新高考模拟卷五-【高考零起点】2026年新高考数学总复习学用Word（艺考）

2024年普通高等学校招生全国统一考试 新高考模拟卷五 数　学 满分：150分　　时间：120分钟 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. (2025全国Ⅱ卷)不等式≥2的解集是(　　) A. {x∣－2≤x≤1} B. {x∣x≤－2} C. {x∣－2≤x＜1} D. {x∣x＞1} 2.“a＜”是“复数z＝(i为虚数单位)在复平面上对应的点在第四象限”的(　　) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3.已知点P是△ABC的重心，则＝(　　) A. B. C. D. 4.某地2024年人均GDP(国内生产总值)为8 000元，预计以后年增长率为10%，要使该地区人均GDP超过16 000元，至少要经过(参考数据：lg 2≈0.3，lg 1.1≈0.04)(　　) A. 4年 B. 5年 C. 8年 D. 10年 5.已知P(BA)＝0.4，P(B )＝0.2，则P(B)的值为(　　) A. 0.08 B. 0.8 C. 0.6 D. 0.5 6. (2024新高考Ⅱ卷)已知正三棱台ABC－A1B1C1的体积为，AB＝6，A1B1＝2，则A1A与平面ABC所成角的正切值为(　　) A. B. 1 C. 2 D. 3 7.若存在两个正实数x，y使得等式x(1＋ln x)＝xln y－ay成立(其中ln x，ln y是以e为底的对数)，则实数a的取值范围是(　　) A. B. C. D. 8.(2023全国乙卷)设A，B为双曲线x2－＝1上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是(　　) A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9.(2022新高考Ⅰ卷)已知函数f(x)＝x3－x＋1，则(　　) A. f(x)有两个极值点 B. f(x)有三个零点 C. 点(0，1)是曲线y＝f(x)的对称中心 D. 直线y＝2x是曲线y＝f(x)的切线 10.已知抛物线C：y2＝4x，准线为l，过焦点F的直线与抛物线C交于A，B两点，AD⊥l，垂足为D，设E(0，1)，则(　　) A. 过点E与抛物线C有且仅有一个公共点的直线恰有2条 B. 已知曲线C上的两点M，N到点F的距离之和为10，则线段MN的中点的横坐标是4 C. |AE|＋|AD|的最小值为 D. |AB|的最小值为4 11.已知函数f(x)的定义域为R，f(x＋1)为偶函数，f(3x＋2)为奇函数，则(　　) A. f(x)的图象关于直线x＝1对称 B. f(x)的图象关于(1，0)对称 C. f(x＋4)＝f(x) D. f(i)＝1 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.(2024上海卷)某校举办科学竞技比赛，有A，B，C3种题库，A题库有5 000道题，B题库有4 000道题，C题库有3 000道题.小申已完成所有题，他回答A题库的正确率是0.92，B题库的正确率是0.86，C题库的正确率是0.72.现在他从所有的题中随机选一题，正确率是　　　.  13.已知点A在函数f(x)＝ex－2x的图象上，点B在直线l：x＋y＋3＝0上，则A，B两点之间距离的最小值是　　　　.  14.(2023新高考Ⅰ卷)已知双曲线C：＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，点A在C上，点B在y轴上，⊥＝－，则C的离心率为　　　　.  四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (13分)已知正项数列{an}满足a1＝1，且对任意的正整数n都有Sn＝(2＋an－1)，其中Sn是数列{an}的前n项和，t为常数. (1)求数列{an}的通项公式； (2)若cn＝，证明：数列{cn}的前n项和Tn＜. 16. (15分)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，△DCP是等边三角形，∠DCB＝∠PCB＝ ，点 M，N 分别为DP和AB的中点. (1)求证： 平面PBC⊥平面ABCD； (2)求平面CMN与平面PAD夹角的余弦值. 17.(15分)某人准备应聘甲、乙两家公司的高级工程师，两家公司应聘程序都是：应聘者先进行三项专业技能测试，专业技能测试通过后进入面试.已知该应聘者应聘甲公司，每项专业技能测试通过的概率均为；该应聘者应聘乙公司，三项专业技能测试通过的概率依次为，m，其中0＜m＜1.技能测试是否通过相互独立. (1)若m＝，分别求该应聘者应聘甲、乙两家公司，三项专业技能测试恰好通过两项的概率； (2)若甲、乙两家公司的招聘在同一时间进行，该应聘者只能应聘其中一家，若以专业技能测试通过项目数的数学期望为决策依据，该应聘者更希望通过乙公司的技能测试，求m的取值范围. 18. (2025北京卷)(17分)已知椭圆E：＝1的离心率为，椭圆E上的点到两焦点的距离之和为4. (1)求椭圆E的方程； (2)设O为坐标原点，点M在椭圆E上，直线x0x＋2y0y－4＝0与直线y＝2，y＝－2分别交于点A，B.设△OAM与△OBM的面积分别为S1，S2，比较与的大小. 19.(17分)已知函数f(x)＝ex－ax. (1)讨论函数f(x)的单调性； (2)若g(x)＝ex(x－1)－aln x＋f(x)有两个零点，求实数a的取值范围. 新高考模拟卷五 1.C　由≥2得≤0，即故－2≤x＜1，解集为{x∣－2≤x＜1}. 2.B　∵z＝，复数z在复平面内所对应的点在第四象限，∴解得－6＜a＜，因此a＜是－6＜a＜的必要不充分条件，故选B. 3.D　如图，设BC的中点为D，连接AD，点P是△ABC的重心，则P在AD上，∴×()＋， 由此可知A，B，C错误，D正确.故选D. 4.C　设要经过x年.依题意，得8 000(1＋10%)x＞16 000(x∈N*)，则1.1x＞2，解得x＞log1.12.又log1.12＝≈＝7.5，∴至少要经过8年.故选C. 5.C　∵P＝PP，P＝PP，∴P＝PP＋PP＝P＋P＝0.4＋0.2＝0.6，故选C. 6.B　分别取BC，B1C1的中点D，D1，则AD＝3，A1D1＝，可知S△ABC＝×6×6×＝9×2×.设正三棱台ABC－A1B1C1的高为h，则h＝，解得h＝.设三棱台的上下底面重心分别为O1和O，显然O1和O分别在A1D1和AD上.连接OO1，∵三棱台是正三棱台，∴OO1⊥平面ABC.在平面ADD1A1内，过A1作A1M⊥AD，则A1M⊥平面ABC，且A1M＝O1O，A1A与平面ABC所成角为∠A1AM.结合等边三角形顶点到重心的距离是重心到底边中点距离的2倍， 经进一步计算可得AM＝AO－A1O1＝，∴tan ∠A1AM＝＝1. 7.C　x＝xln y－ay可化为a＝－ln，令t＝，则t＞0，a＝－t－tln t.设f＝－t－tln t，则f'＝－2－ln t，令f'＝0，可得t＝.当0＜t＜时，f'＞0，当t＞时，f'＜0，∴函数f在区间上单调递增，在区间上单调递减，则f≤f＝－，故a∈.故选C. 8.D　设A，B，则AB的中点M，设OM的斜率为k，可得kAB＝，k＝.∵A，B在双曲线上，则两式相减得＝0，所以kAB·k＝＝9.对于选项A： 可得k＝1，kAB＝9，则AB：y＝9x－8，联立方程消去y得72x2－2×72x＋73＝0，此时Δ＝－4×72×73＝－288＜0，∴直线AB与双曲线没有交点，故A错误；对于选项B：可得k＝－2，kAB＝－，则AB：y＝－x－，联立方程消去y得45x2＋2×45x＋61＝0，此时Δ＝(2×45)2－4×45×61＝－4×45×16＜0，∴直线AB与双曲线没有交点，故B错误；对于选项C：可得k＝3，kAB＝3，则AB：y＝3x，由双曲线方程可得a＝1，b＝3，则AB：y＝3x为双曲线的渐近线，∴直线AB与双曲线没有交点，故C错误；对于选项D：k＝4，kAB＝，则AB：y＝x－，联立方程消去y得63x2＋126x－193＝0，此时Δ＝1262＋4×63×193＞0，故直线AB与双曲线有两个交点，故D正确. 9.AC　