专题02 函数图象与性质综合（复习讲义）(广东专用)2026年中考数学二轮复习讲练测

专题02 函数图象与性质综合 目 录 01 析·考情目标 02 筑·专题框架 03 攻·重难考点 真题动向 题型一 函数自变量取值范围与函数概念 题型二 一次函数图象平移与交点问题 题型三 反比例函数图象位置与性质 题型四 二次函数图象、对称性与增减性 题型五 函数图象的识别与选择 题型六 函数与方程、不等式的综合应用 题型七 函数与几何图形综合（周长、面积、最值） 必备知识 知识1 函数的定义与三种表示方法 知识2 一次函数解析式、图象与性质（k、b符号） 知识3 一次函数图象平移规律 知识4 反比例函数解析式、图象与象限分布 知识5 二次函数三种解析式、对称轴与顶点坐标 知识6 二次函数图象对称性、增减性与开口方向 知识7 函数与方程的解、不等式解集的关系 知识8 函数图象与线段、图形的交点判断 命题预测 预测1 函数自变量取值范围 [广州2025年第13题/广东省卷高频考点] 预测2 一次函数图象平移与交点范围 [广州2025年第6题必考] 预测3 反比例函数图象所在象限判断 [广州2025年第7题高频] 预测4 二次函数对称性、增减性与比较函数值 [广州2025年第10题/深圳压轴选择] 预测5 函数图象识别 [广东省卷选择常考] 预测6 反比例函数k的几何意义与面积 [广东省卷填空必考] 预测7 二次函数顶点在直线上求参数 [广州2025年第15题] 预测8 函数与不等式结合利用图象求解 [广州、省卷解答题] 预测9 函数实际应用 [省卷、广州基础解答] 命题 透视 命题形式： 选择题、填空题及解答题 考察能力： 运算能力、抽象能力、推理能力、几何直观、模型观念、数形结合思想 热考角度 考点 广东省卷 广州卷 深圳卷 平面直角坐标系与函数基础 2025：T12（位似图形与坐标） 2024：T23（坐标系中的几何综合） 2025：T6（一次函数平移与线段交点） 2024：T16（反比例函数与矩形平移综合） 2025：T10（坐标平移）、T12（正比例函数与反比例函数交点） 2024：T12（反比例函数与菱形综合） 一次函数 2025：T8（函数图象识别——一次函数与实际问题） 2024：T10（一次函数与一元一次不等式） 2025：T6（一次函数平移与线段交点） 2025：T12（正比例函数与反比例函数交点）、T17（一次函数方案选择） 反比例函数 2025：T23（反比例函数与矩形、几何综合） 2024：T23（反比例函数与矩形、折叠综合） 2025：T7（反比例函数图象性质） 2024：T16（反比例函数与矩形平移综合） 2025：T12（正比例函数与反比例函数交点） 2024：T12（反比例函数与菱形综合） 二次函数 2025：T10（二次函数图象与性质——比较函数值）、T15（求二次函数表达式）、T18（二次函数与实际应用——抛物线型悬索桥） 2024：T8（二次函数图象上点的坐标特征） 2025：T10（二次函数图象与性质——比较函数值）、T15（求二次函数表达式中的参数）、T24（二次函数与实际应用——抛物线型隧道） 2024：T8（一次函数与反比例函数图象性质）、T23（二次函数与几何综合） 2025：T18（二次函数与圆、切线综合）、T19（二次函数与实际应用——排队问题） 2024：T19（二次函数与新定义、抛物线开口大小） 函数综合应用 2025：T18（二次函数与悬索桥实际问题）、T23（反比例函数与矩形几何综合） 2024：T23（反比例函数与矩形折叠综合） 2025：T24（二次函数与隧道实际问题） 2024：T23（二次函数与几何综合——新定义问题） 2025：T18（二次函数与圆、切线综合）、T19（二次函数与实际应用——排队问题）、T20（新定义——双等四边形与函数思想） 2024：T19（二次函数与新定义——抛物线开口大小）、T20（新定义——垂中平行四边形与函数思想） 命题预测 1. 考情预测 · 根据近两年广东省内中考的趋势，2026年的中考中，“函数图象与性质”板块将继续作为压轴题和综合题的核心内容。 · 一次函数：主要考查图象性质、平移变换以及与方程、不等式的综合，常以选择、填空形式出现。 · 反比例函数：常与几何图形（矩形、菱形、三角形）结合，考查面积、坐标关系及参数求解，综合性较强。 · 二次函数：是重中之重，主要考查方向包括：图象与性质（对称性、增减性、比较函数值）、表达式确定（待定系数法）、与实际问题的结合（抛物线型隧道、拱桥、商品利润最值等），以及与几何图形（圆、三角形、四边形）的动态综合问题。 · 函数综合：将多种函数与几何图形、新定义问题融合，考查数形结合、分类讨论、模型思想等综合能力。 2. 备考建议 · 熟练掌握各类函数（一次、反比例、二次）的图象特征、性质（开口方向、对称轴、顶点、增减性、象限分布）及表达式求法。 · 强化函数与几何的综合能力，特别是坐标系中几何图形（点、线、三角形、四边形、圆）的函数表示及关系转化。 · 关注函数实际应用问题，学会从实际问题中抽象出函数模型，并利用函数性质求解最值等实际问题。 · 提高数形结合、分类讨论、方程思想的应用能力，能综合运用函数知识解决复杂问题。 题型一 函数自变量取值范围与函数概念 1. 式子有意义：分式分母≠0，二次根式被开方数≥0，多条件取公共范围。 1. 实际问题：自变量需符合非负、整数等现实要求，不可只看代数式。 1. 函数判定：一个自变量x只能对应唯一的y值。 1．（2025·广东广州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点，点，若将直线向上平移d个单位长度后与线段有交点，则d的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一次函数图象的平移以及一次函数与线段的交点问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 先求出直线平移后的解析式，再根据直线与线段有交点，分别求出直线经过点A和点B时d的值，进而确定d的取值范围，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：依题意，将直线向上平移d个单位长度后得 ∵点，点，且直线向上平移d个单位长度后与线段有交点， ∴把代入得，解得； 把代入得，解得； 则， 故选：D． 2．（2025·广东广州·中考真题）若抛物线的顶点在直线上，则m的值为__________． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数的顶点坐标，一次函数的性质，公式法进行解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先整理得出顶点坐标为，再把代入，得出，运用公式法进行解一元二次方程，即可作答． 【详解】解：∵， ∴对称轴为直线， 把代入， 得， 即顶点坐标为， ∵抛物线的顶点在直线上， ∴， 整理得， 则， ∴， ∴ 故答案为：或． 3．（2025·广东广州·中考真题）因活动需要购买某种水果，数学活动小组的同学通过市场调查得知：在甲商店购买该水果的费用（元）与该水果的质量x（千克）之间的关系如图所示；在乙商店购买该水果的费用（元）与该水果的质量x（千克）之间的函数解析式为（）.    (1)求与x之间的函数解析式； (2)现计划用600元购买该水果，选甲、乙哪家商店能购买该水果更多一些？ 【答案】(1)当时，；当时， (2)选甲家商店能购买该水果更多一些 【分析】（1）利用待定系数法求解析式； （2）分别计算时时x的值，比较即可得到结论 【详解】（1）解：当时，设， 将代入，得， ∴， ∴； 当时，设，将点，代入，得 ，解得， ∴ （2）当时，，解得； 当时，，解得， ∵， ∴选甲家商店能购买该水果更多一些． 【点睛】此题考查了一次函数的实际应用，待定系数法求一次函数的解析式，求自变量的值，正确理解函数图象是解题的关键． 题型二 一次函数图象平移与交点问题 1. 平移规律：k不变，左加右减变x，上加下减变常数项。 2. 求坐标轴交点：令x=0求y轴交点，y=0求x轴交点。 3. 两直线交点：联立函数解析式，解方程组得坐标。 1．（2025·广东广州·中考真题）如图，曲线过点． (1)求t的值； (2)直线也经过点P，求l与y轴交点的坐标，并在图中画出直线l； (3)在（2）的条件下，若在l与两坐标轴围成的三角形内部（不包含边界）随机取一个格点（横、纵坐标都是整数的点），求该格点在曲线G上的概率． 【答案】(1) (2)，见详解 (3) 【分析】本题考查了概率公式，反比例函数的性质，一次函数的性质，画函数图象，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）直接把代入进行计算，得； （2）先得出，再代入直线，求出，即可求出l与y轴交点的坐标，再由两点确定一条直线画出直线的函数图象； （3）先得出格点共有个，分别是再分析得出格点在曲线G上，即有两个格点在曲线G上，最后运用概率公式列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵曲线过点． ∴； （2）解：由（1）得， 故， ∵直线也经过点P， ∴把代入，得， 解得， ∴； 令，则， ∴l与y轴交点的坐标为； 直线l的函数图象，如图所示； （3）解：依题意，在l与两坐标轴围成的三角形内部（不包含边界）的格点共有个，分别是， ∵曲线， 则， ∴格点在曲线G上，即有两个格点在曲线G上， 即该格点在曲线G上的概率． 2．（2024·广东真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点．求： (1)求反比例函数和一次函数的解析式． (2)求直线与x轴的交点C的坐标及的面积． (3)直接写出一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围． 【答案】(1) (2)，6 (3)，或 【分析】（1）先将B点坐标代入反比例函数中求出m的值，然后将点A点坐标代入可求出A点坐标，接下来结合A与B坐标，利用待定系数法即可求出一次函数解析式. （2）首先令，求出C点坐标，进而将分成两个三角形分别计算面积再加和即可； （3）观察图象可知A点到原点之间与B点的右边区域符合要求，据此写出答案. 【详解】（1）解：∵的图象与反比例函数的图象相交于点， ∴代入，得，， 解得， ∴， ∴，，代入，得， 解得， ∴ （2）解：由（1）知，，直线的解析式为， ∴当时，， ∴， ∴， ∵， ∴． （3）解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点， ∴由图象看出，当一次函数的值小于反比例函数的值时，x的取值范围是，或 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数综合，熟练掌握待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式，反比例函数与一次函数的性质，三角形面积公式，函数与不等式的关系，分类讨论，是解题关键． 题型三 反比例函数图象位置与性质 1. k>0图象在一、三象限，k<0在二、四象限，关于原点中心对称。 2. 同一象限内，k>0时y随x增大而减小，k<0则相反。 3. 图象上任意点(x,y)满足xy=k，可快速求k或点坐标。 1．（2025·广东广州·中考真题）若，反比例函数的图象在（   ） A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限 【答案】C 【分析】本题考查的是绝对值的化简，反比例函数图象的性质，由绝对值的性质得出k的符号，再根据反比例函数的图象性质确定其所在象限． 【详解】解：确定k的符号： 由题设条件且，根据绝对值的非负性，右边，即．又因，故为负数． ∵反比例函数的图象位置由的符号决定： 当时，图象位于第一、三象限； 当时，图象位于第二、四象限． 因为负数，故图象在第二、四象限． 综上，正确答案为选项C． 故选：C 2．（2024·广东深圳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形为菱形，，且点A落在反比例函数上，点B落在反比例函数上，则________．    【答案】8 【分析】本题主要考查反比例函数与几何的综合及三角函数；过点作轴的垂线，垂足分别为，然后根据特殊三角函数值结合勾股定理求得，，再求得点，利用待定系数法求解即可． 【详解】解：过点作轴的垂线，垂足分别为，如图，    ∵， ∴， ∴设，则， ∴点， ∵点A在反比例函数上， ∴， ∴（负值已舍），则点， ∴，， ∴， ∵四边形为菱形， ∴，， ∴点， ∵点B落在反比例函数上， ∴， 故答案为：8． 3．（2025·广东深圳·中考真题）如图，同一平面直角坐标系下的正比例函数与反比例函数相交于点和点．若的横坐标为1，则的坐标为__________． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数与一次函数图象的交点问题，根据的横坐标为1，求出的值，进而求出点坐标，再根据对称性求出点的坐标即可． 【详解】解：令， ∵同一平面直角坐标系下的正比例函数与反比例函数相交于点和点，的横坐标为1， ∴， ∴， ∴， ∴当时，， ∴， ∵正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称， ∴点关于原点对称， ∴； 故答案为：． 题型四 二次函数图象、对称性与增减性 1. 由a定开口，对称轴，顶点是增减分界点。 2. 开口向上，对称轴左侧递减、右侧递增；开口向下相反。 3. 对称点横坐标的平均数，即为抛物线对称轴。 1．（2025·广东广州·中考真题）在平面直角坐标系中，两点，在抛物线，则下列结论中正确的是（   ） A．当且时，则 B．当时，则 C．当且时，则 D．当时，则 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，抛物线开口向上，顶点为，与x轴交于和，分析各选项时需结合抛物线的对称性、增减性及函数值的符号，据此进行作答即可． 【详解】解：∵ ∴抛物线的开口向上， 则对称轴为直线， 把代入，得， ∴顶点为， ∵两点，在抛物线， ∴当且时，（因时抛物线在x轴上方）， 故， 此时 故A选项的结论正确； 当时，抛物线在时递减， 故越大，越小， 即， 故B选项的结论错误； 当且时，， 此时应满足或， 故C选项的结论错误； 当时，抛物线在时递增， 故越大，越大， 即， 故D选项的结论错误； 故选：A 2．（2024·广东深圳·中考真题）为了测量抛物线的开口大小，某数学兴趣小组将两把含有刻度的直尺垂直放置，并分别以水平放置的直尺和竖直放置的直尺为x，y轴建立如图所示平面直角坐标系，该数学小组选择不同位置测量数据如下表所示，设的读数为x，读数为y抛物线的顶点为C． (1)（Ⅰ）列表： ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ x 0 2 3 4 5 6 y 0 1 2.25 4 6.25 9 （Ⅱ）描点：请将表格中的描在图2中； （Ⅲ）连线：请用平滑的曲线在图2将上述点连接，并求出与的关系式； (2)如图3所示，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，该数学兴趣小组用水平和竖直直尺测量其水平跨度为，竖直跨度为，且，，为了求出该抛物线的开口大小，该数学兴趣小组有如下两种方案，请选择其中一种方案，并完善过程： 方案一：将二次函数平移，使得顶点与原点重合，此时抛物线解析式为． ①此时点的坐标为______； ②将点坐标代入中，解得______；（用含，的式子表示） 方案二：设点坐标为 ①此时点的坐标为______； ②将点坐标代入中解得______；（用含，的式子表示） (3)【应用】如图4，已知平面直角坐标系中有，两点，，且轴，二次函数和都经过，两点，且和的顶点，距线段的距离之和为10，若轴且，求的值． 【答案】(1)图见解析， (2)，；， (3)的值为或 【分析】（1）描点、连线绘制函数图象即可，再利用待定系数法即可得出函数表达式； （2）方式一：表示出点的坐标为，代入二次函数解析式计算即可得解；方式二：表示出点的坐标为，代入二次函数解析式计算即可得解； （3）由题意可得，二次函数和的对称轴都为直线，的顶点坐标为，的坐标为，的坐标为，求出的顶点距线段的距离为，得出的顶点距线段的距离为，从而可得的顶点坐标为或，再分情况代入计算即可得解． 【详解】（1）解：描点、连线绘制函数图象如下： 由图可得，抛物线经过原点， 故设抛物线的表达式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴与的关系式为； （2）解：方案一：将二次函数平移，使得顶点与原点重合，此时抛物线解析式为． ①此时点的坐标为； ②将点坐标代入中得，， 解得； 方案二：设点坐标为 ①此时点的坐标为； ②将点坐标代入中得：， 解得； （3）解：由题意可得，二次函数和的对称轴都为直线，的顶点坐标为， ∵二次函数和都经过，两点，且， ∴的坐标为，的坐标为， ∴的顶点距线段的距离为， ∵和的顶点，距线段的距离之和为10， ∴的顶点距线段的距离为， ∴的顶点坐标为或， 当的顶点坐标为时，， 将代入得， 解得：； 当的顶点坐标为时，， 将代入得， 解得：， 综上所述，的值为或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图象与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 3．