第13章 第5节 正态分布-【高考零起点】2026年新高考数学总复习学用Word（艺考）

该高中数学高考复习学案系统梳理了正态分布专题，涵盖正态曲线性质、参数μ与σ的意义、三个区间概率恒等式及应用等核心考点，通过定义解析、性质归纳、例题示范构建知识网络，以问题链引导学生自主推导对称性质与区间概率计算，形成完整认知体系。 亮点在于诊断性自测与高考真题融合设计，如开篇设置10道梯度练习题，学生通过错题定位薄弱环节，结合2022-2024新高考真题演练，培养数学思维与数据观念。每个模块配有解题反思表，帮助学生自主总结规律，教师可依据学情实施分层指导，提升备考实效。

第五节　正态分布 1. 正态分布是用来描述连续型随机变量概率分布的一种模型，它通过平面直角坐标系中一条中间高两边低的钟形曲线(又称正态曲线)来呈现，这条曲线的函数解析式为f(x)＝(x∈R，μ，σ为参数，σ＞0)，如图所示. 2. 在右图中，正态曲线关于直线x＝μ对称，μ表示均值，但在正态分布中，均值＝中位数＝众数. σ刻画了方差的大小，σ越小，方差越小. 此外，正态曲线还具有以下性质： (1)曲线在x轴的上方，当x→∞时，两端与x轴无限靠近但永不相交； (2)曲线与x轴所围成的面积为1； (3)当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移； (4)当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散. 3. 正态分布完全由参数μ，σ确定，因此正态分布常记作N(μ，σ2). 4. 在图中，P(a≤x≤b)的值即为正态曲线与直线x＝a，x＝b，x轴围成的面积，显然，“点概率”为0，所以，在正态分布中，我们不关心“点概率”，只关心“区间概率”. 5. 在正态分布N(μ，σ2)中，有三个“区间概率”的恒等式经常用到： (1)P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.682 6；(2)P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0.954 4；(3)P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝0.997 4. 例　已知随机变量X服从正态分布N(1，4)，且P(X＜3)＝0.84，求P(＞1)的值. 1. 已知随机变量X服从正态分布N(3，1)，且P(2≤X≤4)＝0.682 6，则P(X＞4)等于(　　) A. 0.158 8 B. 0.158 7 C. 0.158 6 D. 0.158 5 2. 设随机变量ξ服从标准正态分布N(0，1)，已知P(ξ＜－1.96)＝0.025，则P(＜1.96)＝(　　) A. 0.025 B. 0.050 C. 0.950 D. 0.975 3. 设两个正态分布N(μ1， )(σ1 ＞0)和N(μ2， )(σ2＞0)的密度函数图象如图所示，则(　　) A. μ1＜μ2，σ1＜σ2 B. μ1＜μ2，σ1＞σ2 C. μ1＞μ2，σ1＜σ2 D. μ1＞μ2，σ1＞σ2 4. 设随机变量ξ服从正态分布N(3，4)，若P(ξ＜2a－3)＝P(ξ＞a＋2)，则a的值为　　　　　.   5. (2022新高考Ⅱ卷)已知随机变量X服从正态分布N，且P(2＜X≤2.5)＝0.36，则P(X＞2.5)＝　　　　.  6. 某校2020届高三期末考试理科数学成绩ξ~N(90，σ2)(σ＞0)，统计结果显示P(60≤ξ≤120)＝0.8. 假设该校参加此次考试的有780人，试估计此次考试中，该校成绩高于120分的有　　　　　人.   7. 已知某批零件的长度误差(单位：mm)服从正态分布N(0，32). 从中随机取一件，其长度误差落在区间(3，6)内的概率为(　　) A. 4.56% B. 13.59% C. 27.18% D. 31.74% 8. (2024新高考Ⅰ卷)(多选)随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口.为了解推动出口后的亩收入(单位：万元)情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值＝2.1，样本方差s2＝0.01.已知该种植区以往的亩收入X服从正态分布N，假设推动出口后的亩收入Y服从正态分布N，则(若随机变量Z服从正态分布N，P(Z＜μ＋σ)≈0.841 3)(　　) A. P(X＞2)＞0.2 B. P(X＞2)＜0.5 C. P(Y＞2)＞0.5 D. P(Y＞2)＜0.8 9. (2021新高考Ⅱ卷)某物理量的测量结果服从正态分布N，下列结论中不正确的是(　　) A. σ越小，该物理量在一次测量中在(9.9，10.1)的概率越大 B. 该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5 C. 该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等 D. 该物理量在一次测量中落在(9.9，10.2)与落在(10，10.3)的概率相等 10. 为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸(单位：cm).根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(μ，σ2). (1)假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件数，求P(X≥1)及X的数学期望； (2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查. ①试说明上述监控生产过程方法的合理性； ②下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸： 9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95 经计算得xi＝9.97，s＝≈0.212，其中xi为抽取的第i个零件的尺寸，i＝1，2，…，16. 用样本平均数作为μ的估计值，用样本标准差s作为σ的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查.剔除(－3＋3)之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ(精确到0.01). 附：若随机变量Z服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－3σ＜Z＜μ＋3σ)＝0.997 4， 0.997 416＝0.959 2， ≈0.09. 第五节　正态分布 典例精析 例　P(＞1)＝P(X＞1)＋P(X＜－1). ∵随机变量X的正态分布曲线的对称轴为直线x＝1，且该曲线与x轴所围成的面积为1，∴P(X＞1)＝0.5. 又(3，0)关于直线x＝1的对称点为(－1，0)，由图象的对称性，P(X＜－1)＝P(X＞3)， 由P(X＜3)＝0.84可知，P(X＞3)＝0.16，故P(X＞1)＝P(X＞1)＋P(X＜－1)＝0.5＋0.16＝0.66. 巩固练习 1.B　∵随机变量X服从正态分布N(3，1)，且P(2≤X≤4)＝0.682 6，∴P(X＞4)＝(1－0.682 6)＝0.158 7.故选B. 2.C　∵随机变量ξ服从正态分布N(0，1)， 且P(ξ＜－1.96)＝0.025， ∴P(ξ＜1.96)＝P(－1.96＜ξ＜1.96)＝1－2P(ξ＜－1.96)＝1－2×0.025＝0.950.故选C. 3.A　由知识梳理2.(3).(4).故选A. 4.　∵随机变量ξ服从正态分布N(3，4)，P(ξ＜2a－3)＝P(ξ＞a＋2)，∴(2a－3＋a＋2)＝3，解得a＝. 5.0.14　∵N，∴P＝P＝0.5，因此P＝P－P＝0.5－0.36＝0.14.故答案为0.14. 6.78　∵成绩ξ~N(90，σ2)，∴其正态曲线关于直线x＝90对称，又P(60≤ξ≤120)＝0.8，由对称性知成绩在120分以上的人数约为总人数的(1－0.8)＝0.1，∴估计成绩高于120分的有0.1×780＝78(人). 7.B　∵长度误差符合正态分布N(0，32)，∴P(3＜X＜6)＝[P(－6＜X＜6)－P(－3＜X＜3)]＝×(95.44%－68.26%)＝13.59%.故选B. 8.BC　依题可知，＝2.1，s2＝0.01，∴Y~N，故P＝P＝P≈0.841 3＞0.5，C正确，D错误；∵X~N，∴P＝P，∵P≈0.841 3，∴P≈1－0.841 3＝0.158 7＜0.2，而P＝P＜P＜0.2，B正确，A错误.故选BC. 9.D　σ2为数据的方差，所以σ越小，数据在μ＝10附近越集中，测量结果落在内的概率越大，故A正确；由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量大于10的概率为0.5，故B正确；由正态分布密度曲线的对称性可知，该物理量一次测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等，故C正确； ∵该物理量一次测量结果落在的概率与落在的概率不同，∴一次测量结果落在的概率与落在的概率不同，故D错误.故选D. 10.(1)由题可知尺寸落在(μ－3σ，μ＋3σ)之内的概率为0.997 4，落在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的概率为0.002 6. P(X＝0)＝(1－0.997 4)00.997 416≈0.959 2， P(X≥1)＝1－P(X＝0)≈1－0.959 2＝0.040 8. 由题可知XB(16，0.002 6)， ∴E(X)＝16×0.002 6＝0.041 6. (2)①尺寸落在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的概率为0.002 6，由正态分布知尺寸落在(μ－3σ，μ＋3σ)之外为小概率事件，因此上述监控生产过程的方法合理. ②μ－3σ＝9.97－3×0.212＝9.334， μ＋3σ＝9.97＋3×0.212＝10.606， ∵9.22 ∈\ (9.334，10.606)，∴需对当天的生产过程检查. 因此剔除9.22， 剔除数据之后：μ＝＝10.02. σ2＝[(9.95－10.02)2＋(10.12－10.02)2＋(9.96－10.02)2＋(9.96－10.02)2＋(10.01－10.02)2＋(9.92－10.02)2＋(9.98－10.02)2＋(10.04－10.02)2＋(10.26－10.02)2＋(9.91－10.02)2＋(10.13－10.02)2＋(10.02－10.02)2＋(10.04－10.02)2＋(10.05－10.02)2＋(9.95－10.02)2]×≈0.008， ∴σ≈≈0.09. 学科网（北京）股份有限公司 $