第4章 第1节 多项式的导数与极值-【高考零起点】2026年新高考数学总复习学用Word（艺考）

该高中数学高考复习学案系统梳理了多项式导数与极值专题，将求导公式、导数几何意义、单调性判断、极值与最值求解等核心考点按“概念-方法-应用”逻辑构建知识体系，通过例题链（如求导、切线方程、单调区间等）引导学生自主推导规律，形成导数应用的完整认知框架。 亮点在于诊断性练习与真题融合设计，开篇设置分层计算题与高考选择题（含2023全国乙卷、2024新高考Ⅰ卷题目），学生可自主检测薄弱点，培养数学思维与模型意识。每个考点配方法指导与错题归因表，助力个性化知识构建，教师能通过学情精准指导，提升复习实效。

第四章　导　　数 第一节　多项式的导数与极值 1.多项式求导公式(以下n∈Q) (1)若f(x)＝c(c为常数)，则f'(x)＝0. (2)若f(x)＝xn，则f'(x)＝nxn－1，当n＝1时，f'(x)＝1. (3)(axn)'＝a(xn)'＝anxn－1(a为常数). (4)(a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn)'＝(a0)'＋(a1x)'＋(a2x2)'＋…＋(anxn)'＝a1＋2a2x＋…＋nanxn－1(ai为常数，其中i＝0，1，2，…，n). 2. 函数y＝f(x)在点(a，f(a))处的导数f'(a)等于该函数图象上过该点切线的斜率. 3. 如果在某区间上有f'(x)＞0，则y＝f(x)在此区间上为增函数；反之，如果在某区间上f'(x)＜0，则y＝f(x)在此区间上为减函数. 4. 函数的极值点和极值的概念 如图所示为函数y＝f(x)的图象，我们把一个光滑函数图象上类似P这样的局部最高点叫做波峰，把类似Q这样的局部最低点叫做波谷.把波峰和波谷的横坐标分别叫做极大值点和极小值点(如图中a为极大值点，b为极小值点)，极大值点和极小值点统称为极值点.其中极大值点对应的函数值f(a)叫做该函数的极大值，极小值点对应的函数值f(b)叫做该函数的极小值，极大值和极小值统称为极值.若x0为函数y＝f(x)的极值点，则一定有f'(x0)＝0. 5. 函数y＝f(x)(x∈R)，方程f'(x)＝0有两个根，且两个根为a，b(a＜b)，如果a，b为该函数的两个极值点，进一步判断二者哪个为极大值点哪个为极小值点的方法如下： (1)解不等式f'(x)＞0，求出函数y＝f(x)的两个递增区间(不失一般性，设为(－∞，a)和(b，＋∞))，则(a，b)为该函数的递减区间. (2)由增函数和减函数的图形特征画出该函数的草图(如图所示)，由图可知，a为该函数的极大值点，b为该函数的极小值点. 6. 求函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上最值的方法 先求出该函数在闭区间[a，b]上的极值，再将所求得的极值与函数在端点处的函数值f(a)， f(b)放在一起，从中选取一个最大值即为所求的最大值，选取一个最小值即为所求的最小值. 注意　极大值不一定是最大值，极小值不一定是最小值. 7. 如果函数y＝ax3＋bx2＋cx＋d (a≠0)存在两个极值点(由y'＝3ax2＋2bx＋c，此时Δ＝4b2－12ac＞0)，则当a＞0时，函数在直角坐标系中的图象形状大致为 x→－¥时，y→－¥；x→＋¥时，y→＋¥ 当a＜0时，函数在直角坐标系中的图象形状大致为 x→－¥时，y→＋¥；x→＋¥时，y→－¥ 8. 求函数y＝f(x)在非闭区间上最值的方法 求出函数的单调区间即可作出判断. 例1　求函数f(x)＝5x4－6x3＋x2－7x＋3的导数. 例2　 求函数f(x)＝2x3＋x2＋1(x＞0)在其图象上点A(1，4)处的切线斜率及此切线的方程. 例3　求函数f(x)＝－x2－3x＋1的单调区间. 例4　 求函数f(x)＝＋2x2＋3x－1的极大值点和极小值点、极大值和极小值并画出函数的草图. 例5　求函数f(x)＝x3－3x在区间[－2，3]上的最大值和最小值. 一、计算题 1. 求下列函数的导函数： (1)f(x)＝x4＋2x3－x2－x－1；　　　 (2)f(x)＝5x3－2x2－4. 2. 求曲线y＝－x3＋3x2在点(1，2)处的切线方程. 3. 求函数f(x)＝x3－2x2＋x＋1的单调区间. 4. 求函数f(x)＝x2＋ax＋1的单调区间. 5. 求函数f(x)＝x3＋6x2－15x＋3的极大值和极小值. 二、选择题 1. 函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，已知f(x)在x＝－3时取得极值，则a＝(　　) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 2. 已知a为函数 f(x)＝x3－12x的极小值点，则a＝(　　) A.－4 B.－2 C. 4 D. 2 3. 若a＞0，b＞0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx在x＝1处有极值，则ab的最大值等于(　　) A. 2 B. 3 C. 6 D. 9 4. 函数f(x)＝x3－3x＋1在闭区间[－3，0]上的最大值、最小值分别是(　　) A. 1，－1 B. 1，－17 C. 3，－17 D. 9，－19 5. (多选)下列函数图象中直线y＝x＋b能作为其切线的有(　　) A. f(x)＝ B. f(x)＝x4 C. f(x)＝sinx D. f(x)＝ex 6.(2023全国乙卷)函数f＝x3＋ax＋2存在3个零点，则a的取值范围是(　　) A. (－¥，－2) B. (－¥，－3) C. (－4，－1) D. (－3，0) 7. (多选)定义在区间上的函数f(x)的导函数f'(x)的图象如图所示，则下列结论正确的是(　　) A. 函数f(x)在区间(0，4)上单调递增 B. 函数f(x)在区间上单调递减 C. 函数f(x)在x＝1处取得极大值 D. 函数f(x)在x＝0处取得极小值 8. (2024新高考Ⅰ卷)(多选)设函数f(x)＝(x－1)2(x－4)，则(　　) A. x＝3是f(x)的极小值点 B. 当0＜x＜1时，f(x)＜f C. 当1＜x＜2时，－4＜f(2x－1)＜0 D. 当－1＜x＜0时，f(2－x)＞f(x) 第四章　导　数 第一节　多项式的导数与极值 典例精析 例1　f'(x)＝(5x4－6x3＋x2－7x＋3)'＝(5x4)'－(6x3)'＋(x2)'－(7x)'＋3'＝20x3－18x2＋2x－7. 例2　f'(x)＝6x2＋2x，将点A的横坐标1代入导函数得f'(1)＝8，所以原函数在点A处的切线斜率为8.由直线的点斜式方程可知此切线方程为y－4＝8(x－1)，整理得 8x－y－4＝0. 例3　f'(x)＝x2－2x－3，由x2－2x－3＞0得x＜－1或x＞3，所以该函数的单调递增区间为(－∞，－1)和(3，＋∞)；单调递减区间为(－1，3). 例4　由f'(x)＝x2＋4x＋3＝0解得x1＝－1，x2＝－3. 令导函数f'(x)＞0得函数的单调递增区间为(－∞，－3)和(－1，＋∞)，于是函数的单调递减区间为(－3，－1).所以x1＝－1为函数的极小值点，x2＝－3为函数的极大值点.故函数的极小值为f(－1)＝－，极大值为f(－3)＝－1.函数草图如图所示. 例5　令f'(x)＝3x2－3＝0得两根x1＝1和x2＝－1，即该函数在[－2，－1)和(1，3]上为增函数，在(－1，1)上为减函数，由f(1)＝－2， f(－1)＝2，f(－2)＝－2，f(3)＝18可得该函数在区间[－2，3]上的最小值为－2，最大值为18. 巩固练习 一、计算题 1. (1)f'(x)＝4x3＋6x2－2x－1　(2)f'(x)＝15x2－4x 2. 3x－y－1＝0 3.递增区间为和，递减区间为 4. f'(x)＝x2－(a＋1)x＋a＝(x－1)(x－a). (1)当a＞1时，递增区间为和，递减区间为； (2)当a＜1时，递增区间为和，递减区间为； (3)当a＝1时，在R上为增函数. 5. 令f'(x)＝3x2＋12x－15＞0，得x2＋4x－5＞0，解得x＜－5或x＞1， 所以f(x)的递增区间为和，递减区间为(－5，1).所以原函数的极小值为f(1)＝－5，极大值为f(－5)＝103. 二、选择题 1.D　f'(x)＝3x2＋2ax＋3，由条件知：f'(－3)＝3×(－3)2＋2a·(－3)＋3＝0，所以a＝5. 2.D　令f'(x)＝3x2－12＝0⇒x1＝－2，x2＝2，于是易知x2＝2为极小值点. ∴a＝2. 3.D　∵a＞0，b＞0，f'(x)＝12x2－2ax－2b，f'(1)＝0，∴a＋b＝6. ∴ab≤9，当且仅当a＝b＝3时等号成立，ab取最大值9. 4.C　由f'(x)＝3x2－3＞0得x＜－1或x＞1，所以函数递增区间为[－3，－1)，递减区间为(－1，0]，于是函数的极大值为f(－1)＝3，在[－3，0]内无极小值，又f(－3)＝－17，f(0)＝1，故函数最大值为3，最小值为－17，故选C. 5.BCD　直线y＝x＋b的斜率为.A项，f'(x)＝－≠，所以A不符合题意；B项，f(x)＝x4，f'(x)＝4x3＝可以成立，符合题意；C项，f(x)＝sinx，f'(x)＝cosx＝可以成立，符合题意；D项，f(x)＝ex，f'(x)＝ex＝可以成立，符合题意.故直线y＝x＋b能作为BCD项函数图象的切线，故选BCD. 6. B　f(x)＝x3＋ax＋2，则f'(x)＝3x2＋a， 若f要存在3个零点，则f要存在极大值和极小值，则a＜0， 令f'(x)＝3x2＋a＝0，解得x＝－或， 根据三次多项式的草图，画出该函数的图象如下： 依题意有， 即 解得a＜－3，故选B. 7.ABD　结合导数与函数单调性的关系可知，当－≤x＜0时，f'(x)＜0，则函数f(x)单调递减，当0≤x≤4时，f'(x)≥0，此时函数f(x)单调递增，故当x＝0时，函数取得极小值，没有极大值，故选ABD. 8.ACD　对A，因为函数f的定义域为R，而f'＝2＝3，易知当x∈时，f'＜0，当x∈或x∈时，f'＞0，函数f在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，故x＝3是函数f的极小值点，正确；对B，当0＜x＜1时，x－x2＝x＞0，所以1＞x＞x2＞0，而由上可知，函数f在上单调递增，所以f＞f，错误；对C，当1＜x＜2时，1＜2x－1＜3，而由上可知，函数f在上单调递减，所以f＞f＞f，即－4＜f＜0，正确；对D，当－1＜x＜0时，f(2－x)－f(x)＝＞0，所以f(2－x)＞f(x)，正确. 学科网（北京）股份有限公司 $