（2025·广东佛山）在平面直角坐标系中，抛物线的图象经过和两点． (1)补充一个条件，求抛物线的表达式； (2)将抛物线向左平移个单位得到新的抛物线．当时，随的增大而增大，求的取值范围； (3)当时，判断与的大小，并说明理由． 【答案】(1)补充条件：抛物线经过点；抛物线的表达式为（答案不唯一） (2)的取值范围为 (3)；理由见解析 【分析】（）已知抛物线经过和两点，可先根据这两点的坐标求出的值以及与的关系，再补充一个条件，利用待定系数法求出抛物线的表达式； （）先根据抛物线平移的规律求出新抛物线的表达式，再根据二次函数的性质求出的取值范围； （）先求出与的差，再根据的取值范围判断差的正负，从而比较与的大小． 【详解】（1）解：∵抛物线的图象经过和两点， ∴将代入抛物线方程可得：， 即. 将和代入抛物线方程可得：，化简得，即， 所以抛物线的表达式为， 补充条件：抛物线经过点， 将代入， 可得：，即， 解得， 把代入，可得， ∴抛物线的表达式为（答案不唯一）； （2）解：由（）得：抛物线的表达式为， ∴对称轴为：， ∵向左平移个单位， ∴新抛物线的对称轴为， ∵因为，抛物线开口向上， ∴当时，随增大而增大 ∵题目要求当时，随增大而增大， ∴， 解得； （3）解：． 理由：由（）得：抛物线的表达式为， ∴ 对于一元二次方程， 其判别式 ， ∵且， ∴， ∴， 又∵， ∴二次函数的图象开口向上，且与轴无交点， 即对于任意，， ∴，即． 题型五 函数图象的识别与选择 1. 先辨类型：一次直线、反比例双曲线、二次抛物线。 2. 再看系数符号，判断象限、开口、截距，排除明显错误。 3. 代入原点、坐标轴交点等特殊点验证，快速锁定答案。 1．（2024·广东真题）长方体水槽里面放有一酒瓶，示意图如图所示，现向水槽内匀速注水，下列图象中能大致反映水槽中水的深度y与注水时间x的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】主要考查了函数图象的读图能力和函数与实际问题结合的应用．要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．根据水槽的横断面示意图，可知注水速率不变时，水面上升的快慢取决于当时水面所“拥有”的横截面积大小，瓶底较窄，水初淹没瓶底时，周围可盛水的面积较大，水面上升较慢；随着瓶身最鼓处被淹没，瓶子占去的空间最大，水可盛放的面积减小，水面上升加快；继续往上到瓶颈较细处时，瓶子占用的面积又变小，水面上升又转慢，故水的深度增长的速度由慢到快，然后再由快到慢，最后不变，进而求解即可． 【详解】解：由水槽的横断面示意图可得，水的深度增长的速度由慢到快，然后再由快到慢，最后不变， 故选：B． 2．（2025·广东真题）“漏壶”是一种古代计时器，在它内部盛一定量的水，水从壶下的小孔漏出．壶内壁有刻度，人们根据壶中水面的位置计算时间．用x表示漏水时间，y表示壶底到水面的高度．下列哪个图象适合表示y与x的对应关系？（不考虑水量变化对压力的影响）（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】本题考查函数图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据题意，可知y随的增大而减小，符合一次函数图象，从而可以解答本题． 【详解】解：∵不考虑水量变化对压力的影响，水从壶底小孔均匀漏出，x表示漏水时间，y表示壶底到水面的高度， ∴y随x的增大而匀速的减小，符合一次函数图象， ∴选项C图象适合表示y与x的对应关系． 故选：C． 3．（2023·广东深圳）【探究函数的图象与性质】 (1)函数的自变量x的取值范围是　 　； (2)下列四个函数图象中，函数的图象大致是　 　； (3)对于函数，求当时，y的取值范围．请将下列的求解过程补充完整． 解：∵，∴______． ∵，∴____． 【拓展说明】 (4)若函数，求y的取值范围． 【答案】(1) (2)C (3)， (4) 【分析】（1）题目中的函数解析式可以直接写出x取值范围； （2）根据x的取值范围可以判断y的正负，从可以解答本题； （3）根据题目中的式子，可以把未填写的补充完整； （4）仿照（3）中的计算过程可以求得y的取值范围． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：； （2）解：∵函数， ∴当时，，当时，， 故选：C． （3）解：∵，∴． ∵，∴． 故答案为：，； （4）解：∵， ∴ ， ∵， ∴． 【点睛】本题考查函数的图象与性质、完全平方公式和二次根式的灵活运用、平方式的非负性、理解题意，会根据函数解析式判断函数的性质和图象，会利用类比的方法解决问题是解答的关键． 题型六 函数与方程、不等式的综合应用 1. 函数与x轴交点的横坐标，就是对应方程的解。 2. 函数值＞0或＜0，看图象在x轴上方或下方的区间。 3. 比较两个函数大小，以交点为界，看图象上下位置。 1．（2024·广东·中考真题）已知不等式的解集是，则一次函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式，解不等式的方法：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围．找到当函数图象位于x轴的下方的图象即可． 【详解】解∶∵不等式的解集是， ∴当时，， 观察各个选项，只有选项B符合题意， 故选：B． 2．（2025·广东广州·二模）平面直角坐标系中，抛物线G：过点，顶点B不在第四象限． (1)用含a的式子表示b； (2)连接，求面积的最小值及此时点B的坐标； (3)经过探究发现，对于a的每一个确定的值，都有一个最大的正数t，使得当时，都成立，结合图象，求t的最大值． 【答案】(1) (2)面积的最小值为2，此时 (3)t的最大值为 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，求一次函数关系式，二次函数与一元二次方程， （1）将点代入关系式，整理得出答案； （2）根据顶点B不在第四象限可得a的取值范围，再作轴交于点H，接下来求出直线的解析式，可得点，进而表示出，然后根据，最后结合a的取值范围得出答案； （3）由（2）知,再分两种情况：①当，可得，进而得，然后根据a的取值范围可得，即可得出最大值； ②当，即时，结合得出最大值，最后比较得出答案． 【详解】（1）解：∵抛物线过点， ∴， ∴； （2）解：， ∴． ∵顶点B不在第四象限， ∴， 解得， 过点B作轴交于点H， 设直线的解析式为，代入点， 得， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴面积的最小值为2，此时； （3）解：由（2）知； ①当，即时， ， 解得：． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即当时，； ②当，即时， ， 即当时，； ∵， ∴t的最大值为． 3．（2025·广东广州）已知抛物线C：的最小值为． (1)求a的值； (2)已知直线l：，记，求的最小值（用k表示）； (3)如图，为抛物线C上一点，，直线过点，在抛物线上取一点P，使得，若，求的最小值． 【答案】(1)2 (2) (3)5 【分析】（1）由抛物线C的解析式可知对称轴为直线，进而可得时，从而可解得a； （2）先求出直线l：过定点，且在抛物线C：的图象上，令，可得，求出方程的另一个解为，故，再根据k的不同取值展开分类讨论求m（x）最小值即可； （3）连接，求出，则，，得到，易证，推出，进而得到，再求出，即可得到的最小值为5． 【详解】（1）解：∵抛物线C的解析式为， ∴抛物线C的图象与x轴的交点坐标为， ∴抛物线C图象的对称轴为直线， ∴时，函数的最小值为， ∴； （2）解：∵， 当时，则， ∴直线l：过定点， 将代入抛物线C：中，则， ∴在抛物线C：的图象上， 令，可得， 设方程的解为， ∴， ∵是方程的一个解， ∴方程的另一个解为； 故， 当时，一次函数的函数值y随x的增大而减小，即时，的最小值为6； 当时，，即； 当时，一次函数的函数值y随x的增大而增大，即时，的最小值为； ∵抛物线的对称轴为直线， 当时，直线， 故此时的最小值为在抛物线顶点处取得，即最小值为． 综上，； （3）解：如图所示，连接， 由题意可得， 则， 又， 故， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即的最小值为5． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，包括对称轴，最值，一次函数的图象和性质，根系关系，相似三角形的判定和性质，勾股定理，三角形三边关系，熟练掌握以上内容综合分析是解题关键． 题型七 函数与几何图形综合（周长、面积、最值） 1. 设动点坐标，用函数表达式表示线段长度。 2. 不规则图形用割补法，列出面积关于x的函数。 3. 结合自变量范围，在顶点或端点处取最值，检验合理性。 1．（2024·广东广州·中考真题）如图，平面直角坐标系中，矩形的顶点在函数的图象上，，．将线段沿轴正方向平移得线段（点平移后的对应点为），交函数的图象于点，过点作轴于点，则下列结论： ①； ②的面积等于四边形的面积； ③的最小值是； ④． 其中正确的结论有______．（填写所有正确结论的序号） 【答案】①②④ 【分析】由，可得，故①符合题意；如图，连接，，，与的交点为，利用的几何意义可得的面积等于四边形的面积；故②符合题意；如图，连接，证明四边形为矩形，可得当最小，则最小，设，可得的最小值为，故③不符合题意；如图，设平移距离为，可得，证明，可得，再进一步可得答案． 【详解】解：∵，，四边形是矩形； ∴， ∴，故①符合题意； 如图，连接，，，与的交点为， ∵， ∴， ∴， ∴的面积等于四边形的面积；故②符合题意； 如图，连接， ∵轴，， ∴四边形为矩形， ∴， ∴当最小，则最小， 设， ∴， ∴， ∴的最小值为，故③不符合题意； 如图，设平移距离为， ∴， ∵反比例函数为，四边形为矩形， ∴，， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故④符合题意； 故答案为：①②④ 【点睛】本题考查的是反比例函数的图象与性质，平移的性质，矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键． 2．（2025·广东·中考真题）定义：把某线段一分为二的点，当整体线段比大线段等于大线段比小线段时，则称此线段被分为中外比，这个点称为中外比点． (1)如图，点是线段的中外比点，，，求的长． (2)如图，用无刻度的直尺和圆规求作一点把线段分为中外比．（保留作图痕迹，不写作法） (3)如图，动点在第一象限内，反比例函数的图象分别与矩形的边，相交于点，，与对角线相交于点．当是等腰直角三角形时，探究点，，是否分别为，，的中外比点，并证明． 【答案】(1) (2)见解析 (3)当是等腰直角三角形时，点，，分别为，，的中外比点，证明过程见解析 【分析】（1）设，根据题意，得，解分式方程，即可求解； （2）①作线段的垂直平分线，交于点；②过点作，且；③连接；④以点为圆心，为半径，画弧，交于点；⑤以点为圆心，为半径，画弧，交于点，点即为线段的中外比点． 设，根据勾股定理求得，继而求得，，分别代入、，即可求证点为线段的中外比点； （3）当是等腰三角形时，点、、分别为，，的中外比点，分三种情况讨论：①当时，证得，设点，则，根据点、在反比例函数的图象上，可构建方程，解得，分别求得、、、、、的值，即可求证．设直线的函数解析式为，利用待定系数法求得直线的函数解析式为，联立方程组，求得点的坐标，即可求证；②当，同理可证点，，分别为，，的中外比点；③当，则点、分别位于轴、轴上，与反比例函数不符． 【详解】（1）解：设，则， 根据题意，得：，即， 整理，得：，解得：，， ， 舍去， ． （2）解：如图所示，点为所求． 设， 根据题意，得：，， ， ，， ，， ， 点为线段的中外比点． （3）解：当是等腰三角形时，点、、分别为，，的中外比点，理由如下： 第一种情况：当，则， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， 设点， ，，则， 点、在反比例函数的图象上， 得：， 由①得：，将其代入②，得：， 整理，得：， 解得：， ，（舍去）， ，，， ，，， ，，， ，， ，， ，， 点、为、的中外比点． 点在反比例函数的图象上，， ， 反比例函数为， ， 设直线的函数解析式为， 将点，代入，得：， 直线的函数解析式为， 联立方程组，解得：， ， ， 点为的中外比点． 第二种情况：当，则， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， 设点， ，，则， 点、在反比例函数的图象上， 得：， 由①得：，将其代入②，得：， 整理，得：， 解得：， ，（舍去）， ，，， ，，， ，，， ，， 点、为、的中外比点． 点在反比例函数的图象上，， ， 反比例函数为， ， 设直线的函数解析式为， 将点，代入，得：， 直线的函数解析式为， 联立方程组，解得：， ， ， 点为的中外比点． 第三种情况：当，则点、分别位于轴、轴上，与反比例函数不符，因此这种情况不存在． 综上所述，当是等腰直角三角形时，点，，分别为，，的中外比点． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，中外比点即黄金分割点的尺规作图，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，反比例函数的图象与性质，二次根式的混合运算，用待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，一次函数与反比例函数的交点坐标，两点坐标的距离公式，熟练掌握相关知识点是解题关键． 3．（2023·广东广州·中考真题）已知点在函数的图象上． (1)若，求n的值； (2)抛物线与x轴交于两点M，N（M在N的左边），与y轴交于点G，记抛物线的顶点为E． ①m为何值时，点E到达最高处； ②设的外接圆圆心为C，与y轴的另一个交点为F，当时，是否存在四边形为平行四边形？若存在，求此时顶点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)的值为1； (2)①；②假设存在，顶点E的坐标为，或． 【分析】（1）把代入得，即可求解； （2）①，得，即可求解； ②求出直线的表达式为：，得到点的坐标为；由垂径定理知，点在的中垂线上，则；由四边形为平行四边形，则，求出，进而求解． 【详解】（1）解：把代入得； 故的值为1； （2）解：①在中，令，则， 解得或， ，， 点在函数的图象上， ， 令，得， 即当，且， 则，解得：（正值已舍去）， 即时，点到达最高处； ②假设存在，理由： 对于，当时，，即点， 由①得，，，，对称轴为直线， 由点、的坐标知，， 作的中垂线交于点，交轴于点，交轴于点，则点， 则， 则直线的表达式为：． 当时，， 则点的坐标为． 由垂径定理知，点在的中垂线上，则． 四边形为平行四边形， 则， 解得：， 即，且， 则， ∴顶点E的坐标为，或． 【点睛】本题为反比例函数和二次函数综合运用题，涉及到一次函数基本知识、解直角三角形、平行四边形的性质、圆的基本知识，其中（3），数据处理是解题的难点． 4．（2024·广东广州·中考真题）已知抛物线过点和点，直线过点，交线段于点，记的周长为，的周长为，且． (1)求抛物线的对称轴； (2)求的值； (3)直线绕点以每秒的速度顺时针旋转秒后得到直线，当时，直线交抛物线于，两点． ①求的值； ②设的面积为，若对于任意的，均有成立，求的最大值及此时抛物线的解析式． 【答案】(1)对称轴为直线：； (2) (3)①，②的最大值为，抛物线为； 【分析】（1）直接利用对称轴公式可得答案； （2）如图，由，可得在的左边，，证明，可得，设，建立，可得：，，再利用待定系数法求解即可； （3）①如图，当时，与抛物线交于，由直线，可得，可得，从而可得答案；②计算，当时， 可得，则，，可得，可得当时，的最小值为，再进一步求解可得答案． 【详解】（1）解：∵抛物线， ∴抛物线对称轴为直线：； （2）解：∵直线过点， ∴， 如图， ∵直线过点，交线段于点，记的周长为，的周长为，且， ∴在的左边，， ∵在抛物线的对称轴上， ∴， ∴， 设， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴， 解得：； （3）解：①如图，当时，与抛物线交于， ∵直线， ∴， ∴， 解得：， ②∵， 当时，， ∴， ∴，， ∴ ， ∵， ∴当时，的最小值为， ∴此时， ∵对于任意的，均有成立， ∴的最大值为， ∴抛物线为； 【点睛】本题考查的是二次函数的图象与性质，一次函数的性质，坐标与图形面积，一元二次方程根与系数的关系，理解题意，利用数形结合的方法解题是关键． 