第13章 第6节 概率计算题集锦-【高考零起点】2026年新高考数学总复习学用Word（艺考）

该高中数学高考复习学案系统覆盖概率统计核心考点，涵盖古典概型、随机变量分布列、数学期望、独立性检验、相关系数等，按“基础计算—综合应用—统计分析”层次架构知识网络，通过问题链设计引导学生自主推导概率公式、构建分布模型，形成完整认知体系。 亮点在于真题导向的自主诊断与思维培养，精选2021-2025年高考真题，每道题设“情境分析—解题步骤—反思拓展”模块，培养数学思维与数据观念。附“考点诊断表”，学生通过错题定位薄弱环节，教师可依此实施分层指导，有效提升自主复习效率与备考针对性。

第六节　概率计算题集锦 1. 端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个、肉粽3个、白粽5个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个. (1)求三种粽子各取到一个的概率； (2)设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列与数学期望. 2. 已知2件次品和3件正品放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束. (1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率； (2)已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品需要的检测费用(单位：元)，求X的分布列和均值(数学期望). 3. (2025北京卷) 某次考试中，只有一道单项选择题考查了某个知识点，甲、乙两校的高一年级学生都参加了这次考试. 为了解学生对该知识点的掌握情况，随机抽查了甲、乙两校高一年级各100名学生该题的答题数据，其中甲校学生选择正确的人数为80，乙校学生选择正确的人数为75. 假设学生之间答题相互独立，用频率估计概率. (1)估计甲校高一年级学生该题选择正确的概率p； (2)从甲、乙两校高一年级学生中各随机抽取1名，设X为这2名学生中该题选择正确的人数，估计X＝1的概率及X的数学期望； (3)假设：如果没有掌握该知识点，学生就从题目给出的四个选项中随机选择一个作为答案；如果掌握该知识点，甲校学生选择正确的概率为100%，乙校学生选择正确的概率为85%. 设甲、乙两校高一年级学生掌握该知识点的概率估计值分别为p1，p2，判断p1与p2的大小(结论不要求证明). 4. (2024新高考Ⅱ卷)某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段.第二阶段由该队的另一名队员投篮3次，每次投篮投中得5分，未投中得0分.该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和.某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p，乙每次投中的概率为q，各次投中与否相互独立. (1)若p＝0.4，q＝0.5，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率； (2)假设0＜p＜q. ①为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛? ②为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛? 5. (2022新高考Ⅰ卷)一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯(卫生习惯分为良好和不够良好两类)的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例(称为病例组)，同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人(称为对照组)，得到如下数据： 项目 不够良好 良好 病例组 40 60 对照组 10 90 (1)能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异? (2)从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该疾病”. 与的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R. ①证明：R＝·； ②利用该调查数据，给出P(A|B)，P(A|)的估计值，并利用①的结果给出R的估计值. 附：K2＝ . P(K2≥k) 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 6.(2021新高考Ⅱ卷)一种微生物群体可以经过自身繁殖不断繁衍，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代……该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，P(X＝i)＝pi(i＝0，1，2，3). (1)已知p0＝0.4，p1＝0.3，p2＝0.2，p3＝0.1，求E(X)； (2)设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p是关于x的方程：p0＋p1x＋p2x2＋p3x3＝x的一个最小正实根，求证：当E(X)≤1时，p＝1；当E(X)＞1时，p＜1. (3)根据你的理解说明(2)问结论的实际含义. 