由题意知f'(x)＝3x2－1，令f'(x)＞0，则x＜－或x＞，令f'(x)＜0，则－＜x＜，∴f(x)在[－]上单调递减，在(－∞，－)，(，＋∞)上单调递增，∴x＝±是极值点，故A正确；因f(－)＝1＋＞0，f()＝1－＞0，f(－2)＝－5＜0，∴函数f(x)在(－∞，－)上有一个零点，当x≥时，f(x)≥f＞0，即函数f(x)在上无零点，综上所述，函数f(x)有一个零点，故B错误；令h(x)＝x3－x，该函数的定义域为R，∵h(－x)＝(－x)3－(－x)＝－x3＋x＝－h(x)，∴h(x)是奇函数，(0，0)是h(x)的对称中心，将h(x)的图象向上移动一个单位得到f(x)的图象，所以点(0，1)是曲线y＝f(x)的对称中心，故C正确；令f'(x)＝3x2－1＝2，可得x＝±1，又f(1)＝f(－1)＝1，当切点为(1，1)时，切线方程为y＝2x－1，当切点为(－1，1)时，切线方程为y＝2x＋3，故D错误.故选AC. 10.BCD　对于A，∵E(0，1)在抛物线C外，显然过E(0，1)与抛物线C相切的直线有2条，当此直线与x轴平行时，与抛物线C也是仅有一个公共点，∴过点E(0，1)且与抛物线C仅有一个公共点的直线有3条，故A错误；对于B，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则(x1＋1)＋(x2＋1)＝10，即x1＋x2＝8，则线段MN的中点的横坐标为＝4，故B正确；对于C，|AD|＋|AE|＝|AE|＋|AF|≥|EF|＝，(当点A在线段EF上时，取等号)，故C正确；对于D，设A(x3，y3)，B(x4，y4)，设直线AB的方程为x＝ty＋1，由得y2－4ty－4＝0，易得Δ＝16t2＋16＞0，则x3x4＝＝1，∴|AB|＝x3＋x4＋2≥2＋2＝4(当且仅当x3＝x4＝1时，等号成立)，故D正确.故选BCD. 11.AC　∵f(x＋1)为偶函数，∴f(x＋1)的图象关于直线x＝0对称，∴f(x)的图象关于直线x＝1对称，故A正确；∵f为奇函数，∴f(3x＋2)的图象关于点(0，0)中心对称，∴f(x)的图象关于点(2，0)中心对称，故B错误；由以上分析得f(x)的周期为4×(2－1)＝4，即f(x＋4)＝f(x)，故C正确；∵f(x)的图象关于点(2，0)中心对称，∴f(2)＝0，f(1)＋f(3)＝0，∵f(x)关于直线x＝1对称，∴f(0)＝f(2)＝0，∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝0，∵f(x)是周期为4的函数，∴f(i)＝0＋0＋0＋0＋0＋f(20)，∵f(20)＝f(0)＝0，∴f＝0，故D错误.故选AC. 12.0.85　由题意知，A，B，C题库的比例为5∶4∶3，各占比分别为，则根据全概率公式知所求正确率P＝×0.92＋×0.86＋×0.72＝0.85. 13.2　由题意可得f'＝ex－2，令f'＝0得x＝ln 2，∴当x∈时，f'＜0，函数f单调递减，当x∈时，f'＞0，函数f单调递增，∴f＝f＝eln 2－2ln2＝2－2ln 2，f的大致图象如图所示： 要使A，B两点之间距离最小，只需直线l1与l平行，且直线l1与曲线y＝f(x)相切， l1与l的距离即为A，B两点之间最小的距离， 令f'＝ex－2＝－1，解得x＝0.∵f＝1， ∴直线l1的方程为y－1＝－x，即x＋y－1＝0， 则l1与l的距离d＝＝2，则A，B两点之间的最短距离是2.故答案为2. 14.　方法一：如图， 依题意，设＝2m，则＝3m＝＝2a＋2m.在Rt△ABF1中，9m2＋(2a＋2m)2＝25m2，则(a＋3m)(a－m)＝0，故a＝m或a＝－3m(舍去)，∴＝4a，＝2a，＝3a，则＝5a，故cos∠F1AF2＝，∴在△AF1F2中，cos∠F1AF2＝，整理，得5c2＝9a2，故e＝. 方法二：依题意，得F1(－c，0)，F2(c，0)，设A，B(0，t)，∵＝－，∴＝－·，则x0＝c，y0＝－t.又⊥，∴·c2－t2＝0，则t2＝4c2，又点A在C上，则＝1，整理得＝1，则＝1，∴25c2b2－16c2a2＝9a2b2，即25c2·－16a2c2＝9a2，整理得25c4－50a2c2＋9a4＝0，则＝0，解得5c2＝9a2或5c2＝a2，又e＞1，∴e＝.故答案为. 15.(1)解：当n＝1时，S1＝，a1＝1，∴t＝1，即Sn＝，∴Sn＋1＝(2＋an＋1－1)，两式相减可得Sn＋1－Sn＝an＋1＝，整理得＝0.∵an＞0，∴2an＋1－2an－1＝0，即an＋1－an＝，∴数列是以a1＝1为首项，为公差的等差数列，因此an＝1＋.∴数列的通项公式为an＝，n∈N*. (2)证明：由cn＝可得cn＝，∴Tn＝＋…＋，∴Tn＝＋…＋，两式相减可得Tn－Tn＝Tn＝＋…＋，∴Tn＝.又n∈N*，∴－＜0，∴Tn＜. 16.(1)证明：如图，过点P作PQ⊥BC于点Q，连接DQ，由∠DCB＝∠PCB＝，CD＝PC，QC＝QC，得△QCD≌△QCP，则∠DQC＝∠PQC＝，即DQ⊥BC，而PQ＝DQ＝，PQ2＋DQ2＝4＝PD2，因此PQ⊥DQ，又DQ∩BC＝Q，DQ，BC⊂平面ABCD，则PQ⊥平面ABCD，PQ⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面ABCD. (2)解：由(1)知，直线QC，QD，QP两两垂直，以点Q为原点，直线QC，QD，QP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 则C(，0，0)，P(0，0，)，D(0，，0)，M，A(－2，，0)，B(－2，0，0)，N，则＝(－)，＝(2，0，0)，＝(0，－)，，设平面PAD的法向量n＝(x，y，z)，则令y＝1，得n＝(0，1，1)，设平面CMN的法向量m＝(x1，y1，z1) ，则 取m＝(1，1＋2，1－2)，设平面CMN与平面PAD的夹角为θ， 则cos θ＝，故平面CMN与平面PAD夹角的余弦值为. 17.解：(1)设该应聘者应聘甲公司恰好通过两项技能测试为事件A，应聘乙公司恰好通过两项技能测试为事件B，根据题意可得P×，P×××××. (2)设该应聘者应聘甲公司通过的项目数为X，应聘乙公司通过的项目数为Y，根据题意可知，X~B，则E＝3×＝2.P×m，P×××m＝m，P××m＋×m＝m，P×m＝m.随机变量Y的分布列为 Y 0 1 2 3 P m m m m ∴E×1＋×2＋m×3＝＋m，由E＞E，得＋m＞2，∴m＞.又0＜m＜1，∴＜m＜1，即m的取值范围是. 18.(1)＝1　(2) 【解析】(1)由题意可知，2a＝4，∴a＝2，又e＝，∴c＝，∴b2＝a2－c2＝2，故椭圆E的方程为＝1； (2)联立消去x得，＋2y2＝4，整理得，y2－16y0y＋16－4＝0①，又＝1，∴2＋4＝8，16－4＝8，故①式可化简为8y2－16y0y＋8＝0，即＝0，∴y＝y0，∴直线x0x＋2y0y－4＝0与椭圆相切，M为切点.设A，B，易知，当x1＝x2时，由对称性可知，.故设x2＜x0＜x1，易知，联立解得x1＝，y1＝2，联立解得x2＝，y2＝－2，∴＝， 故. 19.解：(1)∵f(x)＝ex－ax，∴f'＝ex－a. ①当a≤0时，f'＞0，f(x)在R上单调递增. ②当a＞0时，令f'(x)＝0，则x＝ln a. 当x∈时，f'＜0，此时f(x)在(－∞，ln a)上单调递减， 当x∈(ln a，＋∞)时，f'＞0，此时f(x)在(ln a，＋∞)上单调递增. (2)g(x)＝ex(x－1)－aln x＋f(x)有两个零点等价于g＝xex－a＝xex－aln有两个零点. 令t＝xex，则t'＝ex＞0在x＞0时恒成立，∴t＝xex在x＞0时单调递增，故t＞0， ∴g＝xex－aln有两个零点等价于h＝t－aln t(t＞0)有两个零点. ∵h'(t)＝1－ ， ①当a≤0时，h'(t)＞0，∴h(t)在t＞0上单调递增，不可能有两个零点，不符合题意舍去， ②当a＞0时，令h'(t)＞0，得t＞a，∴h(t)在(a，＋∞)上单调递增，令h'(t)＜0，得0＜t＜a，∴h(t)在(0，a)上单调递减， ∴h(t)min＝h＝a－aln a. 若h＞0，则0＜a＜e，此时h(t)＞0恒成立，没有零点； 若h＝0，则a＝e，此时h有一个零点. 若h＜0，则a＞e，∵h＝1＞0，h＝e－a＜0，h(e100a)＝e100a－100a2＞0， ∴h(t)在上各存在一个零点，符合题意. 综上，a的取值范围为(e，＋∞). 学科网（北京）股份有限公司 $