第3章 第5节 函数的奇偶性-【高考零起点】2026年新高考数学总复习学用Word（艺考）

该高中数学高考复习学案系统梳理了函数奇偶性专题，以定义、图象特征、性质应用为核心考点，通过“定义辨析-图象特征分析-性质应用”的层次架构，结合例题解析和阶梯式练习，引导学生自主构建从概念到应用的知识网络，体现考点梳理的系统性和逻辑性。 亮点在于诊断性自测与真题导向设计，开篇设置6道奇偶性判断基础题，搭配高考真题改编填空与选择（如2023新高考Ⅱ卷、2022全国乙卷），培养学生数学思维（推理能力）和数学语言（符号意识）。每个模块含方法指导（如奇函数f(0)=0应用）和错题归因空间，帮助学生自主诊断薄弱点，教师可通过学情精准指导，实现个性化复习提升。

第五节　函数的奇偶性 函数奇偶性的定义和图象特征 类别 定　义 图象特征 备注 奇函数 如对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数 关于 原点对称 (1)如果一个奇函数f(x)在原点有定义，则有f(0)＝0 (2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性. 偶函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数 关于 y轴对称 例1　判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝；　　　　　　　 (2)f(x)＝x3＋； (3)f(x)＝5x＋3；　　 (4)y＝x2，x∈[－1，2]. 例2　已知函数f(x)＝x＋－1，f(a)＝2，则f(－a)＝　　　　　.   一、判断下列函数的奇偶性 1. f(x)＝x4.　　　 　　　　　 2. f(x)＝x5.　　 3. f(x)＝x＋. 4. f(x)＝x－2＋x4.　 　　　　　 5. f(x)＝x4＋x. 6. f(x)＝. 二、填空题 1. 若函数f(x)＝是奇函数，那么实数a＝　　　　　　.   2. 设函数f(x)＝为奇函数，则a＝　　　　　.   3.(2023新高考Ⅱ卷改编)若fln为偶函数，则a＝　　　　.  4. 已知f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－1，2a]，则a＋b＝　　　　　.  5. 设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x)＝2x2－x，则f(1)＝　　　 .   6. 已知f(x)＝x3－＋2，f(m)＝1，则f(－m)＝　　　　　.  7. (2022全国乙卷)若f＝ln＋b是奇函数，则a＝　　　　，b＝　　　　.  三、选择题 1.(2020全国Ⅱ卷)设函数f(x)＝x3－，则f(x)(　　) A. 是奇函数，且在(0，＋∞)上单调递增 B. 是奇函数，且在(0，＋∞)上单调递减 C. 是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增 D. 是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减 2. 设f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x＋2x＋b(b为常数).则f(－1)等于(　　) A. －3　　 B. －1 C. 1 D. 3 3. (2021全国乙卷)设函数f(x)＝，则下列函数中为奇函数的是(　　) A. f(x－1)－1　 B. f(x－1)＋1 C. f(x＋1)－1　 D. f(x＋1)＋1 4. 已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(－1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝4，则g(1)等于(　　) A. 4　　 B. 3　 C. 2 D. 1 5. 已知函数f(x)为奇函数，且当x＞0时，f(x)＝x2＋，则f(－1)＝(　　) A. 2　　　 B. 1　 C. 0　 D. －2 6. (多选)关于函数f(x)＝－x的下列说法正确的是(　　) A. 该函数是减函数 B. 该函数图象关于原点对称 C. 该函数图象一定不过原点 D. 该函数不是单调函数 7. (多选)对于函数f(x)＝xx，下列说法正确的是(　　) A. 该函数为增函数 B. 该函数为减函数 C. 该函数为奇函数 D. 该函数为偶函数 8. (2024全国甲卷)函数f(x)＝－x2＋(ex－e－x)sin x在区间[－2.8，2.8]的图象大致为(　　) A. B. C. D. 