第4章 第6节 导数计算题中的不等关系恒成立问题-【高考零起点】2026年新高考数学总复习学用Word（艺考）

该高中数学高考复习学案聚焦导数计算题中的不等关系恒成立问题，整合极值求解、单调性分析、参数范围确定等核心考点，通过“原理阐释—典例精析—巩固练习”的层级架构，以问题链引导学生自主推导恒成立与最值的转化逻辑，构建完整的导数应用知识网络。 亮点在于强化数学思维与模型观念的培养，如例2通过分离参数法将单调性问题转化为函数最值求解，巩固练习设置分层任务诊断学习效果。学案设计引导学生自主分析问题、规范推理过程，培养理性精神与应用意识，教师可依托学生练习反馈实施精准指导，提升复习实效。

第六节　导数计算题中的不等关系恒成立问题 如果f(a)≥g(x)恒成立，则f(a)≥g(x)max；如果f(a)≤g(x)恒成立，则f(a)≤g(x)min.将g(x)的最值求出来便得到关于a的不等式，该不等式的解即为参数a的取值范围. 在很多涉及不等关系恒成立的问题中，用上述思路求参数的取值范围是最常用的方法. 例1　设函数f(x)＝2x3＋3ax2＋3bx＋8c在x＝1及x＝2时取得极值. (1)求a，b的值； (2)若对于任意的x∈[0，3]，都有f(x)＜c2成立，求c的取值范围. 例2　 已知函数f(x)＝x2＋4x＋aln x，若函数f(x)在区间(1，2)上是单调函数，则实数a的取值范围是(　　) A.(－6，＋∞) B.(－∞，－16) C.(－∞，－16]∪[－6，＋∞) D.(－∞，－16)∪(－6，＋∞) 1 .已知函数f(x)＝ax4lnx＋bx4－c(x＞0)在x＝1处取得极值－3－c，其中a，b，c为常数. (1)试确定a，b的值； (2)试讨论函数的单调区间； (3)若对任意x＞0，不等式f(x)≥－2c2恒成立，求c的取值范围. 2. 设函数f(x)＝tx2＋2t2x＋t－1(x∈R，t＞0). (1)求f(x)的最小值h(t)； (2)若h(t)＜－2t＋m对t∈(0，2]恒成立，求实数m的取值范围. 第六节　导数计算题中的不等关系恒成立问题 典例精析 例1　(1) f'(x)＝6x2＋6ax＋3b， 因为函数f(x)在x＝1及x＝2处取得极值，故有f'(1)＝0， f'(2)＝0. 即　解得a＝－3，b＝4. (2)由(1)可知，f(x)＝2x3－9x2＋12x＋8c， 依题意，原不等式可转变为2x3－9x2＋12x＜c2－8c在x∈[0，3]上恒成立的问题. 令g(x)＝2x3－9x2＋12x， 由g'(x)＝6x2－18x＋12＝0得x1＝1，x2＝2. 故g(1)＝5，g(2)＝4，又g(0)＝0，g(3)＝9，于是，当x∈[0，3]时g(x)的最大值为g(3)＝9. ∵对于任意的x∈[0，3]，有g(x)＜c2－8c恒成立， ∴只需9＜c2－8c即可，解得c＜－1或c＞9， ∴c的取值范围为(－∞，－1)∪(9，＋∞). 例2　因为f(x)的定义域为(0，＋∞)， f'(x)＝2x＋4＋，f(x)在区间(1，2)上是单调函数，所以f'(x)≥0或f'(x)≤0在(1，2)上恒成立， 即2x2＋4x＋a≥0或2x2＋4x＋a≤0在区间(1，2)上恒成立， 对于恒成立问题，我们常用分离参数的方法处理，对上述两个不等式进行分离参数的处理，可将问题转化为 a≥－(2x2＋4x)或a≤－(2x2＋4x)在区间(1，2)上恒成立. 记g(x)＝－(2x2＋4x)，1＜x＜2，则－16＜g(x)＜－6， 所以a≤－16或a≥－6，故选C. 巩固练习 1.(1)f'(x)＝4ax3ln x＋4bx3＋ax3， 依题意，f'(1)＝0，∴4b＋a＝0. 又f(1)＝b－c＝－3－c，故b＝－3，从而a＝12. (2)由(1)，f(x)＝12x4ln x－3x4－c， f'(x)＝48x3ln x－12x3＋12x3＝48x3ln x， 令48x3ln x＞0，结合x＞0，解得x＞1，所以f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为(0，1). (3)要使12x4ln x－3x4－c≥－2c2恒成立，即使得g(x)＝12x4ln x－3x4≥－2c2＋c恒成立，易知f(x)与g(x)的单调性相同，故g(x)在区间上单调递增，在区间(0，1)上单调递减，∴当x＝1时g(x)取得最小值－3，依题意，－2c2＋c≤－3，解得c≤－1或c≥. 2.(1)原函数为关于x 的二次函数，其最小值h(t)＝＝－t3＋t－1. (2)依题意－t3＋t－1＜－2t＋m对t∈恒成立，即 m＞－t3＋3t－1对t∈恒成立. 令g(t)＝－t3＋3t－1， 则使m大于g(t)在t∈上的最大值即可. 由g'(t)＝－3t2＋3＝0得t＝1，t＝－1(舍去). ∴g(t)在(0，1)上单调递增，在(1，2]上单调递减，g(1)＝1， 于是g(t)在t∈ 上的最大值为1，所以m＞1. 学科网（北京）股份有限公司 $