第11章 第4节 二项式定理-【高考零起点】2026年新高考数学总复习学用Word（艺考）

该高中数学高考复习学案系统梳理了二项式定理专题，涵盖公式、通项、二项式系数与展开式系数的区别、系数和等核心考点，按“概念辨析—通项应用—系数计算”逻辑构建知识网络，通过典例精析和问题链设计，引导学生自主推导公式应用规律，形成系统认知框架。 亮点在于诊断性练习与分层任务设计，如巩固练习包含8道填空和6道选择，覆盖基础计算到综合应用，培养学生数学思维与符号表达能力。每个例题附解题步骤解析，学生可自主对标纠错，教师能通过练习反馈精准定位学生薄弱点，助力个性化复习与因材施教。

第四节　二项式定理 1. 公式(a＋b)n＝an＋an－1b1＋…＋an－rbr＋…＋bn(n∈N*)叫做二项式定理，其中r＝0，1，2，…，n.等式右边的多项式叫做二项展开式，共有(n＋1)项，其中an－rbr叫做展开式的通项，它是展开式中的第(r＋1)项. 令a＝b＝1可得＋…＋＝2n，即二项展开式中，所有二项式系数的和为2n.展开式中各项系数的和常令展开式中的字母为1求得. 2. 二项式系数与展开式系数的区别 以(x＋2x2)n的展开式为例(其展开式的通项为2rxn＋r)，该展开式的二项式系数是指通项中的部分，而该展开式的系数是指xn＋r前的2r部分(r＝0，1，2，…，n). 例1　的展开式中x5的系数为　　　　　　 .  例2　已知的展开式中第三项的二项式系数为28，求展开式中x2的系数. 例3　 (1＋x)6展开式中x2的系数为(　　) A. 15 B. 20 C. 30 D. 35 例4　如果(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7，那么a1＋a2＋…＋a7的值等于(　　) A. －2 B. －1 C. 0 D. 2 一、填空题 1. (2x＋)5的展开式中，x3的系数是　　　　　　. (用数字作答)  2. (a＋x)(1＋x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a＝　　　　　　.  3. 的展开式中的常数项为　　　　　　.(用数字作答)  4. (x－2)6的展开式中第四项的二项式系数为　　　　　，第四项的系数为　　　　　.  5. 的展开式中的第四项是　　　　　.   6. 设(x－1)21＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a21x21，则a10＋a11＝　　　　　.  7. (2025北京卷) 已知(1－2x)4＝a0－2a1x＋4a2x2－8a3x3＋16a4x4，则a0＝　　　　；a1＋a2＋a3＋a4＝　　　　.  8. (2022新高考Ⅰ卷) (x＋y)8的展开式中x2y6的系数为　　　　(用数字作答).   二、选择题 1. 如果的展开式中各项系数之和为128，则展开式中的系数是(　　) A. 7 B. －7 C. 21 D. －21 2. 已知展开式中常数项为1 120，其中实数a是常数，则展开式中各项系数的和是(　　) A. 28 B. 38 C. 1或38 D. 1或28 3. (2022北京卷)若(2x－1)4＝a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，则a0＋a2＋a4＝(　　) A. 40 B. 41 C. －40 D. －41 4. (x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为(　　) A. 10 B. 20 C. 30 D. 60 5. 已知的展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则n等于(　　) A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 6. 已知(1＋x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为(　　) A. 212 B. 211 C. 210 D. 29 第四节　二项式定理 典例精析 例1　依题意，展开式的通项 Tr＋1＝x8－rx8－r[－()]r ＝(－1)rx8－r＝(－1)r. 令8－＝5得r＝2，所以系数为(－1)2＝28.故答案为28. 例2　依题意，展开式的通项 Tr＋1＝(2x)n－r ＝2n－rxn－r(－1)rx－r＝(－1)r2n－rxn－2r. 在展开式的第三项中，r＝2， 所以该项的二项式系数可写为， 故＝28，解得n＝8. 当展开式中含有x2项时，令n－2r＝2，结合n＝8得r＝3，故x2的系数为 (－1)r2n－r＝(－1)3·28－3＝－1 792. 例3　原式展开式中x2的系数就是由(1＋x)6的展开式中含有x2项与1相乘，以及含有x4项与项相乘得到. 故原式展开式中x2的系数＝＝30.故选C. 例4　先在题设等式中令x＝0，得a0＝1，再在该等式中令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a7＝－1. 又a0＝1，所以a1＋a2＋…＋a7＝－2. 故选A. 巩固练习 一、填空题 1. 10　依题意，展开式的通项(2x()r＝，令5－＝3得r＝4. 所以系数为＝10. 故答案为10. 2. 3　设f(x)＝(a＋x)(1＋x)4＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5，令x＝1，则f(1)＝16(a＋1)＝a0＋a1＋a2＋…＋a5.……①令x＝－1，则f(－1)＝0＝a0－a1＋a2－…－a5.……② ①－②得2(a1＋a3＋a5)＝16(a＋1)，得2×32＝16(a＋1)，所以a＝3. 故答案为3. 3. 24　依题意，展开式的通项(－2)r，令4－2r＝0得r＝2，所以常数项为(－2)2＝24. 故答案为24. 4. 20；－160　(－2)r，第四项的二项式系数为＝20. 令r＝3则(－2)3＝－160x3，所以第四项的系数为－160. 故答案为20；－160. 5. －　第四项＝－. 故答案为－. 6. 0　依题意x21－r(－1)r，令21－r＝10，即r＝11时x21－11(－1)11＝－x10，所以a10＝－，令21－r＝11，即r＝10时，x21－10(－1)10＝x11，所以a11＝，则a10＋a11＝－＝0. 故答案为0. 7. ①1　②15　令x＝0，则a0＝1；再令x＝－得，24＝1＋a1＋a2＋a3＋a4，于是a1＋a2＋a3＋a4＝15. 8.－28　因为，所以的展开式中含x2y6的项为x2y6－x3y5＝－28x2y6，所以的展开式中x2y6的系数为－28.故答案为－28. 二、选择题 1.C　令x＝1得各项系数的和为2n＝128，解得n＝7，故(3x(－1)r，令7－r＝－3，则r＝6，所以的系数为(－1)6＝21. 故选C. 2.C　依题意，展开式的通项(－a)r，令8－2r＝0得r＝4，所以(－a)4＝1 120. 解得a＝±2. 当a＝2时，对于，令x＝1，得各项展开式系数的和为1.当a＝－2时，对于，令x＝1，得各项展开式系数的和为38. 所以展开式中各项系数的和为1或38. 故选C. 3.B　令x＝1，则a4＋a3＋a2＋a1＋a0＝1，令x＝－1，则a4－a3＋a2－a1＋a0＝＝81，故a4＋a2＋a0＝＝41.故选B. 4.C　(x2＋x＋y)5的展开式的通项(x2＋xyr，令r＝2，则(x2＋x)3的通项为(x2xk＝，令6－k＝5，则k＝1，所以(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数是＝30. 故选C. 5.C　令x＝1，得各项系数的和为4n，又二项式系数的和为2n，由题意知＝64，所以n＝6. 故选C. 6.D　由题意知，得n＝10，则奇数项的二项式系数的和为＝29. 故选D. 学科网（北京）股份有限公司 $