专题05二元一次方程组应用期中复习讲义(13大题型+题型突破)2025-2026学年苏科版七年级数学下册

专题05二元一次方程组应用期中复习讲义 知识核心(必掌握) 能力提升(必突破) 应试要求(必达标) 1.牢记“审、设、列、解、检、答”六大解题步骤，明确检验的实际意义 2.掌握7大常见题型（和差倍分、数字、配套等）的核心数量关系 3.灵活运用直接/间接设元，熟练掌握代入、加减消元法求解 1.快速审题：提取关键信息，精准挖掘两个等量关系 2.建模能力：将实际问题转化为二元一次方程组模型 3.灵活解题：匹配题型规律，规范书写，养成检验习惯 1.基础题：稳准快作答，零失误丢分 2.中档题：突破图表、复杂文字题，精准提炼等量关系 3.稍难题：掌握间接设元技巧，突破综合题型，规范步骤不丢分 题型01.行程问题(难点+重点) 题型02.销售利润问题(重点高频) 题型03.工程问题(常考点高频) 题型04.和差倍分问题(基础高频) 题型05.方案选择问题(重点) 题型06.列二元一次方程组(实际/几何类) 题型07.分配问题(常考点) 题型08.数字问题(常考点) 题型09.古代问题(常考点) 题型10.图表信息问题 题型11.年龄问题 题型12.几何问题 题型13.其他实际应用问题 核心心法：把未知变已知，用两个方程锁定两个量，搞定所有实际问题！ 知识点01.解题六步秘籍｜万能通关流程 1.审：圈画已知量、未知量，挖出两个等量关系（题眼！缺一个列不出方程组） 2.设：直接设（求啥设啥）或间接设（复杂题设中间量），必写单位 3.列：把等量关系转化为代数式，组成二元一次方程组（设几个未知数列几个方程） 4.解：用代入消元 / 加减消元法解方程组，算出未知数的值 5.验：双重检验！①是否是方程组的解 ②是否符合实际意义（人数、长度不能为负） 6.答：完整写答案，带上单位，别漏答！ 小口诀：审设列解验答，六步走天下；等量找两个，解题不翻车！ 知识点02.八大高频题型｜大招速解（附核心等量关系） 记牢各题型专属等量关系，直接套公式解题！ 和差倍分问题 （基础必考题） 关键词：和、差、倍、分、多、少、增加、减少 核心关系：找准 “比、是、等于” 前后的量，直接列等式 举例：甲的数量+乙的数量=总数；甲的数量=2×乙的数量 + 3 数字问题 （技巧性型） 核心公式：两位数 = 10× 十位数字 + 个位数字；三位数 = 100× 百位 + 10× 十位 + 个位 关键：数字位置互换后，新数的表示要准确，注意 “最高位数字不为 0” 配套问题 （易错题） 关键词：配套、按比例分配 核心关系：配套的两种物品数量比 =配套比例（如 1 个螺栓配 2 个螺母，则螺栓数 ×2 = 螺母数） 销售利润问题 （高频应题） 核心公式：总价 = 单价 × 数量；利润 = 售价 - 进价； 折后价 = 标价 × 折扣（如 8 折 = 0.8） 关键：分清 “进价、标价、售价”，别混淆量的关系 行程问题 （重难点） 基础公式：路程 = 速度 × 时间 细分模型： ✅ 相遇问题：甲路程 + 乙路程 = 总路程 ✅ 追及问题：快者路程 - 慢者路程 = 路程差 ✅ 顺逆问题：顺速=静速+水 / 风速；逆速=静速 - 水 / 风速 年龄问题 （超简单） 黄金规律：两人的年龄差永远不变（核心等量关系，直接用） 关键：几年后 / 前的年龄，两人同时加 / 减相同的数 工程问题 （拓展题） 核心公式：工作量 = 工作效率 × 工作时间；总工作量 = 各部分工作量之和（通常设为 1） 关键：分清 “单独做、合作做”，效率可以直接相加 方案选择问题 （高频题） 关键词：两种/多种方案、最省钱、最划算、最优方案； 核心思路：① 设未知数，根据不同方案的收费/分配规则，列出对应的方程组（或代数式）；② 求解每种方案的结果（如总费用、总数量）；③ 对比所有方案的结果，结合实际意义选出最优方案（通常是最省钱、最高效的）； 知识点03.三大找等量关系技巧｜题眼速挖 找不到等量关系？用这 3 招，再复杂的题也能快速突破！ 1.抓关键词：圈出 “和、差、倍、分、等于、共、比… 多 / 少”，这些词前后就是等量关系 2.用公式套：行程、销售、工程、数字都有固定公式，直接代入题中量 3.画图解惑：复杂行程、分配问题，画线段图 / 表格，把量标出来，等量关系一眼可见 知识点04.避坑指南｜避开失分重灾区 这些错误 90% 的同学都会犯，看完直接绕开！ 1.单位不统一：如路程单位千米 / 米、钱数元 / 角，先统一单位再列方程 2.漏写检验：求出解后不验证实际意义，如人数算出小数，直接失分 3.设 / 答漏单位：设未知数、写答案时，单位一定要跟上（如设 x 千克，不是设 x） 4.等量关系找错：配套问题比例搞反、行程问题顺逆速度弄混，审题要仔细 5.方程组列错：代数式表示错误，如 “x 的 2 倍与 y 的和” 写成 2 (x+y)，注意运算顺序 题型01.行程问题(难点+重点) 【典例】我国古典文学名著《西游记》讲述了孙悟空、猪八戒、沙和尚保护唐僧西天取经，沿途降妖除魔，历经九九八十一难，到达西天取得真经修成正果的故事．现请你欣赏下面描述孙悟空追妖精的数学诗：悟空顺风探妖踪，千里只行四分钟，归时四分行六百，风速多少才称雄？解释：孙悟空顺风去查妖精的行踪，4分钟就飞跃1 000里，逆风返回时4分钟走了600里，则风速是________里/分． 【跟踪专练1】一条铁路线A，B，C三个车站的位置如图所示，已知B，C两车站之间相距500千米．火车从B站出发，向C站方向行驶，经过30分钟，距A站130千米；经过2小时，距A站280千米．火车从B站开出多少时间后可到达C站？（    ） A．4小时 B．5小时 C．6小时 D．7小时 【跟踪专练2】某科研团队对两款仿生机器人A，B进行步行性能测试，计划让一台A型机器人和一台B型机器人共同完成步行接力任务，A型机器人走一段路程后立即由B型机器人接着走．在接力测试中发现：A型机器人走10步，接着B型机器人走8步，共需要14秒；A型机器人走15步，接着B型机器人走20步，共需要27秒． (1)求A型机器人和B型机器人走一步各需要多少秒？ (2)已知A型机器人的单步步长为75厘米，B型机器人的单步步长为65厘米，在一次接力测试中，一台A型机器人和一台B型机器人需共同完成一段30米的接力任务，每台机器人的总步数均为整数，求完成这次接力任务的时间可能是多少秒？ 【跟踪专练3】甲、乙两车分别从相距千米的，两地相向而行． (1)两车均保持匀速行驶且甲车的速度是乙车速度的2倍，若甲车比乙车提前2小时出发，则甲车出发后3小时两车相遇．求甲、乙两车的速度分别是多少（单位：千米/小时）？ (2)如果甲、乙两车保持（1）中的速度，两车同时出发相向而行，求经过多少小时两车相距30千米？ 题型02.销售利润问题(重点高频) 【典例】某水果店推出甲、乙、丙三种礼盒，甲礼盒樱桃1千克，枇杷0.5千克，香梨1千克，售价100元；乙礼盒樱桃1千克，枇杷0.5千克，哈密瓜1千克，售价98元；丙礼盒香梨1千克，枇杷1千克，哈密瓜1千克；已知樱桃每千克30元；李老师花了1100元，买乙丙两种礼盒，问李老师共买______盒． 【跟踪专练1】小江去商店购买签字笔和笔记本（签字笔的单价相同，笔记本的单价相同）、若购买20支签字笔和15本笔记本，则他身上的钱会差25元；若购买19支签字笔和16本笔记本，则他身上的钱会差15元，若小江购买17支签字笔和18本笔记本，则（    ） A．他身上的钱会不足5元 B．他身上的钱会剩下5元 C．他身上的钱会不足10元 D．他身上的钱会剩下10元 【跟踪专练2】小李在某商场购买，两种商品若干次（每次，都买），其中前两次按标价购买，第三次购买时，，两种商品同时打折，三次购买，商品和费用如表所示： 购买商品的数量（件） 购买商品的数量（件） 购买总费用（元） 第一次 6 5 760 第二次 3 7 740 第三次 9 8 826 (1)求，两种商品的标价各多少元？ (2)若小李第三次购买时，，两种商品的折扣相同，则商场是打几折出售这两种商品？ 【跟踪专练3】探究学校校服订购的方案． 素材1：天气转热，不少学生的夏季校服有损坏或丢失，故学校联系了厂商订制一批校服衣服和裤子．下表是学校前两年的购买记录． 年份/年 衣服数量/件 裤子数量/件 总价/元 2022 100 80 7300 2023 120 60 7500 素材2：本届七年级使用的是改版后的校服，每件新版衣服和裤子的价格均比旧版多10元．为保证各年级段校服统一，学校要求七年级学生购买新版，八、九年级学生购买旧版． 【任务1】分别求出旧版衣服和旧版裤子的单价． 【任务2】依据往年八、九年级的数据统计，衣服数量不超过80件，裤子数量不超过50件．若学校恰好用了4900元为八、九年级购买旧版校服，则衣服和裤子各买了多少件？ 【任务3】学校统计各班的订购意向后，最终花费9200元订购这批校服．已知七年级订购的衣服数量占所有衣服和裤子总数量的，且少于50件，则八、九年级订购的裤子共有 件．（请直接写出答案） 题型03.工程问题(常考点高频) 【典例】2台大收割机和5台小收割机同时工作共收割小麦，3台大收割机和2台小收割机同时工作共收割小麦，设1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦 和，则可列方程组______． 【跟踪专练1】小文原本计划使用甲、乙两台影印机于10：00开始一起印制文件并持续到下午，但10：00时有人正在使用乙，于是他先使用甲印制，于10：05才开始使用乙一起印制，且到10：15时乙印制的总张数与甲相同，到10：45时甲、乙印制的总张数合计为2100张若甲、乙的印制张数与印制时间皆成正比，则依照小文原本的计划，甲、乙印制的总张数会在哪个时间达到2100张？（ ） A．10：40 B．10：41 C．10：42 D．10：43 【跟踪专练2】一项工程，甲队单独做要20天完成，乙队单独做要15天完成，丙队单独做要12天完成．按原计划这项工程要求在7天内完成，现在乙、丙两队先合作若干天，后来为加快进度，甲队也同时加入这项工程，这样比原定时间提前一天完成任务．乙、丙两队合作了多少天？甲队加入后又做了多少天？ 【跟踪专练3】一家商店进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共元，若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做天可以完成，需付费用元，问： (1)甲、乙两组工作一天，商店各应付多少钱？ (2)已知甲组单独完成需天，乙组单独完成需天，单独请哪个组，商店所需费用最少？ (3)若装修完后，商店每天可赢利元，你认为如何安排施工更有利于商店？请你帮助商店决策．（可用（1）（2）问的条件及结论） 题型04.和差倍分问题(基础高频) 【典例】街道为环卫工人发放口罩，如果每人发5个，还剩下3个，如果每人发6个，还缺5个，则一共有________名环卫工人． 【跟踪专练1】某货运公司临时接到一个任务，从工厂同时运送A，B两种货物各20箱到展馆．货运公司调派甲货车运送A种货物，乙货车运送B种货物，A种货物每箱，B种货物每箱．因为两种货物包装箱完全一样，装运工人一时疏忽，使得两车虽然所装货物数量正确，但部分货物却装混了．运送途中安检时，两车过地秤，发现甲车比乙车的货物重，则甲车有（ ）箱货物装错． A．5 B．4 C．3 D．2 【跟踪专练2】列方程（组）解实际问题 为防治污染，保护和改善生态环境，自2023年7月1日起，我国全面实施汽车国六排放标准6b阶段（以下简称“标准”）．对某型号汽车，“标准”要求A类物质排放量不超过，、两类物质排放量之和不超过． 已知该型号某汽车的、两类物质排放量之和原为．经过一次技术改进后，该汽车的类物质排放量降低了，类物质排放量降低了60%，、两类物质排放量之和为．判断这一次技术改进后该汽车的类物质排放量是否符合“标准”，并说明理由． 【跟踪专练3】在某工程建设中，有甲、乙两种卡车参加运土，3辆甲种卡车与2辆乙种卡车一次共可运土48立方米，2辆甲种卡车与3辆乙种卡车一次共可运土52立方米．求甲种卡车和乙种卡车一次可运土多少立方米？ 题型05.方案选择问题(重点) 【典例】为了更好的开展大课间活动，某班级计划购买跳绳和呼啦圈两种体育用品，已知一个跳绳8元，一个呼啦圈12元．准备用120元钱全部用于购买这两种体育用品（两种都要买且钱全部用完），则该班级的购买方案有______种． 【跟踪专练1】小王用42元钱去购买甲、乙两种学习用品，甲种学习用品每个6元，乙种学习用品每个4元．42元钱恰好用完，则小王的购买方案有（   ） A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 【跟踪专练2】当前国际疫情防控形势仍然复杂严峻，国内多地不断新增新冠肺炎本土病例，因此，防疫任务依然艰巨．面对当前疫情形势，国家迅速反应，果断决策，全民积极行动，奋起抗击．我市中学生积极行动起来，每人拿出自己一天的零花钱，筹款为贫困地区捐赠了一批消毒液，现要将消毒液运往该区．已知用3辆型车和1辆型车装满货物一次可运货9吨；用1辆型车和2辆型车装满货物一次可运货8吨．现有消毒液19吨，计划同时租用型车辆，型车辆，一次运完，且恰好每辆车都载满消毒液． 根据以上信息，解答下列问题： (1)1辆型车和1辆型车都载满消毒液一次可分别运送多少吨？ (2)请你帮我们设计租车方案； (3)若1辆型车需租金90元/次，1辆型车需租金110元/次．请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费． 【跟踪专练3】江汉区某中学组织七年级同学参加校外活动，原计划租用座客车若干辆，但有人没有座位；如果租用同样数量的座客车，则多出一辆，且其余客车刚好坐满．已知座和座客车的租金分别为元/辆和元/辆． (1)设原计划租座客车辆，七年级共有学生人，则___________（用含的式子表示）若租用同样数量的座客车，则___________；（用含的式子表示） (2)七年级共有学生多少人？ (3)若同时租用两种型号的客车或只租一种型号的客车，每辆客车恰好坐满并且每个同学都有座位，直接写出共有哪几种租车方案？哪种方案更省钱？ 题型06.列二元一次方程组(实际/几何类) 【典例】甲、乙两人在一起练习跑步，如果甲让乙先跑3秒，那么甲跑4秒就追上乙；如果甲让乙先跑10米，甲跑7秒就追上乙．若设甲、乙两人每秒分别跑、米，列出的方程组为_______． 【跟踪专练1】如图，用形状、大小完全相同的小长方形墙砖拼成一个大长方形，设每个小长方形墙砖长和宽分别为cm和cm，则依题意可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】小文在拼图时，发现个一样大小的长方形，恰好可以拼成一个大的长方形如图（1）；小成看见了，说：“我也来试一试．”结果小成七拼八凑，拼成了如图（2）那样的正方形，中间还留下了一个面积为的小正方形缺口，则每个小长方形的周长为______ ．    【跟踪专练3】小明骑摩托车在公路上高速行驶，早晨时看到里程碑上的数是一个两位数，它的数字之和是7；时看里程碑上的两位数与时看到的个位数和十位数颠倒了；时看到里程碑上的数是时看到的数的5倍，小明在时看到的数字是多少？设时看到的个位数字是x，十位数字是y，则可以列方程组________． 【跟踪专练4】已知用辆型车和辆型车装满货物一次可运货吨；用辆型车和辆型车装满货物一次可运货吨，某物流公司现有吨货物，计划同时租用型车辆，型车辆，一次运完，且恰好每辆车都装满货物．根据以上信息，解答下列问题： (1)一辆型车和一辆型车装满货物一次可分别运货多少吨？ (2)请你帮物流公司设计出所有可行的租车方案． 【跟踪专练5】小森制作了一个大正方形纸片（灰色）和四个相同的小正方形纸片（白色），按图1、图2两种方式摆放．    (1)根据图示可知，大正方形纸片（灰色）的边长为______，小正方形纸片（白色）的边长为_____（用含a，b的代数式表示）． (2)求图2中灰色部分的面积（用含a，b的代数式表示）． 题型07.分配问题(常考点) 【典例】一工坊用铁皮制作糖果盒，每张铁皮可制作盒身20个，或制作盒底30个，一个盒身与两个盒底配成一套糖果盒．现有35张铁皮，则用_________张铁皮做盒身，_________张铁皮做盒底，恰巧配套． 【跟踪专练1】某份资料计划印制10000份，该任务由A，B两台印刷机先后接力完成，A印刷机印制160份，印刷机印制210份．两台印刷机完成该任务共需，甲、乙两人所列的方程组如表所示，下列判断正确的是（    ） 甲 解：设A印刷机印制了，印刷机印制了． 由题意，得 乙 解：设A印刷机印制了份，印刷机印制了份． 由题意，得 A．只有甲列的方程组正确 B．只有乙列的方程组正确 C．甲和乙列的方程组都正确 D．甲和乙列的方程组都不正确 【跟踪专练2】春季是传染病高发的季节，同学们要勤通风常洗手，为了同学们的身体健康，李老师为全年级师生购买洗手液，根据市场调研，李老师发现某品牌的洗手液的大瓶装和小瓶装两种产品的销售数量（按瓶计算）比为，某厂每天生产这种洗手液22.5吨，请同学们利用二元一次方程组的数学思想，帮助李老师估计一下这些洗手液应该分装多少个大瓶，多少个小瓶才是最合理的？（请同学们注意单位换算） 【跟踪专练3】今年元旦期间某物流公司计划用两种车型运输新年物资，用2辆A型车和1辆B型车装满物资一次可运10吨：用1辆A型车和2辆B型车一次可运11吨． (1)求每辆A型车和每辆B型车都装满物资一次可分别运多少吨． (2)某物流公司现有31吨货物资，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完且恰好每辆车都装满．若A型车每辆需租金每次200元，B型车租金每次300元，求最少租车费用． 题型08.数字问题(常考点) 【典例】小明和小刚在计算两个正整数相加时，小明在第一个加数后面加了个0，得到的和是126，小刚在第二个加数后面加了个0，得到的结果是72，则这两个正整数的和应该是________． 【跟踪专练1】如图1是2021年3月份的月历，小军同学用“”字形框在月历上框出四个数字，将该“”字形框上下左右移动，且一定要框住月历中的四个日期，若四个日期如图2所示，则下列关于，的关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】山上牧童赶着一群羊，山下牧童也赶着一群羊，山下牧童对山上牧童说：“如果你的羊跑下来4只，那么我们二人的羊恰好相等．”山上牧童说：“如果你的羊跑上来4只，那么我的羊恰好是你的羊的3倍．”他们到底各赶多少只羊？ 【跟踪专练3】某两位数，两个数位上的数之和为．这个两位数加上，得到的两位数恰好等于原两位数的两个数字交换位置所表示的数，求原两位数． (1)列一元一次方程求解． (2)如果设原两位数的十位数字为，个位数字为，列二元一次方程组． (3)检验（1）中求得的结果是否满足（2）中的方程组． 题型09.古代问题(常考点) 【典例】《九章算术》中有这样一个题：“今有醇酒一斗，值钱五十；行酒一斗，值钱一十．今将钱三十，得酒二斗．问醇、行酒各得几何？”其译文是：今有醇酒（优质酒）1斗，价值钱；行酒（劣质酒）1斗，价值钱．现有钱，买得2斗酒．问醇酒、行酒各能买得多少？设醇酒为斗，行酒为斗，则可列二元一次方程组为______． 【跟踪专练1】《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸：屈绳量之，不足一尺．木长几何？“意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺：将绳子对折再量长木，长木还剩余尺，问木长多少尺？设木长为尺，绳子长为尺，则下列符合题意的方程组是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？”译文：“有若干只鸡与兔在同一个笼子里，从上面数有35个头，从下面数有94只脚，问笼中鸡、兔各有多少只？”请你列方程（组）解决这个问题． 【跟踪专练3】某数学兴趣小组研究我国古代《算法统宗》里这样一首诗：“我问旅店店主李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后两句的意思是：如果每间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每间客房住9人，那么就空出一间房． (1)该店客房有多少间？房客有多少人？ (2)假设旅店店主李三公将客房进行改造后，房间数大大增加．每间客房收费200钱，且每间客房最多住4人，一次性订客房18间以上（含18间），房费按八折优惠．若诗中众客再次一起入住，他们如何订房比较合算？ 题型10.图表信息问题 【典例】如图，在幻方中，填入个数字，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等按以上规则填成的幻方中，的值为________． 【跟踪专练1】在一个的方格中填写9个数字，使得每行每列每条对角线上的三个数之和相等；得到的的方格称为一个三阶幻方，如图，方格中填写了一些数和字母，为使该方格构成一个三阶幻方，则（    ） 8 2 A． B．10 C．5 D．0 【跟踪专练2】某学校现有甲种材料，乙种材料，制作A，B两种型号的工艺品，用料情况如下表： 需甲种材料 需乙种材料 1件A型工艺品 1件B型工艺品 (1)利用这些材料能制作A，B两种型号的工艺品各多少件？ (2)若每千克甲、乙两种材料分别为8元和10元，问：制作A，B两种型号的工艺品各需材料费多少钱？ 【跟踪专练3】张老师在某文体店购买商品A、B若干次（每次A、B两种商品都购买，且A、B都只能购买整数个），其中第一、二两次购买时，均按标价购买，两次购买商品A、B的数量和费用如表所示： 购买商品A的数量/个 购买商品B的数量/个 购买总费用/元 第一次购物 6 5 980 第二次购物 3 7 940 (1)求商品A、B的标价； (2)若张老师第三次购物时，商品A、B同时打6折出售，这次购买总费用为960元，则张老师有哪几种购买方案？ 题型11.年龄问题 【典例】甲对乙说：“我像你这样大岁数的那年，你的岁数等于我今年的岁数的一半；当你到我这样大岁数的时候，我的岁数是你今年岁数的二倍少7岁．”则今年甲的年龄为___岁． 【跟踪专练1】甲是乙现在的年龄时，乙15岁；乙是甲现在的年龄时，甲30岁，那么（   ） A．甲比乙大5岁 B．甲比乙大10岁 C．乙比甲大10岁 D．乙比甲大5岁 【跟踪专练2】某学生想知道李老师的年龄，李老师说：“我像你这么大时，你才2岁，你长到我这么大时，我就35岁了．”请你算一算，今年李老师、该学生各多少岁． 【跟踪专练3】若一个两位数的十位、个位上的数字分别为a、b，记这个两位数为，则，例如． (1)把这个两位数的十位上的数字与个位上的数字交换位置，求证：所得数与原数的和一定能被11整除； (2)若两个年龄各位数字排列顺序颠倒，且经过几年后会重复颠倒这个过程，则称这两个年龄为“颠倒的年龄”．聪明的小明发现他的年龄和他父亲的年龄是“颠倒的年龄”，当小明14岁时，他父亲41岁，并且在经过m年后（父亲年龄仍是两位数）会再次出现颠倒．求出满足上述条件的正数m的值． 题型12.几何问题 【典例】利用一个长方体木块测量一张桌子的高度，首先将木块按如图1所示的方式放置，再更换木块的位置，按如图2所示的方式放置，测得数据如图所示，则桌子的高度是_____________． 【跟踪专练1】如图，在大长方形中，放置6个形状、大小都相同的小长方形，则阴影部分的面积之和为（   ） A．54 B．50 C．43 D．34 【跟踪专练2】在长方形中，放入5个形状大小相同的小长方形（空白部分），其中，，求图中阴影部分图形的面积． 【跟踪专练3】某铁件加工厂用图1的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等）可以加工成图2的竖式与横式两种无盖的长方体容器（加工时接缝材料不计）． (1)根据题意可列出以下表格： 1个竖式无盖容器 1个横式无盖容器 长方形铁片的数量 4张 a张 正方形铁片的数量 b张 2张 则_________，_________； (2)若现有170张长方形铁片和80张正方形铁片，用于加工图2的竖式容器和横式容器时，两种铁片刚好全部用完，则可以加工出无盖竖式容器和无盖横式容器各多少个？ (3)已知该铁件加工厂加工出的此竖式容器费用为50元/个，此横式容器的费用为60元/个．若五金店老板计划支付800元用于采购一批竖式容器和横式容器（两种容器都要有），则有哪几种方案可供选择？ 题型13.其他实际应用问题 【典例】某校七年级6月初举办了一场“我是数学王”的挑战赛，每场比赛均有25道题，比赛规则如下：做对1题得4分，做错1题倒扣1分，不做既不加分也不减分，总分最高者为当场擂主．小芹在这场赛事中25道题全做了，得分70分，她做对___________道题． 【跟踪专练1】鸡兔在同一笼中，已知笼中共有脚270只，且鸡的头数比兔的头数多30只，则鸡和兔分别是（   ） A．鸡55只、兔25只 B．鸡35只、兔65只 C．鸡65只、兔35只 D．鸡45只、兔15只 【跟踪专练2】为开展“阳光大课间”活动，顺迈学校准备一次性购买若干副乒乓球拍和羽毛球拍（每副乒乓球拍的价格相同，每副羽毛球拍的价格相同），若购买3副乒乓球拍和2副羽毛球拍，则需420元；若购买2副乒乓球拍和5副羽毛球拍，则需720元．购买一副乒乓球拍和一副羽毛球拍各需多少元？（用二元一次方程组解决问题） 【跟踪专练3】端午节即将来临，甲、乙两人相约一起包粽子送亲朋好友．已知甲、乙两人一小时共包个粽子，甲每小时包粽子的个数比乙每小时包粽子的个数多个． (1)问甲、乙两人每小时各包多少个粽子？ (2)现在两人共计划包个粽子，先由两人一起包一段时间，剩下的全部由甲单独包完，恰好共用了个小时全部完成，求两人合作的时间． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05二元一次方程组应用期中复习讲义 知识核心(必掌握) 能力提升(必突破) 应试要求(必达标) 1.牢记“审、设、列、解、检、答”六大解题步骤，明确检验的实际意义 2.掌握7大常见题型（和差倍分、数字、配套等）的核心数量关系 3.灵活运用直接/间接设元，熟练掌握代入、加减消元法求解 1.快速审题：提取关键信息，精准挖掘两个等量关系 2.建模能力：将实际问题转化为二元一次方程组模型 3.灵活解题：匹配题型规律，规范书写，养成检验习惯 1.基础题：稳准快作答，零失误丢分 2.中档题：突破图表、复杂文字题，精准提炼等量关系 3.稍难题：掌握间接设元技巧，突破综合题型，规范步骤不丢分 题型01.行程问题(难点+重点) 题型02.销售利润问题(重点高频) 题型03.工程问题(常考点高频) 题型04.和差倍分问题(基础高频) 题型05.方案选择问题(重点) 题型06.列二元一次方程组(实际/几何类) 题型07.分配问题(常考点) 题型08.数字问题(常考点) 题型09.古代问题(常考点) 题型10.图表信息问题 题型11.年龄问题 题型12.几何问题 题型13.其他实际应用问题 核心心法：把未知变已知，用两个方程锁定两个量，搞定所有实际问题！ 知识点01.解题六步秘籍｜万能通关流程 1.审：圈画已知量、未知量，挖出两个等量关系（题眼！缺一个列不出方程组） 2.设：直接设（求啥设啥）或间接设（复杂题设中间量），必写单位 3.列：把等量关系转化为代数式，组成二元一次方程组（设几个未知数列几个方程） 4.解：用代入消元 / 加减消元法解方程组，算出未知数的值 5.验：双重检验！①是否是方程组的解 ②是否符合实际意义（人数、长度不能为负） 6.答：完整写答案，带上单位，别漏答！ 小口诀：审设列解验答，六步走天下；等量找两个，解题不翻车！ 知识点02.八大高频题型｜大招速解（附核心等量关系） 记牢各题型专属等量关系，直接套公式解题！ 和差倍分问题 （基础必考题） 关键词：和、差、倍、分、多、少、增加、减少 核心关系：找准 “比、是、等于” 前后的量，直接列等式 举例：甲的数量+乙的数量=总数；甲的数量=2×乙的数量 + 3 数字问题 （技巧性型） 核心公式：两位数 = 10× 十位数字 + 个位数字；三位数 = 100× 百位 + 10× 十位 + 个位 关键：数字位置互换后，新数的表示要准确，注意 “最高位数字不为 0” 配套问题 （易错题） 关键词：配套、按比例分配 核心关系：配套的两种物品数量比 =配套比例（如 1 个螺栓配 2 个螺母，则螺栓数 ×2 = 螺母数） 销售利润问题 （高频应题） 核心公式：总价 = 单价 × 数量；利润 = 售价 - 进价； 折后价 = 标价 × 折扣（如 8 折 = 0.8） 关键：分清 “进价、标价、售价”，别混淆量的关系 行程问题 （重难点） 基础公式：路程 = 速度 × 时间 细分模型： ✅ 相遇问题：甲路程 + 乙路程 = 总路程 ✅ 追及问题：快者路程 - 慢者路程 = 路程差 ✅ 顺逆问题：顺速=静速+水 / 风速；逆速=静速 - 水 / 风速 年龄问题 （超简单） 黄金规律：两人的年龄差永远不变（核心等量关系，直接用） 关键：几年后 / 前的年龄，两人同时加 / 减相同的数 工程问题 （拓展题） 核心公式：工作量 = 工作效率 × 工作时间；总工作量 = 各部分工作量之和（通常设为 1） 关键：分清 “单独做、合作做”，效率可以直接相加 方案选择问题 （高频题） 关键词：两种/多种方案、最省钱、最划算、最优方案； 核心思路：① 设未知数，根据不同方案的收费/分配规则，列出对应的方程组（或代数式）；② 求解每种方案的结果（如总费用、总数量）；③ 对比所有方案的结果，结合实际意义选出最优方案（通常是最省钱、最高效的）； 知识点03.三大找等量关系技巧｜题眼速挖 找不到等量关系？用这 3 招，再复杂的题也能快速突破！ 1.抓关键词：圈出 “和、差、倍、分、等于、共、比… 多 / 少”，这些词前后就是等量关系 2.用公式套：行程、销售、工程、数字都有固定公式，直接代入题中量 3.画图解惑：复杂行程、分配问题，画线段图 / 表格，把量标出来，等量关系一眼可见 知识点04.避坑指南｜避开失分重灾区 这些错误 90% 的同学都会犯，看完直接绕开！ 1.单位不统一：如路程单位千米 / 米、钱数元 / 角，先统一单位再列方程 2.漏写检验：求出解后不验证实际意义，如人数算出小数，直接失分 3.设 / 答漏单位：设未知数、写答案时，单位一定要跟上（如设 x 千克，不是设 x） 4.等量关系找错：配套问题比例搞反、行程问题顺逆速度弄混，审题要仔细 5.方程组列错：代数式表示错误，如 “x 的 2 倍与 y 的和” 写成 2 (x+y)，注意运算顺序 题型01.行程问题(难点+重点) 【典例】我国古典文学名著《西游记》讲述了孙悟空、猪八戒、沙和尚保护唐僧西天取经，沿途降妖除魔，历经九九八十一难，到达西天取得真经修成正果的故事．现请你欣赏下面描述孙悟空追妖精的数学诗：悟空顺风探妖踪，千里只行四分钟，归时四分行六百，风速多少才称雄？解释：孙悟空顺风去查妖精的行踪，4分钟就飞跃1 000里，逆风返回时4分钟走了600里，则风速是________里/分． 【答案】50 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，理解题意，根据速度×时间=路程列方程组即可． 【详解】解：设孙悟空的速度是x里/分，风速是y里/分， 依题意，得，解得， 故风速是50里/分， 故答案为：50． 【跟踪专练1】一条铁路线A，B，C三个车站的位置如图所示，已知B，C两车站之间相距500千米．火车从B站出发，向C站方向行驶，经过30分钟，距A站130千米；经过2小时，距A站280千米．火车从B站开出多少时间后可到达C站？（    ） A．4小时 B．5小时 C．6小时 D．7小时 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组在行程问题中的应用，等量关系式：列车小时行驶的路程站与站的距离千米，列车小时行驶的路程站与站的距离千米，据此列出方程组，即可求解；找出等量关系式是解题的关键． 【详解】解：设火车的速度为千米／小时，站与站相距千米，由题意得 ， 解得：， （小时）， 故答案：B． 【跟踪专练2】某科研团队对两款仿生机器人A，B进行步行性能测试，计划让一台A型机器人和一台B型机器人共同完成步行接力任务，A型机器人走一段路程后立即由B型机器人接着走．在接力测试中发现：A型机器人走10步，接着B型机器人走8步，共需要14秒；A型机器人走15步，接着B型机器人走20步，共需要27秒． (1)求A型机器人和B型机器人走一步各需要多少秒？ (2)已知A型机器人的单步步长为75厘米，B型机器人的单步步长为65厘米，在一次接力测试中，一台A型机器人和一台B型机器人需共同完成一段30米的接力任务，每台机器人的总步数均为整数，求完成这次接力任务的时间可能是多少秒？ 【答案】(1)A型机器人走一步需要秒，B型机器人走一步需要秒； (2)完成接力任务的时间可能为秒，秒，秒． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用． （1）设A型机器人走一步需要a秒，B型机器人走一步需要b秒，根据题意列方程组求解即可； （2）设A型机器人走了m步，B型机器人走了n步根据题意列出二元一次方程，求出所有符合条件的情况即可． 【详解】（1）解：设A型机器人走一步需要a秒，B型机器人走一步需要b秒 由题意可得 解得 答：A型机器人走一步需要秒，B型机器人走一步需要秒； （2）设A型机器人走了m步，B型机器人走了n步 由题意可得 因为m、n为正整数，n为15的整数倍， ，， 当时，完成接力任务的时间为（秒） 当时，完成接力任务的时间为（秒） 当时，完成接力任务的时间为（秒） 答：完成接力任务的时间可能为秒，秒，秒． 【跟踪专练3】甲、乙两车分别从相距千米的，两地相向而行． (1)两车均保持匀速行驶且甲车的速度是乙车速度的2倍，若甲车比乙车提前2小时出发，则甲车出发后3小时两车相遇．求甲、乙两车的速度分别是多少（单位：千米/小时）？ (2)如果甲、乙两车保持（1）中的速度，两车同时出发相向而行，求经过多少小时两车相距30千米？ 【答案】(1)甲车的速度是60千米/小时，乙车的速度是30千米/小时 (2)小时或小时 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次方程的实际应用，正确理解题意，根据题意找出等量关系是解题的关键． （1）设甲车的速度是千米/小时，乙车的速度是千米/小时，根据题意列出方程组求解即可； （2）设经过小时两车相距30千米，然后进行分类讨论：当两车未相遇时，当两车相遇后，分别列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设甲车的速度是千米/小时，乙车的速度是千米/小时， 根据题意，得 解得， 答：甲车的速度是60千米/小时，乙车的速度是30千米/小时． （2）解：设经过小时两车相距30千米， 根据题意，得： 当两车未相遇时，， 解得， 当两车相遇后，， 解得， 答：经过2小时或小时两车相距30千米． 题型02.销售利润问题(重点高频) 【典例】某水果店推出甲、乙、丙三种礼盒，甲礼盒樱桃1千克，枇杷0.5千克，香梨1千克，售价100元；乙礼盒樱桃1千克，枇杷0.5千克，哈密瓜1千克，售价98元；丙礼盒香梨1千克，枇杷1千克，哈密瓜1千克；已知樱桃每千克30元；李老师花了1100元，买乙丙两种礼盒，问李老师共买______盒． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、二元一次方程的应用，设枇杷每千克x元，香梨每千克y元，哈密瓜每千克a元，由题意列出方程组，得，即丙礼盒每盒138元，设乙礼盒m个，丙礼盒n个，由题意得：，求出方程的非负整数解，即可解决问题． 【详解】解：设设枇杷每千克x元，香梨每千克y元，哈密瓜每千克a元， 由题意得： ， ①②得：， 即丙礼盒每盒138元， 设乙礼盒m个，丙礼盒n个， 由题意得：， ∵m、n为非负整数， 当且仅当，时，方程成立， ∴李老师一共买礼盒：（盒）， 故答案为：10． 【跟踪专练1】小江去商店购买签字笔和笔记本（签字笔的单价相同，笔记本的单价相同）、若购买20支签字笔和15本笔记本，则他身上的钱会差25元；若购买19支签字笔和16本笔记本，则他身上的钱会差15元，若小江购买17支签字笔和18本笔记本，则（    ） A．他身上的钱会不足5元 B．他身上的钱会剩下5元 C．他身上的钱会不足10元 D．他身上的钱会剩下10元 【答案】B 【分析】设签字笔的单价为元，笔记本的单价为元，根据小江身上的钱不变得出方程，整理得，由小江购买17支签字笔和18本笔记本的钱为，得出，代入计算即可． 【详解】解：设签字笔的单价为元，笔记本的单价为元， 根据题意得：， 整理得：， 小江购买17支签字笔和18本笔记本的钱为， ∴ ， 即小江身上的钱会剩下5元； 故选：B． 【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，分析题意，找到关键描述语，得出方程是解题的关键． 【跟踪专练2】小李在某商场购买，两种商品若干次（每次，都买），其中前两次按标价购买，第三次购买时，，两种商品同时打折，三次购买，商品和费用如表所示： 购买商品的数量（件） 购买商品的数量（件） 购买总费用（元） 第一次 6 5 760 第二次 3 7 740 第三次 9 8 826 (1)求，两种商品的标价各多少元？ (2)若小李第三次购买时，，两种商品的折扣相同，则商场是打几折出售这两种商品？ 【答案】(1)A的标价60元，B的标价80元 (2)7折 【分析】（1）设A商品的标价是元，B商品的标价是元，利用总价单价数量，结合前两次购买的数量及总费用，列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设商场是打折出售这两种商品的，利用总价单价数量，列出一元一次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设A商品的标价是元，B商品的标价是元， 依题意得：， 解得：， 答：A商品的标价是60元，B商品的标价是80元； （2）解：设商场是打折出售这两种商品的， 依题意得：， 解得：， 答：商场是打7折出售这两种商品的． 【跟踪专练3】探究学校校服订购的方案． 素材1：天气转热，不少学生的夏季校服有损坏或丢失，故学校联系了厂商订制一批校服衣服和裤子．下表是学校前两年的购买记录． 年份/年 衣服数量/件 裤子数量/件 总价/元 2022 100 80 7300 2023 120 60 7500 素材2：本届七年级使用的是改版后的校服，每件新版衣服和裤子的价格均比旧版多10元．为保证各年级段校服统一，学校要求七年级学生购买新版，八、九年级学生购买旧版． 【任务1】分别求出旧版衣服和旧版裤子的单价． 【任务2】依据往年八、九年级的数据统计，衣服数量不超过80件，裤子数量不超过50件．若学校恰好用了4900元为八、九年级购买旧版校服，则衣服和裤子各买了多少件？ 【任务3】学校统计各班的订购意向后，最终花费9200元订购这批校服．已知七年级订购的衣服数量占所有衣服和裤子总数量的，且少于50件，则八、九年级订购的裤子共有 件．（请直接写出答案） 【答案】任务1：一件旧版衣服45元，一件旧版裤子35元；任务2：衣服70件、裤子50件或衣服77件、裤子41件；任务3：11 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用． 任务1：设一件旧版衣服x元，一件旧版裤子y元，根据题意列方程组求解即可； 任务2：设购买衣服m件，裤子n件，则，得到，根据，且m， n均为正整数得到符合要求的解即可； 任务3：由题意可知一件新版衣服55元，一件新版裤子45元，设七年级订购新版衣服a件、新版裤子c件，八、九年级订购旧版衣服m件、旧版裤子b件。由题意，七年级订购的衣服数量占所有衣服和裤子总数量的  1 4 1 4 ，可得 ，整理得  ，根据总花费9200元，列出二元一次方程，进而找出符合要求的解即可． 【详解】任务1：设一件旧版衣服x元，一件旧版裤子y元， 由题意，得 解得 答：一件旧版衣服45元，一件旧版裤子35元； 任务2：设购买衣服m件，裤子n件， 由题意，得， 化简，得， ∵，且m， n均为正整数， 或 答：衣服70件、裤子50件或衣服77件、裤子41件； 任务3：∵每件新版衣服和裤子的价格均比旧版多10元， ∴一件新版衣服55元，一件新版裤子45元， 设七年级订购新版衣服a件、新版裤子c件，八、九年级订购旧版衣服m件、旧版裤子b件。由题意，七年级订购的衣服数量占所有衣服和裤子总数量的  1 4 1 4 ，可得 ，整理得  ， 由题意，得 ， 将 代入，得 ， 化简得． ∵， 且a， b均为正整数， ∴，． 故答案为：11． 题型03.工程问题(常考点高频) 【典例】2台大收割机和5台小收割机同时工作共收割小麦，3台大收割机和2台小收割机同时工作共收割小麦，设1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦 和，则可列方程组______． 【答案】 【分析】本题考查列二元一次方程组，根据“工作效率时间工作量”分别列二元一次方程，联立可得方程组． 【详解】解：由“2台大收割机和5台小收割机同时工作共收割小麦”可得：， 由“3台大收割机和2台小收割机同时工作共收割小麦” 可得：， 因此可列方程组：， 故答案为：． 【跟踪专练1】小文原本计划使用甲、乙两台影印机于10：00开始一起印制文件并持续到下午，但10：00时有人正在使用乙，于是他先使用甲印制，于10：05才开始使用乙一起印制，且到10：15时乙印制的总张数与甲相同，到10：45时甲、乙印制的总张数合计为2100张若甲、乙的印制张数与印制时间皆成正比，则依照小文原本的计划，甲、乙印制的总张数会在哪个时间达到2100张？（ ） A．10：40 B．10：41 C．10：42 D．10：43 【答案】C 【分析】设甲影印机每分钟印制x张，乙影印机每分钟印制y张，根据“10：00时使用甲印制，10：05才开始使用乙一起印制，到10：15时乙印制的总张数与甲相同，到10：45时甲、乙印制的总张数合计为2100张”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再利用所需时间=需要印制的总张数甲、乙两影印机的工作效率之和，即可求出结论． 【详解】解：设甲影印机每分钟印制x张，乙影印机每分钟印制y张， 依题意得：， 解得：， ， 依照小文原本的计划，甲、乙印制的总张数会在10：42达到2100张． 故选：C． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【跟踪专练2】一项工程，甲队单独做要20天完成，乙队单独做要15天完成，丙队单独做要12天完成．按原计划这项工程要求在7天内完成，现在乙、丙两队先合作若干天，后来为加快进度，甲队也同时加入这项工程，这样比原定时间提前一天完成任务．乙、丙两队合作了多少天？甲队加入后又做了多少天？ 【答案】4天；2天 【分析】本题考查了二元一次方程组在工程问题中的应用，解题的关键是审清题意，正确列出方程组． ①工程类问题中相等关系一般都比较明显，常见的一组相等关系是：两个或几个工作效率不同的对象所完成的工作量之和等于工作总量．2在工程类问题中如果没有工作总量，一般情况下把工作总量设为单位“1”． 根据题目中提供的信息找出两个相等关系建立方程求解即可． 【详解】解：设乙、丙两队合作了天，甲队加入后又做了天 根据题意有解得 答：乙、丙两队合作了4天，甲队加入后又做了2天． 【跟踪专练3】一家商店进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共元，若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做天可以完成，需付费用元，问： (1)甲、乙两组工作一天，商店各应付多少钱？ (2)已知甲组单独完成需天，乙组单独完成需天，单独请哪个组，商店所需费用最少？ (3)若装修完后，商店每天可赢利元，你认为如何安排施工更有利于商店？请你帮助商店决策．（可用（1）（2）问的条件及结论） 【答案】(1)甲、乙两组工作一天，商店各应付元和元 (2)单独请乙组需要的费用少 (3)甲、乙两组合作同时施工8天损失费用最少 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，有理数加法、乘法的实际应用．熟练掌握二元一次方程组的应用，有理数加法、乘法的实际应用是解题的关键． （1）设甲组工作一天商店应付x元，乙组工作一天商店应付y元．依题意得， ，计算求解，然后作答即可； （2）由题意知，单独请甲组需要的费用：（元），单独请乙组需要的费用：（元），由，判断作答即可； （3）分别计算甲、乙单独完成时的损失，然后计算甲乙合作完成时的损失，最后比较大小并作答即可． 【详解】（1）解：设甲组工作一天商店应付x元，乙组工作一天商店应付y元． 依题意得， ， 解得 ， 答：甲、乙两组工作一天，商店各应付元和元； （2）解：由题意知，单独请甲组需要的费用：（元）， 单独请乙组需要的费用：（元）， ∵， ∴单独请乙组需要的费用少； （3）解：由题意知，甲组单独做天，需费用元，少赢利（元），相当于损失（元）； 乙组单独做天，需费用元，少赢利（元），相当于损失（元）； 甲乙两组合作同时施工8天，需费用元，少赢利（元），相当于损失（元）； ∵， ∴甲、乙两组合作同时施工8天损失费用最少． 题型04.和差倍分问题(基础高频) 【典例】街道为环卫工人发放口罩，如果每人发5个，还剩下3个，如果每人发6个，还缺5个，则一共有________名环卫工人． 【答案】8 【分析】设一共有x名环卫工人，要发放的口罩共有y个，根据“如果每人发5个，还剩下3个，如果每人发6个，还缺5个”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设一共有x名环卫工人，要发放的口罩共有y个， 依题意，得：， 解得：． 故答案为：8． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【跟踪专练1】某货运公司临时接到一个任务，从工厂同时运送A，B两种货物各20箱到展馆．货运公司调派甲货车运送A种货物，乙货车运送B种货物，A种货物每箱，B种货物每箱．因为两种货物包装箱完全一样，装运工人一时疏忽，使得两车虽然所装货物数量正确，但部分货物却装混了．运送途中安检时，两车过地秤，发现甲车比乙车的货物重，则甲车有（ ）箱货物装错． A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，设甲车装A种货物x箱，B种货物y箱，根据从工厂同时运送A，B两种货物各20箱到展馆，运送途中安检时，两车过地秤，发现甲车比乙车的货物重，列出方程组进行求解即可． 【详解】解：设甲车装A种货物x箱，B种货物y箱，则乙车装A种货物箱，B种货物箱，根据题意得： ， 解得：， ∴甲车装了18箱A和2箱B，乙车装了2箱A和18箱B， 所以，甲车有2箱货物装错． 故选：D． 【跟踪专练2】列方程（组）解实际问题 为防治污染，保护和改善生态环境，自2023年7月1日起，我国全面实施汽车国六排放标准6b阶段（以下简称“标准”）．对某型号汽车，“标准”要求A类物质排放量不超过，、两类物质排放量之和不超过． 已知该型号某汽车的、两类物质排放量之和原为．经过一次技术改进后，该汽车的类物质排放量降低了，类物质排放量降低了60%，、两类物质排放量之和为．判断这一次技术改进后该汽车的类物质排放量是否符合“标准”，并说明理由． 【答案】不合标准，见解析 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用， 根据等量关系列出二元一次方程组，求出解，再判断即可． 【详解】解：设A类物质排放量原为，B类物质排放量原为，根据题意，得， 解得， 这一次技术改进后，A类物质排放量为， 因为， 所以不符合“标准”． 【跟踪专练3】在某工程建设中，有甲、乙两种卡车参加运土，3辆甲种卡车与2辆乙种卡车一次共可运土48立方米，2辆甲种卡车与3辆乙种卡车一次共可运土52立方米．求甲种卡车和乙种卡车一次可运土多少立方米？ 【答案】甲种卡车一次可运土8立方米，乙种卡车一次可运土12立方米 【分析】设甲种卡车一次可运土x立方米，乙种卡车一次可运土y立方米，再根据题意列出二元一次方程组，解方程即可． 【详解】解：设甲种卡车一次可运土x立方米，乙种卡车一次可运土y立方米， 由题意得， 解得：， 答：甲种卡车一次可运土8立方米，乙种卡车一次可运土12立方米． 题型05.方案选择问题(重点) 【典例】为了更好的开展大课间活动，某班级计划购买跳绳和呼啦圈两种体育用品，已知一个跳绳8元，一个呼啦圈12元．准备用120元钱全部用于购买这两种体育用品（两种都要买且钱全部用完），则该班级的购买方案有______种． 【答案】4 【分析】设购买个跳绳，个呼啦圈，利用总价单价数量，即可得出关于，的二元一次方程，结合，均为正整数，即可得出购买方案的数量．本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键． 【详解】解：设购买个跳绳，个呼啦圈， 依题意得：， ． ，均为正整数， 为3的倍数， 或或或， 该班级共有4种购买方案． 故答案为：4． 【跟踪专练1】小王用42元钱去购买甲、乙两种学习用品，甲种学习用品每个6元，乙种学习用品每个4元．42元钱恰好用完，则小王的购买方案有（   ） A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 【答案】B 【分析】本题考查了列二元一次方程解实际问题的运用，设小王购买甲种笔记本本，购买乙种笔记本本，根据两种笔记本的总价为42元建立方程，求出其解即可，解答时由单价数量总价建立方程是关键． 【详解】解：设小王购买甲种笔记本本，购买乙种笔记本本， 由题意得， 可得． 、为非负整数， 可以等于， 即，6，3时， ，3，5， 共有3种购买方案． 故选：B． 【跟踪专练2】当前国际疫情防控形势仍然复杂严峻，国内多地不断新增新冠肺炎本土病例，因此，防疫任务依然艰巨．面对当前疫情形势，国家迅速反应，果断决策，全民积极行动，奋起抗击．我市中学生积极行动起来，每人拿出自己一天的零花钱，筹款为贫困地区捐赠了一批消毒液，现要将消毒液运往该区．已知用3辆型车和1辆型车装满货物一次可运货9吨；用1辆型车和2辆型车装满货物一次可运货8吨．现有消毒液19吨，计划同时租用型车辆，型车辆，一次运完，且恰好每辆车都载满消毒液． 根据以上信息，解答下列问题： (1)1辆型车和1辆型车都载满消毒液一次可分别运送多少吨？ (2)请你帮我们设计租车方案； (3)若1辆型车需租金90元/次，1辆型车需租金110元/次．请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费． 【答案】(1)1辆A型车载满消毒液一次可运送2吨，1辆B型车载满消毒液一次可运送3吨 (2)共有3种租车方案，具体见详解 (3)选租车方案3最省钱，最少租车费为730元 【分析】（1）设1辆A型车载满消毒液一次可运送吨，1辆B型车载满消毒液一次可运送吨，根据“用3辆A型车和1辆B型车装满货物一次可运货9吨；用1辆A型车和2辆B型车装满货物一次可运货8吨”，即可得出关于的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）根据“一次运完19吨消毒液，且恰好每辆车都载满消毒液”，即可得出关于的二元一次方程，结合均为整数，即可得出各租车方案； （3）利用总租金每辆A型车的租金租用A型车的数量每辆B型车的租金租用B型车的数量，即可分别求出选用各租车方案所需费用，比较后即可得出结论． 【详解】（1）解：设1辆A型车载满消毒液一次可运送吨，1辆B型车载满消毒液一次可运送吨， 依题意得，解得， 答：1辆A型车载满消毒液一次可运送2吨，1辆B型车载满消毒液一次可运送3吨； （2）解：依题意得， ∴， 又均为整数， ∴或或， ∴共有3种租车方案： 方案1：租用A型车8辆，B型车1辆； 方案2：租用A型车5辆，B型车3辆； 方案3：租用A型车2辆，B型车5辆； （3）解：选用方案1所需租车费为（元）； 选用方案2所需租车费为（元）； 选用方案3所需租车费为（元）； ， ∴选租车方案3最省钱，最少租车费为730元． 【跟踪专练3】江汉区某中学组织七年级同学参加校外活动，原计划租用座客车若干辆，但有人没有座位；如果租用同样数量的座客车，则多出一辆，且其余客车刚好坐满．已知座和座客车的租金分别为元/辆和元/辆． (1)设原计划租座客车辆，七年级共有学生人，则___________（用含的式子表示）若租用同样数量的座客车，则___________；（用含的式子表示） (2)七年级共有学生多少人？ (3)若同时租用两种型号的客车或只租一种型号的客车，每辆客车恰好坐满并且每个同学都有座位，直接写出共有哪几种租车方案？哪种方案更省钱？ 【答案】(1)，； (2)人； (3)有两种租车方案：只租用座客车辆或同时租用座客车辆和座客车辆；最省钱的方案是租辆座客车． 【分析】（）根据“原计划租用座客车若干辆，但有人没有座位；如果租用同样数量的座客车，则多出一辆，且其余客车刚好坐满”分别列式，即可求解； （）联立（）中两个二元一次方程，即可求解； （）设租用座客车辆，座客车辆，根据题意列出方程，并求其非负整数解，比较费用大小，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：，， （2）解：根据题意列方程组：， 解得：， ∴七年级共有学生人； （3）解：设租用座客车辆，座客车辆， 依题意得： ，即：， 其非负整数解有两组为：和， 故有两种租车方案：只租用座客车辆或同时租用座客车辆和座客车辆， 当时，租车费用为：（元）； 当时，租车费用为：（元）； ∵， ∴最省钱的方案是租辆座客车． 题型06.列二元一次方程组(实际/几何类) 【典例】甲、乙两人在一起练习跑步，如果甲让乙先跑3秒，那么甲跑4秒就追上乙；如果甲让乙先跑10米，甲跑7秒就追上乙．若设甲、乙两人每秒分别跑、米，列出的方程组为_______． 【答案】 【分析】根据两种不同的追及情况，利用路程相等来建立方程，从而列出方程组．本题主要考查了二元一次方程组在行程追及问题中的应用，熟练掌握追及问题中路程相等的等量关系是解题的关键． 【详解】解：由题意得，即． 故答案为： ． 【跟踪专练1】如图，用形状、大小完全相同的小长方形墙砖拼成一个大长方形，设每个小长方形墙砖长和宽分别为cm和cm，则依题意可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查列二元一次方程组解决实际问题，设每个小长方形墙砖长和宽分别为cm和cm，由图形可发现小长方形墙砖的一个长与两个宽的和为，五个宽的和为，据此即可列方程组． 【详解】解：设每个小长方形墙砖长和宽分别为cm和cm，根据题意，得 ． 故选：C 【跟踪专练2】小文在拼图时，发现个一样大小的长方形，恰好可以拼成一个大的长方形如图（1）；小成看见了，说：“我也来试一试．”结果小成七拼八凑，拼成了如图（2）那样的正方形，中间还留下了一个面积为的小正方形缺口，则每个小长方形的周长为______ ．    【答案】 【分析】设每个小长方形的长为，宽为，根据小明和小红拼的图形，即可得出关于、的二元一次方程组，解之即可得出、的值，再根据长方形的周长公式即可得出结论． 【详解】解：设每个小长方形的长为，宽为， 根据题意得：， 解得：， ． 答：每个小长方形的周长为， 故答案为：32． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及长方形的面积，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【跟踪专练3】小明骑摩托车在公路上高速行驶，早晨时看到里程碑上的数是一个两位数，它的数字之和是7；时看里程碑上的两位数与时看到的个位数和十位数颠倒了；时看到里程碑上的数是时看到的数的5倍，小明在时看到的数字是多少？设时看到的个位数字是x，十位数字是y，则可以列方程组________． 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，根据题意可得时看到的数字为，时看到的数字为，时看到的数字为，再根据相同时间内所走的路程相同建立方程组即可． 【详解】解：设时看到的个位数字是x，十位数字是y， 由题意得，， 故答案为：． 【跟踪专练4】已知用辆型车和辆型车装满货物一次可运货吨；用辆型车和辆型车装满货物一次可运货吨，某物流公司现有吨货物，计划同时租用型车辆，型车辆，一次运完，且恰好每辆车都装满货物．根据以上信息，解答下列问题： (1)一辆型车和一辆型车装满货物一次可分别运货多少吨？ (2)请你帮物流公司设计出所有可行的租车方案． 【答案】(1)辆型车装满货物一次可运吨，辆型车装满货物一次可运吨 (2)方案一：型车辆，型车辆；方案二：型车辆，型车辆；方案三：型车辆，型车辆 【分析】本题主要考查了二元一次方程组和二元一次方程的实际应用，熟练掌握二元一次方程组的实际应用是解题的关键． （1）根据“用辆型车和辆型车装满货物一次可运货吨”“用辆型车和辆型车装满货物一次可运货吨”，分别得出等式方程，组成方程组求出即可； （2）由题意理解出：，解此二元一次方程，求出其整数解，得到三种租车方案． 【详解】（1）解：设每辆型车、型车都装满货物一次可以分别运货吨、吨， 依题意列方程组得： ， 解得：． 答：辆型车装满货物一次可运吨，辆型车装满货物一次可运吨． （2）解：结合题意和（1）得：， ∴， ∵、都是正整数， ∴或或． 答：有种租车方案：方案一：型车辆，型车辆；方案二：型车辆，型车辆；方案三：型车辆，型车辆． 【跟踪专练5】小森制作了一个大正方形纸片（灰色）和四个相同的小正方形纸片（白色），按图1、图2两种方式摆放．    (1)根据图示可知，大正方形纸片（灰色）的边长为______，小正方形纸片（白色）的边长为_____（用含a，b的代数式表示）． (2)求图2中灰色部分的面积（用含a，b的代数式表示）． 【答案】(1)；； (2) 【分析】（1）设大正方形纸片（灰色）的边长为，小正方形纸片（白色）的边长为，根据图形列出二元一次方程组，求解即可； （2）根据灰色部分的面积等于图2中大正方形的面积减去周围四个小正方形的面积列式计算即可． 【详解】（1）解：设大正方形纸片（灰色）的边长为，小正方形纸片（白色）的边长为， 根据题意，可得， 解得， 所以大正方形纸片（灰色）的边长为，小正方形纸片（白色）的边长为． 故答案为：，； （2）图2中灰色部分的面积为 ． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用、完全平方公式的应用、正方形面积公式等知识，理解题意，正确解得大正方形纸片（灰色）的边长和小正方形纸片（白色）的边长是解题关键． 题型07.分配问题(常考点) 【典例】一工坊用铁皮制作糖果盒，每张铁皮可制作盒身20个，或制作盒底30个，一个盒身与两个盒底配成一套糖果盒．现有35张铁皮，则用_________张铁皮做盒身，_________张铁皮做盒底，恰巧配套． 【答案】 15 20 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是正确分析题目中的等量关系．根据题意可知，本题中的相等关系是（1）盒身的个数盒底的个数；(2)制作盒身的白铁皮张数+制作盒底的白铁皮张数，列方程组求解即可． 【详解】解：设用x张制作盒身，y张制作盒底， 根据题意，得， 解得， 故答案为：15，20． 【跟踪专练1】某份资料计划印制10000份，该任务由A，B两台印刷机先后接力完成，A印刷机印制160份，印刷机印制210份．两台印刷机完成该任务共需，甲、乙两人所列的方程组如表所示，下列判断正确的是（    ） 甲 解：设A印刷机印制了，印刷机印制了． 由题意，得 乙 解：设A印刷机印制了份，印刷机印制了份． 由题意，得 A．只有甲列的方程组正确 B．只有乙列的方程组正确 C．甲和乙列的方程组都正确 D．甲和乙列的方程组都不正确 【答案】C 【分析】根据两台印刷机完成该任务共需和资料计划印制10000份，即可列出二元一次方程组． 【详解】解：∵两台印刷机完成该任务共需， ∴可列方程； ∵资料计划印制10000份， ∴可列方程， ∴甲和乙列的方程组都正确， 故选：C． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【跟踪专练2】春季是传染病高发的季节，同学们要勤通风常洗手，为了同学们的身体健康，李老师为全年级师生购买洗手液，根据市场调研，李老师发现某品牌的洗手液的大瓶装和小瓶装两种产品的销售数量（按瓶计算）比为，某厂每天生产这种洗手液22.5吨，请同学们利用二元一次方程组的数学思想，帮助李老师估计一下这些洗手液应该分装多少个大瓶，多少个小瓶才是最合理的？（请同学们注意单位换算） 【答案】这些消毒液应该分装20000大瓶，50000小瓶 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，理解题意找准等量关系，准确列方程组进行计算是解题关键．设这些消毒液应该分装x大瓶，y小瓶，根据题意列出方程组，解方程组求出x，y的值，即可求解． 【详解】解：依题意，22.5吨千克克， 设这些消毒液应该分装x大瓶，y小瓶， 由题意得 ， 解得 ， 答：这些消毒液应该分装20000大瓶，50000小瓶． 【跟踪专练3】今年元旦期间某物流公司计划用两种车型运输新年物资，用2辆A型车和1辆B型车装满物资一次可运10吨：用1辆A型车和2辆B型车一次可运11吨． (1)求每辆A型车和每辆B型车都装满物资一次可分别运多少吨． (2)某物流公司现有31吨货物资，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完且恰好每辆车都装满．若A型车每辆需租金每次200元，B型车租金每次300元，求最少租车费用． 【答案】(1)每辆A型车装满物资一次可运3吨，每辆B型车装满物资一次可运4吨 (2)最省钱的租车方案为租用1辆A型车，7辆B型车，最少租车费为1700元 【分析】本题考查的是二元一次方程（组）的应用； （1）设每辆A型车装满物资一次可运x吨，每辆B型车装满物资一次可运y吨，结合用2辆A型车和1辆B型车装满物资一次可运10吨：用1辆A型车和2辆B型车一次可运11吨，再建立方程组解题即可； （2）计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，装运31吨货物资，建立二元一次方程方程，再利用正整数解的含义解题即可. 【详解】（1）解：设每辆A型车装满物资一次可运x吨，每辆B型车装满物资一次可运y吨， 依题意得：， 解得：， 答：每辆A型车装满物资一次可运3吨，每辆B型车装满物资一次可运4吨； （2）解：依题意得：， ∵a，b均为正整数， ∴或或， ∴该物流公司共有3种租车方案， 方案1：租用9辆A型车，1辆B型车，所需租金（元）； 方案2：租用5辆A型车，4辆B型车，所需租金为（元）； 方案3：租用1辆A型车，7辆B型车，所需租金为（元）； ∵， ∴最省钱的租车方案为租用9辆A型车，1辆B型车，最少租车费为2100元． 题型08.数字问题(常考点) 【典例】小明和小刚在计算两个正整数相加时，小明在第一个加数后面加了个0，得到的和是126，小刚在第二个加数后面加了个0，得到的结果是72，则这两个正整数的和应该是________． 【答案】18 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，设第一个加数为x，第二个加数为y，根据在第一个加数后面加了个0，得到的和是126，在第二个加数后面加了个0，得到的结果是72建立方程组求解即可． 【详解】解：设第一个加数为x，第二个加数为y， 由题意得，， 得：， ∴， 故答案为：18． 【跟踪专练1】如图1是2021年3月份的月历，小军同学用“”字形框在月历上框出四个数字，将该“”字形框上下左右移动，且一定要框住月历中的四个日期，若四个日期如图2所示，则下列关于，的关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据日历上的数字之间的关系列方程组：，再解方程组，再分别检验四个选项即可得到答案． 【详解】解：由题意得： 由②得： 把代入①得： 故不符合题意； 故不符合题意； 故符合题意， 故不符合题意； 故选： 【点睛】本题考查的是二元一次方程组的应用，二元一次方程组的解法，掌握利用二元一次方程组解决日历问题是解题的关键． 【跟踪专练2】山上牧童赶着一群羊，山下牧童也赶着一群羊，山下牧童对山上牧童说：“如果你的羊跑下来4只，那么我们二人的羊恰好相等．”山上牧童说：“如果你的羊跑上来4只，那么我的羊恰好是你的羊的3倍．”他们到底各赶多少只羊？ 【答案】山上本来有只羊，山下本来有只羊 【分析】设山上本来有x只羊，山下本来有y只羊，根据山上牧童说：“如果你的羊跑下来4只，那么我们二人的羊恰好相等．”山上牧童说：“如果你的羊跑上来4只，那么我的羊恰好是你的羊的3倍．”列方程组求解． 【详解】解：设山上本来有x只羊，山下本来有y只羊， 由题意得，， 解得：， 答：山上本来有只羊，山下本来有只羊． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组求解． 【跟踪专练3】某两位数，两个数位上的数之和为．这个两位数加上，得到的两位数恰好等于原两位数的两个数字交换位置所表示的数，求原两位数． (1)列一元一次方程求解． (2)如果设原两位数的十位数字为，个位数字为，列二元一次方程组． (3)检验（1）中求得的结果是否满足（2）中的方程组． 【答案】(1)原两位数为38 (2) (3)（1）中求得的结果满足（2）中的方程组 【分析】（1）设原两位数的个位数字为，则十位数字为，根据题意列出一元一次方程，解方程即可求解； （2）设原两位数的十位数字为，个位数字为，根据题意，列出方程组即可求解； （3）结合（1），可知：，，进而即可求解． 【详解】（1）解：设原两位数的个位数字为，则十位数字为， 依题意，得：， 解得：， ∴． 答：原两位数为38； （2）设原两位数的十位数字为，个位数字为， 依题意，得：； （3）结合（1）可知，，， ∴，， ∴（1）中求得的结果满足（2）中的方程组． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，二元一次方程组的应用，根据题意列出方程（组）是解题的关键． 题型09.古代问题(常考点) 【典例】《九章算术》中有这样一个题：“今有醇酒一斗，值钱五十；行酒一斗，值钱一十．今将钱三十，得酒二斗．问醇、行酒各得几何？”其译文是：今有醇酒（优质酒）1斗，价值钱；行酒（劣质酒）1斗，价值钱．现有钱，买得2斗酒．问醇酒、行酒各能买得多少？设醇酒为斗，行酒为斗，则可列二元一次方程组为______． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的运用，理解数量关系，正确列式是关键． 根据数量关系列二元一次方程组即可． 【详解】解：醇酒（优质酒）1斗，价值钱；行酒（劣质酒）1斗，价值钱，现有钱，买得2斗酒， 设醇酒为斗，行酒为斗， ， 故答案为： ． 【跟踪专练1】《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸：屈绳量之，不足一尺．木长几何？“意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺：将绳子对折再量长木，长木还剩余尺，问木长多少尺？设木长为尺，绳子长为尺，则下列符合题意的方程组是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设木长为尺，绳子长为尺，根据题意列出方程组即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程组是解题的关键． 【详解】解：设木长为尺，绳子长为尺， 根据题意得， 故选：． 【跟踪专练2】我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？”译文：“有若干只鸡与兔在同一个笼子里，从上面数有35个头，从下面数有94只脚，问笼中鸡、兔各有多少只？”请你列方程（组）解决这个问题． 【答案】鸡有23只，兔有12只 【分析】此题考查了二元一次方程组的应用．设鸡有x只，兔有y只，从上面数有35个头，从下面数有94只脚，据此列出方程组，解方程组即可． 【详解】解：设鸡有x只，兔有y只， 根据题意得：， 解得 答：鸡有23只，兔有12只. 【跟踪专练3】某数学兴趣小组研究我国古代《算法统宗》里这样一首诗：“我问旅店店主李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后两句的意思是：如果每间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每间客房住9人，那么就空出一间房． (1)该店客房有多少间？房客有多少人？ (2)假设旅店店主李三公将客房进行改造后，房间数大大增加．每间客房收费200钱，且每间客房最多住4人，一次性订客房18间以上（含18间），房费按八折优惠．若诗中众客再次一起入住，他们如何订房比较合算？ 【答案】(1)该店客房有间，房客有人 (2)他们再次入住定间房时更合算 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用；根据题意得出方程组是解决问题的关键． （1）设该店有客房x间，房客y人；根据题意得出方程组，解方程组即可； （2）根据题意计算：若每间客房住4人，则63名客人至少需客房16间，求出所需付费；若一次性定客房18间，求出所需付费，进行比较， 【详解】（1）解：（1）设客房有x间，房客有y人， 根据题意可得：， 解得： 答：该店客房有8间，房客有63人． （2）如果每4人一个房间，需要，需要16间客房，总费用为（钱）， 如果定18间，其中有四个人一起住，有三个人一起住，则总费用（钱）3200钱， 所以他们再次入住定18间房时更合算． 答：他们再次入住定18间房时更合算． 题型10.图表信息问题 【典例】如图，在幻方中，填入个数字，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等按以上规则填成的幻方中，的值为________． 【答案】 【分析】根据题意可知每行每列每对角线上的三个数之和都相等可知，即可得解； 【详解】∵每行每列每对角线上的三个数之和都相等， ∴， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了有理数的加法，二元一次方程的应用，根据表格，根据每行每列每对角线上的三个数之和都相等得知是解题的关键． 【跟踪专练1】在一个的方格中填写9个数字，使得每行每列每条对角线上的三个数之和相等；得到的的方格称为一个三阶幻方，如图，方格中填写了一些数和字母，为使该方格构成一个三阶幻方，则（    ） 8 2 A． B．10 C．5 D．0 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据每行每列每条对角线上的三个数之和相等，列出二元一次方程组，解方程组，即可解决问题． 【详解】解：由题意得：， 解得：， ∴， 故选：C． 【跟踪专练2】某学校现有甲种材料，乙种材料，制作A，B两种型号的工艺品，用料情况如下表： 需甲种材料 需乙种材料 1件A型工艺品 1件B型工艺品 (1)利用这些材料能制作A，B两种型号的工艺品各多少件？ (2)若每千克甲、乙两种材料分别为8元和10元，问：制作A，B两种型号的工艺品各需材料费多少钱？ 【答案】(1)制作A种型号的工艺品30件，B种型号的工艺品20件 (2)306元，264元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，另外还涉及有理数混合运算的应用； （1）设利用这些材料能制作A种型号的工艺品x件，B种型号的工艺品y件，根据等量关系：两种工艺品所需甲种材料为，两种工艺品所需乙种材料为，列出二元一次方程组，并求解即可； （2）分别计算出制作1件两种型号的工艺品需要的费用，则可计算出制作A，B两种型号的工艺品各需材料费． 【详解】（1）解：设利用这些材料能制作A种型号的工艺品x件，B种型号的工艺品y件， 由题意，得，解得； 答：利用这些材料能制作A种型号的工艺品30件，B种型号的工艺品20件． （2）解：制作1件A种型号的工艺品需要（元）， 则制作A种型号的工艺品需材料费（元）； 制作1件B种型号的工艺品需要（元）， 则制作B种型号的工艺品需材料费（元）． 答：制作A，B两种型号的工艺品各需材料费306元，264元． 【跟踪专练3】张老师在某文体店购买商品A、B若干次（每次A、B两种商品都购买，且A、B都只能购买整数个），其中第一、二两次购买时，均按标价购买，两次购买商品A、B的数量和费用如表所示： 购买商品A的数量/个 购买商品B的数量/个 购买总费用/元 第一次购物 6 5 980 第二次购物 3 7 940 (1)求商品A、B的标价； (2)若张老师第三次购物时，商品A、B同时打6折出售，这次购买总费用为960元，则张老师有哪几种购买方案？ 【答案】(1)商品A的标价为80元/个，商品B的标价为100元/个 (2)张老师共有三种购买方案，方案一：购买15个商品A，4个商品B；方案二：购买10个商品A，8个商品B；方案三：购买5个商品A，12个商品B 【分析】（1）设商品A的标价为x元/个，商品B的标价为y元/个，根据“表格信息”建立方程组，再解方程组即可； （2）设张老师购买m个商品A，n个商品B，根据“这次购买总费用为960元”建立二元一次方程，再利用方程的正整数解可得答案． 【详解】（1）解：设商品A的标价为x元/个，商品B的标价为y元/个， 根据题意得：， 解得：． 答：商品A的标价为80元/个，商品B的标价为100元/个． （2）设张老师购买m个商品A，n个商品B， 根据题意得：， ∴． 当时，；当时，；当时，． 答：张老师共有三种购买方案， 方案一：购买15个商品A，4个商品B； 方案二：购买10个商品A，8个商品B； 方案三：购买5个商品A，12个商品B． 【点睛】本题考查的是二元一次方程组的应用，二元一次方程的正整数解的含义，理解题意，确定相等关系建立方程组或方程是解本题的关键． 题型11.年龄问题 【典例】甲对乙说：“我像你这样大岁数的那年，你的岁数等于我今年的岁数的一半；当你到我这样大岁数的时候，我的岁数是你今年岁数的二倍少7岁．”则今年甲的年龄为___岁． 【答案】28 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，设今年甲的年龄为x岁，乙的年龄为y岁，根据我像你这样大岁数的那年，你的岁数等于我今年的岁数的一半可得方程，根据当你到我这样大岁数的时候，我的岁数是你今年岁数的二倍少7岁可得方程，据此建立方程组求解即可． 【详解】解：设今年甲的年龄为x岁，乙的年龄为y岁， 由题意得，， 解得， ∴今年甲的年龄为28岁， 故答案为：28． 【跟踪专练1】甲是乙现在的年龄时，乙15岁；乙是甲现在的年龄时，甲30岁，那么（   ） A．甲比乙大5岁 B．甲比乙大10岁 C．乙比甲大10岁 D．乙比甲大5岁 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设甲现在的年龄为岁，乙现在的年龄为岁，根据“甲是乙现在的年龄时，乙15岁；乙是甲现在的年龄时，甲30岁”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设甲现在的年龄为岁，乙现在的年龄为岁， 依题意，得：， 解得：． 甲现在的年龄为25岁，乙现在的年龄为20岁， 甲比乙大5岁 故选：A． 【跟踪专练2】某学生想知道李老师的年龄，李老师说：“我像你这么大时，你才2岁，你长到我这么大时，我就35岁了．”请你算一算，今年李老师、该学生各多少岁． 【答案】今年李老师24岁，该学生13岁 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，理解题意设该学生今年x岁，李老师今年y岁，则根据该学生和李老师的年龄差不变，建立方程组求解即可． 【详解】解：设该学生今年x岁，李老师今年y岁，则 相据该学生和李老师的年龄差不变， 可得 解得 答：今年李老师24岁，该学生13岁． 【跟踪专练3】若一个两位数的十位、个位上的数字分别为a、b，记这个两位数为，则，例如． (1)把这个两位数的十位上的数字与个位上的数字交换位置，求证：所得数与原数的和一定能被11整除； (2)若两个年龄各位数字排列顺序颠倒，且经过几年后会重复颠倒这个过程，则称这两个年龄为“颠倒的年龄”．聪明的小明发现他的年龄和他父亲的年龄是“颠倒的年龄”，当小明14岁时，他父亲41岁，并且在经过m年后（父亲年龄仍是两位数）会再次出现颠倒．求出满足上述条件的正数m的值． 【答案】(1)见解析 (2)11、22、33、44、55 【分析】本题考查了整式加减混合运算的应用，二元一次方程的应用，理解题意是解题关键． （1）由题意可知，，，进而得出，即可得证； （2）设小明的年龄为，则他父亲的年龄为，根据“颠倒的年龄”得出，即可得解． 【详解】（1）证明：由题意可知，，， 则， 所以所得数与原数的和一定能被11整除； （2）解：设小明的年龄为，则他父亲的年龄为， 当小明14岁时，他父亲41岁，并且在经过m年后（父亲年龄仍是两位数）会再次出现颠倒， 再次出现颠倒时，， ， ， 解得：， 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 综上可知，正整数m的值为11、22、33、44、55． 题型12.几何问题 【典例】利用一个长方体木块测量一张桌子的高度，首先将木块按如图1所示的方式放置，再更换木块的位置，按如图2所示的方式放置，测得数据如图所示，则桌子的高度是_____________． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设桌子的高度为，木块的高度为，根据题意列出方程组即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设桌子的高度为，木块的高度为， 由题意得，， 解得， ∴桌子的高度是， 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，在大长方形中，放置6个形状、大小都相同的小长方形，则阴影部分的面积之和为（   ） A．54 B．50 C．43 D．34 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是要求学生会根据图示找出数量关系，然后利用数量关系列出方程组解决问题． 设小长方形的长、宽分别为，根据图示可以列出方程组 ，然后解这个方程组即可求出小长方形的面积，接着就可以求出图中阴影部分的面积． 【详解】解：设小长方形的长、宽分别为， 依题意得， 解得， ∴小长方形的长、宽分别为， ． 【跟踪专练2】在长方形中，放入5个形状大小相同的小长方形（空白部分），其中，，求图中阴影部分图形的面积． 【答案】 【分析】设小长方形的长为，宽为，根据图形中大长方形的长和宽列二元一次方程组，求出和的值，即可解决问题．本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为， 根据题意，得：， 解得：， 每个小长方形的面积为， 阴影部分的面积． 【跟踪专练3】某铁件加工厂用图1的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等）可以加工成图2的竖式与横式两种无盖的长方体容器（加工时接缝材料不计）． (1)根据题意可列出以下表格： 1个竖式无盖容器 1个横式无盖容器 长方形铁片的数量 4张 a张 正方形铁片的数量 b张 2张 则_________，_________； (2)若现有170张长方形铁片和80张正方形铁片，用于加工图2的竖式容器和横式容器时，两种铁片刚好全部用完，则可以加工出无盖竖式容器和无盖横式容器各多少个？ (3)已知该铁件加工厂加工出的此竖式容器费用为50元/个，此横式容器的费用为60元/个．若五金店老板计划支付800元用于采购一批竖式容器和横式容器（两种容器都要有），则有哪几种方案可供选择？ 【答案】(1)3，1 (2)可以加工出20个无盖竖式容器，30个无盖横式容器 (3)共有2种方案可供选择，详见解析 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，熟练掌握1个竖式无盖容器需要长方形铁片张数和正方形铁片张数， 1个横式无盖容器需要长方形铁片张数和正方形铁片张数，总价与单价和数量的关系，正确列出二元次方程组（或二元一次方程）是解题的关键． （1）根据“制作1个竖式无盖容器需要4张长方形铁片、1张正方形铁片，制作1个横式无盖容器需要3张长方形铁片、2张正方形铁片”，即可得出结论； （2）设可以加工出x个无盖竖式容器，y个无盖横式容器，根据加工两种容器共用了170张长方形铁片和80张正方形铁片，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （3）设采购m个竖式容器，n个横式容器，利用总价=单价×数量，可列出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数，即可得出各采购方案． 【详解】（1）解：制作1个竖式无盖容器需要4张长方形铁片、1张正方形铁片，制作1个横式无盖容器需要3张长方形铁片、2张正方形铁片， ． 故答案为：3，1； （2）解：设可以加工出x个无盖竖式容器，y个无盖横式容器， 根据题意得：， 解得： 答：可以加工出20个无盖竖式容器，30个无盖横式容器； （3）解：设采购m个竖式容器，n个横式容器， 根据题意得：， ， 又m，n均为正整数， 或， ∴共有2种方案可供选择， 方案1：采购10个竖式容器，5个横式容器； 方案2：采购4个竖式容器，10个横式容器． 题型13.其他实际应用问题 【典例】某校七年级6月初举办了一场“我是数学王”的挑战赛，每场比赛均有25道题，比赛规则如下：做对1题得4分，做错1题倒扣1分，不做既不加分也不减分，总分最高者为当场擂主．小芹在这场赛事中25道题全做了，得分70分，她做对___________道题． 【答案】19 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设小芹做对x道题，做错y道题，根据25道题该生得70分，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】设小芹做对x道题，做错y道题， 根据题意得： 解得： 故答案为：19． 【跟踪专练1】鸡兔在同一笼中，已知笼中共有脚270只，且鸡的头数比兔的头数多30只，则鸡和兔分别是（   ） A．鸡55只、兔25只 B．鸡35只、兔65只 C．鸡65只、兔35只 D．鸡45只、兔15只 【答案】C 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用．设鸡有x只，兔有只，根据“笼中共有脚270只，且鸡的头数比兔的头数多30只”，列出方程组，即可求解． 【详解】解：设鸡有x只，兔有只，根据题意得： ， ②①得：， 解得：，代入①中， 解得：， 则鸡有65只，兔有35只． 故选：C． 【跟踪专练2】为开展“阳光大课间”活动，顺迈学校准备一次性购买若干副乒乓球拍和羽毛球拍（每副乒乓球拍的价格相同，每副羽毛球拍的价格相同），若购买3副乒乓球拍和2副羽毛球拍，则需420元；若购买2副乒乓球拍和5副羽毛球拍，则需720元．购买一副乒乓球拍和一副羽毛球拍各需多少元？（用二元一次方程组解决问题） 【答案】购买一副乒乓球拍需60元，一副羽毛球拍需120元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是仔细审题，找出等量关系． 设购买一副乒乓球拍需x元，一副羽毛球拍需y元，根据等量关系：若购买3副乒乓球拍和2副羽毛球拍，则需420元；若购买2副乒乓球拍和5副羽毛球拍，则需720元，列出方程组求解即可． 【详解】解：设购买一副乒乓球拍需x元，一副羽毛球拍需y元，依题意得： ， 解得， 答：购买一副乒乓球拍需60元，一副羽毛球拍需120元． 【跟踪专练3】端午节即将来临，甲、乙两人相约一起包粽子送亲朋好友．已知甲、乙两人一小时共包个粽子，甲每小时包粽子的个数比乙每小时包粽子的个数多个． (1)问甲、乙两人每小时各包多少个粽子？ (2)现在两人共计划包个粽子，先由两人一起包一段时间，剩下的全部由甲单独包完，恰好共用了个小时全部完成，求两人合作的时间． 【答案】(1)甲每小时包个粽子，乙每小时包个粽子 (2)小时 【分析】（）设甲每小时包个粽子，乙每小时包个粽子，根据题意列出方程组解答即可求解； （）设两人合作了小时，根据题意列出方程解答即可求解； 本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次方程的应用，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】（1）解：设甲每小时包个粽子，乙每小时包个粽子， 根据题意，得， 解得， 答：甲每小时包个粽子，乙每小时包个粽子； （2）解：设两人合作了小时， 根据题意，得， 解得， 答：两人合作了小时． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $