第10章 第4节 平面与平面之间的垂直关系-【高考零起点】2026年新高考数学总复习学用Word（艺考）

该高中数学高考复习学案系统梳理了平面与平面垂直关系专题，将判定定理、性质定理与例题、巩固练习形成逻辑链条，通过问题导向的例题解析和任务驱动的练习设计，引导学生自主构建空间垂直关系的知识网络，体现考点梳理的系统性和层次性。 亮点在于诊断性练习与进阶式任务设计，如设置作图、证明等6道巩固题，覆盖基础应用到综合论证，培养学生的空间观念与推理能力。学生可通过练习自主诊断薄弱环节，教师能依据反馈精准指导，助力个性化复习，提升学生自主复习能力与教师因材施教效果。

第四节　平面与平面之间的垂直关系 平面与平面垂直的判定定理与性质定理 定理 文字语言 图形表示 符号表示 判定定理 如果一个平面内某条直线垂直于另外一个平面，则这两个平面互相垂直 ⇒α⊥β 性质定理 如果两个平面互相垂直，则在其中一个平面内垂直于两平面交线的直线也垂直于另外一个平面 ⇒l⊥α 例1　如图所示，P是矩形ABCD所在平面外一点，PA⊥平面ABCD.求证：平面PCD⊥平面PAD. 例2　如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥PB，平面PAB⊥平面ABC. △ABC是直角三角形，∠ABC＝90°.求证：平面PAC⊥平面PBC. 1. 作图：已知三棱锥P－ABC中(如图)，平面PAC⊥平面ABC，过P求作直线PO垂直于底面ABC，交平面ABC于O点. 2. 如图，在三棱锥P－ABC中，已知PA⊥平面ABC，PC⊥BC.求证：平面BPC⊥平面APC. 3. 如图，四棱锥P－ABCD的底面是菱形，AC⊥PB.求证：平面PAC⊥平面PBD. 4. 如图，四棱锥P－ABCD的底面是平行四边形，PC⊥平面ABCD， E是PA的中点.求证：平面BDE⊥平面ABCD. 5. 如图，已知PA⊥直角梯形ABCD，AD∥BC，∠DAB＝∠ABC＝90°，AD＝2，AB＝BC＝1. 求证：平面APC⊥平面PCD. 6. 如图，在三棱锥P－ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点. 已知PA⊥AC，PA＝6，BC＝8，DF＝5. 求证：(1)直线PA∥平面DEF； (2)平面BDE⊥平面ABC. 第四节　平面与平面之间的垂直关系 典例精析 例1　∵PA⊥平面ABCD，且CD⊂平面ABCD， ∴PA⊥CD.①(线面垂直的性质定理) 又依题意，CD⊥AD，且PA∩AD＝A.② 由①②可得CD⊥平面PAD.(线面垂直的判定定理) 又∵CD⊂平面PCD， ∴平面PCD⊥平面PAD. (面面垂直的判定定理) 例2　∵平面PAB⊥平面ABC，且∠ABC＝90°， ∴CB⊥平面PAB. (面面垂直的性质定理) 又PA⊂平面PAB， 故CB⊥PA.①(线面垂直的性质定理) 由已知，PA⊥PB，PB∩CB＝B， 因此，PA⊥平面PBC.②(线面垂直的判定定理) 又PA⊂平面PAC， 于是由①②可得平面PAC⊥平面PBC.(面面垂直的判定定理) 巩固练习 1. 略　提示：∵平面PAC⊥平面ABC，过P作AC的垂线交AC于O即可(面面垂直的性质定理). 2. 略　提示：因为PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC.又PC⊥BC，BC⊥平面APC.又BC⊂平面BPC，故平面BPC⊥平面APC. 3. 略　提示：由题设，AC⊥BD，AC⊥PB，故AC⊥平面PBD，又AC⊂平面PAC，∴平面PAC⊥平面PBD. 4. 略　提示：连接AC，交BD于O，连接EO，则EO是△PAC的中位线，∴EO∥PC，从而EO⊥平面ABCD，又EO⊂平面BDE，∴平面BDE⊥平面ABCD. 5. 略　提示：由题设易知，∠BCD＝135°，∠BCA＝45°，故∠ACD＝90°，所以AC⊥CD，又依题意有CD⊥PA，故CD⊥平面APC，又CD⊂平面PCD，所以平面APC⊥平面PCD. 6.(1)∵D，E为PC，AC的中点，∴DE∥PA. ∵PA⊄平面DEF，DE⊂平面DEF，∴PA∥平面DEF. (2)∵D，E为PC，AC的中点，∴DE＝PA＝3. ∵E，F为AC，AB的中点，∴EF＝BC＝4， ∴DE2＋EF2＝DF2，∴∠DEF＝90°，∴DE⊥EF. ∵DE∥PA，PA⊥AC，∴DE⊥AC. ∵AC∩EF＝E，∴DE⊥平面ABC. ∵DE⊂平面BDE，∴平面BDE⊥平面ABC. 学科网（北京）股份有限公司 $