第12章 第4节 回归方程-【高考零起点】2026年新高考数学总复习学用Word（艺考）

该高中数学高考复习学案系统梳理了回归方程专题，涵盖相关系数、散点图、回归直线方程及最小二乘法等核心考点，按“概念—方法—应用”逻辑构建知识体系，通过例题引导学生自主判断线性相关关系、推导回归方程，形成完整知识网络。 亮点在于诊断性练习与方法指导结合，如设置6道选择和1道解答题自测，例题中数据预处理方法培养运算能力与推理意识，助力学生自主诊断提升。教师可通过学情精准指导，培养学生用数学眼光观察、思维思考现实世界的素养，实现个性化复习。

第四节　回归方程 有n个数据点(xi，yi)，i＝1，2，…，n，设xi，yi. 1. 如果相关系数r＝， r∈，则说明xi和yi所代表的变量之间存在某种关联，就称这两个变量之间具有线性相关关系. 2.将这n个数据点描在平面直角坐标系中，表示具有相关关系的两个变量的一组数据的图形叫做散点图. 如果两个变量线性相关，则这n个数据点从整体上看大致分布在一条直线附近，这条直线叫做回归直线，该直线方程叫做回归方程. 越大，线性相关性越强，数据点更紧密地分布在回归直线附近，如果＝1，则所有的点都在回归直线上. 3. 当r＞0时，两个变量正相关，回归直线的斜率b＞0；当r＜0时，两个变量负相关，回归直线的斜率b＜0. 从散点图上看，两个变量正相关，散点图中的数据点分布在从左下角到右上角的区域；反之，数据点分布在从左上角到右下角的区域. 4. 如果散点图中的两个变量具有线性相关关系，设该散点图中的回归直线方程为＝bx＋a，则 b＝， a＝－b. 这种求回归直线方程的方法叫做最小二乘法，y上面的符号“^”必不可少，表示回归直线上的点的函数值，是一个估算值； 而y表示的则是散点图中的散点的函数值，是实际值. 5. 回归直线可以不经过任意一个点(xi，yi)，但一定经过点. 例1　下表是反映人的年龄和脂肪含量之间关系的一组样本数据，下图为以年龄为横坐标，脂肪含量为纵坐标画出的散点图.试说出人的年龄和人体的脂肪含量之间是否具有线性相关关系.如果有，是正相关还是负相关? 年龄和人体的脂肪含量 年龄/岁 23 27 39 41 45 49 50 53 54 56 57 58 60 61 脂肪含量/% 9.5 17.8 21.2 25.9 27.5 26.3 28.2 29.6 30.2 31.4 30.8 33.5 35.2 34.6 例2　下表是某次统计数据： x 0 2 4 6 y 1 3 5 8 　　求由此得到的回归直线方程. 例3　为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子身高数据记录如下： 父亲身高x/cm 174 176 176 176 178 儿子身高y/cm 175 175 176 177 177 　　(1)求y对x的线性回归方程； (2)利用(1)中所求的直线方程，预测当一名父亲的身高为182 cm时，他的儿子身高为多少. 一、选择题　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1. 实验测得四组(x，y)的值为(1，2)，(2，3)，(3，4)，(4，5)，则y与x之间的回归直线方程为(　　) A.＝x＋1 B.＝x＋2 C.＝2x＋1 D.＝x－1 2. 为了研究某班学生的脚长x(单位：厘米)和身高y(单位：厘米)的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系，设其回归直线方程为＝bx＋a.已知xi＝225，yi＝1 600，b＝4.该班某学生的脚长为24 cm，据此估计其身高为(　　) A.160 cm B.163 cm C.166 cm D.170 cm 3. 由一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)得到的回归直线方程为＝bx＋a.下列说法正确的是(　　) A. 直线＝bx＋a不一定经过点() B. 直线＝bx＋a至少经过点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)中的一个点 C. 直线＝bx＋a可以不经过点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)中的任何一个点 D. 直线＝bx＋a的斜率为 4. 为研究变量x，y的相关关系，收集得到如下数据： x 5 6 7 8 9 y 9 8 6 4 3 若由最小二乘法求得y关于x的经验回归方程为＝－1.6x＋，则据此计算残差为0的样本点是(　　) A. B. C. D. 5. 