知识1 函数的定义与三种表示方法 定义：在一个变化过程中，有两个变量（自变量）和，若对于在取值范围内的每一个确定值，都有唯一确定的值与之对应，那么就叫做的函数。 三种表示方法 · ① 解析式法：用数学式子表示函数关系，简洁精准，便于计算； · ② 列表法：用表格列出自变量与函数的对应值，直观清晰； · ③ 图象法：在平面直角坐标系中描点连线成图象，形象反映变化规律。 知识2 一次函数解析式、图象与性质（k、b符号） 解析式：一般形式（、为常数，）；当时，是正比例函数（特殊的一次函数）。 图象：一条直线，正比例函数图象必过原点。 性质（由、决定） · ① 增减性：，随增大而增大；，随增大而减小； · ② 与轴交点：交点坐标，交正半轴，交负半轴，过原点； · ③ 象限分布：结合、符号判断直线经过的象限，如、过一、二、三象限。 知识3 一次函数图象平移规律 核心原则：平移只改变直线位置，斜率始终不变，仅改变截距或自变量。 平移口诀：上加下减常数项，左加右减自变量。 具体变换 · ① 上下平移：向上移个单位→；向下移个单位→； · ② 左右平移：向左移个单位→；向右移个单位→。 知识4 反比例函数解析式、图象与象限分布 解析式：（为常数，），也可写成。 图象：双曲线，关于原点、直线 对称，与坐标轴无限接近但永不相交。 象限与增减性 · ① ：双曲线在一、三象限，每个象限内随增大而减小； · ② ：双曲线在二、四象限，每个象限内随增大而增大； · ⚠ 注意：增减性必须强调在每个象限内，不可跨象限说增减。 知识5 二次函数三种解析式、对称轴与顶点坐标 一般式：（） · 对称轴：，顶点坐标：； 顶点式：（） · 对称轴：，顶点坐标：，适合已知顶点/对称轴/最值时使用； 交点式：（） · 对称轴：，、是抛物线与轴交点横坐标，仅时可用。 知识6 二次函数图象对称性、增减性与开口方向 开口方向：由决定，开口向上，开口向下；越大，开口越窄。 对称性：抛物线关于对称轴直线对称，对称点的纵坐标相等，横坐标到对称轴距离相等。 增减性：以对称轴为分界线，两侧增减性相反 · ① ：对称轴左侧随增大而减小，右侧增大； · ② ：对称轴左侧随增大而增大，右侧减小； 最值：顶点取最小值，顶点取最大值。 知识7 函数与方程的解、不等式解集的关系 函数与方程 · ① 函数 ⇌ 对应方程的解，即图象与轴交点的横坐标； · ② 两个函数图象的交点 ⇌ 联立两个函数解析式组成方程组的解。 函数与不等式 · ① ：图象在轴上方对应的取值范围； · ② ：图象在轴下方对应的取值范围； · ③ 含等号（、）：解集包含图象与轴交点的横坐标。 知识8 函数图象与线段、图形的交点判断 通用方法：联立函数解析式与线段/图形所在直线的解析式，解方程组。 交点个数判断 · ① 一次函数联立：解二元一次方程组，有唯一解即1个交点，无解即无交点； · ② 二次/反比例函数联立：化简为一元二次方程，用根的判别式 判断： · →2个交点；→1个交点（相切）；→无交点。 关键验证：若为线段/封闭图形，求出交点坐标后，需验证横、纵坐标是否在线段/图形的取值范围内，不符合则无交点。 命题预测1：函数自变量取值范围 [广州2025年第13题/广东省卷高频考点] 1．（2025·广东广州·二模）如图，直线与相交于点，则不等式的解集是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，解题的关键是得出两函数图象的交点横坐标，根据函数图象可得答案．先求得点A的横坐标，观察函数图象得到在点A的左边部分的点的横坐标范围即可求解． 【详解】解：∵直线与相交于点，点A的纵坐标为3， ∴将代入中，得，则， ∴， 由图象得，不等式的解集是， 故选：B． 2．（2025·广东佛山·一模）反比例函数广泛应用于物理、化学等自然学科中．比如在电学的某一电路中（开关闭合），电压不变时，电流（安培）是电阻（欧姆）的反比例函数．当时，．则与之间的函数图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键在于根据题意求出反比例函数解析式．设，利用待定系数法求出解析式，再结合解析式求解，即可解题． 【详解】解：由题意设， ∵当时，， ∴， ∴与之间的函数关系式为：； A、当时，，即在图象上方，故该选项不符合题意； B、当时，，即在图象上方，故该选项符合题意； C、当时，，即在图象上，故该选项不符合题意； D、当时，，即在图象下方，故该选项不符合题意； 故选：B． 3．（2024·广东·模拟预测）关于反比例函数，下列说法错误的是（    ） A．反比例函数图象经过点 B．当时， C．该反比例函数图象与函数的图象没有交点 D．若点在该反比例函数的图象上，则点也在其图象上 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的图象特征，熟悉掌握反比例函数的图象性质是解题的关键． 根据反比例函数的图象特征逐一判断即可． 【详解】解：将代入反比例函数表达式中，得，A选项正确，不符合题意； 当时，， 函数在第一象限， ∴ ∴，B选项正确，不符合题意； ∵无解， ∴反比例函数与函数的图象没有交点，C选项正确，不符合题意； ∵反比例函数图象关于原点中心对称， ∴当点在该反比例函数的图象上时，点，在其图象上， ∴点不在其图象上，D选项错误，符合题意． 故选：D． 4．（2024·广东·模拟预测）对于反比例函数，下列说法正确的是（    ） A．y随x的增大而增大 B．图象在第一、三象限 C．图象经过点 D．图象关于直线对称 【答案】D 【分析】本题主要考查了反比例函数图象的性质，求反比例函数值，根据解析式得到函数的图象在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，据此可判断A、B；求出时的函数值即可判断C；反比例函数图象关于直线对称，据此可判断D． 【详解】解：对于反比例函数，∵． ∴该函数的图象在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，故选项A，B错误；把代入中，得， ∴图象不经过点，故选项C错误． 反比例函数的图象关于直线对称，故选项D正确． 故选D． 5．（2026·广东广州·一模）已知点，都在反比例函数的图象上，且，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题利用反比例函数的性质解题，先根据函数解析式判断比例系数的符号，得到函数在第三象限的增减性，再结合的大小关系比较的大小． 【详解】解：反比例函数中，， 函数图象位于第一、三象限，且在每个象限内，随的增大而减小， ， 点、都在第三象限的函数图象上， ． 6．（2024·广东·模拟预测）若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，分别求出，，的值，然后进行判断，即可得到答案．本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知“反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式”是解答此题的关键． 【详解】解：∵点、、都在反比例函数的图象上， 则当时，； 当时，； 当时，； ∴； 故答案为：C． 7．（2025·广东茂名·模拟预测）若一次函数的图象经过第一、二、四象限，点，，都在反比例函数的图象上，则（　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了一次函数与反比例函数的图象和性质，熟练掌握一次函数与反比例函数的图象和性质是解题的关键．根据一次函数经过的象限得到，，则，据此判断反比例函数的分布的象限和增减性，即可得到答案． 【详解】解：因为一次函数的图象经过第一、二、四象限， 所以，， 则， 所以反比例函数的图象位于第二、四象限，且在每一个象限内y随x的增大而增大． 因为， 所以． 故选：C． 8．（2025·广东茂名·模拟预测）若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的图像和性质． 根据反比例函数的性质，当时，函数图象分布在第一、三象限，进而可判断各点值的大小关系． 【详解】解：∵， ∴函数图象分布在第一、三象限， 点的横坐标，位于第三象限，故． 点和的横坐标均大于0，位于第一象限，故，． ∵在第一象限内，随的增大而减小， ∴． 综上，， 故选：A． 9．（2024·广东·模拟预测）自由落体运动是由于引力的作用而造成的，月球上物体自由下落的时间和下落的距离 的关系大约是， 物体下落时，在月球上下落的距离是__________米． 【答案】 【分析】此题考查了函数求值，把的值代入公式，求解即可． 【详解】解：把代入公式得：， 则物体下落时，在月球上下落的距离是米． 故答案为：． 10．（2024·广东·模拟预测）某植物的高度（）与生长天数（）之间的函数关系式表示为．当时，的值为___． 【答案】 【分析】本题主要考查了已知自变量的值求函数值，把代入一次函数解析式，求出y的值即可． 【详解】解：把代入得：． 故答案为：． 33．（2025·广东揭阳·一模）记表示实数m和n中的较大值，即若，则，如，．在平面直角坐标系中，，，则下列结论正确的是（将正确结论的序号填在横线上）________． ①直线和直线过点B且这两条直线垂直，则函数的最小值为2； ②若直线与反比例函数的图象交于点A，B，则函数的最小值为； ③若直线与二次函数的图象交于点A，B，则函数有最小值，无最大值． 【答案】①③/③① 【分析】本题考查了新定义，二次函数，反比例函数，一次函数的交点问题，熟练运用数形结合思想是解题的关键．根据每个选项的情况，先作图，再结合二次函数，反比例函数，一次函数的图象性质，进行分类讨论，即可作答． 【详解】解：①依题意，分别作图， 当时，则，此时的最小值为2； 当时，则，此时的最小值为2； 当时，则，的最小值为2； 当时，则，的最小值为2； 综上：直线和直线过点B且这两条直线垂直，则函数的最小值为2； 故①是正确的； ∵直线与反比例函数的图象交于点A，B，，， ∴作图如下所示： 当时，，此时最小值为； 当时，，此时最小值为； 当时，，此时最小值为； 当时，，此时最小值为； 故②是错误的； ∵直线与二次函数的图象交于点A，B， ∴如图所示： 当时，，此时最小值为，无最大值； 当时，，此时最小值为，最大值为2； 当时，，此时最小值为，无最大值； 综上所述，函数有最小值，无最大值． 故③是正确的； 故答案为：①③． 11．（2024·广东江门·二模）若点，都在反比例函数的图象上，则___（填“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的性质．根据反比例函数的性质，将点A和点B的横坐标代入函数解析式，分别求出和的值，然后比较大小． 【详解】解：∵点，在反比例函数的图象上， ∴，， ∴． 故答案为：． 12．（2026·广东深圳·一模）2026年年初，一款玩偶产品以其独特的情绪价值爆火，广受年轻人的青睐．已知这种产品需要多种原料，记其中两种原料分别为，．某企业购进了这两种原料，，其中购进千克材料和千克材料的总价与购进千克材料和千克材料的总价相同，设这两种材料的单价分别为，（单位：元/千克）． (1)试求x，y之间的等量关系； (2)当购进千克材料和千克材料的总价为万元时，求x，y的值． 【答案】(1) (2)； 【分析】（1）本题根据“总价单价数量”，利用题干给出的两种购买方案总价相等的条件列出等式，整理得到第一问的等量关系， （2）再将8.8万元换算单位后代入等量关系，通过解方程得到和的值即可求解． 【详解】（1）解：已知A材料单价为元/千克，B材料单价为元/千克，两种购买方案的总价相等， 移项计算得： 化简得： 答：和的等量关系是. （2）将代入 得： 即 解得 则 13．（2025·广东广州·二模）已知． (1)化简A； (2)若点在一次函数的图象上，求A的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，一次函数图象上的点的坐标特点，正确化简A是解题的关键． （1）先把小括号内的式子通分，再把除法变成乘法后约分化简即可； （2）把点P坐标代入一次函数解析式可得，据此代值计算即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵点在一次函数的图象上， ∴， ∴， ∴． 命题预测2：一次函数图象平移与交点范围 [广州2025年第6题必考] 1．（2024·广东江门·二模）一次函数的图象沿轴向下平移2个单位，那么所得图象的函数解析式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是一次函数图象的平移，熟练掌握“左加右减自变量，上加下减常数项”是解答本题的关键． 根据函数图象平移规则，沿y轴向下平移时，函数解析式中的常数项减少平移单位数． 【详解】解：一次函数的图象沿轴向下平移2个单位， 那么所得图象的函数解析式是． 故选：C． 2．（2025·广东清远·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于点，将直线沿轴向上平移个单位长度，交轴于点，若，则的值为（    ） A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的综合问题，相似三角形的判定和性质．熟练掌握函数图象平移以及平移性质，反比例函数与一次函数的交点，是解题的关键．解析式联立，解方程组求得A的纵坐标，根据平移和相似三角形性质求得B的纵坐标，代入反比例函数的解析式求得B的坐标，代入即可求得b的值． 【详解】解：联立， 解得或， ∵， ∴，即点的坐标为． 如图，分别过点作轴，轴，垂足分别为． ∵， ∴， ∵， ∴． ∴， 又∵， ∴， ∵，即， ∴，即点的纵坐标为2． 将代入，得，即点的坐标为． 由平移的性质得直线的解析式为， 将点代入，得． 故选：A． 3．（2025·广东广州·模拟预测）在平面直角坐标系中，将函数的图象向右平移2个单位长度，则平移后的图象与y轴的交点坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“左加右减”的原则是解答此题的关键． 根据“左加右减”的原则写出新直线解析式，由解析式求得平移后的图象与y轴交点的坐标． 【详解】解：由“左加右减”的原则可知，将函数的图象向右平移2个单位长度，所得函数的解析式为， 令，则，即平移后的图象与y轴交点的坐标为 故选：B． 4．（2024·广东广州·模拟预测）关于一次函数，下列说法正确的是（    ） A．图象过点 B．其图象可由的图象向下平移2个单位长度得到 C．随着的增大而增大 D．图象经过第一、二、四象限 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象与几何变换，一次函数的性质以及一次函数图象与系数的关系，根据一次函数图象上点的坐标特征，平移的规律以及一次函数的性质逐个判断即可． 【详解】A、当时，， 一次函数的图象经过点，选项A错误，不符合题意； B、由的图象向下平移2个单位长度得到，故选项B错误，不合题意 C、， 随的增大而减小，选项C错误，不符合题意； D、，， 一次函数的图象经过第一、二、四象限，选项D正确，符合题意； 故选：D． 5．（2026·广东珠海·一模）函数的图象为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先确定函数的类型，再求其与坐标轴的交点，最后根据交点坐标匹配对应的图象． 【详解】解：函数是一次函数，其图象是一条直线， 令，得，即与x轴交点为， 令，得，即与y轴交点为， 在各选项中，只有选项A的图象经过和这两个点． 6．（2024·广东·模拟预测）一次函数的图象与x轴的交点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查求一次函数图象与坐标轴的交点坐标，令，解方程即可求解． 【详解】解：令，由得， ∴一次函数的图象与x轴的交点坐标为， 故选：B． 7．（2024·广东·模拟预测）在直线上，随着的增大而增大，且其图象与轴负半轴有交点，则点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的性质和各个象限坐标特点．根据一次函数的性质求出k和的范围，再根据每个象限点的坐标特征判断点所处的象限即可． 【详解】解：∵在一次函数中，y的值随x值的增大而增大， ∴， 又∵其图象与轴负半轴有交点， ∴， ∴点在第一象限． 故选：A． 8．（2024·广东·模拟预测）将直线平移，使平移后的直线经过点，所得直线的表达式是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数的平移，待定系数法求一次函数解析式，根据平移的性质设平移后的直线解析式为，再利用待定系数法求解即可． 【详解】解：设平移后的直线解析式为：， 把代入， 得：， 解得， 则平移后的直线解析式为， 故答案为：． 命题预测3：反比例函数图象所在象限判断 [广州2025年第7题高频] 1．（2025·广东深圳·模拟预测）关于函数有如下结论：①函数图象一定经过点；②函数图象在第一、三象限；③函数值y随x的增大而减小；④当时，y的取值范围为．