第11章 第1节 排 列-【高考零起点】2026年新高考数学总复习学用Word（艺考）

该高中数学高考复习学案系统梳理了排列专题核心考点，涵盖排列定义、阶乘公式、解题规则及不同情境应用，通过例题分层设计和问题链引导，帮助学生自主构建知识网络，体现考点梳理的系统性与层次性。 亮点在于诊断性练习与方法指导结合，如设置计算题、选择填空等自测工具，例题解析渗透捆绑法、插空法等思维方法，培养数学思维与应用意识。助力学生自主诊断提升，教师可依学情精准指导，实现因材施教。

第十一章　排列组合 第一节　排　列 1. 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素进行排列，则所有不同排列的方法种数可用符号表示，且 ＝n(n－1)×…×(n－m＋1). 当m＝n时，＝n(n－1)(n－2)×…×3×2×1＝n!. 我们又把n!叫做n的阶乘. 2. 当n≥m时，将m个不同元素放入n个位置(每个位置最多放一个)和将n个不同元素放入m个位置(每个位置放且仅放一个)的方法种数均为.如果对每个位置所放元素数量没有要求，则将m个元素放入n个位置的方法种数为nm. 3. 解排列组合题遵循的一般规则：①分步用乘法，分类用加法；②特殊元素、特殊位置优先安排；③合理分类，准确分步；④排列组合混合问题先选后排；⑤正难则反，等价转化；⑥相邻问题捆绑处理；⑦不相邻问题插空处理；⑧定序问题除法处理；⑨小集团问题先整体后局部. 4.n个元素排成一列，如果这n个元素中有m个相同元素(m≤n)，则共有种排法. 例1　计算下列排列数的值： (1)； (2). 例2　四名男生和三名女生排成一排. (1)共有多少种排法? (2)甲、乙两人不能站在两端的排法有多少种? (3)四名男生站在一起，三名女生站在一起有多少种排法? (4)女生不相邻的排法有多少种? 例3　(1)用0，1，2，3，4，5六个数可组成多少个无重复数字的六位偶数? (2)1，2，3，4，5五个数字可组成多少个无重复数字且是3的倍数的三位数? 例4　(1)把7个不同的小球放入4个盒子，若每个盒子里必须且只能放一球，共有多少种不同的放法? (2)把4个不同的小球放入7个盒子，每个盒子最多放一个球，共有多少种不同的放法? (3)把4个不同的小球放入7个盒子，共有多少种放法? 例5　五人排成一排， 若甲排在乙的右边则有多少种不同的排法? 一、计算题 1. 计算下列各排列数的值： (1)；　　　　　　　　　　　　　(2)；　　　　　　　　　　　　　(3). 2. 六人排成一排. (1)甲、乙、丙三人站在一起有多少种排法? (2)甲、乙二人不相邻有多少种排法? (3)甲、乙二人相邻，丙、丁两人不相邻有多少种排法? 3. 用0，1，2，3，4，5六个数字可组成多少个无重复数字的能被5整除的六位整数? 二、选择题　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1. 由数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中偶数共有(　　) A. 60个 B. 48个 C. 36个 D. 24个 2. 用1，2，3，4，5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有(　　) A. 24个 B. 30个 C. 40个 D. 60个 3. 用0，1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为(　　) A. 243 B. 252 C. 261 D. 279 4.(2023全国甲卷)现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每天从这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有(　　) A.120 B. 60 C. 30 D. 20 5. 六把椅子摆成一排，三人随机就座，任何两人不相邻的坐法有(　　) A. 144种 B. 120种 C. 72种 D. 24种 6. 一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法有(　　) A. 3×3!种 B. 3×(3!)3种 C. (3!)4种 D. 9!种 7. 六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有(　　) A. 192种 B. 216种 C. 240种 D. 288种 8. (2021全国甲卷)将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为(　　) A. B. C. D. 三、填空题 1. 将A，B，C，D，E，F六个字母排成一排，且A，B均在C的同侧，则不同的排法共有　　　种.(用数字作答)  2. 把五件不同产品摆成一排. 若要求产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有　　　　　种. (用数字作答)  3. 六名同学排成一排，其中甲、乙两人必须排在一起的不同排法有　　　　　　种.(用数字作答)  第十一章　排列组合 第一节　排　列 典例精析 例1　 (1)＝6×5×4×3×2×1＝720； (2)＝7×6×5×4＝840. 