一组成对数据，…，的样本中心点为()，由这组数据拟合的线性回归方程为＝a＋bx，用最小二乘法求回归方程是为了使下列哪个值最小.(　　) A. 总偏差平方和 B. 残差平方和 C. 回归平方和 D. 竖直距离和 6. (多选)设某大学的女生体重y(单位：kg)与身高x(单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(xi，yi)(i＝1，2，…，n)，用最小二乘法建立的回归方程为＝0.85x－85.71. 下列结论中不正确的是(　　) A. y与x具有正的线性相关关系 B. y与x的相关系数为0.85 C. 若该大学某女生身高增加1 cm，则其体重约增加0.85 kg D. 若该大学某女生身高为170 cm，则可断定其体重必为58.79 kg 二、解答题 某地最近十年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数据： 年份 2012 2014 2016 2018 2020 需求量/万吨 236 246 257 276 286 (1)利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程； (2)利用(1)中所求出的直线方程预测该地2022年的粮食需求量. 第四节　回归方程 典例精析 例1　从散点图可以看出，点都分布在一条直线附近，所以人的年龄和人体的脂肪含量之间具有线性相关关系，又∵该直线斜率大于0，∴是正相关. 例2　＝3，＝4.25. 设回归直线方程为＝bx＋a， b＝＝1.15， a＝－b＝4.25－1.15×3＝0.8， ∴回归直线方程为＝1.15x＋0.8. 例3　(1)表格中数据较大，直接用公式求解很不方便.将5个父亲的身高同减176 cm，5个儿子的身高同减175 cm，表格中的数据变为 t/cm －2 0 0 0 2 s/cm 0 0 1 2 2 经过处理后，＝0，＝1，s对t回归直线的斜率 k＝. ∵经过处理后回归直线的斜率并不发生变化，∴y对x的线性回归直线的斜率b＝. 再回到x，y表格中计算a. a＝－b＝176－×176＝88. 故y对x的线性回归方程为x＋88. (2)在回归方程中令x＝182，则＝179，∴其儿子的身高应该为179 cm. 注意：处理表格的时候也可以减去其他相同的数，这对求回归直线的斜率没有影响. 巩固练习 一、选择题 1.A　∵＝2.5，＝3.5， ∴这组数据的样本中心点是(2.5，3.5). 把样本中心点代入四个选项中，只有＝x＋1成立.故选A. 2.C　由题意得＝22.5，＝160，∴＝bx＋a过点(22.5，160)，又b＝4，∴160＝22.5×4＋a，解得a＝70，∴＝4x＋70，当x＝24时，＝4×24＋70＝166.故选C. 3.C　线性回归直线一定经过样本中心点，故A不正确；线性回归直线不一定经过样本数据中的某个点，这是最能体现这组数据变化趋势的直线，但并不表示点一定在直线上，故C正确，B不正确；根据线性回归直线的推导过程知D不正确. 故选C. 4.C　由题意可得＝7，＝6，即样本中心点为，可得6＝－1.6×7＋，解得＝17.2，∴＝－1.6x＋17.2，可得 x 5 6 7 8 9 y 9 8 6 4 3 9.2 7.6 6 4.4 2.8 y－ －0.2 0.4 0 －0.4 0.2 所以残差为0的样本点是. 5.B　最小二乘法求回归方程，是为了使残差平方和 最小，B正确；其他选项错误.故选B. 6.BD　∵0.85＞0，∴y与x正相关，∴A正确；∵两个变量的相关系数与回归直线的斜率无关，∴B不正确； ∵Δy＝0.85(x＋1)－85.71－(0.85x－85.71)＝0.85，∴C正确；D选项应是约为58.79 kg，D不正确.故选BD. 二、计算题 (1)由所给数据看出，年需求量与年份之间是近似直线上升，下面来求回归直线方程，为此对数据预处理如下： 年份－2016 －4 －2 0 2 4 需求量－257 －21 －11 0 19 29 对预处理后的数据容易算得年份－2016的平均数和需求量－257的平均数分别为＝0，＝3.2， b＝＝6.5，a＝－b＝3.2， 由上述计算结果知，所求回归直线方程为 －257＝b(x－2 016)＋a＝6.5(x－2 016)＋3.2， 即＝6.5(x－2 016)＋260.2. (2)利用回归直线方程，可预测2022年的粮食需求量为6.5(2 022－2 016)＋260.2＝6.5×6＋260.2＝299.2(万吨). 学科网（北京）股份有限公司 $