精品解析：江苏扬州大学附属中学东部分校2025-2026学年第二学期“教、学、评”一体化3月练习高一数学试题

扬大附中东部分校2025-2026学年第二学期 “教、学、评”一体化练习 高一年级数学学科题目（时间：120分钟，满分：150分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 的值是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据两角和的余弦公式即可求解. 【详解】. 故选:B. 2. 若向量，且A，C，D三点共线，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意知，再由向量平行的坐标表示列方程求参数即可. 【详解】由三点共线，得， 又，得，解得. 故选：B 3. 已知，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据向量数量积公式，求，再代入投影向量公式，即可求解. 【详解】，由， 得， 所以向量在上的投影向量为. 故选：D 4. 已知，都是锐角，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用同角三角函数关系得到，，凑角法得到答案. 【详解】因为，，所以，所以，， 所以 . 故选：C 5. 如图，为等腰直角三角形，为斜边上的高，点在射线上，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，进而根据，结合二次函数最值，向量数乘运算的及其运算律求解即可得答案. 【详解】解：由，设， 则， 所以当时，取得的最小值为. 故选：B . 6. 在中，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平面向量线性运算的性质，结合平面向量基本定理进行求解即可. 【详解】 ， 故选：B 7. 在中，若，且，则的形状是（ ） A. 等边三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】C 【解析】 【分析】依题意可得，根据向量垂直得到，再由数量积的运算律求得，即可得解. 【详解】因为，所以， 若，则，所以， 即，所以是等腰三角形． 故选：C． 8. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先利用同角三角函数关系式，将切化弦，之后利用诱导公式化简，借助于正弦的差角公式化简，最后应用辅助角公式求得结果. 【详解】 ， 故选C. 【点睛】该题考查的是有关三角函数化简求值问题，涉及到的知识点有同角三角函数关系式，诱导公式，正弦的差角公式以及辅助角公式，正确应用公式是解题的关键. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列关于平面向量的说法中正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则，可以作为平面内的一组基底 C. 已知向量，，且与的夹角为锐角，则实数x的取值范围是 D. 若平面内有四个点A、B、C、D，则必有 【答案】BD 【解析】 【分析】举反例即可判断A；由基底的概念即可判断B；根据向量夹角为锐角列出不等式即可判断C；根据向量加减法运算法则即可判断D． 【详解】对于A，若，则与不一定平行，故A错误； 对于B，因为，所以与不共线， 所以，可以作为平面内的一组基底，故B正确； 对于C，因为与的夹角为锐角，所以， 又与不共线，所以， 所以，故C错误； 对于D，因为 ， 所以，故D正确． 10. 下列说法正确的有（ ） A. B. C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用三角函数的诱导公式和辅助角公式即可得出答案. 【详解】对于A，， 已知，，，代入可得： ，故A错误； 对于B，由于，由辅助角公式可得，故B正确； 对于C，已知，则，由于，根据同角三角函数基本公式可得： ，又因为，根据两角和的余弦公式，可得： ，故C正确； 对于D，已知，根据正切公式，可得， 又因为，所以，根据两角和的正弦公式，可得： ，故D正确. 11. 设点P在所在平面内，且点G、H、O、I分别为该三角形的重心、垂心、外心和内心，则下列结论正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 若且，则 D. 若，则为等腰三角形 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A，取的中点，根据重心的性质化简判断即可；对B，根据垂心的性质推导可得，再设，根据可得，同理可得，再根据向量的夹角公式求解即可；对C，化简可得，再两边平方化简即可；对D，根据条件推导即可． 【详解】对A，取的中点，因为是的重心，有， 所以，，即， 又因为，所以，故A正确； 对B，因为为的垂心，则，即， 即，则， 同理，，所以， 设， 因为，所以， 即，则，所以， 因为，所以， 所以，则 ，故B正确； 对C，若且，则， 两边同时平方可得：， 所以，即，故C错误； 对D，因为为的内心，， 故 ，即， 故点的轨迹为垂直于的直线，又平分，因此是的中垂线， 是以为底边的等腰三角形，故D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 已知为两个不共线的非零向量，若与共线，则k的值为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据共线向量满足的性质求解即可. 【详解】由题意若与共线，则， 则，因为为两个不共线的非零向量，故， 解得. 故答案为： 13. 在中，，，，为边中点，，则的值为__． 【答案】 【解析】 【分析】找到两个基底，，然后用两个基底向量表示和，再通过向量的运算即可得 【详解】 ， ， ， 故答案为：． 14. 已知，，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】利用正弦的和差公式及同角三角函数的商数关系计算即可 【详解】由题意可知 ， 即， 由题意可知， 则. 故答案为： 【点睛】方法点睛：三角恒等变换化简求值问题需要注意已知角与未知角的关系，利用合理的配凑即可处理.本题已知及与的关系，所以构造，利用整体思想凑出未知式计算即可. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. 已知为平面向量，且. （1）若，且与垂直，求实数的值； （2）若，且，求向量的坐标. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）利用向量运算的坐标表示，利用向量垂直的坐标表示，列出方程，求解作答. （2）利用向量共线设出的坐标，利用坐标求模，列式计算作答. 【小问1详解】 因为， 所以， 又因为与垂直，所以， 即，得， 所以. 【小问2详解】 因为得， 又因为，所以， 即，所以， 故或. 16. 已知，，，． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据的范围求出，再利用展开计算即可； （2）先根据的范围求出，再利用展开计算即可. 【小问1详解】 ∵，∴， 又，， ∴， ∴； 【小问2详解】 ∵，，∴， ，， ∴， ∴ ． 17. 已知函数 （1）求函数的单调递减区间； （2）若将函数的图象先向左平移个单位长度，再将所得函数图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象. ①求函数的解析式； ②若，其中，求的值. 【答案】（1）. （2）①；② 【解析】 【分析】（1）化简可得，由，可求函数的单调递减区间； （2）（i）利用平移变换与伸缩变换可求得的解析式；（ii）由已知可得，根据同一个角的正余弦的平方关系和两角和的正弦公式可求得的值. 【小问1详解】 ， 令，得， 则函数的单调递减区间为. 【小问2详解】 （i）由题意，将函数的图象先向左平移个单位长度， 得到， 再将所得函数图象上各点的横坐标变为原来的2倍纵坐标不变）， 得到函数的图象，则. （ii）由得，， ，则， ， 即. 18. 如图，在矩形ABCD中，已知，，M是线段CE上的一动点； （1）当M是线段CE的中点时， ①若，求的值； ②过点E作直线l垂直于AB，在l上任取一点F，证明为常数，并求该常数； （2）当时，求的最小值. 【答案】（1）①； ②证明如下： 依题意，， 由，得，由，得，由，得， 因此， 所以为常数，该常数为. （2）. 【解析】 【分析】（1）①根据给定条件，利用平面向量的线性运算，结合平面向量基本定理求出；②利用向量的线性运算及数量积的运算律计算即得. （2）由已知结合数量积求出，进而求出，设，把表示为的函数，并求出最小值. 【小问1详解】 ①依题意，， 而不共线，则，所以. ②略 【小问2详解】 依题意，，则 ，解得，则， 设，则， ，当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 19. 在中，，． （1）若，求的值； （2）若的最小值为1，求的值； （3）若，P是所在平面上任意一点，求的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用向量内积公式即可求解； （2）利用向量内积公式得到的表达式，再结合二次函数最小值知识点即可求解； （3）以A为原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系，设，求解出y的二次表达式，配方即可得到最小值． 【小问1详解】 ，而，所以． 【小问2详解】 设，，由题意知的最小值为1，也即关于的二次函数，最小值为1，即时， ，解得， 所以，即． 【小问3详解】 以A为原点，AB所在直线为x轴建立如图所示的直角坐标系，则由题意可知，，，设，所以，，， 则， 配方得， 当，时，y最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 扬大附中东部分校2025-2026学年第二学期 “教、学、评”一体化练习 高一年级数学学科题目（时间：120分钟，满分：150分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 的值是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2. 若向量，且A，C，D三点共线，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，都是锐角，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 如图，为等腰直角三角形，为斜边上的高，点在射线上，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 6. 在中，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 在中，若，且，则的形状是（ ） A. 等边三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形 8. A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列关于平面向量的说法中正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则，可以作为平面内的一组基底 C. 已知向量，，且与的夹角为锐角，则实数x的取值范围是 D. 若平面内有四个点A、B、C、D，则必有 10. 下列说法正确的有（ ） A. B. C. 若，，则 D. 若，，则 11. 设点P在所在平面内，且点G、H、O、I分别为该三角形的重心、垂心、外心和内心，则下列结论正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 若且，则 D. 若，则为等腰三角形 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 已知为两个不共线的非零向量，若与共线，则k的值为__________． 13. 在中，，，，为边中点，，则的值为__． 14. 已知，，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. 已知为平面向量，且. （1）若，且与垂直，求实数的值； （2）若，且，求向量的坐标. 16. 已知，，，． （1）求的值； （2）求的值． 17. 已知函数 （1）求函数的单调递减区间； （2）若将函数的图象先向左平移个单位长度，再将所得函数图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象. ①求函数的解析式； ②若，其中，求的值. 18. 如图，在矩形ABCD中，已知，，M是线段CE上的一动点； （1）当M是线段CE的中点时， ①若，求的值； ②过点E作直线l垂直于AB，在l上任取一点F，证明为常数，并求该常数； （2）当时，求的最小值. 19. 在中，，． （1）若，求的值； （2）若的最小值为1，求的值； （3）若，P是所在平面上任意一点，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $