专题10 长方体和正方体的体积计算（易错专项训练）数学北师大版五年级下册

@学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 专题10长方体和正方体的体积计算 1.计算下面各图形的表面积和体积。（单位：m) (1) (2) 3 90 60 40 2.分别求出下图所示图形的表面积和体积。（单位：厘米） (1) (2) 10 8 3.求出下面图形的体积。（单位：cm) 4 4.求出下面图形的体积。（单位：cm) 1/7 @学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 5.计算下面图形的体积。 S=9 cm2 6.计算下面图形的体积。 每个小正方 体的棱长均 为1cm 7.计算下面图形的体积。 6 m 6 m 18m 8.如下图，在一个长方体的顶点处切掉一个棱长1厘米的小正方体，求剩下立体图形的表面 积和体积。（单位：厘米) 6 8 2/7 @学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 9.如下图，从一个长方体上挖去一个棱长4厘米的正方体，求剩余部分的体积。 6cm 5cm 8cm 10.计算下面图形的表面积和体积。 6cm 6cm 6cm 3cm 24cm 11.仔细观察，正确计算。（单位：cm) 5 22 组合体体积： 组合体表面积： 3 3 5 12.下图是一个长方体的展开图，请根据图中信息，求出这个长方体的体积。 3/7 @学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 6厘米 8厘米 22厘米 13.计算下面立体图形的表面积和体积。（单位：cm) 4 10 12 14.计算下面立体图形的表面积和体积。（从棱长5cm的正方体中挖出一个棱长为3cm的正方 体) 3cm 5cm 15.计算下面图形的表面积和体积。（单位：dm) 4/7 @学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 2 n 5, 5 16.计算下面长方体的表面积与正方体的体积。 5dm 15cm 2cm 5dm 5dm 17.计算下面立体图形的表面积和体积。 (单位：分米) 8 18.求下图的体积。 N 9cm 9cm 5/7 @学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 19.计算下列图形的表面积和体积。（单位：cm) 4 4 5 12 15 20.计算下面图形的体积和表面积。（单位：厘米） 10 10 10 21.计算下面图形的表面积和体积。 米 5厘米 15厘米 6厘米 22.计算下面图形的表面积和体积。 6/7 @学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 8 cm n 4 cm cm 12cm 23.计算下图表面积和体积。 2cm 2cm 2cm 5cm 4cm 10cm 7/7 专题10 长方体和正方体的体积计算 1．计算下面各图形的表面积和体积。（单位：m） （1）    （2） 【答案】（1）22800m2；216000m3；（2）162m2；108m3 【分析】（1）长方体的表面积＝2×（长×宽＋长×高＋宽×高），体积公式＝长×宽×高，代入计算即可。 （2）该组合体可看作两个长方体拼接而成，左边长方体的长、宽、高为3m、3m、6m（3＋3＝6），右边长方体的长、宽、高为6m（9－3＝6）、3m、3m。 总表面积为两个长方体的表面积之和，再减去重叠部分的面积。重叠部分为2个3×3的正方形面积；总体积为左右两个长方体的体积之和。 【解答】（1）表面积：2×（60×40＋60×90＋40×90） ＝2×（2400＋5400＋3600） ＝2×（7800＋3600） ＝2×11400 ＝22800（m2） 体积：60×40×90 ＝2400×90 ＝216000（m3） （2）3＋3＝6（m） 9－3＝6（m） S左：2×（3×3＋3×6＋3×6） ＝2×（9＋18＋18） ＝2×（27＋18） ＝2×45 ＝90（m2） S右：2×（6×3＋6×3＋3×3） ＝2×（18＋18＋9） ＝2×（36＋9） ＝2×45 ＝90（m2） S总：90＋90－2×3×3 ＝180－18 ＝162（m2） V左：3×3×6 ＝9×6 ＝54（m3） V右：6×3×3 ＝18×3 ＝54（m3） V总：54＋54＝108（m3） 2．分别求出下图所示图形的表面积和体积。（单位：厘米） （1）                    （2） 【答案】（1）304平方厘米；320立方厘米 （2）384平方厘米；512立方厘米 【分析】根据正方体的表面积公式：，体积公式：，长方体表面积公式，长方体的体积公式， 把数据分别代入公式解答即可。 【解答】（1）（10×8＋4×10＋4×8）×2 ＝（80＋40＋32）×2 ＝152×2 ＝304（平方厘米） 10×8×4 ＝32×10 ＝320（立方厘米） （2）8×8×6 ＝64×6 ＝384（平方厘米） 8×8×8＝512（立方厘米） 3．求出下面图形的体积。（单位：cm） 【答案】109立方厘米 【分析】图形的体积等于棱长为5厘米的正方体体积减去长4厘米、宽2厘米、高2厘米的长方体的体积。根据正方体的体积公式和长方体的体积公式，分别计算正方体体积和长方体体积，再求差。 【解答】     （立方厘米） 该图形的体积是109立方厘米。 4．求出下面图形的体积。（单位：cm） 【答案】219cm3 【分析】由图可知，该图形由一个棱长是3cm的正方体和一个长是8cm、宽是8cm、高是3cm的长方体组成，故该图形的体积等于正方体的体积加长方体的体积；根据正方体的体积公式和长方体的体积公式，分别求出正方体和长方体的体积，最后相加，即可求出该图形的体积，据此解答。 【解答】正方体的体积：（cm3） 长方体的体积：（cm3） 该图形的体积：（cm3） 答：这个图形的体积是219cm3。 5．计算下面图形的体积。 【答案】 27立方厘米 【分析】已知正方体的底面积为，正方体的底面是正方形，那么可以求出正方形的边长，即为正方体的棱长，根据正方体体积公式：，代入数据进行求解即可。 【解答】，所以正方体的棱长为3cm。 （立方厘米） 正方体的体积为27立方厘米。 6．计算下面图形的体积。 【答案】5×3×3＝45（cm3） 【分析】把外面的小正方体通过平移和填补到长方体的空缺位置，正好构成一个长为5厘米，宽为3厘米，高为3厘米的长方体，根据长方体的体积＝长×宽×高，求出立体图形的体积，据此解答。 【解答】 （立方厘米） 所以立体图形的体积是45立方厘米。 7．计算下面图形的体积。 【答案】648m3 【分析】观察图形可知这是一个长方体，需根据长方体体积公式计算体积，长方体体积公式为V＝长×宽×高，长18m，宽6m，高6m，代入求解即可。 【解答】（） 图形的体积为648。 8．如下图，在一个长方体的顶点处切掉一个棱长1厘米的小正方体，求剩下立体图形的表面积和体积。（单位：厘米） 【答案】236平方厘米；239立方厘米 【分析】根据题意，在长方体的顶点处切掉一个小正方体，表面积减少了正方体的3个面，同时又露出了正方体的3个面，所以剩下立体图形的表面积和原来长方体的表面积一样大；根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，求出剩下立体图形的表面积。 从图中可知，剩下立体图形的体积＝长方体的体积－小正方体的体积，根据长方体的体积公式V＝abh，正方体的体积公式V＝a3，代入数据计算求出剩下立体图形的体积。 【解答】（8×5＋8×6＋5×6）×2 ＝（40＋48＋30）×2 ＝118×2 ＝236（平方厘米） 8×5×6－1×1×1 ＝240－1 ＝239（立方厘米） 即剩下立体图形的表面积是236平方厘米，体积是239立方厘米。 9．如下图，从一个长方体上挖去一个棱长4厘米的正方体，求剩余部分的体积。 【答案】176立方厘米 【分析】从图中可知，剩余部分的体积＝长方体的体积－正方体的体积，根据长方体的体积公式V＝abh，正方体的体积公式V＝a3，代入数据计算求解。 【解答】8×5×6－4×4×4 ＝240－64 ＝176（立方厘米） 剩余部分的体积是176立方厘米。 10．计算下面图形的表面积和体积。 【答案】表面积： 576 体积： 540 【分析】根据图可知，表面积可以看作上下两个长方体拼在一起，可将上面长方体上面的面补到下面长方体中上面缺的部分，再加上剩下四个面的面积。根据长方体的表面积公式：（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，先求出一个完整的长方体的表面积，再加上剩下四个面的面积即可；根据长方体的体积公式：长×宽×高；分别求出两个物体的体积再相加即可。 【解答】表面积：（24×3＋3×6＋6×24）×2＋（6×6＋3×6）×2 ＝（72＋18＋144）2＋（36＋18）2 ＝234×2＋542 ＝468＋108 ＝576（） 体积：24×3×6＋6×3×6 ＝432＋108 ＝540（） 11．仔细观察，正确计算。（单位：cm） 组合体体积：             组合体表面积： 【答案】117cm3；126cm2 【分析】（1）组合体的体积＝棱长为5cm的正方体的体积－棱长为2cm的正方体的体积，根据正方体的体积公式V＝a3，代入数据计算求解。 （2）从图中可知，3个棱长为3cm的正方体拼成一个长为（3×3）cm、宽为3cm、高为3cm的长方体，根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据计算求解。 【解答】（1）5×5×5－2×2×2 ＝125－8 ＝117（cm3） 组合体的体积是117cm3。 （2）长：3×3＝9（cm） （9×3＋9×3＋3×3）×2 ＝（27＋27＋9）×2 ＝63×2 ＝126（cm2） 组合体的表面积是126cm2。 12．下图是一个长方体的展开图，请根据图中信息，求出这个长方体的体积。 【答案】144立方厘米 【分析】观察图形可知，长方体的长是8厘米，宽是6厘米，高＝（22－8×2）÷2，根据长方体体积＝长×宽×高，代入数据，即可解答。 【解答】长：8厘米，宽：6厘米 高：（22－8×2）÷2 ＝（22－16）÷2 ＝6÷2 ＝3（厘米） 体积：8×6×3 ＝48×3 ＝144（立方厘米） 长方体体积是144立方厘米。 13．计算下面立体图形的表面积和体积。（单位：cm） 【答案】580cm2；776cm3 【分析】看图可知，长方体的棱上挖去一个正方体，减少了2个正方形的面，又出现了4个正方形的面，因此这个立体图形的表面积＝完整的长方体表面积＋正方形面积×2，长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2；这个立体图形的体积＝长方体体积－正方体体积，长方体体积＝长×宽×高，正方体体积＝棱长×棱长×棱长。 【解答】（12×10＋12×7＋10×7）×2＋4×4×2 ＝（120＋84＋70）×2＋32 ＝274×2＋32 ＝548＋32 ＝580（cm2） 12×10×7－4×4×4 ＝840－64 ＝776（cm3） 这个立体图形的表面积和体积分别是580cm2、776cm3。 14．计算下面立体图形的表面积和体积。（从棱长5cm的正方体中挖出一个棱长为3cm的正方体） 【答案】表面积：150cm2；体积：98cm3 【分析】从图中可知，大正方体的右上角挖去一个小正方体，露出3个面，这3个面可以向外平移，正好补齐缺口，所以这个立体图形的表面积＝大正方体的表面积，根据正方体的表面积公式S＝6a2，代入数据计算，求出立体图形的表面积。 