第9章 第5节 常见轨迹方程的求法-【高考零起点】2026年新高考数学总复习学用Word（艺考）

该高中数学高考复习学案系统梳理了常见轨迹方程求法的核心考点，涵盖直接法、参数法、转代法及圆锥曲线定义法，通过例题解析与问题驱动，引导学生从几何条件到代数方程自主构建知识网络，体现考点梳理的系统性与层次性。 亮点在于自主诊断与方法迁移设计，如设置8道梯度练习（含3道高考真题），学生可通过解题过程诊断方法掌握情况，培养数学思维与数学语言表达能力。每个方法模块配有反思总结表，帮助学生个性化梳理易错点，教师可依学情精准指导，提升备考实效。

第五节　常见轨迹方程的求法 1. 轨迹是指图形，轨迹方程是指图形的方程. 求轨迹时，应先求轨迹方程，然后根据方程指出轨迹是一条什么样的曲线. 2. 求轨迹方程时，要注意定义域，并注意曲线上的点与方程的解是一一对应的关系. 3. 求轨迹方程的方法有直接法、参数法、转代法、圆锥曲线定义法等. 一、直接法 当题目中的几何条件比较简单，关于动点的等量关系容易建立时，常采用此法求轨迹方程. 例1　平面上一P点，到点(－1，0)的距离与到定直线x＝－4的距离的比值为，求P的轨迹. 二、参数法 当动点的运动受另一个变量的制约时常采用此法. 例2　过原点作直线l和抛物线 y＝x2－4x＋6相交于A，B两点，求线段AB的中点M的轨迹方程. 三、转代法 转代法建立在参数法的基础之上，但它涉及两个参数. 若动点P(x，y)的位置由已知曲线上的点Q(m，n)的位置来确定，则P的坐标点(x，y)便可以用m和n来表示，从中“反解”出m和n，利用点Q(m，n)在已知曲线上的条件消去m和n，便得到轨迹方程. 例3　B是椭圆＝1上的动点，点A(4，0)为定点，求线段AB中点M的轨迹方程. 四、圆锥曲线定义法 利用椭圆、抛物线、双曲线的定义求轨迹方程的方法. 例4　一个动圆M与圆F1：x2＋y2＋6x＋5＝0相外切，同时与圆F2：x2＋y2－6x－91＝0相内切，求动圆M的圆心轨迹方程. 1.(2023新高考Ⅰ卷节选)在直角坐标系xOy中，点P到x轴的距离等于P到点的距离，记动点P的轨迹为W.求W的方程. 2. (2021新高考Ⅰ卷节选)在平面直角坐标系xOy中，已知点F1(－，0)，点F2(，0)，＝2，M点的轨迹为C， 求C的方程. 3.P为平面上一点，且P到点A(2，0)的距离比P到y轴的距离多2，求P的轨迹方程. 4. 由圆x2＋y2＝9外一点P(5，12)引圆的割线相交交圆于A，B两点，求弦AB的中点M的轨迹方程. 5.设椭圆的方程为4x2＋y2＝4，过点M(0，1)的直线l相交椭圆于A，B两点，O是坐标原点，P点满足()，当直线l绕M旋转时，求动点P的轨迹方程. 6.已知定点A(1，3)， B为抛物线y＝x2－1上任意一点，P点在AB上且＝2 ，当B在抛物线上移动时，求P的轨迹方程. 7.点M(x0，y0)是圆F1：(x＋1)2＋y2＝9上的一个动点，点F2(1，0)为定点.线段MF2的垂直平分线与MF1相交于点Q(x，y)，点F2(1，0)始终在圆内，求Q的轨迹方程. 8. 设O为坐标原点，动点M在椭圆C：＋y2＝1 上，过M作x轴的垂线，垂足为N，P点满足. (1)求P的轨迹方程； (2)设Q在直线x＝－3上，且·＝1.证明：过P且垂直于OQ的直线l过椭圆C的左焦点F. 第五节　常见轨迹方程的求法 典例精析 例1　设P坐标为(x，y)，依题意，两边平方整理得P的轨迹方程为＝1. 它是一条中心在原点，长半轴长为2，短半轴长为的椭圆. 例2　由题意分析知直线l的斜率一定存在，设直线l的方程为y＝kx.把它代入抛物线方程y＝x2－4x＋6，得 x2－(4＋k)x＋6＝0.∵直线和抛物线相交，∴Δ＞0，解得k∈(－∞，－4－2)∪(－4＋2，＋∞). 设点A(x1，y1 )，点B(x2，y2 )，点M(x，y)，由根与系数的关系得x1＋x2＝4＋k，x1x2＝6. ∴x＝，y＝kx＝. 由消去k得y＝2x2－4x. 又∵2x＝x1＋x2＝4＋k，∴x∈(－∞，－)∪(，＋∞). ∴M的轨迹方程为y＝2x2－4x，x∈(－∞，－)∪(，＋∞). 例3　M的位置由B的位置来确定，设B的坐标为点(m，n)，M的坐标为(x，y)，则x，y便可用m和n来表示，从中“反解”出 m和n，利用点B(m，n)在椭圆上消参即得. 由中点坐标公式有于是 又∵点B(m，n)在椭圆＝1上，∴＝1.整理即得M的轨迹方程为(x－2)2＋2y2＝1. 例4　设动圆半径为r，依题意： |MF1|＝2＋r，|MF2|＝10－r. 两式相加得|MF1|＋|MF2|＝12. 所以M的轨迹是以点F1(－3，0)，点F2(3，0)为焦点，长半轴长为6，短半轴长为3的椭圆，方程为＝1. 巩固练习 1. 设点P(x，y)，由题意可得|y|＝，化简可得x2＝y－ .所以动点P的轨迹W的方程为y＝x2＋. 2.因为＝2＜＝2，所以轨迹C是以点F1，F2为左、右焦点的双曲线的右支，设轨迹C的方程为＝1，则2a＝2，可得a＝1，b＝＝4，∴轨迹C的方程为x2－＝1. 3.依题意，P到A的距离与P到x＝－2的距离相等.∴P的轨迹为抛物线，方程为y2＝8x. 4. 方法一：(直接法)如图，设弦AB的中点M的坐标为点(x，y)，连接OP，OM，则OM⊥AB，在△OMP中，由两点间的距离公式和勾股定理有 x2＋y2＋(x－5)2＋(y－12)2＝169. 整理，得x2＋y2－5x－12y＝0.故M的轨迹方程为x2＋y2－5x－12y＝0在圆x2＋y2＝9内的部分. 方法二：(定义法)∵M是弦AB的中点，∴OM⊥AB. ∴M的轨迹是以为直径的圆.圆心为，半径为，∴该圆的方程为＋(y－6)2＝. 化简，得x2＋y2－5x－12y＝0. 故M的轨迹方程为x2＋y2－5x－12y＝0在圆x2＋y2＝9内的部分. 方法三： (参数法)设过P的割线方程为y－12＝k(x－5)，它与圆x2＋y2＝9的两个交点为A，B，弦AB的中点为M. 解方程组 利用根与系数的关系和中点坐标公式，可求得M的轨迹方程为x2＋y2－5x－12y＝0. 故M的轨迹方程为x2＋y2－5x－12y＝0在圆x2＋y2＝9内的部分. 5.直线l过点M(0，1)，设其斜率为k，则直线l的方程为y＝kx＋1，记点A(x1，y1)，点B(x2，y2)，由题设可得A，B的坐标(x1，y1)，(x2，y2)是方程组的解，化简得(4＋k2)x2＋2kx－3＝0，∴ 于是()＝＝ ，设P的坐标为(x，y)，则 消去参数k得4x2＋y2－y＝0. 当k不存在时，A，B中点为坐标原点(0，0)，也满足此方程，所以P的轨迹方程为4x2＋y2－y＝0. 6.设点B(m，n)，点P(x，y)，由＝2得(x－1，y－3)＝2(m－x，n－y)，整理得3x＝2m＋1，3y＝2n＋3. 于是有 又∵点B(m，n)在曲线y＝x2－1上，∴n＝m2－1. 故－1. 整理得P的轨迹方程为3x2－2x－2y＋1＝0. 7.依题意， QF1QM＝3，QMQF2，∴QF1QF2＝3＞F1F2＝2.故Q是在以F1，F2为焦点，长半轴长为短半轴为的椭圆上，方程为＝1. 8.(1)设点P(x，y)，点M(x0，y0) ，则点N(x0，0)，＝(x－x0，y)，＝(0，y0).由得x0＝x，y0＝.∵点M(x0，y0)在椭圆C上，所以＝1.∵P的轨迹方程为x2＋y2＝2. (2)由题意知点F(－1，0)，设点Q(－3，t)，点P(m，n)，则＝(－3，t)，＝(－1－m，－n)，·＝3＋3m－tn，＝(m，n)，＝(－3－m，t－n). 由·＝1得－3m－m2＋tn－n2＝1，又由(1)知m2＋n2＝2，故3＋3m－tn＝0.∴·＝0，即⊥.又∵过P存在唯一直线垂直于OQ，∴过P且垂直于OQ的直线l过椭圆C的左焦点F. 学科网（北京）股份有限公司 $