7. (2024北京卷)某保险公司为了了解该公司某种保险产品的索赔情况，从合同险期限届满的保单中随机抽取1 000份，记录并整理这些保单的索赔情况，获得数据如下表： 赔偿次数 0 1 2 3 4 单数 800 100 60 30 10 假设：一份保单的保费为0.4万元；前3次索赔时，保险公司每次赔偿0.8万元；第四次索赔时，保险公司赔偿0.6万元.假设不同保单的索赔次数相互独立.用频率估计概率. (1)估计一份保单索赔次数不少于2的概率； (2)一份保单的毛利润定义为这份保单的保费与赔偿总金额之差. ①记X为一份保单的毛利润，估计X的数学期望E(X)； ②如果无索赔的保单的保费减少4%，有索赔的保单的保费增加20%，试比较这种情况下一份保单毛利润的数学期望估计值与①中E(X)估计值的大小.(结论不要求证明) 8. (2022全国乙卷)某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山. 为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积(单位：m2)和材积量(单位：m3)，得到如下数据： 样本号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总和 根部横截面积xi 0.04 0.06 0.04 0.08 0.08 0.05 0.05 0.07 0.07 0.06 0.6 材积量yi 0.25 0.40 0.22 0.54 0.51 0.34 0.36 0.46 0.42 0.40 3.9 并计算得＝0.038，＝1.615 8，xiyi＝0.247 4. (1)估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量； (2)求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数(精确到0.01)； (3)现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为186 m2. 已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比. 利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值. 附：相关系数r＝≈1.377. 9. (2022新高考Ⅱ卷)在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图： (1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)； (2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间[20，70)的概率； (3)已知该地区这种疾病的患病率为0.1%，该地区年龄位于区间[40，50)的人口占该地区总人口的16%. 从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间[40，50)，求此人患这种疾病的概率. (以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.000 1) 第六节　概率计算题集锦 1.(1)令A表示事件“三种粽子各取到一个”，则有 P(A)＝. (2)X的可能取值为0，1，2，且 P(X＝0)＝， P(X＝1)＝， P(X＝2)＝. 综上知X的分布列为 X 0 1 2 P 故E(X)＝0×＋1×＋2×. 2. (1)第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率为P＝×. (2)由题意知X的可能取值为200，300，400三种情况， 则P(X＝200)＝， P(X＝300)＝， P(X＝400)＝. 所以X的分布列如下： X 200 300 400 P 所以E(X)＝200×＋300×＋400×＝350. 3.(1)　(2)0.35，E＝1.55　(3)p1＜p2 【解析】(1)估计甲校高一年级学生该题选择正确的概率p＝； (2)设A为“从甲校抽取1人做对”，则P＝0.8，P＝0.2，设B为“从乙校抽取1人做对”，则P＝0.75，P＝0.25，设C为“恰有1人做对”，故P＝P＋P＝PP＋PP＝0.35. 依题可知，X可取0，1，2，P＝P＝0.05，P＝0.35，P＝0.8×0.75＝0.6， 故X的分布列如下表： X 0 1 2 P 0.05 0.35 0.6 故E＝1×0.35＋2×0.6＝1.55； (3)设D为 “甲校掌握这个知识点的学生做该题”，∵甲校掌握这个知识点的学生有100%的概率做对该题目，未掌握该知识点的学生都是从四个选项中随机选择一个，故P＝0.8，即p1＋×＝0.8，故p1＝，同理有，0.85p2＋×＝0.75，故p2＝，故p1＜p2. 4.(1)甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分，则甲第一阶段至少投中1次，乙第二阶段也至少投中1次，∴比赛成绩不少于5分的概率P＝＝0.686. (2)①若甲先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为P甲＝q3，若乙先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为P乙＝p3.