其中正确的有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的图象性质，增减性，正确掌握相关性质内容是解题的关键．根据，得出函数图象一定经过点；又因为，则函数图象在第一、三象限，且在每个象限内，y随x的增大而减小；先求出当时，则，再结合函数图象性质进行分析，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴函数图象一定经过点， 故①符合题意； ∵此函数中， ∴函数图象在第一、三象限， 故②符合题意； ∵ ∴在每个象限内或在双曲线的每一支上，函数值y随x的增大而减小， 故③不符合题意； ∵， ∴当时，则 ∴当时，y的取值范围为， ∴故④不符合题意； 故选：B． 2．（2024·广东·模拟预测）关于反比例函数的图象性质，下列说法不正确的是（    ） A．图象经过点 B．图象分别位于第一、三象限 C．图象关于原点对称 D．y随x的增大而增大 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数的性质，准确理解反比例函数的性质是解题关键，可结合图象更易于分析． 根据反比例函数的性质即可逐一分析找出正确选项． 【详解】解：A、当时，，所以图象经过点，说法正确，不合题意； B、，则图象位于第一、三象限，故说法正确，不合题意； C、反比例函数的图象关于原点成中心对称，故说法正确，不合题意； D、，则图象在每个象限内，随的增大而减小，所以当时，随的增大而减小，故说法错误，符合题意； 故选：D． 3．（2025·广东汕头·三模）反比例函数的图象经过第（   ）象限 A．一、二 B．二、四 C．一、三 D．三、四 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数图象与性质，根据反比例函数的基本性质，当比例系数为正时，函数图象位于第一、三象限；当比例系数为负时，位于第二、四象限，熟记反比例函数图象与性质是解决问题的关键． 【详解】解：反比例函数为，其比例系数， 反比例函数的图象经过第一、三象限， 故选：C． 4．（2025·广东东莞·模拟预测）已知函数的图象，当时，的取值范围是__________． 【答案】或 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，运用数形结合思想是解题的关键．求得当时，，再根据题意画出草图，结合图象即可得出y的取值范围． 【详解】在反比例函数中，当时，， 双曲线经过二四象限，画出图形如下： ∴根据图像可知：的取值范围为或． 5．（2025·广东清远·一模）关于的方程无解，则反比例函数的图象在第___________象限． 【答案】一、三 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，反比例函数的性质．根据一元二次方程根的判别式，求得，再判断反比例函数图象所在象限即可． 【详解】解：∵关于的方程无解， ， 解得：， ∴反比例函数图象在第一，三象限， 故答案为：一，三． 命题预测4：二次函数对称性、增减性与比较函数值 [广州2025年第10题/深圳压轴选择] 1．（2025·广东深圳·三模）已知二次函数的图象如图所示，则图象与x轴正半轴交点M的横坐标是（   ） A．4 B．2 C．3 D． 【答案】C 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点，由图象可知，抛物线的对称轴为直线，与x轴负半轴的交点横坐标是，根据抛物线的对称性可得图象与x轴正半轴交点M的横坐标是． 【详解】解：由图象可知，抛物线的对称轴为直线，与x轴负半轴的交点横坐标是， 图象与x轴正半轴交点M的横坐标是． 故选：C． 2．（2025·广东深圳·模拟预测）二次函数（，，为常数，）的图象经过点，，，，其中，为常数，那么的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，根据题意，得出，两点关于抛物线的对称轴对称，据此得出，之间的关系，再将点和点代入二次函数解析式，进一步得出，之间的关系，最后用表示出和即可解决问题．掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：∵，在二次函数图象上， ∴，两点关于抛物线的对称轴对称， ∴， ∴， ∵，在二次函数图象上， ∴，， ∴， ∴， ∵在二次函数图象上， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 3．（2023·广东东莞·模拟预测）已知抛物线的对称轴为直线，其图像如图所示，下列结论正确的有（   ） A． B． C．若，，在抛物线上，则 D．若m、n（）为方程的两根，则 【答案】BCD 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，系数、式子的符号等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 利用抛物线开口向下得到，利用抛物线的对称轴方程得，利用抛物线与y轴的交点位置得到，则可对A选项进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为，则时，，可对B选项进行判断；利用二次函数的性质和A、B、C点到对称轴的距离大小可对C选项进行判断；把m、n看作二次函数与直线的交点的横坐标，结合函数图像可对D选项进行判断． 【详解】解：A选项：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∵抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴， ∴， ∴，故A选项错误； B选项：∵抛物线的对称轴为直线，抛物线与x轴的一个交点坐标为， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为， ∴时，， ∴，故B选项正确； C选项：∵，，， ∴点离对称轴最近，点离对称轴最远， ∵抛物线开口向下，图像上离对称轴越近的点的纵坐标越大， ∴．故C选项正确； D选项：∵m，n（）为方程的两个根， ∴把m、n看作二次函数与直线的交点的横坐标， ∴，故D选项正确． 故选：BCD． 4．（2025·广东惠州·三模）已知抛物线的对称轴为直线，则的最大值为______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数与轴的交点问题，一元二次方程的根与系数的关系，根的判别式．分情况讨论，当抛物线与轴有交点时，设一个交点坐标为，由对称轴为直线，求得另一个交点坐标为，利用根与系数的关系求得，利用二次函数的性质求解即可；当抛物线与轴没有交点时，根据一元二次方程的根的判别式求解即可． 【详解】解：当抛物线与轴有交点时， 设抛物线与轴的一个交点坐标为， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴抛物线与轴的另一个交点坐标为， 即方程的两个根为和， 由根与系数的关系得， ∴， ∵， ∴当时， ∴有最大值为； 当抛物线与轴没有交点时， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， 此时， 整理得， ∴和同号， ①若，时， ∵， ∴， 此时无最大值，不符合题意，舍去； ②若，时， ∵， ∴， 此时无最大值，不符合题意，舍去； 综上，有最大值为； 故答案为：． 5．（2024·广东广州·一模）已知在抛物线上，则______．（填“<”或“>”或“=”） 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据，且，进而可求解，熟练掌握其性质是解题的关键． 【详解】解：，对称轴为， ∴当与时，函数值都都等于， ∴当时函数值随自变量的增大而增大； ∵， ， 故答案为：． 6．（2025·浙江杭州·一模）在平面直角坐标系中，设二次函数， (1)若函数图象的顶点为且过点，求该函数表达式． (2)在（1）的条件下，将函数图象向左平移2个单位，再向下平移3个单位，点是否在新的函数图象上？若在，请求出t的值；若不在，请说明理由． (3)设函数的对称轴为直线，点在函数图象上，将函数向右平移两个单位后得到一个新的函数，点在新的函数图象上． 当时，若对于，都有，直接写出m的取值范围： ． 【答案】(1) (2)不在；理由见解析 (3)或 【分析】（1）由题意得，把点代入可求得，即可求得答案； （2）由平移得，把点代入，整理得，利用根的判别式可得，即可得出答案； （3）运用函数图象平移及二次函数的性质列不等式组求解即可． 本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的性质，抛物线的平移变换，一元二次方程根的判别式，不等式组等，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． 【详解】（1）解：∵函数图象的顶点为， ∴设， 把点代入，得， 解得：， ∴， 即． （2）解：将函数的图象向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到新函数的表达式为：， 把点代入，得：， 整理得：， ∵， ∴原方程没有实数解， ∴点不在新的函数图象上． （3）解：∵原函数的对称轴为直线， ∴将函数向右平移两个单位后，新函数的对称轴变为， 又∵点在原函数的图象上，点在新的函数图象上，且当时，对于，都有， ∴， 即， 解得：， 或， 即， 解得， 故答案为：或． 命题预测5：函数图象识别（折线/双曲线/抛物线）[广东省卷选择常考] 1．（2023·广东深圳·二模）如图，一个沙漏计时器，相关实验结果表明，沙漏中的沙下落的速度可以近似看成匀速，从计时器开始计时到计时为止，上面玻璃球内的含沙量（单位：）与时间（单位：）之间的函数关系图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了函数的图象，正确理解题意是关键；根据一个30min沙漏计时器，沙漏中的沙下落的速度可以近似看成匀速，即上面玻璃球中含沙量会匀速地减少，在时，含沙量减少到0，以此即可选择. 【详解】解：沙漏中的沙下落的速度可以近似看成匀速，则相同时间内，玻璃球内的含沙量的减少量相同，上面玻璃球内的含沙量（单位：）与时间（单位：）之间的函数关系图象大致为一条线段． 故选：A ． 2．（2024·广东·模拟预测）下列函数中，y是x的一次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的定义，一般地，形如，（k为常数，）的函数叫做一次函数． 根据一次函数的定义判断即可． 【详解】解：A.是一次函数，符合题意； B.不是一次函数，不符合题意； C.不是一次函数，不符合题意； D.不是一次函数，不符合题意； 故选：A． 3．（2024·广东·模拟预测）下列函数中，y是x的一次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数的定义，一般地，形如（k，b为常数，且）的函数称为一次函数，据此逐项判断即可． 【详解】解：A、是一次函数，符合题意； B、不是一次函数，不符合题意； C、不是一次函数，不符合题意； D、不是一次函数，不符合题意． 故选：A 4．（2024·广东·模拟预测）下列函数中，y是x的二次函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的识别，直接利用二次函数解析式的一般形式进行分析得出答案． 【详解】解：A、，不是二次函数，故此选项不符合题意； B、，不是二次函数，故此选项不符合题意； C、不是二次函数，故此选项不符合题意； D、是二次函数，故此选项符合题意； 故选：D． 5．（2024·广东汕头·二模）若函数的图象与直线有交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C．且 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了函数图象的交点，分两组情况讨论，当时，两条直线不平行，有交点，当时，抛物线和直线有交点，联立函数得方程有实数解．即，求解即可． 【详解】解：当时，即，，与直线不平行，故有交点， 当时，函数的图象与直线有交点， 即时， ， 综上所述：实数的取值范围是， 故选：B． 6．（2025·广东佛山·三模）随着“双减”政策落地，同学们参加体育运动的时间比以往更加充裕．运动需要有一个合适的心率，既能达到较好的运动效果，又能保障运动安全．某综合实践小组准备研究心率与跳绳活动（每分钟跳160次左右）持续时间的关系．在九年级随机抽取了20位男生，测试了跳绳持续时间与心率，通过计算得到跳绳持续时间与平均相对心率的数据如下： 跳绳持续时间（单位：秒） 0 30 60 90 140 … 平均相对心率 40 60 70 76 82 … (1)判断初中所学函数是否能很好地表示随变化的规律，说明理由； (2)经探究是（是常数）的反比例函数，求与之间的函数表达式； (3)从运动健康着想，平均相对心率不宜长时间超过．结合以上内容，问跳绳运动持续时间多少秒需要休息？ 【答案】(1)不能，理由见解答 (2) (3)300秒 【分析】本题考查反比例函数的应用，掌握一次函数、反比例函数和二次函数的变量变化特征和待定系数法求反比例函数的关系式是解题的关键． （1）分别根据一次函数、反比例函数和二次函数的变量变化特征判断即可； （2）利用待定系数法解答即可； （3）根据题意列关于的不等式并求其解集即可． 【详解】（1）解：初中所学函数不能很好地表示随变化的规律． 理由如下： ∵当自变量的增加值相同时，的增加值不同， ∴不是的一次函数， ∵与的积不是一个定值， ∴不是的反比例函数， ∵当自变量的增加值相同时，相邻值的增加值的差不相同， ∴不是的二次函数， ∴初中所学函数不能很好地表示随变化的规律． （2）解：设，即（为常数，且）， 将和分别代入， 得， 解得， ∴ y与之间的函数表达式为， （3）解：根据题意，得， 解得：， ∴跳绳运动持续时间300秒需要休息． 命题预测6：反比例函数k的几何意义与面积 [广东省卷填空必考] 1．（2024·广东广州·模拟预测）如图，矩形的顶点A在反比例函数的图象上，顶点B，C 在第一象限，对角线轴，交y轴于点D．若矩形的面积是6，，则k的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的比例系数的几何意义，矩形的性质，相似三角形的性质与判定，根据条件易证，利用面积比等于相似比平方可得，继而可求出k值． 【详解】解：∵矩形的面积是6， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点A在反比例函数图象上， ∴． 故选：D． 2．（2025·广东肇庆·一模）如图，矩形的顶点A，B分别在反比例函数和的图象上，顶点E，F都在x轴上，交y轴于点D．若点C在y轴上，且，则（　　） A． B． C．4 D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的比例系数的几何意义，反比例函数图像上点的坐标特征，矩形的性质，熟练掌握反比例函数中k的几何意义，是解答本题的关键．根据k值的几何意义得出，，根据，得出，从而得出，最后求出k值即可． 【详解】解：∵矩形的顶点A，B分别在反比例函数和的图象上， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：． 故选：D． 3．（2026·广东佛山·一模）如图，的边落在x轴上，点C是线段的中点，反比例函数的图像经过点A和点C．若的面积为9，则k的值为_____． 【答案】6 【分析】过A作于D，设，根据三角形的面积公式得到，求得，求得，列方程即可得到结论． 【详解】解：过A作于D， ∵点A在反比例函数的图象上， ∴设，则有， ∵的面积为9， ∴， ∴， ∵点C是的中点， ∴， ∵点C在反比例函数的图象上， ∴， ∴ ∴， ∴． 4．（2025·广东深圳·三模）如图，在平面直角坐标系中，点A、B均在函数的图象上，轴于点，交线段于点．若点为线段的中点，的面积为3，则的值为________ 【答案】8 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数系数的几何意义、相似三角形的判定与性质．过点作轴于点，连接，设点的坐标为，点的坐标为，则，，再证出，根据相似三角形的性质可得，，从而可得，，然后求出，最后根据建立方程，解方程即可得． 【详解】解：如图，过点作轴于点，连接， 由题意，设点的坐标为，点的坐标为， ∴，， ∴，， ∵点为线段的中点， ∴， ∵轴，轴， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴与的边上的高相等， ∴， 又∵， ∴， 解得， 故答案为：8． 5．（2025·广东深圳·三模）如图，点A为x轴正半轴上一点，点B为反比例函数上一点，轴交y轴于点C，延长交反比例函数于点D，若点B恰好为中点，且面积为9，则k的值为________． 