第7章 第5节 简单的递推数列an＋1＝kan＋b-【高考零起点】2026年新高考数学总复习学用Word（艺考）

该高中数学高考复习学案聚焦简单递推数列aₙ₊₁=kaₙ+b（k≠1）核心考点，以配凑法、待定系数法为脉络构建知识体系，通过例1、例2及问题链设计，引导学生从递推关系出发自主推导等比数列转化过程，形成系统的通项求解认知框架。 亮点在于自主诊断与分层提升设计，开篇设置5道典型递推问题作为自测工具，学生可通过解题过程定位方法盲区，配合方法对比表（配凑法与待定系数法步骤对照）深化数学思维。每个模块配有反思总结卡，培养学生推理能力与模型观念，教师可依据练习反馈实施精准指导，助力个性化备考。

第五节　简单的递推数列an＋1＝kan＋b 本节只要求掌握形如an＋1＝kan＋b(k，b均为常数且k≠1)的递推数列的解法，该种类型递推数列求通项通常有配凑法和待定系数法. 配凑法是指在两边同时加上(或减去)某一个数，然后配凑成一个等比数列(如例1的方法一). 待定系数法是把an＋1＋x＝k(an＋x)与an＋1＝kan＋b对照，求出x即可，从而得到一个等比数列{an＋x}(如例1的方法二). 例1　已知数列{an}满足a1＝3，an＋1＝2an＋1，求{an}的通项公式. 例2　已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－3n(n∈N*). (1)求a1，a2，a3的值； (2)设bn＝an＋3，证明数列{bn}为等比数列，并求通项公式an. 1. 已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝3an＋2(n∈N*)，求an. 2. 已知数列{an}中，a1＝3，an＋1＝2an＋3(n∈N*)，求an. 3.若数列{an}满足a1＝1，an＋1＝an＋1(n∈N*)，求an. 4. 已知数列{an}中，a1＝3，an＋1＝2an－2(n∈N*)，求an. 5. 已知数列{an}及等差数列{bn}，若a1＝3，an＝an－1＋1(n≥2，n∈N*)，a1＝b2，2a3＋a2＝b4. (1)求证：数列{an－2}为等比数列； (2)求数列{an}及数列{bn}的通项公式； (3)设数列{an·bn}的前n项和为Tn，求Tn. 第五节　简单的递推数列an＋1＝kan＋b 典例精析 例1　方法一：在等式an＋1＝2an＋1两边同时加1得an＋1＋1＝2an＋2，从而an＋1＋1＝2(an＋1). 于是{an＋1}是公比为2的等比数列. 由数列的通项公式有an＋1＝(a1＋1)·2n－1. 又a1＝3，∴an＋1＝4·2n－1.故an＝2n＋1－1. 方法二：设an＋1＋m＝2(an＋m) [通常先令an＋1＋m＝k(an＋m)，此题中k＝2]， 则an＋1＝2an＋m. 对比题设，易得m＝1，于是an＋1＋1＝2(an＋1). 接下来同方法一. 例2　证明　(1)数列{an}的前n项和为Sn， 且Sn＝2an－3n. 当n＝1时，由a1＝S1＝2a1－3×1，解得a1＝3， n＝2时，由S2＝2a2－3×2，得a2＝9， n＝3时，由S3＝2a3－3×3，得a3＝21. (2)证明：Sn＝2an－3n，Sn＋1＝2an＋1－3(n＋1)，两式相减，得an＋1＝2an＋3，……① 把bn＝an＋3及bn＋1＝an＋1＋3，代入①式， 得bn＋1＝2bn，且b1＝6， ∴数列{bn}是以6为首项，2为公比的等比数列， ∴bn＝6×2n－1， ∴an＝bn－3＝6×2n－1－3＝3(2n－1). 巩固练习 1.设an＋1＋x＝3(an＋x)，则an＋1＝3an＋2x.对比题设，易得x＝1，于是an＋1＋1＝3(an＋1).于是{an＋1}是公比为3的等比数列，数列的通项公式为an＋1＝(a1＋1)·3n－1，又a1＝1满足此通式，∴an＋1＝2·3n－1.故an＝2·3n－1－1. 2.设an＋1＋x＝2(an＋x)，则an＋1＝2an＋x.对比题设，易得x＝3，于是an＋1＋3＝2(an＋3).于是{an＋3}是公比为2的等比数列，数列的通项公式为an＋3＝(a1＋3)·2n－1.又a1＝3满足此通式，∴an＋3＝6·2n－1.故an＝3·2n－3. 3.设an＋1－x＝(an－x)，则an＋1＝an＋x，根据an＋1＝an＋1可得x＝1，即x＝2，∴an＋1－2＝(an－2).令bn＝an－2，则b1＝a1－2＝－1，bn＋1＝bn，∴数列{bn}是以－1为首项，为公比的等比数列.∵bn＝b1·qn－1＝(－1)·，∴an＝2＋bn＝2－. 4.设an＋1＋x＝2(an＋x)，则an＋1＝2an＋x.对比题设，易得x＝－2，于是an＋1－2＝2(an－2).于是{an－2}是公比为2的等比数列，该数列的通项公式为an－2＝(a1－2)·2n－1.又a1＝3满足此通式，∴an－2＝2n－1.故an＝2n－1＋2. 5.(1)a1＝3，an＝an－1＋1(n≥2，n∈N*)，an－2＝(an－1－2)，则数列{an－2}为首项为1，公比为的等比数列. (2)由(1)可得an－2＝，即an＝2＋，a1＝b2＝3，2a3＋a2＝b4＝2×＋2＋＝7，可得等差数列{bn}的公差d＝＝2，则bn＝b2＋(n－2)d＝3＋2(n－2)＝2n－1. (3)数列{an·bn}的前n项和为Tn，an·bn＝(2n－1)＝2(2n－1)＋(2n－1)·. 设Sn＝1×＋3×＋5×＋…＋(2n－1)×Sn＝1×＋3×＋5×＋…＋(2n－1)·，两式相减可得， Sn＝1＋2－(2n－1)· ＝1＋2－(2n－1)·， 化简可得Sn＝6－，则Tn＝2·n(1＋2n－1)＋6－＝2n2＋6－. 学科网（北京）股份有限公司 $