第5章 第5节 三角函数的值域-【高考零起点】2026年新高考数学总复习学用Word（艺考）

该高中数学高考复习学案系统梳理了三角函数值域专题，涵盖基本三角函数、线性型函数、定义域限制型函数等核心考点，通过辅助角公式、二次函数转化等方法构建知识网络，以问题链和任务驱动引导学生自主推导值域求解规律，形成系统性认知框架。 亮点在于诊断性自测与真题演练结合，如设置分层次巩固练习和2024全国甲卷等真题，培养学生数学眼光（单位圆几何直观）和数学思维（逻辑推理）。每个模块配有方法总结和错题归因表，帮助学生自主诊断提升，教师可通过学情精准指导，实现因材施教。

第五节　三角函数的值域 1.当x∈R时，y＝sin x，y＝cos x，y＝sin(ωx＋φ)，y＝cos(ωx＋φ)的值域都是[－1，1]. 当y＝sinx取最大值1和最小值－1时，x的解集分别为 ； 当y＝cosx取最大值1和最小值－1时，x的解集分别为 . 2. 形如y＝asinx＋b或y＝acosx＋b的函数，可根据sinx，cosx的有界性来求值域. 3. 定义域为非全体实数的三角函数的值域 在高考中，该类型的三角函数的值域主要集中于对正弦函数的考查，故本节对该知识点的讲述仅限于正弦函数y＝sin x. 如图，在直角坐标系中构造一个以原点为中心的单位圆.任意给定一个角α(不失一般性，设α为锐角)，令α的终边与单位圆的交点为点P(x，y)，则sin α＝y，即α的正弦等于点P的纵坐标y，根据定义域的范围，通过对角的终边与单位圆的交点的考查便可求出值域. 例1　当x∈R时，求函数y＝cosx＋1和y＝－6sin＋3的值域. 例2　求y＝sinx在区间上的值域. 例3　填空： (1)x∈，函数f(x)＝sin x＋cos x的值域是　　　　；  (2)函数f(x)＝sin2 x＋cos x－的最大值是　　　　　.   一、求下列函数的值域 1. y＝2sinx－3.　　　　　2. y＝－cosx＋4.　　　　　3. y＝2cos. 二、分别求y＝sinx在下列区间上的值域 1. . 2. . 3. . 4. . 三、填空题 1. 函数f(x)＝2cos x＋sin x的最大值为　　　　　.   2. 函数f(x)＝sin x＋sin 的最大值是　　　　　.   3. (2024全国甲卷文)函数f＝sin x－cos x在上的最大值是　　　　.  4. 设当x＝θ时，函数f(x)＝sin x－2cos x取得最大值，则cos θ＝　　　　　.   5. (2019全国Ⅰ卷)函数f(x)＝sin－3cos x的最小值为　　　　　.   四、选择题 1. 函数f(x)＝sin＋cos的最大值为(　　) A. B. 1 C. D. 2. (2021北京卷) 函数f(x)＝cos x－cos 2x，试判断该函数的奇偶性及最大值(　　) A. 奇函数，最大值为2 B. 偶函数，最大值为2 C. 奇函数，最大值为 D. 偶函数，最大值为 3. (2024天津卷)已知函数f＝sin 3的最小正周期为π，则f在上的最小值是(　　) A. － B. － C. 0 D. 第五节　三角函数的值域 典例精析 例1　①∵x∈R时，－1≤cosx≤1， ∴－≤cosx≤≤cosx＋1≤. ∴y∈. ②∵x∈R时，－1≤sin≤1， ∴－6≤－6sin≤6. ∴－3≤－6sin＋3≤9，∴y∈[－3，9]. 例2　方法一：如图1，在区间上，角x的终边与单位圆的交点的集合为劣弧AB，而弧AB上纵坐标最小的点为A，最大的点为C(0，1)，∴该函数的值域为. 方法二：画出y＝sin x在区间[0，2π]上的图象(如图2). 观察图象易得值域为. 例3　(1)遇到y＝asin x＋bcos x型函数的值域问题，常用到辅助角公式： f(x)＝sin x＋cos x＝sin. ∵0≤x≤，所以≤x＋≤， ∴≤sin≤1. 于是1≤sin≤. 故值域为[1，]. (2)在有关三角函数求最值的时候，有时需要利用恒等式sin 2x＋cos 2x＝1将函数变形，转化为一元二次函数求值域的问题. f(x)＝1－cos 2x＋cos x－＝－cos 2x＋cos x＋. 令cos x＝t ，则0≤t≤1， 构造函数g(t)＝－t2＋t＋(0≤t≤1)， 则g(t)＝－＋1. 当t＝时，g(t)取得最大值1，即f(x)的最大值为1. 巩固练习 一、求下列函数的值域 1. ∵－1≤sin x≤1，∴－2≤2sin x≤2，故有－2－3≤2sin x－3≤2－3，即－5≤y≤－1. 2.∵－1≤cos x≤1，∴－≤－cos x≤，故有－＋4≤－cos x＋4≤＋4，即≤y≤. 3. ∵3x－∈R，∴－1≤cos ≤1，故有－2≤2cos≤2，即－2≤y≤2. 二、分别求y＝sin x在下列区间上的值域 1. ∵y＝sin x在区间上单调递增，在区间上单调递减，∴当x＝时，ymax＝sin＝1，sin ，sin . ∴y＝sin x在区间上的值域为. 2.∵y＝sin x在区间上单调递增，在上单调递减，∴当x＝时，ymax＝sin ＝1，sin ，sinπ＝sin＝－sin＝－. ∴y＝sin x在区间上的值域为. 3.∵y＝sin x在区间上单调递减，又∵⊆，∴函数在区间上单调递减，ymax＝sin＝sin＝sin，y min＝sin＝sin＝－sin＝－，∴y＝sin x在区间上的值域为. 4.∵y＝sin x在区间上单调递增，又∵⊆，∴函数在区间上单调递增，y＜sin，y min＝sin＝－，∴y＝sin x在区间上的值域为. 三、填空题 1.　f(x)＝sin(x＋φ)≤. (其中tanφ＝2) 2. 2　f(x)＝2sin ，故最大值为2. 3.2　f＝sin x－cos x＝2sin，当x∈时，x－∈，当x－时，即x＝时，f＝2. 4. －　设cos φ＝，sin φ＝， 则f(x)＝(sinxcosφ－cosxsinφ)＝sin(x－φ)， 当x－φ＝2kπ＋，即x＝2kπ＋＋φ时， f(x)取得最大值，又x＝θ，θ＝2kπ＋＋φ(k∈Z)， cos θ＝cos＝－sin φ＝－＝－. 5. －4　f(x)＝sin－3cos x＝－cos 2x－3cos x＝－2cos2x－3cos x＋1，令t＝cos x，则－1≤t≤1，f(x)＝－2t2－3t＋1，开口向下，对称轴t＝－，在区间[－1，1]上先增后减，故当t＝1即cos x＝1时，函数有最小值－4. 故答案为－4. 四、选择题 1.A　函数f(x)＝sin＋cossin ＋cossin＋sinsin≤.故选A. 2.D　由题意，∵f(－x)＝cos(－x)－cos(－2x)＝cos x－cos 2x＝f(x)，∴该函数为偶函数， 又f(x)＝cos x－cos 2x＝－2cos2x＋cos x＋1＝－2，∴当cos x＝时，f(x)取最大值. 故选D. 3.A　f＝sin 3＝sin＝－sin 3ωx，由T＝＝π得ω＝，即f＝－sin 2x，当x∈时，2x∈，画出f＝－sin 2x图象，如下图，由图可知，f＝－sin 2x在上单调递减，∴当x＝时，f＝－sin＝－. 学科网（北京）股份有限公司 $