第五节　函数的奇偶性 典例精析 例1　(1)显然，函数的定义域为{x≠0}，∴定义域关于原点对称，又f(－x)＝＝f(x)，∴该函数为偶函数. (2)函数的定义域为{x≠0}，该定义域关于原点对称，又f(－x)＝(－x)3＋＝－x3－＝－＝－f(x)，∴该函数为奇函数. (3)函数的定义域为R，关于原点对称，f(－x)＝－5x＋3， 如果f(－x)＝f(x)，则－5x＋3＝5x＋3，x＝0.……① 如果f(－x)＝－f(x)，则－5x＋3＝－(5x＋3)，x无解.……② 在①中，由于f(－x)＝f(x)仅在x＝0时成立，而不是对于任意x恒成立，∴该函数不是偶函数；在②中也易见该函数不是奇函数，∴该函数为非奇非偶函数. (4) 显然，函数的定义域关于原点不对称，∴该函数为非奇非偶函数. 例2　由已知得f(a)＝a＋－1＝2，即a＋＝3，所以f(－a)＝－a－－1＝－－1＝－3－1＝－4. 巩固练习 一、判断下列函数的奇偶性 1.偶函数　f(－x)＝(－x)4＝x4＝f(x)，又定义域关于原点对称，故为偶函数. 2. 奇函数　f(－x)＝(－x)5＝－x5＝－f(x)，又定义域关于原点对称，故为奇函数. 3. 奇函数　f(－x)＝(－x)＋＝－x－＝－＝－f(x)，又定义域关于原点对称，故为奇函数. 4. 偶函数　函数的定义域为{xx≠0}，关于原点对称，又∵f(－x)＝(－x＋(－x)4＝＋x4＝f(x)，故为偶函数. 5. 非奇非偶函数　函数的定义域为全体实数，关于原点对称. f(－x)＝(－x)4－x，如果f(－x)＝f(x)，则需要x＝0；如果f(－x)＝－f(x)，则仍需x＝0. 也就是说只有在x＝0这个点处才满足f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)，而不是对于定义域中的任意x都成立，∴该函数为非奇非偶函数. 6. 奇函数　f(－x)＝＝－＝－f(x)，又定义域关于原点对称，故为奇函数. 二、填空题 1.1　∵f(x)为奇函数，故取x＝0，0＝f(0)＝⇒a＝1. 2. －1　∵x≠0，∴只能另选特殊值. f(－1)＝－f(1)⇒0＝－2(1＋a)，∴a＝－1. 3.0　∵f(x)为偶函数，则f(1)＝f(－1)， ∴(1＋a)ln＝(－1＋a)ln 3，解得a＝0. 4.　∵f(x)为偶函数，∴－＝0，即b＝0；又定义域关于原点对称，即(a－1)＋2a＝0⇒a＝. 则a＋b＝. 5. －3　f(1)＝－f(－1)＝－(2＋1)＝－3. 6. 3　设g(x)＝x3－，显然g(x)为奇函数，由题意有g(m)＝－1，于是g(－m)＝－g(m)＝1，∴f(－m)＝g(－m)＋2＝3. 7.∵函数f＝ln＋b为奇函数，∴其定义域关于原点对称. 由a＋≠0可得，≠0，∴x≠＝－1，解得a＝－，即函数的定义域为∪∪，再由f＝0可得，b＝ln 2.即f＝ln＋ln 2＝ln，在定义域内满足f＝－f，符合题意. 故答案为－；ln 2. 三、选择题 1.A　易得f(－x)＝－f(x)且定义域关于原点对称，∴f(x)奇函数，又当x在(0，＋∞)上增加时f(x)增加，所以在(0，＋∞)上单调递增. 2.A　由于f(x)为定义在R上的奇函数，则有0＝f(0)＝20＋2×0＋b⇒b＝－1. ∴f(－1)＝－f(1)＝－(21＋2×1－1)＝－3. 3.B　由题意可得f(x)＝＝－1＋，对于A，f(x－1)－1＝－2不是奇函数；对于B，f(x－1)＋1＝是奇函数；对于C，f(x＋1)－1＝－2，定义域不关于原点对称，不是奇函数；对于D，f(x＋1)＋1＝，定义域不关于原点对称，不是奇函数.故选B. 4.B　∵f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，条件f(－1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝4可化为－f(1)＋g(1)＝2且f(1)＋g(1)＝4，两式相加得g(1)＝3. 故选B. 5.D　∵f(－x)＝－f(x)，∴f(－1)＝－f(1)＝－＝－2，故选D. 6.BCD　在(0，＋∞)和(－∞，0)内，x增大时，f(x)均减小，函数为减函数，但f(x)在R上不是减函数，如f(－1)＝f(1)＝0，故A错误，D正确；由f(－x)＝－f(x)知该函数为奇函数，图象关于原点对称，B正确；因为x≠0，C正确. 7.AC　依题意得f(x)＝画出此分段函数的大致图象，易知该函数为增函数，又由f(－x)＝－f(x)知该函数为奇函数. 8.B　f(－x)＝－x2＋(e－x－ex)sin(－x)＝－x2＋(ex－e－x)·sin x＝f(x)，又函数定义域为[－2.8，2.8]，故该函数为偶函数，可排除A，C，又f(1)＝－1＋·sin 1＞－1＋sin－1－＞0，故可排除D. 学科网（北京）股份有限公司 $