第10章 第6节 二面角-【高考零起点】2026年新高考数学总复习学用Word（艺考）

该高中数学高考复习学案系统梳理了二面角专题，以定义为基础，通过定义法、垂线法构建求法体系，结合例题解析与分层练习，引导学生自主梳理知识逻辑，形成从概念到应用的完整认知框架。 亮点在于诊断性练习与方法指导融合，如设置8道不同情境的巩固题，学生可通过解题自主诊断空间想象薄弱点，典例精析示范逻辑推理过程，培养数学思维与空间观念，助力教师精准把握学情，实现个性化复习指导。

第六节　二面角 　　1.二面角的定义 　　从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫二面角的棱.过二面角棱上一点分别在两个半平面内引垂线，两垂线所成的角叫做二面角的平面角.二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度. 如图，O是二面角α－l－β的棱l上一点，MO⊂α，NO⊂β，且OM⊥l，ON⊥l，则∠MON 即为二面角α－l－β的平面角. 　　2.二面角的求法 　　(1)定义法：按定义把二面角画出来. (2)垂线法：过其中一个面α内一点P向另外一个面β引垂线，得垂足Q，再过Q向两个面的交线引垂线得另一垂足O，连接OP，则∠POQ即为所求的二面角(如图所示). 例1　在正三角形ABC中，AD⊥BC于D，沿AD折成二面角B－AD－C后，BC＝AB.如图，这时二面角B－AD－C的大小为(　　) 　　A. 60° B. 90° 　　C. 45° D. 120° 　　例2　如图，已知P在平面ABC外，△ABC是等腰直角三角形，∠ABC＝90°，△PAB是正三角形，PA⊥BC. 　　(1)求证：平面PAB⊥平面ABC； (2)求二面角P－AC－B的正切值. 1. 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，二面角A1－BD－C1的余弦值为(　　) A. 0 B. C. D. 2. 在矩形ABCD中，AB＝a，AD＝2b，a＜b，E，F分别是AD，BC的中点，以EF为折痕把四边形EFCD折起(如图)，当∠CEB＝90°时，二面角C－EF－B的余弦值等于(　　) A. 0　　　　　　 B.　　　　　　 C. －　　　　　　 D.－ 3. 如图，四面体ABCD的棱BD长为2，其余各棱的长均是，求二面角A－BD－C的大小. 4. 如图，在三棱锥P－ABC中，PO⊥平面ABC，求作二面角P－BC－A的平面角. 5. 如图，在三棱锥A－BCD中，平面ABD⊥平面BCD. 求作二面角A－CD－B的平面角. 6. 如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，底面边长AB＝2a，侧棱长AA1＝a，则二面角A1－BC－A的大小为　　　　　.  7. 如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝2，沿对角线BD将△ABD向上折起，使A点移至P点，且P点在平面BCD的射影O在DC上. (1)求证：PD⊥BC； (2)求二面角P－BD－C的余弦值. 8. 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝a，AD＝3a，sin∠ADC＝，又PA⊥平面ABCD，PA＝a.求二面角P－CD－A的正切值. 第六节　二面角 典例精析 例1　依题意，AD⊥BD，AD⊥DC，由二面角的定义，∠BDC为二面角B－AD－C. 由AD⊥BC，正三角形ABC，得BD＝DC＝AB.又BC＝AB，∴BC＝BD＝DC，从而△BDC为正三角形，∴∠BDC＝60°.选A. 例2　(1)∵PA⊥BC，AB⊥BC，∴BC⊥平面PAB. 又BC⊂平面ABC，∴平面PAB⊥平面ABC. (2)选取AB的中点D，连接PD，则PD⊥AB，过D作AC的垂线相交AC于E，连接PE. ∵平面PAB⊥平面ABC，PD⊥AB，∴PD⊥平面ABC，故PD⊥AC. 又AC⊥DE，∴AC⊥平面PDE，故AC⊥PE，从而∠PED的正切值为二面解P－AC－B的正切值. 依上分析，PD⊥DE，设△PAB的边长为1，则PD＝. 又∠BAC＝45°，AC⊥DE，∴△ADE为等腰直角三角形，DE＝.∴tan ∠PED＝×. 巩固练习 1.B 2.C　由题图可知CE＝BE＝.当∠CEB＝90°时，CB＝.∠CFB为所求平面角.由余弦定理得cos∠CFB＝＝－.故选C. 3.90° 4.略　提示：过O作BC的垂线相交BC于D，连接PD.∠PDO为二面角P－BC－A的平面角. 5.略　提示：过点A作BD的垂线交BD于点E，过点E作CD的垂线交CD于点F，连接AF，∠AFE为二面角A－CD－B的平面角. 6.45° 7.(1)依题意，PO⊥平面BCD，∴PO⊥BC.又DC⊥BC，故BC⊥平面PDC，从而PD⊥BC. (2)　提示：过O作BD的垂线相交BD于E，连接PE，则cos∠PEO为二面角P－BD－C的余弦值. 8.　提示：过A点作CD的垂线相交CD于E，连接PE，则∠AEP的正切值为二面角P－CD－A的正切值. 学科网（北京）股份有限公司 $