若要得到100个小三角形，则需要操作的次数是________． 【答案】（3n＋1）；33 【解析】∵第一次操作后，三角形共有4个；第二次操作后，三角形共有4＋3＝7（个）；第三次操作后，三角形共有4＋3＋3＝10（个）；…∴第n次操作后，三角形共有4＋3(n－1)＝(3n＋1)个，当3n＋1＝100时，解得n＝33. 【强化训练5】点O在△ABC的内部，点D，E，F，G分别是AB，OB，OC，AC的中点． (1)如图1，求证：四边形DEFG是平行四边形； (2)如图2，射线AO交BC边于点H，连接DH，GH，若AB＝AC，DE⊥EF，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中所有的等腰三角形(不包含以∠BAC为内角的三角形)． 【答案】(1)证明：∵D，G是△ABC中边AB，AC的中点， ∴DG∥BC，DG＝BC， ∵E，F是△OBC中边OB，OC的中点， ∴EF∥BC，EF＝BC， ∴DG∥EF，EF＝DG， ∴四边形DEFG是平行四边形． (2)解：∵BD＝DA，BE＝EO，∴DE∥AO， ∵EF∥BC，DE⊥EF， ∴DE⊥BC，∴AH⊥BC， ∵AB＝AC， ∴BH＝HC， ∴OB＝OC，OE＝OF， ∴△OBC，△OEF是等腰三角形， ∵DH是Rt△ABH斜边中线， ∴DH＝BD＝AD， ∴△BDH，△DHA是等腰三角形， 同理△HGC，△HGA都是等腰三角形． 综上所述，等腰三角形有△OBC，△OEF，△HGC，△HGA，△BDH，△DHA. 学科网（北京）股份有限公司 $