第5章 第2节 诱导公式-【高考零起点】2026年新高考数学总复习学用Word（艺考）

该高中数学高考复习学案系统梳理了诱导公式专题，将六组诱导公式、“奇变偶不变，符号看象限”简记方法及三角方程解法按“公式-方法-应用”架构整合，通过例题引导和分层练习设计，帮助学生自主推导公式规律，构建三角函数转化的知识网络。 亮点在于诊断性练习与方法指导结合，如设置化简、求值、解方程等巩固题型，培养学生数学思维与推理能力。每个模块配备例题解析和自测题，学生可自主诊断薄弱点，教师通过练习反馈实现精准指导，助力个性化复习与能力提升。

第二节　诱导公式 1. 诱导公式 组别 一 二 三 四 五 六 角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α sin sin α －sin α －sin α sin α cos α cos α cos cos α －cos α cos α －cos α sin α －sin α tan tan α tan α －tan α －tan α — — 2. 由诱导公式还可得负角三角函数关系式(把－α看成(0－α)) sin(－α)＝－sin α，cos(－α)＝cos α，tan(－α)＝－tan α. 通过对的三角函数值的研究可知：如果两个角互余，则其中一个角的正弦等于另外一个角的余弦. 如：sin15°＝cos 75°　　　　　 cos 23°＝sin 67° 通过对(π－α)的三角函数值的研究可知：如果两个角互补，则它们的正弦相等，余弦、正切互为相反数. 如：sin 120°＝sin 60°＝，cos 150°＝－cos 30°＝－，　tan 135°＝－tan 45°＝－1. 3. 诱导公式简记方法 奇变偶不变，符号看象限. “奇”“偶”指的是“k·＋α(k∈Z)”中的k是奇数还是偶数. “变”与“不变”是指函数的名称的变化，若k是奇数，则正、余弦互变；若k为偶数，则函数名称不变. “符号看象限”指的是在“k·＋α(k∈Z)”中，将α看成锐角时，“k·＋α(k∈Z)”的终边所在的象限. 4. 关于x的三角方程sin x/cos x/tan x＝a的解法(a的取值能使方程有解). 先不管a的正负(即无论a为正还是为负，均将其视为正值)，找出对应的锐角解.如果x属于第Ⅰ象限，则解为与该锐角共终边的角；如果x属于第Ⅳ象限，则解为以x轴的正半轴为始边，顺时针转动该锐角后得到的所有终边相同的角；如果x属于第Ⅱ象限，则解为以x轴的负半轴为始边，顺时针转动该锐角后得到的所有终边相同的角；如果x属于第Ⅲ象限，则解为以x轴的负半轴为始边，逆时针转动该锐角后得到的所有终边相同的角. 【注意】当x属于第Ⅰ象限时，对应解也可看成以x轴的正半轴为始边，逆时针转动该锐角后得到的所有终边相同的角. 例1　化简下列各式： (1)sin；　　　　(2)cos(π－α)；　　　　 (3)sin(π＋α)； 例2　求sin的值. 例3　求下列各方程中x的值. (1)sin x＝(x∈Ⅱ)；(2)cos x＝－(x∈Ⅲ)；(3)tan x＝－(x∈Ⅳ). 1.化简下列各式： (1)cos＝　　　 ；   (2)sin＝　　　 ；  (3)cos＝　　　 ；   (4)tan(π－α)＝　　　 ；  (5)cos(α－π)＝　　　 ；   (6)sin＝　　　 .  2. 求下列各式的值： (1)sin＝　　　 ；  (2)cos＝　　　 ；  (3)tan600°＝　　　 ；  (4)sin150° ＝　　　 ；  (5) cos135°＝　　　 ；   (6)tan120°＝　　　 .  3. 求下列各方程中x的值. (1)sin x＝－(x∈Ⅲ)；　　(2)cos x＝(x∈Ⅳ)；　　(3)tan x＝－(x∈Ⅱ). 4. 填空： (1)若cos (π＋α)＝－，则sin＝　　　　　；  (2)已知cos，则cos＝　　　　　；  (3)已知cos，则cos＝　　　　　.   第二节　诱导公式 典例精析 例1　(1)∵是的3倍，∴k＝3，从而k是奇数，三角函数名变，原式名变为cos.又将α看成锐角时，是第四象限的角，而第四象限角的正弦均为负，∴最终结果为－cosα，即sin＝－cos α. (2)∵π是的2倍，∴k＝2，从而k是偶数，三角函数名不变.仍为cos.又把α看成锐角时，(π－α)是第二象限的角，而第二象限角的余弦均为负，∴最终结果为－cos α，即cos(π－α)＝－cos α. (3)∵π是的2倍，∴k＝2，从而k是偶数，三角函数名不变，仍为sin.又把α看成锐角时，(π＋α)是第三象限的角，而第三象限角的正弦均为负，∴最终结果为－sin α.即sin(π＋α)＝－sin α. 例2　由sin(－α)＝－sin α，sin＝－sin＝ －＝－sin＝－sin， 由诱导公式sin(π＋α)＝－sin α可知 sin＝－sin＝－， ∴sin. 【例3】　(1)对应锐角为.因为x∈Ⅱ，如图，以x轴的负半轴为始边，顺时针转动，在第Ⅱ象限得到的角为π－，由于终边相同的角的三角函数值都相同，所以该方程的解为x＝2kπ＋(k∈Z). (2)对应锐角为.因为x∈Ⅲ，如图，以x轴的负半轴为始边，逆时针转动，在第Ⅲ象限得到的角为π＋，由于终边相同的角的三角函数值都相同，所以该方程的解为x＝2kπ＋(k∈Z). (3)对应锐角为.因为x∈Ⅳ，如图，以x轴的正半轴为始边，顺时针转动，在第Ⅳ象限得到的角为0－＝－，由于终边相同的角的三角函数值都相同，所以该方程的解为x＝2kπ－(k∈Z). 巩固练习 1. (1)sin α　∵是的1倍，∴k＝1，从而k是奇数，三角函数名变，原式名变为正弦.又将α看成锐角时，是第一象限的角，而第一象限角的余弦为正，∴最终结果为sin α. (2)－cos α　∵是的3倍，∴k＝3，从而k是奇数，三角函数名变，原式名变为cos.又把α看成锐角时，是第三象限的角，而第三象限角的正弦均为负，∴最终结果为－cos α，即sin ＝－cos α. (3)sin α　∵是的3倍，∴k＝3，从而k是奇数，三角函数名变，原式名变为sin.又把α看成锐角时，是第四象限的角，而第四象限角的余弦均为正，∴最终结果为sin α. 即cos＝sin α. (4)－tan α　∵π是的2倍，∴k＝2，从而k是偶数，三角函数名不变，仍为tan.又把α看成锐角时，(π－α)是第二象限的角，而第二象限角的正切为负，∴最终结果为－tan α，即tan(π－α)＝－tan α. (5)－cosα　∵π是的偶数倍，∴三角函数名不变.又把α看成锐角时，α－π为第三象限角，余弦为负，故最终结果为－cos α. (6)－cosα　∵是的奇数倍，∴三角函数名改变.又把α看成锐角时，α－为第四象限角，正弦为负，故最终结果为－cosα. 2. (1)　sin＝sin＝sin＝sin＝sin. (2)－　cos＝cos＝cos＝cos＝－cos＝－. (3)　tan 600°＝tan (360°＋240°)＝tan 240°＝tan (180°＋60°)＝tan 60°＝. (4)　sin 150°＝sin (180°－30°)＝sin 30°＝. (5)－　cos 135°＝cos (180°－45°)＝－cos 45°＝－. (6)－　tan 120°＝tan (180°－60°)＝－tan 60°＝－. 3.(1)对应锐角为.∵x∈Ⅲ，∴以x轴的负半轴为始边，逆时针转动，在第Ⅲ象限得到的角为π＋，由于终边相同的角的三角函数值都相同，所以该方程的解为x＝2kπ＋(k∈Z). (2)对应锐角为.∵x∈Ⅳ，∴以x轴的正半轴为始边，顺时针转动，在第Ⅳ象限得到的角为0－＝－，由于终边相同的角的三角函数值都相同，所以该方程的解为x＝2kπ－(k∈Z). (3)对应锐角为.∵x∈Ⅱ，∴以x轴的负半轴为始边，顺时针转动，在第Ⅱ象限得到的角为π－，由于终边相同的角的三角函数值都相同，所以该方程的解为x＝2kπ＋(k∈Z). 4. (1)－　由已知cos (π＋α)＝－cos α＝－，所以sin ＝－cos α＝－. (2)－　∵cos＝cos＝－cos ，由已知cos， ∴cos ＝－cos ＝－. (3)－　∵cos＝cos＝－cos ，由已知cos ， ∴cos ＝－cos ＝－. 学科网（北京）股份有限公司 $