精品解析：江西上犹中学等校2025-2026学年下学期高二年级数学学科综合检测（一）

2025-2026学年下学期上犹中学高二年级数学学科综合检测（一） 试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 一、单选题.本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求. 1. 1和4的等比中项是（   ） A. 2 B. 16 C. D. 2. 数列，，，，……一个通项公式为（    ） A. B. C. D. 3. 在等差数列中， ，则的公差为（   ） A -3 B. C. 3 D. 4. 某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x（单位：°C）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据得到下面的散点图： 由此散点图，在10°C至40°C之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知等差数列的公差为，集合，若，则（    ） A. B. C. 0 D. 6. 记等比数列的前项和为，若，且，则正整数的值为（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 7. 已知数列满足，则＝（ ） A. B. C. D. 8. 若，数列满足，则值是（    ） A. B. C. D. 二、多选题.本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知数列的通项公式为，则下列说法正确的是（     ） A. 使的项共有项 B. 数列是递减数列 C. 数列有最小项，且有最大项 D. 满足的的值共有2个 10. 市物价部门对5家商场的某商品一天的线上销售量及其价格进行调查，5家商场的售价x（元）和销售量y（件）之间的一组数据如表所示： 价格x 9 9.5 10 10.5 11 销售量y 11 10 8 6 5 按公式计算，y与x的回归直线方程是：，相关系数，则下列说法正确的是（ ） A. B. 变量x，y线性负相关且相关性较强 C. 相应于点的残差约为 D. 当时，y的估计值为14.4 11. 已知数列，给出以下定义：对于任意的，都有，则称数列为“友好数列”；特别地，对于任意的，都有，则称数列为“超越友好数列”，下列说法正确的是（ ） A. 若数列满足，且前n项和为，则数列为“友好数列” B. 若数列满足，，且数列为“超越友好数列”，则 C. 若数列为“超越友好数列”，且，则数列没有最小项 D. 若数列为“友好数列”，则对于任意的，当时，总有成立 三、填空题.本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知等差数列的前项和为，若，则______． 13. 针对“中学生追星问题”，某校团委对“学生性别和中学生追星是否有关”作了一次调查，其中女生人数是男生人数的，男生追星的人数占男生人数的，女生追星的人数占女生人数的，若根据小概率值的独立性检验，判断中学生追星与性别有关，则男生至少有______人. 参考数据及公式：，其中. 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 14. 已知数列的前n项和为，且，若对任意的，等式恒成立，则＝______． 四、解答题.本题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 记为等差数列的前项和，已知． （1）求的通项公式； （2）求数列的前项和． 16. 为了调查学生喜欢跑步是否与性别有关，高三年级特选取了200名学生进行了问卷调查，得到如下的列联表： 喜欢跑步 不喜欢跑步 合计 男生 80 女生 20 合计 已知在这200名学生中随机抽取1人抽到喜欢跑步的概率为0.6． （1）判断：是否有90%把握认为喜欢跑步与性别有关？ （2）从上述不喜欢跑步的学生中用分层抽样的方法抽取8名学生，再在这8人中抽取3人调查其喜欢的运动，用X表示3人中女生的人数，求X的分布及数学期望． 17. 为促进消费，助力经济发展，某市持续开展了共8期政府消费券发放活动，记第期活动发放的消费券总额为百万元，带动的消费为百万元，根据这8期活动的数据，可得，，且和的样本方差分别为，，用最小二乘法得到关于的线性回归方程为. （1）若下一期活动政府计划发放10.8百万元消费券，预计可以带动多少消费； （2）求相关系数.（结果保留2位小数） （附参考数据及公式：.相关系数，线性回归方程中，，.） 18. 已知是首项为0的等差数列，记为的前项和，是等比数列. （1）求的通项公式； （2）求数列的前项积； （3）记，求数列的前20项和． 19. 已知数列满足． （1）证明：数列是等比数列，并求； （2）设，求数列的前项和； （3）设，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年下学期上犹中学高二年级数学学科综合检测（一） 试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 一、单选题.本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求. 1. 1和4的等比中项是（   ） A. 2 B. 16 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据等比中项的定义求得正确答案. 【详解】设1和4的等比中项是，则，所以. 2. 数列，，，，……的一个通项公式为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】对于A，的第一项为，不符合题意，故A错误； 对于B，的前两项依次为，不符合题意，故B错误； 对于C，即为，对应的余弦值为，符合题意，故C正确； 对于D，的第一项为，不符合题意，故D错误； 3. 