例2　(1)共有＝5040(种)排法. (2)甲、乙两人不能站在两端，则甲、乙只能站中间五个位置，有＝20(种)站法.对于20种站法里面的每一种站法，当甲、乙站好后，还有剩下的五个位置可让剩下的五个人任意排列，有种排法.由于整个事情是分步完成，用乘法，所以总的排列方法有＝2 400(种). (3)将四名男生和三名女生分别“捆绑”在一起看成两个整体，则在这两个整体的内部的排列数分别为和，两个整体之间的排列数为，由于整个事情是分步完成的，所以总的排法为＝288(种). (4) 男 男 男 男 当四个男生排好后，男生中间和两边共有五个空位置可排女生，将三名女生放入这五个空位置后即可使女生不相邻.四个男生的排列数为，将三个女生放入五个空位置进行排列的排列数为，整个事情分步进行，故共有排法＝1 440(种). 例3　(1)六位偶数的最后一位可排0，2，4中的任意一个数字，由于当0排末位的时候，2，4能排首位；而当2，4排最后一位的时候，0不能排首位，所以要分情况讨论： ①当0排末位时，剩下五个数字在剩下五个位置上的排法为＝120(种). ②当2，4排末位时，这两个数字共有种排法，对于种排法中的每一种排法，0在中间有四个位置可排，排列数为，于是把数字0排好的方法数为.对于中的每一种排法，剩下的数字在剩下的四个位置可任意排列，排列数为，所以总的排法为＝192(种). 于是可组成120＋192＝312(个)无重复数字的六位偶数. (2) 一个整数如果是3的倍数，则这个整数各个位上的数字之和一定是3的倍数，所以这样的三位整数可由下面四组数字组成：①1，2，3；②1，3，5；③2，3，4；④3，4，5.这四组中的每一组又可组成个整数，故所有的能被3整除的整数为4＝24(个). 例4　(1)相当于从7个不同元素中取4个元素进行排列，故有＝840(种)放法. (2)可视为与(1)互逆的过程，方法种数相同，故也有＝840(种)放法. (3)因为每个球放入盒子都有7种方法，所以4个球放入盒子总共有74＝2 401(种)放法. 例5　显然甲排在乙的右边和甲排在乙的左边的排列数是相等的，故甲排在乙的右边的排法有＝60(种). 巩固练习 一、计算题 1. (1)120　＝5×4×3×2×1＝120. (2)6 720　＝8×7×6×5×4＝6 720. (3)720　＝10×9×8＝720. 2. (1)144种　将甲、乙、丙捆绑在一起看成一个整体，则在甲、乙、丙内部的排列数为，这个整体与其他三人的排列数为，由分步计数原理，所以总的排列数为＝144. (2)480种　可用间接法求解，当甲、乙相邻时，利用捆绑法可得其排列数为，则甲、乙不相邻时的排列数为＝480. (3)144种　将甲、乙捆绑在一起看成一个整体，这个整体与除去丙、丁之外其他二人的排列数为，又这个整体和其他两人的排列之间有4个空，将丙、丁插入其中的两个空，由分步计数原理得，所求排列数为＝144. 3. 216个　可分为两类：个位数字为0时，其排列数为. 个位数字为5时，其排列数为. 由分类计数原理得，所求六位数的个数为＝216. 二、选择题 1.B　由题意知，个位数应排2或4，由分步计数原理，偶数共有＝48(个). 故选B. 2.A　由题意知，个位数应排2或4，由分步计数原理，偶数共有＝24(个). 故选A. 3.B　由分步计数原理，用0，1，…，9十个数字组成的三位数的个数为9×10×10＝900，组成没有重复数字的三位数的个数为＝648，则组成有重复数字的三位数的个数为900－648＝252. 故选B. 4.B　不妨记五名志愿者为a，b，c，d，e，假设a连续参加了两天公益活动，再从剩余的4人中抽取2人各参加星期六与星期天的公益活动，共有＝12种方法. 同理，b，c，d，e连续参加了两天公益活动，也各有12种方法，所以恰有1人连续参加了两天公益活动的选择种数有5×12＝60(种).故选B. 5.D　使用“插空法”. 第一步，三个人先坐成一排，有种，第二步，由于三个人必须隔开，因此必须在1号位置与2号位置之间摆放一把椅子，2号位置与3号位置之间摆放一把椅子，剩余一把椅子可以选择三个人的左右共4个空位，随便摆放即可，即有种，根据分步计数原理得＝6×4＝24(种). 故选D. 6.C　此排列可分两步进行，先把三个家庭分别排列，每个家庭有3!种排法，三个家庭共有3!×3!×3!＝(3!)3种排法，再把三个家庭进行全排列有3!种排法，因此不同的坐法有(3!)4种.故选C. 7.B　可分两类：一类是最左端排甲，有种排法. 另一类是最左端排乙，则甲排在除了左右两端的4个位置，此类共有种. 由分类加法计数原理得，共有＝216(种)排法. 故选B. 8.C　4个1排完后有5个空位，将2个0放在5个空位中有＝10(种)放法，而6个数字任意排列的方法有＝15(种)，所以概率为.故选C. 三、填空题 1. 480　此题可归为定序问题，当以A，B，C顺序排列(可以不相邻)时，有＝120(种)排法，对A，B在C的同侧有4种排列，则不同的排法有4×120＝480(种). 2. 36　记其余两种产品为D，E，将相邻的A，B视为一个元素，先与D，E排列，有种方法，再将C插入，仅有3个空位可选，故共有＝2×6×3＝36(种)不同的摆法. 3. 240　可用捆绑法，将甲、乙作为一个整体，与其他4人的全排列有种，甲、乙内部有种排列，由分步计数原理得，共有＝240(种)排列. 学科网（北京）股份有限公司 $