第12章 第2节 频率分布直方图-【高考零起点】2026年新高考数学总复习学用Word（艺考）

该高中数学高考复习学案系统梳理了频率分布直方图专题，涵盖中位数、众数、频数频率、极差、百分位数等核心考点，按概念定义、性质应用、例题解析的逻辑构建知识网络，通过问题链引导学生自主推导规律，形成统计知识的整体认知。 亮点在于诊断性自测与分层训练设计，开篇设置高考真题作为诊断工具，学生通过例题掌握方法，培养数学眼光和数学思维。每个模块配有错题归因表，帮助学生个性化提升，教师可依学情精准指导，实现高效备考。

第二节　频率分布直方图 1. 中位数 将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数. 如数据组33，8，27，20，33，37，14的中位数为27，数据组90，96，91，96，92，94的中位数为93. 2. 众数 一组数据中出现次数最多的数据. 如1，2，3，3，4的众数是3；有时一组数据的众数有多个，如1，2，2，3，3，4的众数是2，3. 如果一组数据中每个数据出现的次数一样，则这组数据没有众数，如1，2，3，4，5没有众数. 3. 频数与频率 要把样本数据进行分组，各组内数据的个数叫做该组的频数，每组频数除以样本容量的商叫做该组的频率，即频率＝. 4. 极差 一组数据中最大值和最小值之间的差值. 5. 百分位数 (1)第p百分位数是一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有(1－p%)的数据大于或等于这个值. (2)计算一组数据的第p百分位数的方法： ①按从小到大排列原始数据； ②计算i＝n×p%； ③若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i＋1)项的平均数. 6. 频率分布直方图 (1)频率分布直方图是以横轴表示样本分组，纵轴表示频率与组距的比值，以每个组距为底，以各频率除以组距的商为高，分别画成矩形而得到的统计图形. (2)在频率分布直方图中，各个矩形的面积等于相应组的频率，即 小长方形的面积＝组距×＝频率. 由于各个组频率的和等于1，所以各个矩形面积的和也等于1. (3)在频率分布直方图中，以中位数为界，两边矩形面积的和相等，均为0.5. 例1　从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50到350千瓦时之间，频率分布直方图如图所示. (1)计算频率分布直方图中x的值； (2)计算这100户居民用电量的中位数. 例2　某校九年级有400名学生，从中随机抽取40名学生测试1分钟仰卧起坐的成绩(单位：次)，将数据整理后绘制成如图所示的频率分布直方图. 用样本估计总体，下列结论正确的是(　　) A. 该校九年级学生1分钟仰卧起坐次数的中位数为25 B. 该校九年级学生1分钟仰卧起坐次数的众数为24 C. 该校九年级学生1分钟仰卧起坐次数超过30的人数约为80 D. 该校九年级学生1分钟仰卧起坐次数少于20的人数约为8 例3　一个容量为10的样本，其数据依次为9，2，5，10，16，7，18，21，20，3.分别求出该组数据的第60和第75百分位数，并说出其含义. 1. (2021天津卷)从某网络平台推荐的影视作品中抽取400部，统计其评分数据，将所得400个评分数据分为8组：，…，，并整理得到如下的频率分布直方图，则评分在区间内的影视作品数量是(　　) A. 20 B. 40 C. 64 D. 80 第1题图　　 2. 为了解某校高三学生的视力情况，随机抽查了该校100名高三学生的视力，分为[4.3，4.4)，[4.4，4.5)，…，[5.0，5.1)，[5.1，5.2]9组，得到频率分布直方图如图所示，由于不慎将部分数据丢失，但知道前4组的频数成等比数列，后6组的频数成等差数列.设最大频率为a，视力在区间[4.6，5.0)的学生数为b，则a， b的值分别为(　　) 　 第2题图 A. 0.27，78 B. 0.27，83 C. 2.7，78 D. 2.7，83 3. (2021全国甲卷)为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，并将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图： 根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是(　　) A.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6% B.该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10% C.估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元 D.估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间 4. (多选)某学校为了调查学生在一周生活方面的支出情况，抽出了一个容量为n的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[50，60)元的学生有60人.下列说法正确的是(　　) A. 样本中支出在[50，60)元的频率为0.03 B. 样本中支出不少于40元的人数为132 C. n的值为200 D. 若该校有2 000名学生，则一定有600人支出在[50，60)元 5. (2019全国Ⅲ卷)为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下实验：将200只小鼠随机分成A，B两组，每组100只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，B组小鼠给服乙离子溶液，每只小鼠给服的溶液体积相同、物质的量浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比，根据实验数据分别得到如下直方图： 记C为事件“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P(C)的估计值为0.70. (1)求乙离子残留百分比直方图中a，b的值； (2)分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表). 第二节　频率分布直方图 典例精析 例1　(1)∵各个矩形面积的和等于1，又每个矩形组距为50，∴(0.006 0＋0.003 6＋0.002 4×2＋0.001 2＋x)×50＝1，解得x＝0.004 4. (2)设中位数为a，所以a两边矩形面积的和相等. 当a＝150时，显然其右边矩形的面积和大于左边；当a＝200时，左边矩形面积的和大于右边，故150＜a＜200. 于是0.002 4×50＋0.003 6×50＋0.006 0×(a－150)＝0.5， 解得a＝.故这100户居民用电量的中位数为. 例2　第一组数据的频率为0.02×5＝0.1，第二组数据的频率为0.06×5＝0.3，第三组数据的频率为0.08×5＝0.4，∵中位数在第三组内，设中位数为25＋x，则0.08x＝0.5－0.1－0.3＝0.1，得x＝1.25，∴中位数为26.25，故A错误；第三组数据所在的矩形最高，第三组数据的中间值为27.5，所以众数为27.5，故B错误；∵1分钟仰卧起坐的次数超过30的频率为0.2，∴超过30次的人数约为400×0.2＝80，故C正确；∵1分钟仰卧起坐次数少于20的频率为0.1，∴1分钟仰卧起坐次数少于20的人数约为400×0.1＝40，故D错误. 故选C. 例3　将该组数据按从小到大的顺序排列：2，3，5，7，9，10，16，18，20，21. 由10×60%＝6，10×75%＝7.5可知，第60百分位数是第6，7两项的平均值，为＝13；第75百分位数是第8项的值，为18.分别表示在该组数据中，至少有60%的数据小于或等于13，至少有75%的数据小于或等于18. 巩固练习 1.D　由频率分布直方图可知，评分在区间[82，86)内的影视作品数量为400×0.05×4＝80.故选D. 2.A　由题得视力为[4.6，4.7)的频率为a，且在区间[4.3，4.4)的频率为0.1×0.1＝0.01，在区间[4.4，4.5)的频率为0.03，又∵前四组数据成等比数列，∴第四组数据的频率a＝0.27. 后六组频率和为1－0.01－0.03－0.09＝0.87，由等差数列前n项和定理得，在区间[5.1，5.2]的频率为0.02，在区间[5.0，5.1)的频率为0.07，∴在区间[4.6，5.0)的频率为0.78，∴b＝78.故选A. 3.C　∵频率分布直方图中的组距为1，∴各组的频率分布直方图的高等于频率.样本频率分布直方图中的频率即可作为总体的相应比率的估计值. 该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户的比率估计值为0.02＋0.04＝0.06＝6%，故A正确；该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计值为0.04＋0.02×3＝0.10＝10%，故B正确；该地农户家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的比例估计值为0.10＋0.14＋0.20×2＝0.64＝64%＞50%，故D正确；该地农户家庭年收入的平均值的估计值为3×0.02＋4×0.04＋5×0.10＋6×0.14＋7×0.20＋8×0.20＋9×0.10＋10×0.10＋11×0.04＋12×0.02＋13× 0.02＋14×0.02＝7.68(万元)，超过6.5万元，故C错误. 故选C. 4.BC　由频率分布直方图得，样本中支出在[50，60)元的频率为1－(0.01＋0.024＋0.036)×10＝0.3，故A错误； 样本中支出不少于40元的人数为×60＋60＝132，故B正确；n＝＝200，故C正确； 若该校有2 000名学生，则可能有600人支出在[50，60)元，故D错误. 故选BC. 5. (1)依题意得 解得 (2)甲的残留百分比的平均值为0.15×2＋0.2×3＋0.3×4＋0.2×5＋0.1×6＋0.05×7＝4.05， 乙的残留百分比的平均值为0.05×3＋0.1×4＋0.15×5＋0.35×6＋0.2×7＋0.15×8＝6. ∴甲离子残留百分比的平均值为4.05，乙离子残留百分比的平均值为6. 学科网（北京）股份有限公司 $