第3章 第8节 对数函数-【高考零起点】2026年新高考数学总复习学用Word（艺考）

该高中数学高考复习学案系统梳理了对数函数专题，围绕概念、性质及应用构建考点体系，通过概念辨析、性质对比、例题解析等模块，以问题链引导学生自主归纳定义域、单调性等核心性质，形成知识网络。 亮点在于自主诊断与方法引导，设置解不等式、求值域等分层练习，结合“同区间为正，异区间为负”等法则指导，培养数学思维与表达能力。学生可通过练习自主发现薄弱点，教师依学情实施分层指导，有效提升自主复习能力与备考实效。

第八节　对数函数 1. 对数函数的概念 函数y＝logax(a＞0且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，由于对数的真数都大于0，所以对数函数的定义域为(0，＋∞). 2. 对数函数及其性质 底数 a＞1 0＜a＜1 图象 定义域 (0，＋∞) 值域 R 性质 恒过点(1，0) 增函数 减函数 例1　求函数y＝lo(x2－x－2)的定义域. 例2　比较下列各组数的大小： (1)log21.5， log23， log24.1；　　　　　　(2)lo2.7， lo0.8， lo1.1； (3)log54，0； (4)lo2，0. 1. 解下列对数不等式： (1)log5x＞log53； (2)log5x＜log54； (3)log2x＞3； (4)lox＞2； (5)lox＞0； (6)ln x＜. 2. 求下列函数的值域： (1)y＝log2x，x∈[4，＋∞)； (2) y＝log3x，x∈[1，9]； (3)y＝lox，x∈(9，＋∞)；　　　　　　　　 (4)y＝lox，x∈[1，4]. 3. 求下列函数的定义域： (1)y＝lo(2x－3)；　　　　　　　　　　　 (2)y＝log5(x－x2).　　　　　　 4. 判断下列对数值的正负： (1)log2.10.8；　　　　　　　　　　　　　 (2)log0.20.3. 第八节　对数函数 典例精析 例1　∵对数函数y＝logax(a＞0且a≠1)的定义域为(0，＋∞)，∴把x2－x－2看成一个整体，则x2－x－2＞0，解得x＞2或x＜－1，∴该函数的定义域为(－∞，－1)∪(2，＋∞). 例2　(1)构造函数y＝log2x，这是一个增函数，∴y随x的增大而增大.于是log21.5＜log23＜log24.1. (2)构造函数y＝lox，这是一个减函数，∴y随x的增大而减小.于是lo2.7＜lo1.1＜lo0.8. (3)构造函数y＝log5x(如图1)，则log54是该函数当x＝4时的函数值，由图易知，该函数值大于0，故log54＞0. 图1 图2 (4)构造函数y＝lox(如图2)，则lo2是该函数当x＝2时的函数值，由图易知，该函数值小于0，故lo2＜0. 对于(3)(4)还可用以下方法求解：按对数函数中给底数a分类的标准，构造两个区间(0，1)，(1，＋∞).如果一个对数的底数和真数位于这两个区间中的同一区间，则该对数的值大于0；如果一个对数的底数和真数位于这两个区间中的不同区间，则该对数的值小于0.在(3)中，∵5和4同位于区间(1，＋∞)，∴log5 4＞0；在(4)中，∵和2位于两个不同区间，∴lo 2＜0. 巩固练习 1. (1)∵函数y＝log5x在区间(0，＋∞)上为增函数，∴不等式的解集为. (2)∵函数y＝log5x在区间(0，＋∞)上为增函数，所以不等式的解集为. (3)∵函数y＝log2x在区间(0，＋∞)上为增函数，∴x＞23＝8，∴不等式的解集为. (4)∵函数y＝lox在区间(0，＋∞)上为减函数，∴0＜x＜，∴. (5)∵函数y＝lox在区间(0，＋∞)上为减函数，∴0＜x＜，即0＜x＜1，∴不等式的解集为{x|0＜x＜1}. (6)∵函数y＝ln x在区间(0，＋∞)上为增函数，∴0＜x＜，不等式的解集为. 2. (1)∵函数y＝log2x在区间[4，＋∞)上为增函数，∴函数的值域为{y|y≥log24}，即{y|y≥2}. (2)∵函数y＝log3x在[1，9]上为增函数，∴函数的值域为{y|log3 1≤y≤log39}，即{y|0≤y≤2}. (3)∵函数y＝lox在区间(9，＋∞)上为减函数，∴函数的值域为{y|y＜lo9}，即{y|y＜－2}. (4)∵函数y＝lox在区间[1，4]上为减函数，∴函数的值域为{y|lo4≤y≤lo1}，即{y|－2≤y≤0}. 3.(1)函数应满足2x－3＞0，即定义域为. (2)函数应满足x－x2＞0，即x2－x＜0，∴x∈(0，1). 4. (1)方法一：函数log2.1x在区间(0，＋∞)上是增函数，而0＜0.8＜1，∴log2.10.8＜log2.11＝0. 方法二：∵0.8与2.1分别位于区间(0，1)，(1，＋∞)上，故log2.10.8＜0. (2)方法一：函数log0.2x在区间(0，＋∞)上是减函数，而0＜0.3＜1，∴log0.20.3＞log0.21＝0. 方法二：∵0.2与0.3同位于区间(0，1)上，故log0.20.3＞0. 学科网（北京）股份有限公司 $