第8章 第1节 直线的基本概念-【高考零起点】2026年新高考数学总复习学用Word（艺考）

该高中数学高考复习学案系统梳理了直线的基本概念专题，将倾斜角、斜率、五种直线方程形式、两直线关系、距离公式及对称问题等核心考点按概念内涵、公式推导、应用场景构建知识网络，通过问题链（如斜率范围探究）和任务单（如直线方程求解）引导学生自主梳理逻辑关系，形成完整知识框架。 亮点在于诊断性自测与分层方法指导，开篇设10道基础填空题诊断倾斜角、斜率等掌握情况，例题通过线段交点斜率范围分析培养数学思维（推理能力），直线方程应用题强化数学语言（模型观念）表达。每个模块配巩固练习与错题归因表，帮助学生自主诊断提升，教师可依学情精准指导，助力因材施教。

第八章　直线与圆 第一节　直线的基本概念 1.倾斜角的概念 当直线l与x轴相交时，以x轴为基准，x轴正方向与直线l的向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角，倾斜角的取值范围是[0，π). 2. 直线的斜率 (1)如果一条直线的倾斜角为θ，则该直线的斜率为k＝tanθ，倾斜角是90°的直线没有斜率. (2)直线Ax＋By＋C＝0(B≠0)的斜率k＝－. (3)过平面上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率k＝. (4)如图所示，直线l1，l2，l3，l4的斜率分别为k1，k2，k3，k4，则有 k3＜k4＜0＜k1＜k2. 3. 直线方程的五种基本形式 名称 几何条件 方程 适用条件 斜截式 斜率为k，在y轴上的截距为b y＝kx＋b 与x轴不垂直的直线 点斜式 斜率为k，过点 y－y0＝k(x－x0) 两点式 过点和点 与两坐标轴均不垂直的直线 截距式 在x轴、y轴上的截距分别为a，b ＝1 不过原点且与两坐标轴 均不垂直的直线 一般式 — Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0) 所有直线 4. 两直线垂直或平行时斜率之间的相互关系 如果两直线l1，l2都有斜率，且斜率分别为k1，k2，则 (1)l1⊥l2⇔k1·k2＝－1；(2)l1∥l2⇔k1＝k2. 5. 平面上两点A(x1，y1)与B(x2，y2)之间的距离公式 . 6. 点到直线的距离公式 点P(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0的距离d＝. 7. 平行线间的距离公式 直线Ax＋By＋C1＝0与直线Ax＋By＋C2＝0为两平行直线(A，B不同时为零)，则这两条平行线间的距离d＝. 8. 对称问题 设直线l：Ax＋By＋C＝0，要求l关于x轴、y轴、原点、y＝x、y＝－x对称的直线方程，则分别将原直线方程中的(x，y)改为(x，－y)、(－x，y)、(－x，－y)、(y，x)、(－y，－x)即可. 例1　 直线l过点P(1，0)，且与以点A(2，1)，点B(0，)为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为　　　　　.   例2　已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(0，3)，B(－1，1)，C(1，2)，且AB，AC的中点分别为E，F.求： (1)EF所在的直线方程； (2)过点A且平行于BC的直线方程； (3)过点A且垂直于BC的直线方程. 例3　设a为参数，求下列直线方程所过定点的坐标. (1)x＋ay＋a＝0； (2)ax－2y＋3a＝0； (3)y＝ax＋4. 一、填空题 1. 一直线倾斜角为30°，则其斜率为　　　　　 .  2. 一直线斜率为－，则其倾斜角为　　　　　　.  3. 由点(6，9)和点(14，1)所确定直线的斜率为　　　　　　　.  4. 直线x－y＋1＝0的斜率为　　　　　　 ，倾斜角为　　　　 .  5. 过点(－2，1)且斜率为3的直线方程是　　　　　　　　　　.  6. 经过两点(－3，5)，(－2，－1)的直线方程为　　　　　　　　　　　　.  7. 点(1，2)到直线x－2y＋8＝0的距离为　　　　　　　　　.  8. 平面上点(－1，2)和点(1，3)之间的距离为　　　　　　　　　.  9. 两平行线x＋y－1＝0与x＋y＋2＝0之间的距离为　　　　　　　　　.  10. 直线y＝kx＋k (k为参数)所过定点坐标为　　　　　　　　　.   二、计算题 1. 已知△ABC的顶点是A(0，5)，B(1，－2)，C(－6，4)，求： (1)BC边上的中线所在直线的方程； (2)以BC边为底的中位线所在直线的方程. 2. 已知△ABC的三边所在直线的方程AB：5x－y－12＝0，BC：x＋3y＋4＝0，CA：x－5y＋12＝0，求： (1)BC边上的高所在直线的方程； (2)BC边垂直平分线的方程. 第八章　直线与圆 第一节　直线的基本概念 典例精析 例1　 设PA与PB的倾斜角分别为α，β，直线PA的斜率是kAP＝1，直线PB的斜率是kBP＝－，当直线l由PA变化到与y轴平行的位置PC时，它的倾斜角由α增至90°，斜率的取值范围为[1，＋∞). 当直线l由PC变化到PB的位置时，它的倾斜角由90°增至β，斜率的变化范围是(－∞，－ ]. 故直线l斜率的取值范围是(－∞，－ ]∪[1，＋∞). 例2　(1)由中点坐标公式，E，F的坐标分别为点，点，如图， 图1 由两点式直线方程可得， 经整理得所求直线方程为2x－4y＋9＝0. (2)设BC所在直线的斜率为k，则k＝， 由直线的点斜式方程可得y－3＝(x－0)， 经整理得所求直线方程为x－2y＋6＝0. (3)过点A作直线BC的垂线相交BC于点D，则直线AD为所求.如图2，设直线AD的斜率为k'，∵直线BC的斜率为，∴k'＝－2，由直线的点斜式方程可得y－3＝－2(x－0). 图2 经整理得直线AD的方程为2x＋y－3＝0. 例3　(1)将直线方程化为x＋a(y＋1)＝0，令a的“系数”y＋1＝0得y＝－1，于是x＝0，∴定点坐标为(0，－1). (2)将直线方程化为a(x＋3)－2y＝0，令a的“系数”x＋3＝0得x＝－3，于是y＝0，∴定点坐标为(－3，0). (3)令a的“系数”为零，得x＝0，于是y＝4，∴定点坐标为. 巩固练习 一、填空题 1.　k＝tan 30°＝. 2.　设其倾斜角为α，则tan α＝－，又0≤α＜π，故α＝. 3. －1　∵直线过点(6，9)和点(14，1)，∴直线的斜率k＝＝－1. 4.　　直线x－y＋1＝0化为斜截式得y＝x＋1，∴k＝，又0≤α＜π，故α＝. 5. 3x－y＋7＝0　∵过点(－2，1)且斜率为3，∴由直线的点斜式方程可得y－1＝3(x＋2)，整理得3x－y＋7＝0. 6. 6x＋y＋13＝0　直线斜率k＝＝－6，又∵直线过点(－2，－1)，∴直线方程为y＋1＝－6×(x＋2)，整理得6x＋y＋13＝0. 7.　由点到直线的距离公式得 d＝. 8.　由两点之间的距离公式得 d＝. 9. 　由平行线间的距离公式得d＝. 10. 二、计算题 1. (1)8x－5y＋25＝0　(2)12x＋14y－27＝0 2. (1)3x－y－6＝0 (2)易求得点B，C坐标分别为(2，－2)，，于是BC边所在直线的斜率为＝－，故所求垂直平分线的斜率k＝3，又BC中点坐标为，∴所求垂直平分线的方程为y－＝3，整理得3x－y＋7＝0. 学科网（北京）股份有限公司 $