第5章 第10节 三角函数的单调性-【高考零起点】2026年新高考数学总复习学用Word（艺考）

该高中数学高考复习学案系统梳理了三角函数单调性专题，涵盖正弦、余弦、正切函数的基本单调区间及复合函数单调区间的求解方法，通过问题链（如例4三角函数值与角范围对应）和任务驱动（例题推导过程）引导学生自主构建知识网络，体现考点梳理的系统性和层次性。 亮点在于诊断性自测设计（例4表格填空）和进阶式例题练习，如通过具体函数单调区间求解培养数学思维（推理能力），利用符号运算和逻辑推理发展数学语言表达。每个模块配有例题解析和巩固题，帮助学生自主诊断薄弱点，教师可依据练习反馈精准指导，支持因材施教。

第十节　三角函数的单调性 1.由正弦函数、余弦函数、正切函数的图形特征(如图)，不难得到三种函数的单调区间(以下k∈Z)： 　y＝sinx y＝cosx y＝tanx (1)正弦函数的单调递增区间为，单调递减区间为. (2)余弦函数的单调递增区间为[2kπ－π，2kπ]，单调递减区间为[2kπ，2kπ＋π]. (3)正切函数的单调递增区间为，没有单调递减区间. 2. 求y＝sin(ωx＋φ)、y＝cos(ωx＋φ)、y＝tan(ωx＋φ)(ω＞0)的单调区间的方法：把ωx＋φ看成一个整体，代入对应的单调区间，再把x解出来，便得所求的区间.(注意，为了避免引入复合函数有关知识点，降低难度，统一规定x的系数ω＞0，如果题中ω＜0，则应转换成ω＞0再求解) 例1　求函数y＝sin的单调递增区间. 例2　求函数y＝sin的单调递增区间. 例3　求函数y＝cos的单调递增区间. 例4　已知α的以下三角函数值且α为锐角，用0，表示α的取值范围. 三角函数值 sin α＝ sin α＝ sin α＝ α的范围 三角函数值 cos α＝ cos α＝ cos α＝ α的范围 三角函数值 tan α＝ tan α＝ tan α＝2 α的范围 1. 下列关系式中正确的是(　　) A. sin 11°＜cos 10°＜sin 168°　 B. sin 168°＜sin 11°＜cos 10° C. sin 11°＜sin 168°＜cos 10°　　 D. sin 168°＜cos 10°＜sin 11° 2. 函数y＝cos2x在下列哪个区间上是减函数(　　) A. B. C. D. 3. 函数f(x)＝tan的单调递增区间为(　　) A. ，k∈Z　 B. (kπ，(k＋1)π)，k∈Z C. ，k∈Z D. ，k∈Z 4. 函数y＝2sin的单调递增区间是(　　) A. (k∈Z)　　　 B. (k∈Z) C. (k∈Z)　　 　 D. (k∈Z) 5. 函数y＝2sin(x∈[0，π])的单调递增区间是(　　) A. 　 B. C. D. 6.将函数y＝sin的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数(　　) A. 在区间上单调递增 B. 在区间上单调递减 C. 在区间上单调递增 D. 在区间上单调递减 7.函数f(x)＝cos (ωx＋φ)(ω＞0)的部分图象如图所示，则f(x)的单调递减区间为(　　) A.，k∈Z B.，k∈Z C.，k∈Z D.，k∈Z 第十节　三角函数的单调性 典例精析 例1　∵y＝sinx的单调递增区间是(k∈Z).把2x－看成一个整体，∴2kπ－ ≤2x－≤2kπ＋. ∴2kπ－≤2x≤2kπ＋， 从而kπ－≤x≤kπ＋. ∴原函数的单调递增区间是(k∈Z). 例2　∵x的系数ω＝－4＜0，∴先把系数变为正，再求解. 将原函数变形，易得y＝－sin， 又由函数单调性的有关知识不难得到y＝－sin的单调递增区间即为函数y＝sin的单调递减区间， ∵y＝sinx的单调递减区间是(k∈Z)，把4x－看成一个整体，则 2kπ＋≤4x－≤2kπ＋，∴2kπ＋≤4x≤2kπ＋， 从而≤x≤.∴原函数的单调递增区间是(k∈Z). 例3　y＝cos＝cos＝ cos， 故原函数的单调递增区间就是函数y＝cos的单调递增区间. ∵y＝cosx的单调递增区间是[2kπ－π，2kπ](k∈Z)，把3x－看成一个整体，∴2kπ－π≤3x－≤2kπ. ∴2kπ－≤3x≤2kπ＋. 从而≤x≤. ∴原函数的单调递增区间为(k∈Z). 例4 三角函数值 sin α＝ sin α＝ sin α＝ α的范围 三角函数值 cos α＝ cos α＝ cos α＝ α的范围 三角函数值 tan α＝ tan α＝ tan α＝2 α的范围 记住0，30°，45°，60°，90°这几个特殊角的三角函数值，找出题中9个三角函数值在这四个同名三角函数值中的位置，再利用三角函数的单调性即可得出结果.此题的作用是能让学生根据一个锐角的三角函数值进一步精化该锐角的范围.当α为其他象限角时，也可用相似的方法处理. 第一组，由sin 0＝0，sin 30°＝ ，sin 45°＝ ，sin 60°＝ ，sin 90°＝1 得＜ ＜1，0＜. ∵正弦函数在第一象限是增函数，∴在sin α＝，sin α＝，sin α＝中，分别有α∈、α∈、α∈. 第二组，由cos 0＝1，cos 30°＝ ，cos 45°＝，cos 60°＝，cos 90°＝0得0＜＜ ＜1，∵余弦函数在第一象限为减函数，∴在cos α＝，cos α＝，cos α＝ 中，分别有α∈、α∈、α∈. 第三组，由tan 0＝0，tan 30°＝，tan 45°＝1，tan 60°＝，tan 90°→＋∞得 ＜ ＜1，1＜，2＞. ∵正切函数在第一象限是增函数，∴在tan α＝，tan α＝，tan α＝2中，分别有α∈、α∈、α∈. 巩固练习 1.C　∵sin 168°＝sin 12°，cos 10°＝sin 80°，又∵函数y＝sin x在区间上单调递增， ∴sin 11°＜sin 12°＜sin 80°，即sin 11°＜sin 168°＜cos 10°. 2.C　2kπ≤2x≤π＋2kπ，k∈Z得kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，故选C. 3.C　－＋kπ＜x＋＋kπ，k∈Z，则－＋kπ＜x＜＋kπ，k∈Z，故选C. 4.B　y＝2sin＝－2sin，由于y＝2sin的单调递增区间为y＝－2sin的单调递增区间，即单调递增区间为＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，故＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，即单调递增区间为＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，故选B. 5.C　y＝2sin＝－2sin，故单调递增区间为＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，即＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，故选C. 6.A　将函数y＝sin的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数解析式为y＝sin＝sin 2x.则单调递增区间为－＋2kπ≤2x≤＋2kπ，k∈Z，则得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，故选A. 7.D　由图可得＝1，T＝＝2，ω＝π，故函数为f(x)＝cos (πx＋φ). ∵图象经过点，∴f＝cos＝0，＋φ＝，φ＝. ∴函数为f(x)＝cos.令2kπ＜πx＋＜π＋2kπ，解得－＋2k＜x＜＋2k(k∈Z)，则函数的单调递减区间为(k∈Z). 学科网（北京）股份有限公司 $