立体图形的体积＝大正方体的体积－小正方体的体积，根据正方体的体积公式V＝a3，代入数据计算，求出立体图形的体积。 【解答】表面积： 5×5×6 ＝25×6 ＝150（cm2）     体积： 5×5×5－3×3×3 ＝125－27 ＝98（cm3） 立体图形的表面积是150cm2，体积是98cm3。 15．计算下面图形的表面积和体积。（单位：dm） 【答案】表面积为198，体积为149。 【分析】观察图形可知，下方是一个棱长为5dm的正方体，上方是一个长2dm、宽2dm、高为6dm的长方体，将长方体放在正方体的上面。先根据表面积的公式：长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，正方体表面积＝棱长×棱长×6可得，整个图形的表面积比两个图形的表面积之和减少了2个正方形的面积，那么用长方体和正方体的表面积之和，减去2个正方形的面积。再根据体积的公式：长方体的体积＝长×宽×高，正方体体积＝棱长×棱长×棱长可得，用长方体的体积加上正方体的体积即可求出整个图形的体积；据此计算即可。 【解答】正方体表面积：5×5×6 ＝25×6 ＝150（） 长方体表面积：（2×2＋2×6＋2×6）×2 ＝（4＋12＋12）×2 ＝（16＋12）×2 ＝28×2 ＝56（） 150＋56-2×2×2 ＝150＋56-4×2 ＝150＋56-8 ＝206-8 ＝198（） 正方体体积：5×5×5 ＝25×5 ＝125（） 长方体体积：2×2×6 ＝4×6 ＝24（） 125＋24＝149（） 答：该图形的表面积为198，体积为149。 16．计算下面长方体的表面积与正方体的体积。           【答案】94cm2；125dm3 【分析】根据长方体的表面积公式S＝2（ab＋ah＋bh），正方体的体积公式V＝a3，代入数据计算求解。 【解答】（1）长方体的表面积： （15×2＋15×1＋2×1）×2 ＝（30＋15＋2）×2 ＝47×2 ＝94（cm2） 长方体的表面积是94cm2。 （2）正方体的体积： 5×5×5 ＝25×5 ＝125（dm3） 正方体的体积是125dm3。 17．计算下面立体图形的表面积和体积。 【答案】152平方分米；88立方分米 【分析】由图可知：在大长方体的顶点处去掉一个小长方体，虽然体积减少了，但是表面积不变。根据长方体的表面积S＝（ab＋ah＋bh）×2，求出立体图形的表面积。长方体的体积V＝abh，用大长方体的体积减去小长方体的体积，求出立体图形的体积。 【解答】立体图形的表面积： ＝（48＋16＋12）×2 ＝（64＋12）×2 ＝76×2 ＝152（平方分米） 立体图形的体积： ＝48×2－4×2×1 ＝96－8 ＝88（立方分米） 图形的表面积是152平方分米，体积是88立方分米。 18．求下图的体积。 【答案】721cm3 【分析】观察图形可知，图形的体积＝大正方体的体积－小正方体的体积，根据正方体的体积公式V＝a3，代入数据计算求解。 【解答】9×9×9－2×2×2 ＝81×9－4×2 ＝729－8 ＝721（cm3） 图形的体积是721cm3。 19．计算下列图形的表面积和体积。（单位：cm）                    【答案】256 cm2；240 cm3；238 cm2；199 cm3；250 cm2；171 cm3 【分析】根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，长方体的体积＝长×宽×高，正方体的表面积＝棱长×棱长×6，正方体的体积＝棱长×棱长×棱长；图1代入公式即可求解；图2体积等于正方体和长方体的体积之和，表面积等于正方体和长方体的表面积之和减去重叠部分的两个正方形的面积；图3体积等于两个长方体的体积之和，表面积等于两个长方体的表面积之和减去重叠部分的两个长方形的面积；据此解答即可。 