∵0＜p＜q，∴P甲－P乙＝q3－(q－pq)3－p3＋(p－pq)3＝(q－p)·＋(p－q)·＝(p－q)·＝3pq(p－q)(pq－p－q)＝3pq·(p－q)·[(1－p)(1－q)－1]＞0，∴P甲＞P乙，应该由甲参加第一阶段比赛. ②若甲先参加第一阶段比赛，比赛成绩X的所有可能取值为0，5，10，15， P(X＝0)＝(1－p)3＋·(1－q)3， Pq·， P(X＝10)＝·q2(1－q)， P(X＝15)＝·q3， ∴E(X)＝15q＝15·q 若乙先参加第一阶段比赛，比赛成绩Y的所有可能取值为0，5，10，15， 同理E(Y)＝15·p ∴E(X)－E(Y)＝15[pq(p＋q)(p－q)－3pq(p－q)] ＝15(p－q)pq(p＋q－3)， ∵0＜p＜q，则p－q＜0，p＋q－3＜1＋1－3＜0， 则(p－q)pq(p＋q－3)＞0， ∴应该由甲参加第一阶段比赛. 5.(1)由已知K2＝＝＝24，又P(K2≥6.635)＝0.01，24＞6.635，所以有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异. (2)①∵R＝····， ∴R＝···， ∴R＝·. ②由已知P(A|B)＝，P(A|)＝， 又P(|B)＝，P(|)＝， ∴R＝·＝6. 6.(1)E(X)＝0×0.4＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.1＝1. (2)设f(x)＝p3x3＋p2x2＋(p1－1)x＋p0， ∵p3＋p2＋p1＋p0＝1， ∴f(x)＝p3x3＋p2x2－(p2＋p0＋p3)x＋p0， 若E(X)≤1，则p1＋2p2＋3p3≤1，故p2＋2p3≤p0. f'(x)＝3p3x2＋2p2x－(p2＋p0＋p3)， ∵f'(0)＝－(p2＋p0＋p3)＜0，f'(1)＝p2＋2p3－p0≤0， ∴f'(x)有两个不同零点x1，x2，且x1＜0＜1≤x2， 且x∈(－∞，x1)∪(x2，＋∞)时，f'(x)＞0； x∈(x1，x2)时，f'(x)＜0； 故f(x)在区间(－∞，x1)，(x2，＋∞)上为增函数，在区间(x1，x2)上为减函数. 若x2＝1，∵f(x)在区间(x2，＋∞)上为增函数且f(1)＝0， 而当x∈(0，x2)时，f(x)在区间(x1，x2)上为减函数，故f(x)＞f(x2)＝f(1)＝0， ∴1为p0＋p1x＋p2x2＋p3x3＝x的一个最小正实根， 若x2＞1，因为f(1)＝0且f(x)在区间(0，x2)上为减函数，故1为p0＋p1x＋p2x2＋p3x3＝x的一个最小正实根. 综上，若E(X)≤1，则p＝1. 若E(X)＞1，则p1＋2p2＋3p3＞1，故p2＋2p3＞p0. 此时f'(0)＝－(p2＋p0＋p3)＜0，f'(1)＝p2＋2p3－p0＞0， 故f'(x)有两个不同零点x3，x4，且x3＜0＜x4＜1， 且x∈(－∞，x3)∪(x4，＋∞)时，f'(x)＞0； x∈(x3，x4)时，f'(x)＜0； 故f(x)在区间(－∞，x3)，(x4，＋∞)上为增函数，在区间(x3，x4)上为减函数， 而f(1)＝0，故f(x4)＜0， 又f(0)＝p0＞0，故f(x)在区间(0，x4)上存在一个零点p，且p＜1. ∴p为p0＋p1x＋p2x2＋p3x3＝x的一个最小正实根，此时p＜1， 故当E(X)＞1时，p＜1. (3)意义：每一个该种微生物繁殖后代的平均数不超过1，则若干代后必然灭绝，若繁殖后代的平均数超过1，则若干代后被灭绝的概率小于1. 7.(1)设A为“随机抽取一单，赔偿不少于2次”，由题设中的统计数据可得P. (2)①设ξ为赔付金额，则ξ可取0，0.8，1.6，2.4，3，由题设中的统计数据可得P，P，P(ξ＝1.6)＝， P(ξ＝2.4)＝，P(ξ＝3)＝，故E＝0×＋0.8×＋1.6×＋2.4×＋3×＝0.278. 故E＝0.4－0.278＝0.122(万元). ②由题设保费的变化为0.4××96%＋0.4××1.2＝0.403 2，故E＝0.122＋0.403 2－0.4＝0.125 2(万元)，从而E＜E. 8.(1)样本中10棵这种树木的根部横截面积的平均值＝0.06，样本中10棵这种树木的材积量的平均值＝0.39. 据此可估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积为0.06 m2，平均一棵的材积量为0.39 m3. (2)r＝ ＝ ＝ ＝≈≈0.97， 则r≈0.97. (3)设该林区这种树木的总材积量的估计值为Y m3，又已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比，可得，解得Y＝1 209 m3，则该林区这种树木的总材积量估计为1 209 m3. 9.(1)平均年龄＝(5×0.001＋15×0.002＋25×0.012＋35×0.017＋45×0.023＋55×0.020＋65×0.017＋75×0.006＋85×0.002)×10＝47.9(岁). (2)设A＝{一人患这种疾病的年龄在区间[20，70)}，∴P(A)＝1－P()＝1－(0.001＋0.002＋0.006＋0.002)× 10＝1－0.11＝0.89. (3)设B＝“任选一人年龄位于区间[40，50)”，C＝“从该地区中任选一人患这种疾病”，则由已知得：P＝16%＝0.16，P＝0.1%＝0.001，P(B|C)＝0.023×10＝0.23，则由条件概率公式可得从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间[40，50)，此人患这种疾病的概率为P(C|B)＝＝0.001 437 5≈0.001 4. 学科网（北京）股份有限公司 $