【答案】12 【分析】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标，理解此反比例函数图象上点的坐标满足反比例函数的表达式，熟练掌握梯形的中位线定理和三角形的面积公式是解决问题的关键．过点D作轴交y轴于点E，设，证明是梯形的中位线，得，，则，进而得点B，，点D，，再根据面积为9得，则，由此即可得出k的值． 【详解】解：过点D作轴交y轴于点E，如图所示： 设，则， ∵轴， ∴， ∵点B恰好为中点， ∴是梯形的中位线， ∴，， ∴， ∴点B的纵坐标为b，点D的纵坐标为2b， ∵点B，D都在反比例函数的图象上， ∴点B的坐标为， ，点D的坐标为， ∴，， ∴， ∴， ∵面积为9， ∴， ∴， ∴． 故答案为：12． 6．（2025·广东深圳·模拟预测）如图，在直角坐标系中，菱形的顶点在轴上，顶点，位于第一象限，反比例函数（，）的图象经过点且与相交于点，若的面积为，，则的值为______. 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，反比例函数与结合图形，解直角三角形，如图过点作于点，连接，设，则，则，根据题意得出进而得出菱形的面积为，根据的面积为得出菱形的面积为，即可求解． 【详解】解：如图过点作于点，连接， ∵四边形是菱形， ∴ ∵， ∴， 设，则，则 ∴ ∴菱形的面积为 又∵的面积为， ∴的面积为 ∴菱形的面积为 ∴ ∴ ∴， 故答案为：． 7．（2025·广东湛江·二模）反比例函数在第一象限的图象如图所示，过点作x轴的垂线，交反比例函数的图象于点M，的面积为2． (1)求反比例函数的解析式； (2)设点B的坐标为，其中．若以为一边的正方形有一个顶点在反比例函数的图象上，求t的值． 【答案】(1)； (2)4或． 【分析】本题考查待定系数法求反比例函数解析式、反比例函数的图象和性质等知识．关键在于结合图形找点的坐标． （1）根据的面积为2，可求出点的坐标，即可求解． （2）分情况讨论即可． 【详解】（1）解：的面积为2，反比例函数的图象经过第一象限， ， ， 反比例函数的表达式为． （2）解：设正方形为， 当顶点在反比例函数的图象上时，点与点重合，即． 把代入，得， 点的坐标为， ， ； 当顶点在反比例函数的图象上时，， 点的坐标为， ． 整理，得， 解得，（舍去）， 综上所述，的值为4或． 8．（2024·广东·模拟预测）如图，点在反比例函数的图象上，轴，垂足为，过作轴，交过点的一次函数的图象于点，交反比例函数的图象于点，． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)求的长． (3)求的面积． 【答案】(1)， (2) (3)3 【分析】（1）利用反比例函数系数的几何意义即可求得的值，把点的坐标代入即可求得的值，从而求得反比例和一次函数的解析式； （2）利用两个函数的解析式求得、的坐标，进一步即可求得的长度； （3）通过三角形面积公式即可求解． 本题主要考查了待定系数法求一次函数的解析式，反比例函数系数的几何意义，反比例函数、一次函数图像上点的坐标特征，求得函数的解析式是解题的关键． 【详解】（1）∵点在反比例函数的图象上，轴， ∴， ∴， ∴反比例函数为， ∵一次函数的图象过点， ∴，解得， ∴一次函数为． （2） ∵过作轴，交过点的一次函数的图象于点， ∴当时；， ∴，， ∴． （3） ∵， ∴， ∴． 命题预测7：二次函数顶点在直线上求参数 [广州2025年第15题] 1．（2024·广东广州·二模）在平面直角坐标系中，抛物线（是常数）的顶点为． (1)直接写出点的坐标：______（用含的式子表示）； (2)若过点作平行轴的直线交抛物线于点，（在的左边，在的右边），，求的最小值； (3)在第（2）问的条件下，将直线向上平移与抛物线分别交于、，与y轴交于，（在的左边，在的右边），且，当点关于直线的对称点在直线的上方时，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查二次函数综合，一元二次方程根与系数的关系，轴对称的性质； （1）抛物线的对称轴为，将代入抛物即可求得答案； （2）设点的横坐标为，点的横坐标为，根据题意可得，结合 ，可得，可知是的二次函数； （3）在（2）的条件下，求得当关于的对称点在上时，，结合函数图象，即可求解． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴为， 将代入抛物线，得 所以，点的坐标为 （2）解：令，则 即， 设点的横坐标为，点的横坐标为，根据题意可得 ， 解得， 又， ∴， 即， ∵， ∴当时，的最小值为； （3）解：∵的坐标为，， ∴到的距离为 当关于的对称点在上时， 则 设，则 设、的横坐标为，则是方程即的两根， ∴ 解得： ∴ 又， ∴ 解得：或（因为抛物线开口向上，，舍去） 即当 关于的对称点在上时， 在（2）中，当， ∴当点关于直线的对称点在直线的上方时， 2．（2024·广东深圳·一模）综合与应用 为促进中学生全面发展，培养良好体质，某班同学在“大课间”开展“集体跳绳”运动．跳绳时，绳甩到最高处时的形状是抛物线的部分图象，以点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系，若摇绳的两人之间间距为6米，摇绳时两人手离地面均为米；已知小丽身高1.575米，在距离摇绳者A的水平距离米处，绳子刚好经过她的头顶．    【阅读理解】 （1）求图中抛物线的解析式；（不需要求自变量取值范围） 【问题解决】 （2）体育龙老师身高米，请问他适合参加本次运动吗？说明理由； （3）若多人进入跳绳区齐跳，且大家身高均为1.7米，要求相邻两人之间间距至少为0.6米，试计算最多可供几人齐跳. 【答案】（1）；（2）他不适合参加本次运动，理由见解析；（3）最多可供人齐跳 【分析】（1）用待定系数法求出二次函数解析式即可； （2）求出函数的最大值，进行判定即可； （3）令，得，求出，，根据，得出最多可供人齐跳． 【详解】解：（1）依题意，抛物线经过，，， 可列方程组， 解得， ∴抛物线解析式为； （2）∵， ∴抛物线开口向下， 当时， 有最大值， ∵， ∴他不适合参加本次运动； （3）令，得， 解得，， ∵，， ∴最多可供人齐跳． 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，涉及待定系数法求二次函数解析，求函数的最值，求自变量的值，解题的关键是根据题意求出二次函数解析式． 3．（2025·广东广州·二模）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，点为抛物线上不与顶点重合的动点，把抛物线绕点顺时针旋转得到新的图象，点在图象上的对应点为． (1)求抛物线的对称轴； (2)当以为直径的有且只有一个点与轴相切时，求点坐标； (3)已知，原抛物线图象与旋转后图象的其中一个公共点为，当点在点左侧，求点的横坐标取值范围． 【答案】(1)直线 (2)或 (3) 【分析】（1）利用抛物线的对称轴公式即可求解； （2）设点坐标为，得到，根据旋转的性质得到点坐标为，，根据圆周角定理和切线的性质定理得到轴，得到，整理得到方程有两个相等的实数根，利用求出和的值，即可解答； （3）利用二次函数的性质得到，得出点旋转后的对应点，根据题意可知点与点重合，则有，代入得到抛物线的解析式为，设点坐标为，则有，点坐标为，结合点在点左侧求出的范围，再利用二次函数的性质即可解答． 【详解】（1）解：抛物线， 抛物线的对称轴为直线， 即抛物线的对称轴为直线． （2）解：设点坐标为， 点在抛物线上， ， 由题意得，点绕点顺时针旋转得到点， 点坐标为，， 以为直径的， 点在上，点是的中点， 点坐标为， 有且只有一个与轴相切， 轴， ，即， 有两个相等的实数根， 整理得：， ， 解得：，， 当，此时， 当，此时， 点坐标为或． （3）解：令，则， 点坐标为， 点绕点顺时针旋转得到点，则点坐标为， 在图象上， 点与点重合， ， 代入到，得， 解得：， 抛物线的解析式为， 设点坐标为， 点在抛物线上， ， 由（2）得，点坐标为， 点在点左侧， ，即， 解得：， ， 当时，有最大值；当时，有最小值； ， 点的横坐标取值范围为． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、旋转的性质、切线的性质定理、抛物线与坐标轴的交点、解一元二次不等式，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．本题属于函数与几何综合题，需要较强的数形结合能力，适合有能力解决压轴题的学生． 命题预测8：函数与不等式结合利用图象求解 [广州、省卷解答题] 1．（2025·广东东莞·一模）如图，已知直线与相交于点，则关于的不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查图象法求不等式的解集．利用图象法求不等式的解集即可． 【详解】解：由图象可知：时，直线不在直线的下方， ∴的解集为； 故选：C． 2．（2025·广东韶关·一模）如图，已知直线与直线交于点，则关于x的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数与不等式，先求出的值，根据图象法求出不等式的解集即可． 【详解】解：把代入，得：， ∴， ∵， ∴， 由图象可知：； 故选A． 3．（2025·广东清远·一模）抛物线如图所示，抛物线与轴交于点，顶点坐标为，下列结论：①；②；③对于任意实数，都有；④当时，．其中正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质、二次函数图象与系数的关系、二次函数图象与不等式的关系等知识点，灵活运用二次函数的性质成为解题的关键． 根据图象开口向下可知，与轴的交点在原点上方可知，据此可判断①；因为抛物线与轴交于，对称轴为直线，所以另一交点为，则、两式相减可得，可判断②；抛物线顶点坐标为，开口向下，则为最大值，对于任意实数，都有，据此可判断③；由图象可得当时，，据此可判定④． 【详解】解：∵抛物线的开口向下， ∴， ∵与轴的交点在原点上方可， ∴， ∴，即①正确； ∵抛物线与轴交于，对称轴为直线， ∴抛物线与x轴的另一交点为， ∴当时，；当时，， ∴两式相减可得，即②正确； ∵抛物线顶点坐标为，开口向下， ∴为最大值， ∴对于任意实数，都有，即③错误； ④由图象可得，当时，，即④正确． 综上，正确的有3个． 故选C． 4．（2025·广东广州·一模）已知二次函数（）与轴交于、两点，与轴交点的纵坐标是，且，则以下结论中不正确的是（   ） A． B． C．抛物线的顶点坐标为 D．若，则或 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，二次函数和一元二次方程的关系，二次函数和不等式的关系，顶点坐标，对称轴等知识点，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． 利用二次函数的图象和性质，二次函数和一元二次方程的关系，二次函数和不等式的关系，顶点坐标，对称轴等知识点逐项进行判断即可． 【详解】解：A. 因为二次函数（）与轴交于、两点，与轴交点的纵坐标是，且，可判断出抛物线开口向下，对称轴位于轴的左侧， ∴， ，故该选项正确，不符合题意； B. 因为二次函数（）与轴交于、两点，当函数值为0时，即当时，， ，， ∴， ， ∵抛物线与轴交点的纵坐标是，且， ∴， 即， 解得，故该选项正确，不符合题意； C.由B选项可得抛物线的对称轴为直线，所以顶点横坐标为， 根据抛物线顶点纵坐标公式可得，， ∴抛物线的顶点坐标为，故该选项正确，不符合题意； D.当时，抛物线的函数值为，此时，根据对称轴可得该点的对称点的横坐标为， 由选项A可知抛物线开口向下， ∴当时，， 即当时，，故该选项错误，符合题意； 故选：D． 5．（2025·广东湛江·二模）如图，一次函数与的图象都经过点，则不等式的解集为______． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，解题的关键是找出函数的交点．首先需要找出两个函数的交点，然后根据函数图象即可确定不等式的解集． 【详解】解：由题意知，一次函数与的图象都经过点， 由于， 所以． 故答案为：． 6．（2025·广东惠州·一模）如图，已知抛物线与直线相交于两点，则不等式成立时，的取值范围是_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数与不等式的关系，由图像可求得的解集，即可获得答案，解题关键是利用数形结合的思想分析问题． 【详解】解：∵抛物线 与直线相交于两点， ∴由图可知，当时，二次函数图象在一次函数图象上方，此时， ∴的解集为， ∴不等式的解集为． 故答案为：． 7．（2024·广东·模拟预测）【背景阅读】函数是刻画现实世界中变化规律的重要数学模型．在学习过程中，需加强知识间横向和纵向的联系，将方程、不等式等数学对象统一起来，融会贯通，提高分析问题和解决问题的能力． 【理解应用】某校数学小组用学习“一次函数”中积累的经验和方法研究函数的图象和性质，并解决问题． (1)在画函数图象时，甲同学采用列表法，描点画出了函数图象： … … … … 其中，______，______，______． 乙同学通过观察，发现可以将这个没有学过的函数解析式转化为已经学过的一次函数解析式： ①当时，； ②当时，_______； ③当时，_______． 显然，②和③均为某个一次函数的一部分．因为两点确定一条直线，因此可用两点法画出每部分函数图象；由①可知，此函数图象过点，所以每部分函数图象上再分别确定一点即可画出函数的图象． (2)如图，在平面直角坐标系中，作出函数的图象． (3)一次函数（为常数，）的图象过点，请直接写出不等式的解集． 【答案】(1)0，，；②；③； (2)见解析 (3)或 【分析】本题考查了一次函数的性质，利用图象法解一元一次不等式，正确的数形结合是解题关键． （1）直接代入解析式计算即可； （2）直接利用（1）中所求的函数图象； （3）先求出，画函数的图象，根据图象即可得出答案． 【详解】（1）解：当时，，即； 当时，，即； 当时，，即； ①当时，； ②当时，； ③当时，． （2）解：当时，； 当时，； 当时，； 描点，连线，如图所示： （3）解： 由经过可得，解得：， 当时，；解得：， 当时，；解得：， 结合图象可知：不等式的解集是或． 8．（2025·广东广州·一模）如图，已知直线过点，且与直线相交于点． (1)求直线的解析式； (2)当且时，自变量的取值范围是______； (3)若双曲线与直线相交于两点，求的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求解析式，一次函数与不等式，掌握知识点的应用是解题的关键． （）先求出，然后利用待定系数法即可求解； （）由题意得，然后解出不等式组即可； （）联立方程组，求出另一个交点B的坐标为，作轴于点E，轴于点，然后通过即可求解． 【详解】（1）解：把代入得，， ∴， 把和点代入， 得， 解得， ∴直线的解析式为； （2）解：∵且， ∴， 解得：， 故答案为：； （3）解：联立方程组，得， 解得（舍去）或， ∴另一个交点B的坐标为， 如图，作轴于点E，轴于点， ∴，，，， ∴． 命题预测9：函数实际应用（分段函数、变化趋势）[省卷、广州基础解答] 1．（2026·广东广州·模拟预测）在平面直角坐标系中，直线经过点，两点．下列说法：①若点也在直线上，则；②若直线经过第一、第四象限，则；③若，为直线上两点，且，则；④过点作，垂足为，则的最大值是．其中正确的结论有（   ） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 【答案】C 【分析】先根据两点坐标求出直线的解析式，再根据一次函数性质和几何最值逐一分析判断即可求解． 【详解】解：设直线解析式为，把，代入得， ， 解得 ∴直线的解析式为 ， ①∵点也在直线上， ∴， 解得，故①错误； ②当时，，，直线过一、二、三象限，不经过第四象限； 当时，，，直线过二、三、四象限，不经过第一象限； 当时，，，直线过一、二、四象限，同时经过第一和第四象限，故②正确； ③，， ∴随增大而减小， ，即， 解得，故③错误； ④由直线解析式得 ，令， 解得，此时， ∴直线恒过定点， ，为垂足， ， ∴点在以为直径的圆上，原点也在该圆上，如图， ∵， 的最大值为的长度，故④正确； 综上，正确的结论有②④正确． 2．（2024·广东·模拟预测）如图，直线交双曲线于、两点，交轴于点，作轴于点，点为上任意一点，当时，与轴交点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的综合，先求出，结合题意可得，令交轴于点，求出从而可得点的纵坐标为，求出，待定系数法求出直线解析式为，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：令，整理得：， 解得，， ，， 轴于点， ， 如图：令交轴于点， ， ∵，，， ， ， ， 在中，当时，， ， 轴于点， ∴轴， ∵， ∴轴，即点的纵坐标为， 在反比例函数中，当时，， ， 设直线的解析式为，代入点坐标得：， 解得， 直线解析式为：， 当时，， 与轴交点坐标为． 故选：C． 3．