第10章 第8节 空间向量的基本概念-【高考零起点】2026年新高考数学总复习学用Word（艺考）

该高中数学高考复习学案系统梳理了空间向量的核心考点，涵盖坐标表示、线性运算、数量积及法向量定义与求法，按“概念-运算-应用”逻辑架构知识网络，通过例题解析和任务驱动引导学生自主推导空间向量关系，形成从基础到应用的认知层次。 亮点在于自主学习支持与数学思维培养，如例1坐标确定、例2法向量求解等问题链设计，结合巩固练习实现自主诊断，培养学生的空间观念与推理能力。每个模块配有步骤指导和问题情境，帮助学生用数学语言表达空间关系，教师可通过练习反馈精准指导，助力个性化复习提升。

第八节　空间向量的基本概念 1. 如果一个向量n＝(a，b，c)，则(a，b，c)是指当n平移到起点与原点重合时向量n的终点坐标. 2. 设a，b均为空间向量，则 (1)若a＝(x，y，z)，则λa＝(λx，λy，λz)，. (2)若a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2，z1－z2)，a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2. (3)若点A，B的坐标分别为(x1，y1，z1)，(x2，y2，z2)，则＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1). (4)若a，b为两个非零向量，则 ①a·b＝cos θ，其中θ为a，b两向量的夹角，且θ∈， ②如果a，b为两个非零向量，a⊥b⇔a·b＝0. (5)若a≠0，则a∥b⇔b＝λa(λ为唯一的实数). 3. 法向量的定义：与某个面垂直的向量叫做这个面的法向量. 4. 求某个面的法向量的方法： 先设所求法向量n＝(x，y，z)，又因为法向量垂直于该面，所以法向量也垂直于这个面内的所有向量，在该面内取两个不共线的向量a，b，由向量的垂直关系不难得到n·a＝0，n·b＝0，由此便可得到关于x，y，z的两个方程，求出它们的值即可. 例1　如图所示，长方体ABCD－A1OC1D1中，OC1＝4，OA1＝2，OB＝1，P，Q，M，T分别是OA1，AA1，OD，AD的中点，CD1与C1D交于N，请分别写出Q，P，T，D1，C，M，N的坐标. 例2　如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°，PA⊥平面ABCD，PA＝2，AD＝1，AB＝3，BC＝6，试求出面PDC，PAB，PAD的法向量. 　　1.如图，已知四棱柱P－ABCD的底面ABCD是边长为4的菱形，其中∠ABC＝60°，PB⊥平面ABCD，且PB＝2，E，F分别为PA，PD的中点，建立适当的坐标系，写出A，C，D，E，F的坐标，并求出平面PBC，平面ABCD的法向量. 　　2.如图所示，AC，BC，PC两两互相垂直，且PM∥BC，AC＝PC＝PM＝1，BC＝2.建立适当的坐标系，求平面ABM的法向量. 第八节　空间向量的基本概念 典例精析 例1　各点坐标如下： Q，P(0，1，0)，T(2，2，1)，D1(4，2，0)，C(4，0，1)，M，N. 例2　以A为原点，分别以直线AB，AD，AP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则相关各点的坐标分别是P(0，0，2)，B(3，0，0)，C(3，6，0)，D(0，1，0)， 则＝(0，1，－2)，＝(3，6，－2). 设面PDC的法向量n＝(x，y，z)， 由n·＝0得y－2z＝0，由n·＝0得3x＋6y－2z＝0， 取z＝1得y＝2，x＝－， 故所求法向量为，将各个分量化为整数可得(－10，6，3). 又面PAB，PAD所在的平面为坐标平面，经观察，它们的法向量分别为. 注意：由于用向量法解题时，我们绝大多数情况下只关注法向量的方向，而不考虑其模长，所以可通过给x，y，z赋特殊值求得其向量.基于这种思想，在解题时我们也可直接将一个向量的非零分量设为1，可使计算更简捷. 巩固练习 1.以B为原点，以BC，BP分别为x轴，z轴建立直角坐标系，A(2，2，0)，C(4，0，0)，D(6，2，0)，E(1，)，F(3，)，平面PBC和平面ABCD的法向量分别为(0，1，0)，(0，0，1). 2.分别以CA，CB，CP所在的直线为x轴，y轴和z轴建立空间直角坐标系，则A(1，0，0)，B(0，2，0)，M(0，1，1). 于是＝(－1，2，0)，＝(－1，1，1). 设平面ABM的法向量n＝(x，y，z)，则令y＝1，则x＝2，z＝1，故n＝(2，1，1). 故平面AM的法向量为(2，1，1). 学科网（北京）股份有限公司 $