第10章 第5节 线与面所成的角-【高考零起点】2026年新高考数学总复习学用Word（艺考）

该高中数学高考复习学案系统梳理了线与面所成角的核心考点，涵盖射影定义、斜线与射影关系、辅助线作法（如利用面面垂直作垂线），结合正方体、正三棱柱等几何体构建知识网络。通过例题引导和练习任务驱动，帮助学生自主梳理从定义到应用的层次，形成完整认知框架。 亮点在于例题解析与巩固练习结合，设置正方体线面角判断、正三棱柱线面角计算等真题演练，培养学生的数学眼光（观察空间形式）和数学思维（推理线面角作法）。学生可通过练习自主诊断薄弱点，教师依据反馈精准指导，支持个性化复习，提升自主备考能力。

第五节　线与面所成的角 1.过一个点向一条直线或一个平面引垂线，所得到的垂足分别叫做这个点在这条直线上的射影或在这个平面上的射影. 2.线与面所成的角 一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点叫做斜足. 过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，得一垂足，连接垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影. 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角叫做这条直线和这个平面所成的角. 如图所示，直线l与平面α相交，P是直线l上异于交点O的任意一点，过P作平面α的垂线与平面相交于M，连接OM，则∠POM便是直线l与平面α所成的角. 3.线与面所成的角以及后面将要学习的几何体体积、二面角、空间坐标系建系等问题，都涉及一条辅助线的作法，那就是如何过平面α外一点P向α引垂线.通常的做法是利用面面垂直的性质定理，过P找到一个平面β与α垂直，设α与β的交线为AB，过P作交线AB的垂线，垂足为Q，则得到过P垂直于平面α的垂线PQ.垂线PQ在线面角、二面角、点到面的距离以及空间坐标系中坐标轴的选取方面都有广泛应用. 例1　如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，若M是CD的中点，B1M与平面ABCD所成的角是(　　) A.∠BMB1 B.∠AMB1 C.∠CMB1 D.∠DMB1 例2　如图，已知△ABC为等腰直角三角形，P为空间一点，且AC＝BC＝5，PC⊥AC，PC⊥BC，PC＝5，AB的中点为M，则PM与平面ABC所成的角度数为　　　　　.  1. 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，对角线BD1与平面ABCD所成的角的正切值为(　　) A. 1 B. C. D. 2. 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求： (1)BC1与平面ABCD所成的角； (2)BC1与平面BB1D1D所成的角. 3. 如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AA1，求直线CB1与平面AA1B1B所成的角的正弦值. 第五节　线与面所成的角 典例精析 例1　∵B1B⊥平面ABCD，∴BM为B1M在平面ABCD上的射影. ∴∠BMB1为BM与平面ABCD所成的角，选A. 例2　∵PC⊥AC，PC⊥BC，∴PC⊥平面ABC.故PM在平面ABC上的射影为CM，从而∠PMC为PM与平面ABC所成的角. 依题意，△ABC为等腰直角三角形，且AC＝BC＝5，由平面几何知识不难得到CM＝5.又PC⊥CM且PC＝5， 所以tan ∠PMC＝＝1，故∠PMC＝45°. 巩固练习 1.D　设正方体ABCD－A1B1C1D1棱长为1，连接BD，根据正方体的性质可知BD是BD1在底面ABCD的射影，∠D1BD为对角线BD1与底面ABCD所成的角，在直角三角形D1BD中，tan∠D1BD＝. 故选D. 2.(1)∵CC1⊥平面ABCD， ∴∠C1BC为BC1与平面ABCD所成的角，等于45°. (2)连接A1C1， 与B1D1交于O，依题意，C1O⊥平面BB1D1D，∴∠C1BO为BC1与平面BB1D1D所成的角. 于是sin∠C1BO＝， 故∠C1BO＝30°，即BC1与平面BB1D1D所成的角为30°. 3.取AB中点E，连接CE，B1E， 依题意，侧面与底面垂直且底面为正三角形，∴CE⊥AB且CE⊥平面ABB1A1，于是∠CB1E为直线CB1与平面AA1B1B所成的角.令AB＝1，则所有棱长为1，于是CE＝，CB1＝，∴sin∠CB1E＝. 学科网（北京）股份有限公司 $