【解答】图1： 表面积：（12×5＋12×4＋5×4）×2 ＝（60＋48＋20）×2 ＝（108＋20）×2 ＝128×2 ＝256（cm2） 体积：12×5×4 ＝60×4 ＝240（cm3） 图2： 表面积：4×4×6＋（9×5＋9×3＋5×3）×2－4×4×2 ＝16×6＋（45＋27＋15）×2－16×2 ＝96＋（72＋15）×2－32 ＝96＋87×2－32 ＝96＋174－32 ＝270－32 ＝238（cm2） 体积：4×4×4＋9×5×3 ＝16×4＋45×3 ＝64＋135 ＝199（cm3） 图3： 表面积：（7×3＋7×1＋3×1）×2＋（15×5＋15×2＋5×2）×2－7×3×2 ＝（21＋7＋3）×2＋（75＋30＋10）×2－21×2 ＝（28＋3）×2＋（105＋10）×2－42 ＝31×2＋115×2－42 ＝62＋230－42 ＝292－42 ＝250（cm2） 体积：7×3×1＋15×5×2 ＝21×1＋75×2 ＝21＋150 ＝171（cm3） 20．计算下面图形的体积和表面积。（单位：厘米） 【答案】体积为875立方厘米；表面积为700平方厘米。 【分析】题干中图形是由一个棱长10厘米的正方体挖去一个棱长为5厘米的正方体得到，根据正方体体积＝棱长×棱长×棱长，图形体积＝大正方体体积−小正方体积可得出体积。 表面积增加了小正方体4个侧面的面积，根据边长×边长×4得出表面积。 【解答】图形体积为： （立方厘米） 图形表面积为： （平方厘米） 21．计算下面图形的表面积和体积。 【答案】表面积436平方厘米；体积480立方厘米 【分析】根据题干，就是求长宽高分别为15厘米、6厘米、（8－4）厘米的长方体和长宽高分别为5厘米、6厘米、4厘米的长方体的组合图形的表面积和体积。 ①计算表面积时，可以利用长方体的表面积公式S＝（ab×ah×bh）×2求出它们的表面积之和，要注意去掉两个长方体接触的面积，即减去小长方体上下两个的面； ②这个组合图形的体积就是两个长方体的体积之和。长方体的体积＝长×宽×高，据此解答。 【解答】表面积： 15×6×2＋6×（8－4）×2＋15×（8－4）×2＋4×5×2＋4×6×2 ＝180＋6×4×2＋15×4×2＋4×5×2＋4×6×2 ＝180＋48＋120＋40＋48 ＝436（平方厘米） 体积： 15×6×（8－4）＋5×6×4 ＝15×6×4＋5×6×4 ＝360＋120 ＝480（立方厘米） 22．计算下面图形的表面积和体积。 【答案】508平方厘米；700立方厘米 【分析】由图可知：将切去部分的底面平移到上面，切去部分的左面平移到右面，则立体图形的表面积＝未切前大长方体的表面积－切去部分前后面面积和；立体图形的体积＝未切前的体积－切去部分体积；根据长方形面积公式：S＝ab，长方体表面积公式：S＝（ab＋ah＋bh）×2，长方体体积公式：V＝abh；据此代入数据解答。 【解答】表面积：（12×7＋12×10＋7×10）×2－4×5×2 ＝（84＋120＋70）×2－40 ＝274×2－40 ＝548－40 ＝508（平方厘米） 体积：12×7×10－4×7×5 ＝840－140 ＝700（立方厘米） 23．计算下图表面积和体积。 【答案】表面积：236cm2；体积：208cm3 【分析】根据题干，就是求这个长宽高分别为10cm、4cm、5cm的长方体和棱长为2cm的正方体的组合图形的表面积和体积；①计算表面积时，可以利用长方体和正方体的表面积公式求出它们的表面积之和，要注意去掉正方体与长方体接触的面积，即减去两个正方体的面；②这个组合图形的体积就是这个长方体和正方体的体积之和。据此解答。 【解答】表面积： （10×4＋10×5＋4×5）×2＋2×2×4 ＝（40＋50＋20）×2＋16 ＝110×2＋16 ＝220＋16 ＝236（cm2） 体积： 10×4×5＋2×2×2 ＝200＋8 ＝208（cm3） 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $