第12章 第5节 独立性检验的基本思想及其初步应用-【高考零起点】2026年新高考数学总复习学用Word（艺考）

该高中数学高考复习学案系统梳理了独立性检验专题，将分类变量、2×2列联表、K²统计量构造与计算、临界值表应用等核心考点按“定义-工具-方法”逻辑构建知识网络，通过例题解析和分层练习题设计，引导学生从实际问题出发自主推导检验步骤，形成统计推断的完整认知框架。 亮点在于诊断性自测与真题情境融合，如开篇设置概念辨析选择题和列联表应用解答题，学生通过真题演练（2025全国Ⅰ卷题）自主诊断薄弱环节，培养数学眼光观察现实、数学思维推理分析的素养。每个模块配有解题步骤模板和错误归因提示，帮助学生建立个性化复习路径，教师可依据答题数据实施精准指导，提升备考实效。

第五节　独立性检验的基本思想及其初步应用 1. 变量不同的“值”表示个体所属的不同类别的变量叫做分类变量，如性别、国籍等都是分类变量. 2. 一般地，假设有两个分类变量Ⅰ和Ⅱ，它们的可能取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}， 其样本频数列联表(称为2×2列联表)为： 表1 项目 y1 y2 总计 x1 a b a＋b x2 c d c＋d 总　计 a＋c b＋d a＋b＋c＋d 　　我们构造一个随机变量K2＝(其中n＝a＋b＋c＋d).将在某次统计中得到的数据代入该等式所求得K2的值叫做K2的观测值，观测值通常用k表示， k的大小反映了分类变量Ⅰ和类Ⅱ是否有关系的可信度.参考表2，k越大，则分类变量Ⅰ和分类变量Ⅱ有关系的可信度越强；k越小，则分类变量Ⅰ和分类变量Ⅱ有关系的可信度越弱. 表2 P(K2≥k) 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 　　3. 参考表2，在实际应用中，当我们把观测值k求出来后，则有(1－P(K2≥k))×100%的把握认为“两个分类变量之间有关系”，其中P(K2≥k)为做出这种判断产生错误的概率.我们把这种通过计算K2的值来精确判断两个分类变量是否有关系的方法叫做独立性检验的方法. 例　调查某医院某段时间内婴儿出生的时间与性别的关系，得到下面的列联表： 项目 晚上 白天 合计 男婴 24 31 55 女婴 8 26 34 合计 32 57 89 　　由表可知，你有多大的把握认为婴儿出生的时间与性别有关系?这种判断出错的概率是多少?(相关数据可参考表2) 一、选择题(下列各题均可参考以上表2中的数据) 1. 如果有99%的把握认为“X与Y有关系”，那么具体算出的数据满足(　　) A. K2＞6.635　 B. K2＞5.024 C. K2＞7.879　 D. K2＞3.841 2. 对于两个分类变量X与Y的随机变量K2的观测值k，下列说法正确的是(　　) A. k越大，“X与Y有关系”可信度越小 　　 B. k越小，“X与Y有关系”可信度越小 C. k越接近于零，“X与Y无关”可信度越小 　　 D. k越大，“X与Y无关”可信度越大 3. 随机询问110名不同性别的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表： 项目 男 女 总计 爱好 40 20 60 不爱好 20 30 50 总计 60 50 110 由K2＝算得K2＝≈7.8. P(K2≥k) 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 参照上表，得到的以下结论正确的是(　　) A.有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” B. 有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关” C. 在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关” D. 在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关” 二、解答题 (2025全国Ⅰ卷)为研究某疾病与超声波检查结果的关系，从做过超声波检查的人群中随机调查了1 000人，得到如下列联表： 超声波检查结果 组别 正常 不正常 合计 患该疾病 20 180 200 未患该疾病 780 20 800 合计 800 200 1 000 (1)记超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为p，求p的估计值； (2)根据小概率值α＝0.001的独立性检验，分析超声波检查结果是否与患该疾病有关. 附χ2＝. P 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 第五节　独立性检验的基本思想及其初步应用 典例精析 例　将表中数据代入K2的计算式，可得 K2＝≈3.689. 由表2可知，至少有90%的把握认为婴儿出生的时间与性别有关系.这种判断出错的概率为10%. 巩固练习 一、选择题 1.A　比较K2与临界值的大小，若有99%的把握，则K2＞6.635. 故A正确. 2.B　k越大，“X与Y有关系”的可信度越大；k越小，“X与Y有关系”的可信度越小.故B正确. 3. A　根据独立性检验的定义，由K2≈7.8＞6.635可知我们在犯错误的概率不超过0.01的前提下，即有99%以上的把握认为“爱好该运动与性别有关”.故A正确. 二、解答题 (1)　(2)有关 【解析】(1)根据题表可知，检查结果不正常的200人中有180人患该疾病，∴p的估计值为； (2)零假设为H0：超声波检查结果与患该疾病无关，根据题表数据可得，χ2＝＝765.625＞10.828＝x0.001，根据小概率值α＝0.001的χ2独立性检验，我们推断H0不成立，即认为超声波检查结果与患该疾病有关，该推断犯错误的概率不超过0.001. 学科网（北京）股份有限公司 $