第3章 第4节 函数的单调性-【高考零起点】2026年新高考数学总复习学用Word（艺考）

该高中数学高考复习学案系统梳理了函数单调性的核心考点，涵盖单调函数的概念、性质、单调区间及值域求解，通过从解析式与图象双视角分析概念，结合性质推导与实例应用构建知识体系，以问题链和任务驱动引导学生自主归纳增（减）函数的判定方法，形成从定义理解到应用的完整认知框架。 亮点在于诊断性自测与分层训练设计，开篇设置4道基础填空题和5道选择诊断题，学生通过错题定位薄弱环节，每个例题配备“草图分析”与“性质应用”双解法，培养学生的几何直观与逻辑推理素养，配套“单调性判定步骤”流程图和错题归因表，帮助学生建立个性化解题策略，教师可依据练习反馈精准指导，提升备考实效。

第四节　函数的单调性 　　1. 单调函数的概念 (1)从解析式分析，在函数y＝f(x)的定义域的某个区间上，如果y随x的增大而增大，则此函数在该区间上为增函数；如果y随x的增大而减小，则此函数在该区间上为减函数. (2)从图象分析，从左往右看，如果在函数f(x)的定义域的某个区间上函数图象是上升的，则此函数在该区间上是增函数；如果函数图象是下降的，则此函数在该区间上是减函数. 2. 增减函数的单调性 增函数和减函数统称单调函数. 3. 增减函数的性质 由定义不难得到，如果函数f(x)在某个区间上为增函数，则对于该区间上的任意x1，x2，x1＞x2⇔f(x1)＞f(x2)；如果函数f(x)在某个区间上为减函数，则对于该区间内的任意x1，x2，x1＞x2⇔f(x1)＜f(x2). 4. 单调区间的概念 单调区间包括单调递增区间和单调递减区间. 如果某个函数在定义域的某个区间上是单调增函数，就说该区间是该函数的一个单调递增区间；同样，如果某个函数在定义域的某个区间上是单调减函数，则该区间是该函数的一个单调递减区间.如上图所示是某函数的图象，则该函数的单调递增区间有(－∞，a]，[b，c]；单调递减区间有(a，b)，(c，＋∞). 5. 单调函数的值域 如果能确定一个函数是单调函数，则可以把定义域的端点代进去求值域，使问题简化. 如果一个函数不是单调函数，则不能用代定义域端点的方法来求值域. 例1　 求一元二次函数y＝x2－4x＋1的单调区间. 例2　 已知函数y＝x2＋bx＋c在区间(－∞，1)上是减函数，求b的取值范围. 例3　 求函数f(x)＝(x≥2)的最大值. 一、填空题 1. 若函数y＝(2m－1)x＋b在R上是减函数，则m的取值范围是　　　　　.  2. 函数f(x)＝－x2－2x的单调递增区间为　　　　　.  3. 函数y＝2x2＋ax－1在区间(0，4)上是单调递增的，则a的取值范围是　　　　　 .  4. 已知f(x)是定义在R上的减函数，且满足f(2＋a)＞f(2－a)，则a的取值范围是　　　　　.  二、选择题 1. 函数y＝3x－2x2＋1的单调递增区间是(　　) A. B. C. D. 2. 函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上是减函数，那么实数a的取值范围是(　　) A. a≥－3 B. a≤－3 C. a≥3 D. a≤5 3. 函数f(x)在R上单调递减，且f(m2)＜f(－m)，则m的取值范围是(　　) A. (－∞，－1)　 B. (0，＋∞) C. (－1，0) D. (－∞，－1)∪(0，＋∞) 4. 函数f(x)＝x－2x的单调递减区间是(　　) A. [1，2] B. [－1，0] C. [0，2] D. [2，＋∞) 5. (多选) 对于函数f(x)＝下列说法正确的是(　　) A. 该函数的最大值为2 B. 该函数的单调递增区间为 C. 该函数的单调递减区间为 D. 该函数不是单调函数 三、用函数单调性的有关知识求下列函数的值域 1. y＝＋x.　　　　 2. y＝2x－. 3. y＝3＋5x－ (x≥2). 第四节　函数的单调性 典例精析 例1　画出该函数的草图，如图所示，由草图易知，该函数的单调递增区间为[2，＋∞)，单调递减区间为(－∞，2). 例2　画出该函数的草图，如图所示，要满足题设条件，只需使－在x轴上的位置位于1的右边即可(可以重合)，即－≥1，解得b≤－2. 例3　显然，当x≥2时，x增大，和的值均减小，故其和亦减小，于是原函数为减函数. ∴函数的最大值为f(2)＝＝1. 巩固练习 一、填空题 1.　依题意，2m－1＜0，m＜. 2.(－∞，－1]　根据对称轴公式可得对称轴为x＝－＝－1，且a＜0，开口向下，∴对称轴左边为递增区间. 3.[0，＋∞)　根据对称轴公式可得对称轴为x＝－，∵该函数在区间(0，4)上是递增的，∴－≤0，a≥0，∴a的取值范围为[0，＋∞). 4.(－∞，0)　∵f(x)是定义在R上的减函数且f(2＋a)＞f(2－a)，∴2＋a＜2－a，∴a＜0. 所以a的取值范围为(－∞，0). 二、选择题 1.A　a＜0，开口向下，对称轴左边为单调递增区间，该函数的对称轴为x＝，∴该函数的单调递增区间为. 2.B　∵该函数在区间(－∞，4]上是减函数，且对称轴为x＝－a＋1，∴－a＋1≥4，a≤－3，∴a的取值范围为a≤－3. 3.D　∵y＝f(x)在R上单调递减，且f(m2)＜f(－m)，∴m2＞－m，即m＞0或m＜－1，故选D. 4.A　由于f(x)＝x－2x＝结合图象可知函数的单调递减区间是[1，2]. 故选A. 5.ACD　 画出分段函数的草图. 三、用函数单调性的有关知识求下列函数的值域 1.　对于，x增大，其值增大，x也是如此. 因此对于整个函数，y随x的增大而增大，故该函数为增函数. 又x≥，故其值域为. 2.(－∞，2]　对于，其值随x的增大而减小；而对于2x来说，其值随x的增大而增大. 故对于整个函数，y随x的增大而增大，该函数为增函数. 又x≤1，∴该函数的值域为(－∞，2]. 3.[12，＋∞)　当x≥2时，在y＝中，y随x的增大而减小；即在y＝－中，y随x的增大而增大，在y＝5x中，y随x的增大而增大. 故对于整个函数，y随x的增大而增大，该函数为增函数，∴值域为[12，＋∞). 学科网（北京）股份有限公司 $