在等差数列中， ，则的公差为（   ） A. -3 B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用等差数列通项公式列式运算得解. 【详解】设等差数列的公差为，由，得， 所以. 故选：B 4. 某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x（单位：°C）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据得到下面的散点图： 由此散点图，在10°C至40°C之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据散点图的分布可选择合适的函数模型. 【详解】由散点图分布可知，散点图分布在一个对数函数的图象附近， 因此，最适合作为发芽率和温度的回归方程类型的是. 故选：D. 【点睛】本题考查函数模型的选择，主要观察散点图的分布，属于基础题. 5. 已知等差数列的公差为，集合，若，则（    ） A. B. C. 0 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定的等差数列，写出通项公式，再结合余弦型函数的周期及集合只有两个元素分析、推理作答. 【详解】依题意，等差数列中，， 显然函数周期为4，而，即最多4个不同取值， 又，则在中，不妨令且， 于是有且，即有，解得， 所以. 6. 记等比数列的前项和为，若，且，则正整数的值为（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】设等比数列的公比为，根据题意，利用等比数列的求和公式，化简求得，再由等比数列的通项公式，化简求得，进而求得的值. 【详解】设等比数列的公比为， 当时，可得，则 因为，所以，所以，此时， 又因为，可得， 所以，即， 令，可得，解得或（舍去），所以， 法一：由，提取公因式，可得， 因为，代入化简得，即，所以，解得； 法二：由等比数列的通项公式，可得， 因为，可得，即， 则，即， 因为，所以，可得，所以. 7. 已知数列满足，则＝（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先利用累加法求通项公式，再利用裂项相消法求和. 【详解】， ，，，……，，， 这个式子相加得，， 得，，当时，，成立， 所以，， . 8. 若，数列满足，则的值是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】应用正弦函数诱导公式化简并应用分组求和计算，再应用等差数列求和公式计算求解. 【详解】，， 则. 因为 ; 令，得； ；； 故 又. 故 二、多选题.本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知数列的通项公式为，则下列说法正确的是（     ） A. 使的项共有项 B. 数列是递减数列 C. 数列有最小项，且有最大项 D. 满足的的值共有2个 【答案】AC 【解析】 【分析】利用9的约数求解判断A；确定数列单调性判断BC；利用相邻3项中负数项的个数判断D. 【详解】对于A，由，则是9的约数，又，因此或或或或， 使的项共有项，A正确； 对于BC，，由，得， 解得，又，则当时，，当或时，， 令，解得，因此，， 即数列有最小项，且有最大项，B错误，C正确； 对于D，要使，又，则中恰有个负数或恰有个负数， 因此或或，即满足的的值共有个，D错误. 10. 市物价部门对5家商场的某商品一天的线上销售量及其价格进行调查，5家商场的售价x（元）和销售量y（件）之间的一组数据如表所示： 价格x 9 9.5 10 10.5 11 销售量y 11 10 8 6 5 按公式计算，y与x的回归直线方程是：，相关系数，则下列说法正确的是（ ） A. B. 变量x，y线性负相关且相关性较强 C. 相应于点的残差约为 D. 当时，y的估计值为14.4 【答案】BD 【解析】 【分析】A选项，计算出样本中心点，代入回归直线方程得；B选项，随着的增大而减小，又，B正确；C选项，当时，，从而计算出残差约为0.4；D选项，代入，得到答案. 【详解】A选项，，， 将代入回归直线方程得，，解得，A错误； B选项，从表可以看出，随着的增大而减小，又，接近于1， 所以变量x，y线性负相关且相关性较强，B正确； C选项，回归直线方程为，当时，， ，故相应于点的残差约为0.4，C错误； D选项，当时，y的估计值为，D正确. 故选：BD 11. 已知数列，给出以下定义：对于任意的，都有，则称数列为“友好数列”；特别地，对于任意的，都有，则称数列为“超越友好数列”，下列说法正确的是（ ） A. 若数列满足，且前n项和为，则数列为“友好数列” B. 若数列满足，，且数列为“超越友好数列”，则 C. 若数列为“超越友好数列”，且，则数列没有最小项 D. 若数列为“友好数列”，则对于任意的，当时，总有成立 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，判断数列为“友好数列”，满足即可；对于BC选项，关键是利用题设得到，再结合条件求解判断即可；对于D，关键是利用题设得到，再利用累加法，结合放缩法进行判断即可. 【详解】对于A，由，则， 对于任意的，都有， 故，所以数列是“友好数列”，故A正确； 对于B，因为数列为“超越友好数列”， 所以对于任意的，都有，即， 又，，则，即， 所以，故B正确； 对于C，因为数列为“超越友好数列”，， 所以对于任意的，都有，即， 设，则数列为单调递增数列，且， 所以， 因为，所以， 所以存在，时，，， 当时，，数列为递减数列； 当时，，数列为递增数列. 因此，数列存在最小项为，故C错误； 对于D，因为为“友好数列”， 所以对任意的，都有，即， 所以对于任意的，当时， 总有， 所以. 又， 所以. 由于，故，故D正确. 三、填空题.本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知等差数列的前项和为，若，则______． 【答案】27 【解析】 【详解】依题意，. 13. 针对“中学生追星问题”，某校团委对“学生性别和中学生追星是否有关”作了一次调查，其中女生人数是男生人数的，男生追星的人数占男生人数的，女生追星的人数占女生人数的，若根据小概率值的独立性检验，判断中学生追星与性别有关，则男生至少有______人. 参考数据及公式：，其中. 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】48 【解析】 【分析】设男生人数为，依题意可得列联表；根据表格中的数据，代入卡方公式，同临界值进行比较，列不等式即可得出结论. 【详解】设男生人数为，依题意可得列联表为 追星 不追星 总计 男生 女生 总计 根据小概率值的独立性检验，判断中学生追星与性别有关，则， 即，解得. 由题意知，应为6的整数倍，所以若根据小概率值的独立性检验， 判断中学生追星与性别有关，则男生至少有48人. 14. 已知数列的前n项和为，且，若对任意的，等式恒成立，则＝______． 【答案】 【解析】 【分析】根据的关系式可求得数列是首项为公差为2的等差数列，求出的表达式，再由恒成立条件可求得当，时满足题意. 【详解】由，当时得 两式相减可得 又不恒为0，可得，所以数列是首项为公差为2的等差数列， 所以, 所以， 因为对任意的，等式恒成立，即恒成立, 所以，且，解得，； 可得, 故答案为：. 四、解答题.本题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 记为等差数列的前项和，已知． （1）求的通项公式； （2）求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意列出关于与的方程组，计算即可求解； （2）先求，讨论的符号去绝对值，再结合运算求解. 【小问1详解】 设等差数列的首项为，公差为， 由题意可得，解得， 所以 ； 【小问2详解】 因为， 令，解得，且， 当时，则，可得； 当时，则，可得 ； 综上所述：. 16. 为了调查学生喜欢跑步是否与性别有关，高三年级特选取了200名学生进行了问卷调查，得到如下的列联表： 喜欢跑步 不喜欢跑步 合计 男生 80 女生 20 合计 已知在这200名学生中随机抽取1人抽到喜欢跑步的概率为0.6． （1）判断：是否有90%的把握认为喜欢跑步与性别有关？ （2）从上述不喜欢跑步的学生中用分层抽样的方法抽取8名学生，再在这8人中抽取3人调查其喜欢的运动，用X表示3人中女生的人数，求X的分布及数学期望． 【答案】（1）没有90%的把握； （2）分布见解析，数学期望. 【解析】 【分析】（1）根据独立性检验进行判断； （2）根据分层抽样计算出男女生人数，结合服从超几何分布计算概率写出分布列，最后计算数学期望； 【小问1详解】 由题可知，从200名学生中随机抽取1人抽到喜欢跑步的概率为0.6， 故喜欢跑步的人有（人），不喜欢跑步的人有（人）． 喜欢跑步 不喜欢跑步 合计 男生 80 60 140 女生 40 20 60 合计 120 80 200 ∴，，，， ， 故无90%把握认为喜欢跑步与性别有关． 【小问2详解】 按分层抽样，设女生名，男生名，，解得，，∴从不喜欢跑步的学生中抽取女生2名，男生6名，故，1，2． ，，， 可检验：， 故X的分布为： 0 1 2 ∴． 17. 为促进消费，助力经济发展，某市持续开展了共8期政府消费券发放活动，记第期活动发放的消费券总额为百万元，带动的消费为百万元，根据这8期活动的数据，可得，，且和的样本方差分别为，，用最小二乘法得到关于的线性回归方程为. （1）若下一期活动政府计划发放10.8百万元的消费券，预计可以带动多少消费； （2）求相关系数.（结果保留2位小数） （附参考数据及公式：.相关系数，线性回归方程中，，.） 【答案】（1）百万元 （2） 【解析】 【分析】（1）求得，，得到样本中心，进而求出回归方程，将代入即可求出预测值. （2）根据样本方差求出，，结合线性回归方程求出，代入相关系数公式求解即可. 【小问1详解】 由，，可得，， 所以数据的样本中心为. 代入回归方程，可得，解得. 所以回归直线方程为. 当时，可得百万元， 故预计可以带动消费百万元. 【小问2详解】 解：由，， 可得，， 又由，可得， 解得， 所以. 18. 已知是首项为0等差数列，记为的前项和，是等比数列. （1）求的通项公式； （2）求数列的前项积； （3）记，求数列的前20项和． 【答案】（1） （2） （3）3120 【解析】 【小问1详解】 是首项为0的等差数列，，，， 又是等比数列，， ，即 ，，即 ，解得， 是等差数列， 当时，, ，即为定值， 数列为首项，公比的等比数列 的通项公式为. 【小问2详解】 ， 【小问3详解】 ， ， ，时， 即是首项为1，公差为4的等差数列， 令， 则 记的前n项和为， ， 数列的前20项和为3120． 19. 已知数列满足． （1）证明：数列是等比数列，并求； （2）设，求数列的前项和； （3）设，证明：． 【答案】（1）证明见解析， （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）可化为，利用等比数列的定义即可证明，利用等比数列的通项公式即可求出； （2）利用错位相减法即可求出答案； （3）由题意知，先证明当时、当时，不等式成立，当时，，利用等比数列前项和公式求和即可证明 【小问1详解】 因为，所以， 将上式变形为， 又因为，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列， 所以，所以. 【小问2详解】 由（1）知，所以， 所以 ①， ②， ①-②得 ， 所以. 【小问3详解】 由题知，当时，； 当时，； 当时，， 所以 综上，得证 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $