第3章 第11节 基本不等式-【高考零起点】2026年新高考数学总复习学用Word（艺考）

该高中数学高考复习学案系统梳理了基本不等式专题，涵盖定义、变式、“一正二定三相等”条件及配凑法、常数代换法等核心考点，按“概念-条件-方法-应用”层次架构知识，通过例题解析与分层练习引导学生自主构建知识网络。 亮点在于诊断性自测与方法指导结合，如填空题分类型训练配凑法、常数代换法，选择题融入2021全国乙卷真题，培养学生数学思维与模型意识。学生可通过错题定位薄弱环节，教师能依据学情精准指导，助力自主提升与因材施教。

第十一节　基本不等式 1. 不等式a＋b≥2(a＞0，b＞0)叫做基本不等式.该不等式及其变式ab≤在解决实际问题中有广泛的应用，是解决最大(小)值问题的有力工具. 用基本不等式及其变式求最值时要注意以下条件(一正二定三相等)： (1)a，b均为正数； (2)求a＋b的最小值时，ab一定要为常数；求ab的最大值时，a＋b一定要为常数； (3)等号当且仅当a＝b时成立，所以a，b一定要有相等的可能性才能用该不等式来求最值. 2. 配凑法和常数代换法是用基本不等式求最值时常用到的方法. 例1　若x＞0，则2x＋的最小值是(　　) A. 　 B. 　　 C. 　　 D. 例2　 用基本不等式解下列各题. (1)已知a＞2，则a＋的最小值为　　　　；  (2)已知0＜x＜，则函数y＝4x(3－2x)的最大值为　　　　　；  (3)已知x＞0，y＞0，且x＋2y＝1，则的最小值为　　　　　.   一、填空题 1. 若x＞0，则y＝2x＋的最小值为　　　　　，此时x的值是　　　　　.   2. 若x＞1，则y＝x＋的最小值为　　　　　，此时x的值是　　　　　.   3. 已知0＜m＜，则m(1－3m)的最大值为　　　　　，此时m的值是　　　　　.   4. 已知a，b均为正数且a＋2b＝2，则的最小值为　　　　　，此时a＝　　　　　，b＝　　　　　.   二、选择题 1. 下列结论正确的是(　　) A. x＋的最小值为2 B. x2＋的最小值为2 C. 当x≥时，x＋的最小值是4 D. 2x＋2－x的最小值不能确定 2.下列结论正确的是(　　) A. 当x＞0且x≠1时，lg x＋≥2 B. 当x＞0时，≥2 C. 当x≥2时，x＋的最小值为2 D. 当x＞0时，2x＋在x＝时取得最小值 3. (2021全国乙卷)下列函数中最小值为4的是(　　) A. y＝x2＋2x＋4 B. y＝|sin x C. y＝2x＋22－x D. y＝ln x＋ 4. 若lg a＋lg b＝0且a≠b，则的取值范围为(　　) A. [2 ，＋∞) B.(2 ，＋∞) C. [2 ，3)∪(3，＋∞) D.(2 ，3)∪(3，＋∞) 5. 设x＞0，y＞0，且x＋y＝18，则xy的最大值为(　　) A. 80 B. 77 C. 81 D. 82 6. (多选)已知实数x，y满足x＋2y＝1，则可能的值为(　　) A. 0 B. 3 C. 6 D. 9 7. (多选)下列说法不正确的是(　　) A. 若x＞0，y＞0，x＋y＝2，则2x＋2y的最大值为4 B. 若x＜，则函数y＝2x＋的最大值为－1 C. 若x＞0，y＞0，x＋y＋xy＝3，则xy的最小值为1 D. 函数y＝的最小值为4 第十一节　基本不等式 典例精析 例1　由基本不等式，2x＋≥2， 当且仅当2x＝即x＝时等号成立.故选D. 例2　(1)配凑法. ∵ a＞2，∴a－2＞0， a＋＝(a－2)＋＋2≥2＋2＝2＋2，当且仅当a－2＝，即a＝2＋时取等号. a＋的最小值为2＋2. (2)配凑法. ∵ 0＜x＜，∴3－2x＞0，于是y＝4x(3－2x)＝2[2x]≤2，当且仅当2x＝3－2x，即x＝时，等号成立. ∴函数y＝4x(3－2x)的最大值为. (3)常数代换法.∵x＞0，y＞0，且x＋2y＝1，∴＝1＋2＋≥3＋2＝3＋2. 当且仅当且x＋2y＝1，即x＝－1，y＝1－时，取得等号. ∴的最小值为3＋2. 巩固练习 一、填空题 1. 2　　y＝2x＋≥2＝2，当且仅当2x＝，即x＝时取等号. 2. 3　2　y＝x＋＝(x－1)＋＋1≥2＋1＝3，当且仅当x－1＝，即x＝2时取等号. 3. 　　m(1－3m)＝·3m(1－3m)≤·，当且仅当3m＝1－3m，即m＝时取等号. 4. 8　1　　＝2＋＋2≥2＋4＝8，当且仅当，即a＝2b＝1，b＝时取等号. 二、选择题 1.B　A项，需要x＞0才能用基本不等式，取特殊值x＝－1可很快排除；C项，当且仅当x＝，即x＝2时取等号，而2∉，排除C；D项，∵2x＞0，∴2x＋2－x≥2＝2，当且仅当2x＝2－x，即x＝0时取等号， 能确定其最小值.故选B. 2.B　A项，条件并不能使lg x＞0，所以不能用基本不等式求最值(取x＝0.5便知)，故A错误. C项，用基本不等式求最小值需要x＝，即x＝1时取等号，而1不在定义域x≥2内，故C错误. D项，在2x＝，即x＝时取得最小值，故D错误. 3.C　A项，y＝x2＋2x＋4＝(x＋1)2＋3≥3，当且仅当x＝－1时取等号，所以其最小值为3，A不符合题意；B项，y＝|sin x≥2＝4，当且仅当sin x＝2时取等号，而0≤|sin x|≤1，所以其最小值不为4，B不符合题意；C项，因为函数定义域为R，而2x＞0，y＝2x＋22－x＝2x＋≥2＝4，当且仅当2x＝2，即x＝1时取等号，所以其最小值为4，C符合题意；D项，y＝ln x＋，函数定义域为(0，1)∪(1，＋∞)，当0＜x＜1时，ln x＜0，y＝ln x＋＜0，D不符合题意.故选C. 4.A　依题意，ab＝1，＝2b＋a≥2＝2，等号在2b＝a，即a＝，b＝时取得. 5.C　xy≤＝81，当且仅当x＝y＝9时等号成立，故选C. 6.ACD　　对于式子而言， 取x＝－1，y＝1，则＝0，故A符合题意.当x，y为正实数时，＝3＋≥3＋2，显然6＞3＋2，9＞3＋2，故选项C、D符合题意. 因为x，y都不能为零，所以＝3＋≠3，故选项B不符合题意. 故选ACD. 7.AC　A项，x，y＞0，x＋y＝2，则2x＋2y≥2＝4，当且仅当2x＝2y，即x＝y时取等号，即2x＋2y的最小值为4，A说法错误； B项，x＜，则函数y＝2x＋＝－＋1≤－2＋1＝－1，当且仅当1－2x＝，即x＝0时取等号，B说法正确； C项，x，y＞0，x＋y＋xy＝3，则xy＋2≤3，即0＜≤1，即0＜xy≤1，则xy的最大值为1，C说法错误； D项，函数y＝≥2＝4，当且仅当，即x＝±时取等号，D说法正确. 即不正确的是选项A，C. 故选AC. 学科网（北京）股份有限公司 $