（2026·广东江门·一模）如图1，直线与反比例函数的图象在第一、三象限交于点A，B，与x轴、y轴分别交于点C，D，过点A作轴于点E，点F为x轴上一点，直线与直线关于直线对称． (1)若，，点A的横坐标为3，求反比例函数的解析式； (2)如图2，过点F作轴交于点G，过点A作于点P，连接．若k为定值，求证：的面积为定值； (3)在（1）的条件下，设抛物线的顶点为点Q，在平面直角坐标系中存在点Q，使最大，请直接写出点Q的坐标． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）先求出，，得出，证明．得出，根据，点A的横坐标为3，求出，得出，即可得出答案； （2）求出，，得出，，证明四边形是矩形，得出．根据，得出，即，设，则，根据点A在反比例函数的图象上，得出，根据即可证明结论； （3）由（1）得，，，，求出抛物线的顶点Q的坐标为，得出点Q是直线上一点．证明，作点D关于直线的对称点，连接并延长，交直线于点Q，此时最大，求出点的坐标为，待定系数法求出直线的解析式为．联立，求出点Q的坐标为． 【详解】（1）解：当时，直线的解析式为， 把代入得， 把代入得， 解得：， ∴，， ∴， ∵轴， ∴， 又， ∴． ∴， ∵，点A的横坐标为3， ∴， ∴，， 将代入，得， 解得：， ∴反比例函数的解析式为． （2）证明：把代入得：， 把代入得：，解得：， ∴，， ∴，， ∵轴，，轴， ∴四边形是矩形， 又直线与直线关于直线对称， ∴． 根据（1）可知：， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵点A在反比例函数的图象上， ∴， ∴． 即若k为定值，则的面积为定值． （3）解：由（1）得，，，， ∵直线与直线关于直线对称， ∴， ∵， ∴抛物线的顶点Q的坐标为， ∴点Q是直线上一点． 把代入得：， 解得：， ∴在直线， 把代入得：，设与y轴交于点， ∴， ∴，，， ∴， ∴为直角三角形，， ∴， 作点D关于直线的对称点，连接，，如图所示： 根据轴对称可知，， ∴，当共线时取最大值， 此时，∵直线， ∴点在直线上，且， ∴根据中点坐标可知：点的坐标为， 设直线的解析式为， 将，代入，得， 解得， ∴直线的解析式为． 联立， 解得， ∴点Q的坐标为． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的性质，二次函数的性质，一次函数的综合应用，相似三角形的判定和性质，轴对称的性质，勾股定理的逆定理，两点间距离公式，中点坐标公式，解题的关键是数形结合，熟练掌握相关的性质． 4．（2024·广东·模拟预测）综合运用 如图，在平面直角坐标系中，直线：与x轴交于点，与y轴交于点B，与直线：交于点C． (1)求点C的坐标； (2)抛物线的顶点F在直线上，以为边向右作菱形，点恰好与原点重合，连接． ①当为直角三角形时，求抛物线的解析式； ②若抛物线同时与菱形的边有公共点时，求的取值范围． 【答案】(1) (2)①抛物线的解析式为或， ②的取值范围为： 【分析】这道题综合考查了一次函数、二次函数、菱形的性质以及直角三角形的判定等知识，掌握这些性质定理是解题关键． （1）先将点代入直线：，求出的值，得到直线的解析式，然后联立直线与的解析式，解方程组求出交点C的坐标； （2）①先根据菱形的性质求出点的坐标，再结合抛物线顶点在直线上，得到．由题意易得，然后分两种情况（、)），利用直角三角形的性质和坐标关系列方程求解抛物线的解析式； ②分别求出抛物线经过菱形边和上关键点时的值，从而确定的取值范围． 【详解】（1）解：直线：与x轴交于点， 将，代入， 得：， ， ： ：与：交于点C 联立方程组得：，解得： （2）①由题意得，点与点关于轴对称， ， 由抛物线的解析式可知抛物线的顶点的坐标为． 点在直线上， ， 抛物线的解析式为，顶点坐标为． 由题意易得， 当时，，即，解得（不符合题意）， 把代入中， 得， ， 此时抛物线的解析式为； 当时，，即，解得，把代入中，得， ， 此时抛物线的解析式为． 综上所述，抛物线的解析式为或． ②当抛物线对称轴左侧图象经过点时，如答图， 将代入，得， 解得：， 当抛物线顶点经过点时，如答图， 得 的取值范围为：． 5．（2024·广东梅州·模拟预测）五华，这片土地孕育了深厚的足球文化．从亚洲球王李惠堂到近年来唯一的县级中超球队梅州客家，他们的存在不仅彰显了五华足球的历史，更推动了当地体育事业的蓬勃发展．五华某校致力于发展足球运动，决定加大投入购买足球和足球锥形桶．在商场发现若购买20个足球和40个足球锥形桶需要花费1800元，且购买1个足球锥形桶比1个足球少花30元． (1)求每个足球和足球锥形桶的单价； (2)根据学校计划，该中学需足球、足球锥形桶共120个，且足球的数量不少于足球锥形桶数量的，应如何购买才能使总费用最少？并求出最少费用． 【答案】(1)每个足球的价格是50元，每个足球锥形桶的价格是20元 (2)当购买40个足球，80个足球锥形桶时，总费用最少，最低费用为3600元 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，一次函数的应用等知识． （1）设每个足球的价格是x元，每个足球锥形桶的价格是y元，根据“买20个足球和40个足球锥形桶需要花费1800元，且购买1个足球锥形桶比1个足球少花30元”列出方程组，解方程组即可求解； （2）设学校购买了足球a个，需要的总费用为W元，根据题意列出函数关系式，根据题意得到，根据一次函数性质即可得到当时，，问题得解． 【详解】（1）解：设每个足球的价格是x元，每个足球锥形桶的价格是y元． 依题意，得， 解得：， 答：每个足球的价格是50元，每个足球锥形桶的价格是20元； （2）解：设学校购买了足球a个，需要的总费用为W元， 则， 由题意得：， ∴， ∵， ∴W随a的增大而增大， ∴当时，， （个）． 答：当购买40个足球，80个足球锥形桶时，总费用最少，最低费用为3600元． 6．（2025·广东中山·模拟预测）北京冬季奥运会的吉祥物冰墩墩在冬奥会期间火遍全国．某网店也借机售卖一款冰墩墩，进价为30元/个，规定单个销售利润不低于10元，且不高于31元，试销售期间发现：当销售单价定为40元时，每天可以售出500个，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10个，该网店决定提价销售，设销售单价为x元，每天销售量为y个． (1)直接写出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围； (2)网店为响应“助力奥运，回馈社会”活动，决定每销售1个冰墩墩就捐赠m元给希望工程，若每天扣除捐赠后可获得最大利润为7830元，则m的值是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了求函数解析式、二次函数的应用等知识点，掌握二次函数的性质成为解题的关键． （1）根据原销售件数减去减少的件数列出函数关系式即可； （2）根据单件利润减去捐赠数为最后单件利润，再根据销售利润等于单件利润乘以销售量列出函数关系式，再根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：因为进价为30元/个，规定单个销售利润不低于10元，且不高于31元， 所以 由题意得，； 所以y与x之间的函数关系式为：． （2）解：设每天扣除捐赠后可获得利润为W， 根据题意得，则， ∴对称轴为， ∵， ∴， ∴当时，W 随x的增大而增大， ∴时，W取得最大值， ∴，解得：． 7．（2025·广东深圳·二模）新课标中，数学课程要培养的学生核心素养是“用数学的眼光观察现实世界，用数学的思维思考现实世界，用数学的语言表达现实世界”，这集中体现了数学课程的育人价值，也说明数学和实际生活密不可分．数学老师给小明小组布置了一项数学与实际的作业，让他们到菜市场进行调研，并利用所学的数学知识对销售提出合理化建议．小明小组经调研发现，某店铺蔬菜的售卖情况大致遵循以下规律． 规律一 当每千克蔬菜的售价为8元时，每天能销售80千克． 规律二 当每千克蔬菜的售价每降低元，每天的销售量就会增加10千克． 经小组讨论，发现里面可能存在函数关系，考虑用已学的函数知识帮助店家解决问题． 【建立模型】 （1）设每天销售这种蔬菜的销售额为y元，每千克蔬菜降价x元，求y与x的函数关系式； 【设计方案】 （2）当每千克蔬菜降价多少元时，该店铺每天销售这种蔬菜的销售额最多？最多为多少元？ 【实际需求】 （3）若该店铺老板希望每天销售这种蔬菜的销售额不低于540元，求这个蔬菜应参考的售价范围. 【答案】（1）； （2）当每千克蔬菜降价2元时，该店铺每天销售这种蔬菜的销售额最多，最多为720元； （3） 这个蔬菜应参考的售价范围是3元至8元 【分析】（1）依据题意，由每千克蔬菜的售价为8元时，销量为80千克，每降价元，销量增加10千克，则可设降价为x元，故销量增加量为千克，从而总销量为千克，又此时售价变为元/千克，进而可以计算得解； （2）依据题意，结合，从而可以结合二次函数的性质判断得解； （3）依据题意，令，则或，又二次函数的图象开口向下，结合该店铺老板希望每天销售这种蔬菜的销售额不低于540元，进而可以判断得解． 本题主要考查了二次函数的应用，解题时要能读懂题意，列出关系式是关键． 【详解】解：（1）由题意，每千克蔬菜的售价为8元时，销量为80千克，每降价元，销量增加10千克， 设降价为x元，则销量增加量为千克 总销量为千克． 又此时售价变为元/千克， 销售额y与x的函数关系式为： （2）由题意，结合 当时，y取最大值，最大销售额为720元． 答：当每千克蔬菜降价2元时，该店铺每天销售这种蔬菜的销售额最多，最多为720元． （3）由题意，令， 或 二次函数的图象开口向下， ∴时，， ∵该店铺老板希望每天销售这种蔬菜的销售额不低于540元，， ∴， 对应售价为：元至元，即这个蔬菜应参考的售价范围是3元至8元． 8．（2025·广东东莞·二模）东莞“启航文化”公司设计生产一种学生毕业纪念册，并投放市场，已知制造成本为18元/件.经过市场调查发现，销售单价为32元时，每月的销售量为（万件）；销售单价为24元时，每月的销售量为（万件）；如果每月的销售量（万件）与销售单价（元/件）成一次函数关系． (1)求每月销售量（万件）与销售单价（元/件）之间的函数关系式； (2)根据市场监管部门规定，这种产品的销售利润率不能高于，同时厂家要求这种产品每月的制造成本不能超过900万元．当销售单价为多少元时，厂家每月能获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)当销售单价为27元时，厂商每月获得的利润最大，最大利润为414万元 【分析】本题主要考查了二次函数的二次函数的应用、根据实际问题列一次函数关系式、根据实际问题列二次函数关系式，解答本题的关键是得出月销售利润的表达式，要求同学们熟练掌握配方法求二次函数最值的应用． （1）依据题意，根据待定系数法计算可以得解； （2）根据利润=销售量销售单价-成本，代入代数式求出函数关系式；根据厂商每月的制造成本不超过900万元，以及成本价18元，得出销售单价的取值范围，进而得出最大利润． 【详解】（1）解：设销售量（万件）与销售单价（元）之间的函数关系式为：， 把，代入得， ， 每月销售量（万件）与销售单价（元）之间的函数关系式为：； （2）解：设每月的利润w万元，由题意得， ， ， 商每月的制造成本不超过900万元，每件制造成本为18元， 每月的生产量为：小于等于万件， ， ， 又由销售利润率不能高于，得， ， ， 图象开口向下，对称轴左侧w随x的增大而增大， 当时，w取最大值，最大值为414万元． 答：当销售单价为27元时，厂商每月获得的利润最大，最大利润为414万元． 9．（2025·广东广州·二模）某中学开展“莲韵文化”手工实践活动，同学们制作不同工艺等级的莲花灯．基础款为第1级，每盏利润10元，每天可制作50盏．每提升1个工艺等级，单盏利润增加2元，日产量减少4盏． (1)若某天手工社团获得总利润588元请问他们制作的是第几个工艺等级的莲花灯（工艺等级从第1级开始依次递增）？ (2)若社团希望获得最大日利润，应选择第几工艺等级？此时最大日利润是多少元？ 【答案】(1)他们制作的是第个工艺等级的莲花灯 (2)社团希望获得最大日利润，应选择第5工艺等级，最大利润为612元 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，二次函数的实际应用，正确的列出方程和函数解析式，是解题的关键： （1）设他们制作的是第个工艺等级的莲花灯，根据总利润等于单件利润乘以销量，列出方程进行求解即可； （2）设总利润为，选择第个工艺等级，根据总利润等于单件利润乘以销量，列出二次函数关系式，求最值即可． 【详解】（1）解：设他们制作的是第个工艺等级的莲花灯，由题意，得： ， 解得：或（不合题意，舍去）； 答：他们制作的是第个工艺等级的莲花灯； （2）设总利润为，选择第个工艺等级，由题意，得： ， ∴当时，函数取的最大值，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小， ∵为整数， ∴时，； 时，； 故社团希望获得最大日利润，应选择第5工艺等级，最大利润为612元． 10．（2025·广东茂名·三模）高州荔枝以品种多、品质优、口感佳和历史悠久而驰名中外．在销售挂绿荔枝过程中，每千克售价不低于40元且不高于80元，商家发现销售量y（千克）与每千克售价（元）之间的函数关系如图所示． (1)求关于的函数关系式． (2)设该商家挂绿荔枝的销售额为（元），当每千克售价定为多少元时，销售额最大？最大销售额是多少？ 【答案】(1) (2)当每千克售价定为56元时，销售额最大，最大销售额为3920元 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数，二次函数的性质，理解题意，正确求得相关函数解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法即可解答； （2）销售额等于销售量乘以售价，据此即可列出销售额关于售价的函数关系式，即可解答． 【详解】（1）解：由题图可设， 且该函数图象经过点， ， 解得 关于的函数关系式为； （2）解：由题意得， , 当时，w有最大值，最大值为3920． 答：当每千克售价定为56元时，销售额最大，最大销售额为3920元． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 函数图象与性质综合 目 录 01 析·考情目标 02 筑·专题框架 03 攻·重难考点 真题动向 题型一 函数自变量取值范围与函数概念 题型二 一次函数图象平移与交点问题 题型三 反比例函数图象位置与性质 题型四 二次函数图象、对称性与增减性 题型五 函数图象的识别与选择 题型六 函数与方程、不等式的综合应用 题型七 函数与几何图形综合（周长、面积、最值） 必备知识 知识1 函数的定义与三种表示方法 知识2 一次函数解析式、图象与性质（k、b符号） 知识3 一次函数图象平移规律 知识4 反比例函数解析式、图象与象限分布 知识5 二次函数三种解析式、对称轴与顶点坐标 知识6 二次函数图象对称性、增减性与开口方向 知识7 函数与方程的解、不等式解集的关系 知识8 函数图象与线段、图形的交点判断 命题预测 预测1 函数自变量取值范围 [广州2025年第13题/广东省卷高频考点] 预测2 一次函数图象平移与交点范围 [广州2025年第6题必考] 预测3 反比例函数图象所在象限判断 [广州2025年第7题高频] 预测4 二次函数对称性、增减性与比较函数值 [广州2025年第10题/深圳压轴选择] 预测5 函数图象识别 [广东省卷选择常考] 预测6 反比例函数k的几何意义与面积 [广东省卷填空必考] 预测7 二次函数顶点在直线上求参数 [广州2025年第15题] 预测8 函数与不等式结合利用图象求解 [广州、省卷解答题] 预测9 函数实际应用 [省卷、广州基础解答] 命题 透视 命题形式： 选择题、填空题及解答题 考察能力： 运算能力、抽象能力、推理能力、几何直观、模型观念、数形结合思想 热考角度 考点 广东省卷 广州卷 深圳卷 平面直角坐标系与函数基础 2025：T12（位似图形与坐标） 2024：T23（坐标系中的几何综合） 2025：T6（一次函数平移与线段交点） 2024：T16（反比例函数与矩形平移综合） 2025：T10（坐标平移）、T12（正比例函数与反比例函数交点） 2024：T12（反比例函数与菱形综合） 一次函数 2025：T8（函数图象识别——一次函数与实际问题） 2024：T10（一次函数与一元一次不等式） 2025：T6（一次函数平移与线段交点） 2025：T12（正比例函数与反比例函数交点）、T17（一次函数方案选择） 反比例函数 2025：T23（反比例函数与矩形、几何综合） 2024：T23（反比例函数与矩形、折叠综合） 2025：T7（反比例函数图象性质） 2024：T16（反比例函数与矩形平移综合） 2025：T12（正比例函数与反比例函数交点） 2024：T12（反比例函数与菱形综合） 二次函数 2025：T10（二次函数图象与性质——比较函数值）、T15（求二次函数表达式）、T18（二次函数与实际应用——抛物线型悬索桥） 2024：T8（二次函数图象上点的坐标特征） 2025：T10（二次函数图象与性质——比较函数值）、T15（求二次函数表达式中的参数）、T24（二次函数与实际应用——抛物线型隧道） 2024：T8（一次函数与反比例函数图象性质）、T23（二次函数与几何综合） 2025：T18（二次函数与圆、切线综合）、T19（二次函数与实际应用——排队问题） 2024：T19（二次函数与新定义、抛物线开口大小） 函数综合应用 2025：T18（二次函数与悬索桥实际问题）、T23（反比例函数与矩形几何综合） 2024：T23（反比例函数与矩形折叠综合） 2025：T24（二次函数与隧道实际问题） 2024：T23（二次函数与几何综合——新定义问题） 2025：T18（二次函数与圆、切线综合）、T19（二次函数与实际应用——排队问题）、T20（新定义——双等四边形与函数思想） 2024：T19（二次函数与新定义——抛物线开口大小）、T20（新定义——垂中平行四边形与函数思想） 命题预测 1. 考情预测 · 根据近两年广东省内中考的趋势，2026年的中考中，“函数图象与性质”板块将继续作为压轴题和综合题的核心内容。 · 一次函数：主要考查图象性质、平移变换以及与方程、不等式的综合，常以选择、填空形式出现。 · 反比例函数：常与几何图形（矩形、菱形、三角形）结合，考查面积、坐标关系及参数求解，综合性较强。 · 二次函数：是重中之重，主要考查方向包括：图象与性质（对称性、增减性、比较函数值）、表达式确定（待定系数法）、与实际问题的结合（抛物线型隧道、拱桥、商品利润最值等），以及与几何图形（圆、三角形、四边形）的动态综合问题。 · 函数综合：将多种函数与几何图形、新定义问题融合，考查数形结合、分类讨论、模型思想等综合能力。 2. 备考建议 · 熟练掌握各类函数（一次、反比例、二次）的图象特征、性质（开口方向、对称轴、顶点、增减性、象限分布）及表达式求法。 · 强化函数与几何的综合能力，特别是坐标系中几何图形（点、线、三角形、四边形、圆）的函数表示及关系转化。 · 关注函数实际应用问题，学会从实际问题中抽象出函数模型，并利用函数性质求解最值等实际问题。 · 提高数形结合、分类讨论、方程思想的应用能力，能综合运用函数知识解决复杂问题。 题型一 函数自变量取值范围与函数概念 1. 式子有意义：分式分母≠0，二次根式被开方数≥0，多条件取公共范围。 1. 实际问题：自变量需符合非负、整数等现实要求，不可只看代数式。 1. 函数判定：一个自变量x只能对应唯一的y值。 1．（2025·广东广州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点，点，若将直线向上平移d个单位长度后与线段有交点，则d的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·广东广州·中考真题）若抛物线的顶点在直线上，则m的值为__________． 3．（2025·广东广州·中考真题）因活动需要购买某种水果，数学活动小组的同学通过市场调查得知：在甲商店购买该水果的费用（元）与该水果的质量x（千克）之间的关系如图所示；在乙商店购买该水果的费用（元）与该水果的质量x（千克）之间的函数解析式为（）.    (1)求与x之间的函数解析式； (2)现计划用600元购买该水果，选甲、乙哪家商店能购买该水果更多一些？ 题型二 一次函数图象平移与交点问题 1. 平移规律：k不变，左加右减变x，上加下减变常数项。 2. 求坐标轴交点：令x=0求y轴交点，y=0求x轴交点。 3. 两直线交点：联立函数解析式，解方程组得坐标。 1．（2025·广东广州·中考真题）如图，曲线过点． (1)求t的值； (2)直线也经过点P，求l与y轴交点的坐标，并在图中画出直线l； (3)在（2）的条件下，若在l与两坐标轴围成的三角形内部（不包含边界）随机取一个格点（横、纵坐标都是整数的点），求该格点在曲线G上的概率． 2．（2024·广东真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点．求： (1)求反比例函数和一次函数的解析式． (2)求直线与x轴的交点C的坐标及的面积． (3)直接写出一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围． 题型三 反比例函数图象位置与性质 1. k>0图象在一、三象限，k<0在二、四象限，关于原点中心对称。 2. 同一象限内，k>0时y随x增大而减小，k<0则相反。 3. 图象上任意点(x,y)满足xy=k，可快速求k或点坐标。 1．（2025·广东广州·中考真题）若，反比例函数的图象在（   ） A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限 2．（2024·广东深圳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形为菱形，，且点A落在反比例函数上，点B落在反比例函数上，则________．    3．（2025·广东深圳·中考真题）如图，同一平面直角坐标系下的正比例函数与反比例函数相交于点和点．若的横坐标为1，则的坐标为__________． 题型四 二次函数图象、对称性与增减性 1. 由a定开口，对称轴，顶点是增减分界点。 2. 开口向上，对称轴左侧递减、右侧递增；开口向下相反。 3. 对称点横坐标的平均数，即为抛物线对称轴。 1．（2025·广东广州·中考真题）在平面直角坐标系中，两点，在抛物线，则下列结论中正确的是（   ） A．当且时，则 B．当时，则 C．当且时，则 D．当时，则 2．（2024·广东深圳·中考真题）为了测量抛物线的开口大小，某数学兴趣小组将两把含有刻度的直尺垂直放置，并分别以水平放置的直尺和竖直放置的直尺为x，y轴建立如图所示平面直角坐标系，该数学小组选择不同位置测量数据如下表所示，设的读数为x，读数为y抛物线的顶点为C． (1)（Ⅰ）列表： ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ x 0 2 3 4 5 6 y 0 1 2.25 4 6.25 9 （Ⅱ）描点：请将表格中的描在图2中； （Ⅲ）连线：请用平滑的曲线在图2将上述点连接，并求出与的关系式； (2)如图3所示，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，该数学兴趣小组用水平和竖直直尺测量其水平跨度为，竖直跨度为，且，，为了求出该抛物线的开口大小，该数学兴趣小组有如下两种方案，请选择其中一种方案，并完善过程： 方案一：将二次函数平移，使得顶点与原点重合，此时抛物线解析式为． ①此时点的坐标为______； ②将点坐标代入中，解得______；（用含，的式子表示） 方案二：设点坐标为 ①此时点的坐标为______； ②将点坐标代入中解得______；（用含，的式子表示） (3)【应用】如图4，已知平面直角坐标系中有，两点，，且轴，二次函数和都经过，两点，且和的顶点，距线段的距离之和为10，若轴且，求的值． 3．（2025·广东佛山）在平面直角坐标系中，抛物线的图象经过和两点． (1)补充一个条件，求抛物线的表达式； (2)将抛物线向左平移个单位得到新的抛物线．当时，随的增大而增大，求的取值范围； (3)当时，判断与的大小，并说明理由． 题型五 函数图象的识别与选择 1. 先辨类型：一次直线、反比例双曲线、二次抛物线。 2. 再看系数符号，判断象限、开口、截距，排除明显错误。 3. 代入原点、坐标轴交点等特殊点验证，快速锁定答案。 1．（2024·广东真题）长方体水槽里面放有一酒瓶，示意图如图所示，现向水槽内匀速注水，下列图象中能大致反映水槽中水的深度y与注水时间x的关系是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·广东真题）“漏壶”是一种古代计时器，在它内部盛一定量的水，水从壶下的小孔漏出．壶内壁有刻度，人们根据壶中水面的位置计算时间．用x表示漏水时间，y表示壶底到水面的高度．下列哪个图象适合表示y与x的对应关系？（不考虑水量变化对压力的影响）（    ）    A．   B．   C．   D．   3．（2023·广东深圳）【探究函数的图象与性质】 (1)函数的自变量x的取值范围是　 　； (2)下列四个函数图象中，函数的图象大致是　 　； (3)对于函数，求当时，y的取值范围．请将下列的求解过程补充完整． 解：∵，∴______． ∵，∴____． 【拓展说明】 (4)若函数，求y的取值范围． 题型六 函数与方程、不等式的综合应用 1. 函数与x轴交点的横坐标，就是对应方程的解。 2. 函数值＞0或＜0，看图象在x轴上方或下方的区间。 3. 比较两个函数大小，以交点为界，看图象上下位置。 1．（2024·广东·中考真题）已知不等式的解集是，则一次函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·广东广州·二模）平面直角坐标系中，抛物线G：过点，顶点B不在第四象限． (1)用含a的式子表示b； (2)连接，求面积的最小值及此时点B的坐标； (3)经过探究发现，对于a的每一个确定的值，都有一个最大的正数t，使得当时，都成立，结合图象，求t的最大值． 3．（2025·广东广州）已知抛物线C：的最小值为． (1)求a的值； (2)已知直线l：，记，求的最小值（用k表示）； (3)如图，为抛物线C上一点，，直线过点，在抛物线上取一点P，使得，若，求的最小值． 题型七 函数与几何图形综合（周长、面积、最值） 1. 设动点坐标，用函数表达式表示线段长度。 2. 不规则图形用割补法，列出面积关于x的函数。 3. 结合自变量范围，在顶点或端点处取最值，检验合理性。 1．（2024·广东广州·中考真题）如图，平面直角坐标系中，矩形的顶点在函数的图象上，，．将线段沿轴正方向平移得线段（点平移后的对应点为），交函数的图象于点，过点作轴于点，则下列结论： ①； ②的面积等于四边形的面积； ③的最小值是； ④． 其中正确的结论有______．（填写所有正确结论的序号） 2．（2025·广东·中考真题）定义：把某线段一分为二的点，当整体线段比大线段等于大线段比小线段时，则称此线段被分为中外比，这个点称为中外比点． (1)如图，点是线段的中外比点，，，求的长． (2)如图，用无刻度的直尺和圆规求作一点把线段分为中外比．（保留作图痕迹，不写作法） (3)如图，动点在第一象限内，反比例函数的图象分别与矩形的边，相交于点，，与对角线相交于点．当是等腰直角三角形时，探究点，，是否分别为，，的中外比点，并证明． 3．（2023·广东广州·中考真题）已知点在函数的图象上． (1)若，求n的值； (2)抛物线与x轴交于两点M，N（M在N的左边），与y轴交于点G，记抛物线的顶点为E． ①m为何值时，点E到达最高处； ②设的外接圆圆心为C，与y轴的另一个交点为F，当时，是否存在四边形为平行四边形？若存在，求此时顶点E的坐标；若不存在，请说明理由． 4．（2024·广东广州·中考真题）已知抛物线过点和点，直线过点，交线段于点，记的周长为，的周长为，且． (1)求抛物线的对称轴； (2)求的值； (3)直线绕点以每秒的速度顺时针旋转秒后得到直线，当时，直线交抛物线于，两点． ①求的值； ②设的面积为，若对于任意的，均有成立，求的最大值及此时抛物线的解析式． 知识1 函数的定义与三种表示方法 定义：在一个变化过程中，有两个变量（自变量）和，若对于在取值范围内的每一个确定值，都有唯一确定的值与之对应，那么就叫做的函数。 三种表示方法 · ① 解析式法：用数学式子表示函数关系，简洁精准，便于计算； · ② 列表法：用表格列出自变量与函数的对应值，直观清晰； · ③ 图象法：在平面直角坐标系中描点连线成图象，形象反映变化规律。 知识2 一次函数解析式、图象与性质（k、b符号） 解析式：一般形式（、为常数，）；当时，是正比例函数（特殊的一次函数）。 图象：一条直线，正比例函数图象必过原点。 性质（由、决定） · ① 增减性：，随增大而增大；，随增大而减小； · ② 与轴交点：交点坐标，交正半轴，交负半轴，过原点； · ③ 象限分布：结合、符号判断直线经过的象限，如、过一、二、三象限。 知识3 一次函数图象平移规律 核心原则：平移只改变直线位置，斜率始终不变，仅改变截距或自变量。 平移口诀：上加下减常数项，左加右减自变量。 具体变换 · ① 上下平移：向上移个单位→；向下移个单位→； · ② 左右平移：向左移个单位→；向右移个单位→。 知识4 反比例函数解析式、图象与象限分布 解析式：（为常数，），也可写成。 图象：双曲线，关于原点、直线 对称，与坐标轴无限接近但永不相交。 象限与增减性 · ① ：双曲线在一、三象限，每个象限内随增大而减小； · ② ：双曲线在二、四象限，每个象限内随增大而增大； · ⚠ 注意：增减性必须强调在每个象限内，不可跨象限说增减。 知识5 二次函数三种解析式、对称轴与顶点坐标 一般式：（） · 对称轴：，顶点坐标：； 顶点式：（） · 对称轴：，顶点坐标：，适合已知顶点/对称轴/最值时使用； 交点式：（） · 对称轴：，、是抛物线与轴交点横坐标，仅时可用。 知识6 二次函数图象对称性、增减性与开口方向 开口方向：由决定，开口向上，开口向下；越大，开口越窄。 对称性：抛物线关于对称轴直线对称，对称点的纵坐标相等，横坐标到对称轴距离相等。 增减性：以对称轴为分界线，两侧增减性相反 · ① ：对称轴左侧随增大而减小，右侧增大； · ② ：对称轴左侧随增大而增大，右侧减小； 最值：顶点取最小值，顶点取最大值。 知识7 函数与方程的解、不等式解集的关系 函数与方程 · ① 函数 ⇌ 对应方程的解，即图象与轴交点的横坐标； · ② 两个函数图象的交点 ⇌ 联立两个函数解析式组成方程组的解。 函数与不等式 · ① ：图象在轴上方对应的取值范围； · ② ：图象在轴下方对应的取值范围； · ③ 含等号（、）：解集包含图象与轴交点的横坐标。 知识8 函数图象与线段、图形的交点判断 通用方法：联立函数解析式与线段/图形所在直线的解析式，解方程组。 交点个数判断 · ① 一次函数联立：解二元一次方程组，有唯一解即1个交点，无解即无交点； · ② 二次/反比例函数联立：化简为一元二次方程，用根的判别式 判断： · →2个交点；→1个交点（相切）；→无交点。 关键验证：若为线段/封闭图形，求出交点坐标后，需验证横、纵坐标是否在线段/图形的取值范围内，不符合则无交点。 命题预测1：函数自变量取值范围 [广州2025年第13题/广东省卷高频考点] 1．（2025·广东广州·二模）如图，直线与相交于点，则不等式的解集是（　　） A． B． C． D． 2．（2025·广东佛山·一模）反比例函数广泛应用于物理、化学等自然学科中．比如在电学的某一电路中（开关闭合），电压不变时，电流（安培）是电阻（欧姆）的反比例函数．当时，．则与之间的函数图象可能是（   ） A． B． C． D． 3．（2024·广东·模拟预测）关于反比例函数，下列说法错误的是（    ） A．反比例函数图象经过点 B．当时， C．该反比例函数图象与函数的图象没有交点 D．若点在该反比例函数的图象上，则点也在其图象上 4．（2024·广东·模拟预测）对于反比例函数，下列说法正确的是（    ） A．y随x的增大而增大 B．图象在第一、三象限 C．图象经过点 D．图象关于直线对称 5．（2026·广东广州·一模）已知点，都在反比例函数的图象上，且，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 6．（2024·广东·模拟预测）若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（　　） A． B． C． D． 7．（2025·广东茂名·模拟预测）若一次函数的图象经过第一、二、四象限，点，，都在反比例函数的图象上，则（　） A． B． C． D． 8．（2025·广东茂名·模拟预测）若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 9．（2024·广东·模拟预测）自由落体运动是由于引力的作用而造成的，月球上物体自由下落的时间和下落的距离 的关系大约是， 物体下落时，在月球上下落的距离是__________米． 10．（2024·广东·模拟预测）某植物的高度（）与生长天数（）之间的函数关系式表示为．当时，的值为___． 33．（2025·广东揭阳·一模）记表示实数m和n中的较大值，即若，则，如，．在平面直角坐标系中，，，则下列结论正确的是（将正确结论的序号填在横线上）________． ①直线和直线过点B且这两条直线垂直，则函数的最小值为2； ②若直线与反比例函数的图象交于点A，B，则函数的最小值为； ③若直线与二次函数的图象交于点A，B，则函数有最小值，无最大值． 11．（2024·广东江门·二模）若点，都在反比例函数的图象上，则___（填“”或“”）． 12．（2026·广东深圳·一模）2026年年初，一款玩偶产品以其独特的情绪价值爆火，广受年轻人的青睐．已知这种产品需要多种原料，记其中两种原料分别为，．某企业购进了这两种原料，，其中购进千克材料和千克材料的总价与购进千克材料和千克材料的总价相同，设这两种材料的单价分别为，（单位：元/千克）． (1)试求x，y之间的等量关系； (2)当购进千克材料和千克材料的总价为万元时，求x，y的值． 13．（2025·广东广州·二模）已知． (1)化简A； (2)若点在一次函数的图象上，求A的值． 命题预测2：一次函数图象平移与交点范围 [广州2025年第6题必考] 1．（2024·广东江门·二模）一次函数的图象沿轴向下平移2个单位，那么所得图象的函数解析式是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·广东清远·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于点，将直线沿轴向上平移个单位长度，交轴于点，若，则的值为（    ） A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 3．（2025·广东广州·模拟预测）在平面直角坐标系中，将函数的图象向右平移2个单位长度，则平移后的图象与y轴的交点坐标为（ ） A． B． C． D． 4．（2024·广东广州·模拟预测）关于一次函数，下列说法正确的是（    ） A．图象过点 B．其图象可由的图象向下平移2个单位长度得到 C．随着的增大而增大 D．图象经过第一、二、四象限 5．（2026·广东珠海·一模）函数的图象为（    ） A． B． C． D． 6．（2024·广东·模拟预测）一次函数的图象与x轴的交点坐标为（   ） A． B． C． D． 7．（2024·广东·模拟预测）在直线上，随着的增大而增大，且其图象与轴负半轴有交点，则点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 8．（2024·广东·模拟预测）将直线平移，使平移后的直线经过点，所得直线的表达式是______． 命题预测3：反比例函数图象所在象限判断 [广州2025年第7题高频] 1．（2025·广东深圳·模拟预测）关于函数有如下结论：①函数图象一定经过点；②函数图象在第一、三象限；③函数值y随x的增大而减小；④当时，y的取值范围为．其中正确的有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2024·广东·模拟预测）关于反比例函数的图象性质，下列说法不正确的是（    ） A．图象经过点 B．图象分别位于第一、三象限 C．图象关于原点对称 D．y随x的增大而增大 3．（2025·广东汕头·三模）反比例函数的图象经过第（   ）象限 A．一、二 B．二、四 C．一、三 D．三、四 4．（2025·广东东莞·模拟预测）已知函数的图象，当时，的取值范围是__________． 5．（2025·广东清远·一模）关于的方程无解，则反比例函数的图象在第___________象限． 命题预测4：二次函数对称性、增减性与比较函数值 [广州2025年第10题/深圳压轴选择] 1．（2025·广东深圳·三模）已知二次函数的图象如图所示，则图象与x轴正半轴交点M的横坐标是（   ） A．4 B．2 C．3 D． 2．（2025·广东深圳·模拟预测）二次函数（，，为常数，）的图象经过点，，，，其中，为常数，那么的值为（   ） A． B． C． D． 3．（2023·广东东莞·模拟预测）已知抛物线的对称轴为直线，其图像如图所示，下列结论正确的有（   ） A． B． C．若，，在抛物线上，则 D．若m、n（）为方程的两根，则 4．（2025·广东惠州·三模）已知抛物线的对称轴为直线，则的最大值为______． 5．（2024·广东广州·一模）已知在抛物线上，则______．（填“<”或“>”或“=”） 6．（2025·浙江杭州·一模）在平面直角坐标系中，设二次函数， (1)若函数图象的顶点为且过点，求该函数表达式． (2)在（1）的条件下，将函数图象向左平移2个单位，再向下平移3个单位，点是否在新的函数图象上？若在，请求出t的值；若不在，请说明理由． (3)设函数的对称轴为直线，点在函数图象上，将函数向右平移两个单位后得到一个新的函数，点在新的函数图象上． 当时，若对于，都有，直接写出m的取值范围： ． 命题预测5：函数图象识别（折线/双曲线/抛物线）[广东省卷选择常考] 1．（2023·广东深圳·二模）如图，一个沙漏计时器，相关实验结果表明，沙漏中的沙下落的速度可以近似看成匀速，从计时器开始计时到计时为止，上面玻璃球内的含沙量（单位：）与时间（单位：）之间的函数关系图象大致为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·广东·模拟预测）下列函数中，y是x的一次函数的是（   ） A． B． C． D． 3．（2024·广东·模拟预测）下列函数中，y是x的一次函数的是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·广东·模拟预测）下列函数中，y是x的二次函数的是（　　） A． B． C． D． 5．（2024·广东汕头·二模）若函数的图象与直线有交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C．且 D． 6．（2025·广东佛山·三模）随着“双减”政策落地，同学们参加体育运动的时间比以往更加充裕．运动需要有一个合适的心率，既能达到较好的运动效果，又能保障运动安全．某综合实践小组准备研究心率与跳绳活动（每分钟跳160次左右）持续时间的关系．在九年级随机抽取了20位男生，测试了跳绳持续时间与心率，通过计算得到跳绳持续时间与平均相对心率的数据如下： 跳绳持续时间（单位：秒） 0 30 60 90 140 … 平均相对心率 40 60 70 76 82 … (1)判断初中所学函数是否能很好地表示随变化的规律，说明理由； (2)经探究是（是常数）的反比例函数，求与之间的函数表达式； (3)从运动健康着想，平均相对心率不宜长时间超过．结合以上内容，问跳绳运动持续时间多少秒需要休息？ 命题预测6：反比例函数k的几何意义与面积 [广东省卷填空必考] 1．（2024·广东广州·模拟预测）如图，矩形的顶点A在反比例函数的图象上，顶点B，C 在第一象限，对角线轴，交y轴于点D．若矩形的面积是6，，则k的值为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·广东肇庆·一模）如图，矩形的顶点A，B分别在反比例函数和的图象上，顶点E，F都在x轴上，交y轴于点D．若点C在y轴上，且，则（　　） A． B． C．4 D． 3．（2026·广东佛山·一模）如图，的边落在x轴上，点C是线段的中点，反比例函数的图像经过点A和点C．若的面积为9，则k的值为_____． 4．（2025·广东深圳·三模）如图，在平面直角坐标系中，点A、B均在函数的图象上，轴于点，交线段于点．若点为线段的中点，的面积为3，则的值为________ 5．（2025·广东深圳·三模）如图，点A为x轴正半轴上一点，点B为反比例函数上一点，轴交y轴于点C，延长交反比例函数于点D，若点B恰好为中点，且面积为9，则k的值为________． 6．（2025·广东深圳·模拟预测）如图，在直角坐标系中，菱形的顶点在轴上，顶点，位于第一象限，反比例函数（，）的图象经过点且与相交于点，若的面积为，，则的值为______. 7．（2025·广东湛江·二模）反比例函数在第一象限的图象如图所示，过点作x轴的垂线，交反比例函数的图象于点M，的面积为2． (1)求反比例函数的解析式； (2)设点B的坐标为，其中．若以为一边的正方形有一个顶点在反比例函数的图象上，求t的值． 8．（2024·广东·模拟预测）如图，点在反比例函数的图象上，轴，垂足为，过作轴，交过点的一次函数的图象于点，交反比例函数的图象于点，． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)求的长． (3)求的面积． 命题预测7：二次函数顶点在直线上求参数 [广州2025年第15题] 1．（2024·广东广州·二模）在平面直角坐标系中，抛物线（是常数）的顶点为． (1)直接写出点的坐标：______（用含的式子表示）； (2)若过点作平行轴的直线交抛物线于点，（在的左边，在的右边），，求的最小值； (3)在第（2）问的条件下，将直线向上平移与抛物线分别交于、，与y轴交于，（在的左边，在的右边），且，当点关于直线的对称点在直线的上方时，求的取值范围． 2．（2024·广东深圳·一模）综合与应用 为促进中学生全面发展，培养良好体质，某班同学在“大课间”开展“集体跳绳”运动．跳绳时，绳甩到最高处时的形状是抛物线的部分图象，以点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系，若摇绳的两人之间间距为6米，摇绳时两人手离地面均为米；已知小丽身高1.575米，在距离摇绳者A的水平距离米处，绳子刚好经过她的头顶．    【阅读理解】 （1）求图中抛物线的解析式；（不需要求自变量取值范围） 【问题解决】 （2）体育龙老师身高米，请问他适合参加本次运动吗？说明理由； （3）若多人进入跳绳区齐跳，且大家身高均为1.7米，要求相邻两人之间间距至少为0.6米，试计算最多可供几人齐跳. 3．（2025·广东广州·二模）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，点为抛物线上不与顶点重合的动点，把抛物线绕点顺时针旋转得到新的图象，点在图象上的对应点为． (1)求抛物线的对称轴； (2)当以为直径的有且只有一个点与轴相切时，求点坐标； (3)已知，原抛物线图象与旋转后图象的其中一个公共点为，当点在点左侧，求点的横坐标取值范围． 命题预测8：函数与不等式结合利用图象求解 [广州、省卷解答题] 1．（2025·广东东莞·一模）如图，已知直线与相交于点，则关于的不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·广东韶关·一模）如图，已知直线与直线交于点，则关于x的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·广东清远·一模）抛物线如图所示，抛物线与轴交于点，顶点坐标为，下列结论：①；②；③对于任意实数，都有；④当时，．其中正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（2025·广东广州·一模）已知二次函数（）与轴交于、两点，与轴交点的纵坐标是，且，则以下结论中不正确的是（   ） A． B． C．抛物线的顶点坐标为 D．若，则或 5．（2025·广东湛江·二模）如图，一次函数与的图象都经过点，则不等式的解集为______． 6．（2025·广东惠州·一模）如图，已知抛物线与直线相交于两点，则不等式成立时，的取值范围是_____． 7．（2024·广东·模拟预测）【背景阅读】函数是刻画现实世界中变化规律的重要数学模型．在学习过程中，需加强知识间横向和纵向的联系，将方程、不等式等数学对象统一起来，融会贯通，提高分析问题和解决问题的能力． 【理解应用】某校数学小组用学习“一次函数”中积累的经验和方法研究函数的图象和性质，并解决问题． (1)在画函数图象时，甲同学采用列表法，描点画出了函数图象： … … … … 其中，______，______，______． 乙同学通过观察，发现可以将这个没有学过的函数解析式转化为已经学过的一次函数解析式： ①当时，； ②当时，_______； ③当时，_______． 显然，②和③均为某个一次函数的一部分．因为两点确定一条直线，因此可用两点法画出每部分函数图象；由①可知，此函数图象过点，所以每部分函数图象上再分别确定一点即可画出函数的图象． (2)如图，在平面直角坐标系中，作出函数的图象． (3)一次函数（为常数，）的图象过点，请直接写出不等式的解集． 8．（2025·广东广州·一模）如图，已知直线过点，且与直线相交于点． (1)求直线的解析式； (2)当且时，自变量的取值范围是______； (3)若双曲线与直线相交于两点，求的面积． 命题预测9：函数实际应用（分段函数、变化趋势）[省卷、广州基础解答] 1．（2026·广东广州·模拟预测）在平面直角坐标系中，直线经过点，两点．下列说法：①若点也在直线上，则；②若直线经过第一、第四象限，则；③若，为直线上两点，且，则；④过点作，垂足为，则的最大值是．其中正确的结论有（   ） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 2．（2024·广东·模拟预测）如图，直线交双曲线于、两点，交轴于点，作轴于点，点为上任意一点，当时，与轴交点坐标为（   ） A． B． C． D． 3．（2026·广东江门·一模）如图1，直线与反比例函数的图象在第一、三象限交于点A，B，与x轴、y轴分别交于点C，D，过点A作轴于点E，点F为x轴上一点，直线与直线关于直线对称． (1)若，，点A的横坐标为3，求反比例函数的解析式； (2)如图2，过点F作轴交于点G，过点A作于点P，连接．若k为定值，求证：的面积为定值； (3)在（1）的条件下，设抛物线的顶点为点Q，在平面直角坐标系中存在点Q，使最大，请直接写出点Q的坐标． 4．（2024·广东·模拟预测）综合运用 如图，在平面直角坐标系中，直线：与x轴交于点，与y轴交于点B，与直线：交于点C． (1)求点C的坐标； (2)抛物线的顶点F在直线上，以为边向右作菱形，点恰好与原点重合，连接． ①当为直角三角形时，求抛物线的解析式； ②若抛物线同时与菱形的边有公共点时，求的取值范围． 5．（2024·广东梅州·模拟预测）五华，这片土地孕育了深厚的足球文化．从亚洲球王李惠堂到近年来唯一的县级中超球队梅州客家，他们的存在不仅彰显了五华足球的历史，更推动了当地体育事业的蓬勃发展．五华某校致力于发展足球运动，决定加大投入购买足球和足球锥形桶．在商场发现若购买20个足球和40个足球锥形桶需要花费1800元，且购买1个足球锥形桶比1个足球少花30元． (1)求每个足球和足球锥形桶的单价； (2)根据学校计划，该中学需足球、足球锥形桶共120个，且足球的数量不少于足球锥形桶数量的，应如何购买才能使总费用最少？并求出最少费用． 6．（2025·广东中山·模拟预测）北京冬季奥运会的吉祥物冰墩墩在冬奥会期间火遍全国．某网店也借机售卖一款冰墩墩，进价为30元/个，规定单个销售利润不低于10元，且不高于31元，试销售期间发现：当销售单价定为40元时，每天可以售出500个，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10个，该网店决定提价销售，设销售单价为x元，每天销售量为y个． (1)直接写出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围； (2)网店为响应“助力奥运，回馈社会”活动，决定每销售1个冰墩墩就捐赠m元给希望工程，若每天扣除捐赠后可获得最大利润为7830元，则m的值是多少？ 7．（2025·广东深圳·二模）新课标中，数学课程要培养的学生核心素养是“用数学的眼光观察现实世界，用数学的思维思考现实世界，用数学的语言表达现实世界”，这集中体现了数学课程的育人价值，也说明数学和实际生活密不可分．数学老师给小明小组布置了一项数学与实际的作业，让他们到菜市场进行调研，并利用所学的数学知识对销售提出合理化建议．小明小组经调研发现，某店铺蔬菜的售卖情况大致遵循以下规律． 规律一 当每千克蔬菜的售价为8元时，每天能销售80千克． 规律二 当每千克蔬菜的售价每降低元，每天的销售量就会增加10千克． 经小组讨论，发现里面可能存在函数关系，考虑用已学的函数知识帮助店家解决问题． 【建立模型】 （1）设每天销售这种蔬菜的销售额为y元，每千克蔬菜降价x元，求y与x的函数关系式； 【设计方案】 （2）当每千克蔬菜降价多少元时，该店铺每天销售这种蔬菜的销售额最多？最多为多少元？ 【实际需求】 （3）若该店铺老板希望每天销售这种蔬菜的销售额不低于540元，求这个蔬菜应参考的售价范围. 8．（2025·广东东莞·二模）东莞“启航文化”公司设计生产一种学生毕业纪念册，并投放市场，已知制造成本为18元/件.经过市场调查发现，销售单价为32元时，每月的销售量为（万件）；销售单价为24元时，每月的销售量为（万件）；如果每月的销售量（万件）与销售单价（元/件）成一次函数关系． (1)求每月销售量（万件）与销售单价（元/件）之间的函数关系式； (2)根据市场监管部门规定，这种产品的销售利润率不能高于，同时厂家要求这种产品每月的制造成本不能超过900万元．当销售单价为多少元时，厂家每月能获得最大利润？最大利润是多少？ 9．（2025·广东广州·二模）某中学开展“莲韵文化”手工实践活动，同学们制作不同工艺等级的莲花灯．基础款为第1级，每盏利润10元，每天可制作50盏．每提升1个工艺等级，单盏利润增加2元，日产量减少4盏． (1)若某天手工社团获得总利润588元请问他们制作的是第几个工艺等级的莲花灯（工艺等级从第1级开始依次递增）？ (2)若社团希望获得最大日利润，应选择第几工艺等级？此时最大日利润是多少元？ 10．（2025·广东茂名·三模）高州荔枝以品种多、品质优、口感佳和历史悠久而驰名中外．在销售挂绿荔枝过程中，每千克售价不低于40元且不高于80元，商家发现销售量y（千克）与每千克售价（元）之间的函数关系如图所示． (1)求关于的函数关系式． (2)设该商家挂绿荔枝的销售额为（元），当每千克售价定为多少元时，销售额最大？最大销售额是多少？ 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $