第13章 第2节 n次独立重复试验与二项分布-【高考零起点】2026年新高考数学总复习学用Word（艺考）

该高中数学高考复习学案系统梳理了独立事件、n次独立重复试验及二项分布等核心考点，以“定义-性质-应用”逻辑链构建知识网络，通过问题链设计引导学生自主辨析条件概率与独立事件的区别，推导二项分布公式，形成从概念到应用的完整认知体系。 亮点在于诊断性练习与真题情境融合，如设置基础填空、高考真题（2021天津卷、2023新高考Ⅱ卷）等分层题目，学生通过错题归因自主诊断薄弱环节，培养数学思维与数学语言表达能力。每个考点配备“概念辨析-例题示范-变式训练”三步学习法，助力学生自主提升，教师可依据学情精准指导，实现个性化复习。

第二节　n次独立重复试验与二项分布 1. 独立事件 (1)如果两事件是否发生相互之间没有影响，那么这样的两个事件叫做相互独立事件. 两个相互独立事件A，B同时发生的概率等于各自发生的概率的乘积，即P(AB)＝P(A)P(B). (2)若事件A与事件B相互独立，则与B，A与与也相互独立. (3)条件概率与独立事件的内在区别与联系： 条件概率研究的是已知两事件，当其中一个事件的发生受到另外一个事件的影响的前提下求该事件的概率问题；独立事件研究的是已知两事件，当二者的发生与否相互间没有任何影响的前提下求二者同时发生的概率问题. 2. 独立重复试验 指在同样条件下重复地、各自之间相互独立进行的试验. 在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则在这n次试验中事件A恰好发生k次的概率Pn(X＝k)＝pk(1－p)n－k(k＝0，1，2，…，n)，此时称随机变量X服从二项分布，记作X~B(n，p). 例1　甲、乙、丙3名大学生同时应聘某个用人单位的职位，3人被选中的概率分别为，且各自能否被选中互不影响. (1)求3人同时被选中的概率； (2)求3人中至少有1人被选中的概率. 例2　某射击运动员对一目标连续射击5次，每次击中目标的概率为.求该运动员击中目标2次的概率. 一、填空题 1. 设甲、乙两人独立地射击同一目标，甲击中目标的概率为0.9，乙击中目标的概率为 .现各射击一次，目标被击中的概率为　　　　　(用分数表示).   2. (2021天津卷)甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方获胜，否则本次平局.已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为和，且每次活动中甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影响.则一次活动中，甲获胜的概率为　　　　　；3次活动中，甲至少获胜2次的概率为　　　　　.  3. 某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为，则该队员每次罚球的命中率为　　　　　.   二、选择题 1. 甲、乙两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否加工为一等品相互独立.则这两个零件中恰有一个一等品的概率为(　　) A. B. C. D. 2. 投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试. 已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为(　　) A. 0.648 B. 0.432 C. 0.36 D. 0.312 3. 有一批蚕豆种子，每粒种子发芽的概率为0.9.播下15粒种子，那么恰有14粒种子发芽的概率是(　　) A. 1－0.914 B. 0.914 C. ·0.9·(1－0.9)14 D. ·0.914·(1－0.9) 4. 某人参加一次考试，4道题中答对3道则为及格. 已知他的解题正确率为0.4，则他能及格的概率约是(　　) A. 0.18 B. 0.28 C. 0.37 D. 0.48 5. 某产品的次品率为p，进行重复抽样检查.选取4个样品，其中至少有2件次品的概率 是(　　) A. p2(1－p)2 B. p2(1－p)2＋p3(1－p) C. 1－p(1－p)3 D. 1－(1－p)4－p(1－p)3 6. 设随机变量X~B，则P6(X＝3)等于(　　) A. B. C. D. 7.(2023新高考Ⅱ卷)(多选)在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立.发送0时，收到1的概率为α(0＜α＜1)，收到0的概率为1－α；发送1时，收到0的概率为β(0＜β＜1)，收到1的概率为1－β. 考虑两种传输方案：单次传输和三次传输.单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次.收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码(例如，若依次收到1，0，1，则译码为1).(　　) A.采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1的概率为(1－α)·(1－β)2 B.采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为β(1－β)2 C.采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为β(1－β)2＋(1－β)3 D.当0＜α＜0.5时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率 第二节　n次独立重复试验与二项分布 典例精析 例1　设甲、乙、丙能被选中的事件分别为A，B，C， 则P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝. (1)3人同时被选中的概率 P1＝P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＝××. (2)方法一：直接法.3人中有2人被选中的概率 P2＝P(AB∪AC∪BC)＝××××××. 3人中只有1人被选中的概率 P3＝P(A∪B∪C)＝××××××. 故3人中至少有1人被选中的概率为P1＋P2＋P3＝. 方法二：间接法.3人中至少有一人选中的概率P＝1－P( )＝1－××. 例2　 每次击中目标的概率为，那么击中目标两次的概率为，但这两次不能确定是5次中的哪两次，5次中的任两次都可以，共有种可能.在这种可能的每一种可能里，击不中的次数为3次，概率为.故该运动员击中目标2次的概率为··. 巩固练习 一、填空题 1.　由题意知，目标未被击中的概率为(1－0.9)×，∴目标被击中的概率P＝1－. 2.　　由题可得一次活动中，甲获胜的概率为×；则在3次活动中，甲至少获胜2次的概率为××. 3.　设该运动员一次投球命中率为p，则他两次罚球至多命中一次的概率为－p2＝，∴p＝. 二、选择题 1.B　设事件A：甲实习生加工的零件为一等品， 事件B：乙实习生加工的零件为一等品， 则P(A)＝，P(B)＝， 所以这两个零件中恰有一个一等品的概率为 P(A)＋P(B)＝P(A)P()＋P()P(B)＝ ××. 故选B. 2.A　该同学通过测试的概率为×0.62×(1－0.6)＋×0.63＝0.432＋0.216＝0.648. 故选A. 3.D　所求事件的概率为15次独立重复试验恰有14次发生的概率为P15(14)，∴所求概率P15(14)＝×0.914×(1－0.9).故选D. 4.A　这个人答对3道题或4道题时可以及格，所以他能及格的概率P＝P4(3)＋P4(4)＝×0.43×(1－0.4)＋×0.44＝0.179 2≈0.18.故选A. 5.D　由题意知至少有2件次品的对立事件为没有次品和有一件次品，而没有次品的概率P4(0)＝(1－p)4，有一件次品的概率P4(1)＝p(1－p)3，故至少有2件次品的概率为1－(1－p)4－p(1－p)3，故选D. 6.A　X~B，由二项分布可得，P6(X＝3)＝·. 故选A. 7. ABD　对于A，依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1的事件是发送1接收1、发送0接收0、发送1接收1的3个事件的积，它们相互独立，∴所求概率为(1－β)(1－α)(1－β)＝(1－α)(1－β)2，A正确；对于B，三次传输，发送1，相当于依次发送1，1，1，则依次收到1，0，1的事件，是发送1接收1、发送1接收0、发送1接收1的3个事件的积，它们相互独立，∴所求概率为(1－β)·β·(1－β)＝β(1－β)2，B正确；对于C，三次传输，发送1，则译码为1的事件是依次收到1、1、0，1、0、1，0、1、1和1，1，1的事件和，它们互斥，由选项B知，∴所求的概率为β(1－β)2＋(1－β)3＝(1－β)2(1＋2β)，C错误；对于D，由选项C知，三次传输，发送0，则译码为0的概率P＝(1－α)2(1＋2α)，单次传输发送0，则译码为0的概率P'＝1－α，而0＜α＜0.5，因此P－P'＝(1－α)2(1＋2α)－(1－α)＝α(1－α)(1－2α)＞0，即P＞P'，D正确.故选ABD. 学科网（北京）股份有限公司 $