第5章 第3节 和差公式、倍角公式和降次公式-【高考零起点】2026年新高考数学总复习学用Word（艺考）

该高中数学高考复习学案系统梳理了三角恒等变换核心考点，以和差公式为基础，倍角公式为延伸，降次公式为应用，构建递进式知识网络。通过知识点清单、典例精析与真题练习，引导学生自主推导公式联系，形成系统化认知框架。 亮点在于真题导向与分层诊断设计，如精选2019-2024年全国卷真题（例2、练习3等），开篇知识点梳理引导自主回顾，巩固练习分选择填空实现精准自测，培养数学思维与推理能力，助力学生自主提升，支持教师因材施教。

第三节　和差公式、倍角公式和降次公式 　　1.和差公式 sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β tan(α±β)＝ 2. 倍角公式 sin 2α＝2sin αcos α　 cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α tan 2α＝ 常用变式有 sin α＝2sin cos 　 cos α＝cos2－sin2＝2cos2－1＝1－2sin2 tan α＝ 3. 降次公式 cos2α＝，sin2α＝　 常用变式有 cos2， sin2 例1　(多选)下列化简正确的是(　　) A. cos 82°sin 52°－sin 82°cos 52°＝ B. sin 15°sin 30°sin 75°＝ C. ＝－ D. cos215°－sin215°＝ 例2　 (2019全国Ⅰ卷)tan 255°＝(　　) A. －2－ B. －2＋ C. 2－ D. 2＋ 例3　若sin α＝，则cos 2α＝(　　) A. B. C.－ D.－ 一、选择题 1. 已知cos x＝，则cos 2x＝(　　) A.－ B. C.－ D. 2. (2023新高考Ⅱ卷)已知α为锐角，cos α＝，则sin ＝(　　) A. B. C. D. 3. (2024新高考Ⅰ卷)已知cos(α＋β)＝m，tan αtan β＝2，则cos(α－β)＝(　　) A. －3m B. － C. D. 3m 4.(2020全国Ⅰ卷)已知α∈(0，π)，且3cos 2α－8cos α＝5，则sin α＝(　　) A. B. C. D. 5.(2020全国Ⅲ卷)已知2tan θ－tan＝7，则tan θ＝(　　) A. －2 B. －1 C. 1 D. 2 6.(2021全国乙卷)cos2－cos2＝(　　) A. B. C. D. 7.(2023新高考Ⅰ卷)已知sin，cos αsin β＝，则cos＝(　　) A. B. C. － D. － 二、填空题 1. sin 15°＋sin 75°＝　　　　　.   2. 已知α∈，tan α＝2，则cos ＝　　　　　.   3. 若tan ，则tan α＝　　　　　.   4. 设α为锐角，若cos ，则sin的值为　　　　　.   5. 已知tan α＝－2，tan (α＋β)＝，则tan β的值为　　　　　.   第三节　和差公式、倍角公式和降次公式 典例精析 例1　∵cos 82°sin 52°－sin 82°cos 52° ＝sin 8°sin 52°－cos 8°cos 52° ＝－cos(8°＋52°)＝－，∴A不对； ∵sin 15°sin 30°sin 75°＝sin 15°cos 15°＝×sin 30°＝，∴B不对； ∵＝tan(48°＋72°)＝tan 120°＝－tan 60°＝－，∴C正确； ∵cos215°－sin215°＝cos 30°＝，∴D正确.故选CD. 例2　tan 255°＝tan(180°＋75°)， 由诱导公式tan(π＋α) ＝tan α， ∴tan 255°＝tan 75°＝tan (45°＋30°)＝＝2＋.故选D. 例3　cos 2α＝1－2sin2α＝1－. 故选B. 巩固练习 一、选择题 1.D　cos 2x＝2cos2x－1＝. 2.D　cos α＝1－2sin2，而α为锐角， 解得sin.故选D. 3.A　∵cos＝m，∴cos αcos β－sin αsin β＝m.而tan αtan β＝2，∴sin αsinβ＝2cos αcos β，故cos αcos β－2cos αcos β＝m即cos αcos β＝－m，从而sin αsin β＝－2m，故cos＝－3m. 4.A　3cos 2α－8cos α＝5，得6cos2α－8cos α－8＝0， 即3cos2α－4cos α－4＝0，解得cos α＝－或cos α＝2(舍去)，又∵α∈(0，π)，∴sin α＝. 故选A. 5.D　∵2tan θ－tan＝7，∴2tan θ－＝7. 令t＝tan θ，t≠1，则2t－＝7，整理得t2－4t＋4＝0，解得t＝2，即tan θ＝2. 故选D. 6.D　由题意，cos2－cos2＝cos2－cos2＝ cos2－sin2＝cos.故选D. 7.B　∵sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝，而cos αsin β＝，∴sin αcos β＝，则sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝. ∴cos(2α＋2β)＝cos2(α＋β)＝1－2sin2(α＋β)＝1－2×.故选B. 二、填空题 1.　sin 15°＋sin 75°＝sin(45°－30°)＋sin(45°＋30°)＝2sin 45°cos 30°＝. 2.　tan α＝2，α是第一象限角，故cos α＝，sin α＝，∴原式＝. 3.　由题得， 解得tan α＝. 4.　设β＝α＋，sin β＝，sin 2β＝2sin βcos β＝，cos 2β＝2cos2β－1＝，sin＝sin＝ sin＝sin 2βcos－cos 2β sin×，故答案为. 5. 3　tan (α＋β)＝，解得tan β＝3. 学科网（北京）股份有限公司 $