第八章 向量的数量积与三角恒等变换（复习课件）数学人教B版必修第三册

该高中数学单元复习课件系统梳理了向量的数量积（概念、运算律、坐标运算）与三角恒等变换（两角和差、倍角、半角公式等）核心知识，通过单元知识图谱串联考点，结合考点串讲和题型剖析构建知识网络，清晰呈现知识点内在逻辑。 其亮点在于采用“考点串讲-题型剖析-变式训练”分层模式，如向量数量积的模长计算、三角公式化简求值等题型，通过例题解析与变式练习培养学生运算求解和逻辑推理能力，助力教师精准把握学情，帮助学生夯实基础、提升数学核心素养。

单元复习课件 第八章向量的数量积与三角恒等变换 人教B版必修第三册·高一 学习内容导览 单元知识图谱 2 单元复习目标 1 3 考点串讲 针对训练 5 题型剖析 4 6 课堂总结 1.掌握向量数量积的定义、运算律、坐标运算，以及两角和与差、倍角等三角恒等变换公式，夯实核心知识基础，理清知识间的内在关联. 3.体会数形结合、转化与化归的数学思想，培养严谨的数学思维，学会用数学工具分析和解决实际问题，提升数学核心素养. 2. 能熟练运用向量数量积解决长度、夹角、垂直等几何问题，借助三角恒等变换完成三角函数式的化简、求值与证明，提升运算求解与逻辑推理能力. 单元学习目标 向量的数量积 两角和与差的余弦公式 两角和与差的正弦公式 两角和与差的正切公式 倍角公式 半角公式 积化和差 和差化积 单元知识图谱 考点一、向量数量积的概念 知识点一　向量的夹角 定义 已知两个非零向量和，在平面内任选一点O，作＝，＝，则________＝θ叫做向量与的夹角． 范围 ____________ 特例 θ＝______ 与同向 θ＝180° 与反向 θ＝90° 与垂直，记作_________，规定________可与任一向量垂直 ∠AOB 0°≤θ≤180° 0° ⊥ 零向量 考点串讲 知识点二　向量的数量积 向量数量积的定义：_____________叫做向量和的数量积，记作_______． 知识点三　向量的投影与向量数量积的几何意义 1．投影向量的概念：已知向量和直线l，如图．作＝，过点O，A分别作直线l的垂线，垂足分别为O1，A1，则_________叫做向量在直线l上的投影向量(简称投影)． 向量O1A1 考点一、向量数量积的概念 考点串讲 2．投影的数量：向量的方向与直线l的正向所成的角为θ，________称作在________上的数量或在__________上的数量． 3．·等于||与在方向上的投影的乘积，也等于||与在方向上的投影的乘积．其中在方向上的投影与在方向上的投影是不同的，投影是一个数量，不是向量，其值可为正，可为负，也可为零． 知识点四　数量积的性质 1．若是单位向量，则·＝·＝______________． 2．若⊥，则·＝0；反之，若·＝0，则⊥，通常记作⊥⇔·＝0(≠0，≠0)． ||cos θ 直线l 直线l的方向 考点一、向量数量积的概念 考点串讲 注意事项： 向量的数量积·是一个实数，不考虑方向；数乘向量是一个向量，既有大小，又有方向，这是二者的区别 ·与的区别是什么？ (1)意义和表达方式不同． ·表示两个向量的数量积，中间的“·”不能省略，也不能写成“×”． (2)推出的结果不同．由·＝0可推出以下四种可能 ①，，②，，③，，④，，而可推出a与b中至少有一个为0. (3). (4)． (5)对任意两个向量，，有.当且仅当 时等号成立． 考点一、向量数量积的概念 考点串讲 注意事项：若·＝·，则＝不一定成立． 如，时，·＝·，但与不一定相等． 向量数量积的运算律 (1)·＝·(交换律)． (2)(λ)·＝λ(·)＝·(λ)． (3)(＋)·＝·＋·(分配律) 考点二、向量数量积的运算律 考点串讲 考点三、向量数量积的坐标运算 知识点一　两向量的数量积与两向量垂直的坐标表示 (1)向量数量积的坐标运算： 已知＝(a1，a2)，＝(b1，b2)，则·＝__________． (2)用向量的坐标表示两个向量垂直的条件： 设＝(a1，a2)，＝(b1，b2)，则⊥⇔____________． a1b1＋a2b2 a1b1＋a2b2＝0 考点串讲 知识点二　向量的长度、距离和夹角公式 (1)向量的长度： 已知＝(a1，a2)，则||＝__________． (2)两点间的距离： 如果A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 ||＝____________________． (3)两向量的夹角： 设＝(a1，a2)，＝(b1，b2)，则cos〈，〉＝_________________． 考点三、向量数量积的坐标运算 考点串讲 考点四、两角和与差的三角公式 知识点一　两角和与差的余弦公式 Cα＋β：cos (α＋β)＝___________________． Cα－β：cos (α－β)＝___________________． cos αcos β－sin αsin β cos αcos β＋sin αsin β 知识点二　两角和与差的正弦公式 (1)Sα＋β：sin (α＋β)＝__________________． (2)Sα－β：sin (α－β)＝__________________． sin αcos β＋cos αsin β sin αcos β－cos αsin β 考点串讲 知识点三　辅助角公式 y＝a sin x＋b cos x＝____________sin (x＋θ)(a，b不同时为0)，其中cos θ＝____________，sin θ＝____________. 知识点四　两角和差的正切公式 Tα＋β：tan (α＋β)＝_____________． Tα－β：tan (α－β)＝_____________． 考点四、两角和与差的三角公式 考点串讲 考点五、倍角公式 知识点一　倍角公式 S2α：sin 2α＝____________． C2α：cos 2α＝____________＝____________＝____________. T2α：tan 2α＝____________． 倍角公式中的“倍角”是相对的，对于两个角的比值等于2的情况都成立，如2α是α的倍角，8α是4α的倍角，的倍角等等 考点串讲 知识点二　倍角公式的变换 (1)因式分解变换 cos 2α＝cos2α－sin2α＝(cosα＋sin α)(cos α－sin α). (2)配方变换 1±sin 2α＝sin2α＋cos2α±2sinαcos α＝(sin α±cos α)2. (3)升幂缩角变换 1＋cos 2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α. (4)降幂扩角变换 cos2α＝ (1＋cos2α)，sin2α＝ (1－cos2α)，sin αcos α＝sin 2α. 考点五、倍角公式 考点串讲 考点六、三角恒等变换的应用 知识点一　半角公式 sin ＝___________，cos ＝____________， tan ＝_______________________． ± ± ±＝＝ 1.如果没有给出决定符号的条件，则在根号前保留正负两个符号． 2.若给出角α的具体范围(即某一区间)时，则先求角所在范围，然后再根据角所在象限确定符号 考点串讲 知识点二　积化和差公式 cos αcos β＝_____________________； sin αsin β＝______________________； sin αcos β＝____________________； cos αsin β＝____________________． [cos (α＋β)＋cos (α－β)] － [cos (α＋β)－cos (α－β)] [sin (α＋β)＋sin (α－β)] [sin (α＋β)－sin (α－β)] 考点六、三角恒等变换的应用 考点串讲 知识点三　和差化积公式 设α＋β＝x，α－β＝y，则α＝________，β＝________．这样，上面的四个式子可以写成 sin x＋sin y＝________________； sin x－sin y＝________________； cos x＋cos y＝________________； cos x－cos y＝________________． 2sincos 2cossin 2coscos －2sinsin 只有系数绝对值相同的同名函数的和与差，才能直接运用公式化成积的形式，如果是一个正弦与一个余弦的和或差，则要先用诱导公式化成同名函数后再运用公式 考点六、三角恒等变换的应用 考点串讲 题型一、与向量数量积有关的概念 例1　(1)以下四种说法中正确的是________．(填序号) ①如果·＝0，则＝0或＝0； ②如果向量与满足·<0，则与所成的角为钝角； ③△ABC中，如果·＝0，那么△ABC为直角三角形； ④如果向量与是两个单位向量，则2＝2. 【解析】　由数量积的定义知·＝||||·cos θ(θ为向量，的夹角)． ①若·＝0，则θ＝90°或＝0或＝0，故①错； ②若·<0，则θ为钝角或θ＝180°，故②错； ③由·＝0知B＝90°，故△ABC为直角三角形，故③正确； ④由2＝||2＝1，2＝||2＝1，故④正确． ③④ 题型剖析 (2)已知||＝3，||＝5，且·＝－12，则在方向上的投影的数量为________，在方向上的投影的数量为________． － －4 【解析】　设与的夹角为θ，则有·＝||·||cos θ＝－12， 所以向量在向量方向上的投影的数量为||·cos θ＝＝＝－；向量在向量方向上的投影的数量为||·cos θ＝＝＝－4. 题型一、与向量数量积有关的概念 题型剖析 1.在书写数量积时，与之间用实心圆点“·”连接，而不能用“×”连接，更不能省略不写． 2.求平面向量数量积的方法： ①若已知向量的模及其夹角，则直接利用公式·＝||||cos θ. ②若已知一向量的模及另一向量在该向量上的投影，可利用数量积的几何意义求·. 题型一、与向量数量积有关的概念 题型剖析 变式1 给出下列判断：①若2＋2＝0，则＝＝0；②已知，，是三个非零向量，若＋＝0，则|·|＝|·|；③，共线⇔·＝||||；④||||<·；⑤··＝||3；⑥2＋2≥2·；⑦向量，满足：·>0，则与的夹角为锐角；⑧若，的夹角为θ，则||cos θ表示向量在向量方向上的投影长． 其中正确的是________．(填序号) ①②⑥ 解析：由于2≥0，2≥0，所以，若2＋2＝0，则＝＝0，故①正确； 若＋＝0，则＝－，又，，是三个非零向量，所以·＝－·，所以|·|＝|·|，②正确； ，共线⇔·＝±||||，所以③不正确； 对于④应有||||≥·，所以④不正确； 对于⑤，应该是··＝||2，所以⑤不正确； ⑥2＋2≥2||||≥2·，故正确； 当与的夹角为0°时，也有·>0，因此⑦错； |b|cos θ表示向量在向量方向上的投影，而不是投影长，故⑧错． 综上可知①②⑥正确． 题型一、与向量数量积有关的概念 题型剖析 题型二、数量积的基本运算 例2　已知||＝4，||＝5，当(1)∥；(2)⊥；(3)与的夹角为135°时，分别求与的数量积． 【解析】　设向量与的夹角为θ， (1)∥时，有两种情况： ①若和同向，则θ＝0°， ·＝||||cos 0°＝20； ②若与反向，则θ＝180°， ·＝||||cos 180°＝－20. (2)当⊥时，θ＝90°， ·＝0. (3)当与的夹角为135°时， ·＝||||cos 135°＝－10. 题型剖析 (1)求平面向量数量积的步骤是： ①求与的夹角θ，θ∈[0，π]； ②分别求||和||； ③求数量积，即·＝||||cos θ. (2)非零向量与共线的条件是·＝±||||. 题型二、数量积的基本运算 题型剖析 题型二、数量积的基本运算 变式2　已知正三角形ABC的边长为1，求： (1)·；(2)·；(3)·. 解析：(1)与的夹角为60°， ·＝||||cos 60°＝1×1×＝. (2)与的夹角为120°， ·＝||||cos 120°＝1×1×(－)＝－. (3)与的夹角为60°， ·＝||||cos 60°＝1×1×＝. 题型剖析 题型三、与向量模有关的问题 例3　设向量，满足||＝||＝1，·＝－，则|＋2|等于(　　) A． B． C． D． 【解析】　由于|＋2|2＝2＋4·＋42＝3，所以|＋2|＝，故选B. 【答案】　B 题型剖析 1.此类求模问题一般转化为求模平方，与数量积联系． 2.利用或， 可以实现实数运算与向量运算的相互转化． 题型三、与向量模有关的问题 题型剖析 题型三、与向量模有关的问题 变式3　已知x＝1是方程x2＋||x＋·＝0的根，且2＝4，与的夹角为120°，求向量的模． 解析：因为2＝4，所以||2＝4，即||＝2， 将x＝1代入原方程可得1＋2×1＋·＝0，所以·＝－3， 所以，所以||＝3. 题型剖析 题型四、平面向量数量积的性质 例4　(1)已知||＝3，||＝2，向量，的夹角为60°，＝3＋5，＝m－3，求当m为何值时，与垂直？ 【解析】　由已知得·＝3×2×cos 60°＝3. 由⊥，知·＝0， 即·＝(3＋5)·(m －3) ＝3m 2＋(5m－9)·－152＝27m＋3(5m－9)－60＝42m－87＝0， ∴m＝，即m＝时，与垂直． 题型剖析 (2)已知，是两个非零向量． ①若||＝3，||＝4，|·|＝6，求与的夹角； ②若||＝||＝|－|，求与＋的夹角． 【解析】　①因为·＝||||cos 〈，〉， 所以|·|＝|||||cos 〈，〉|＝|||||cos 〈，〉|＝6. 又因为||＝3，||＝4， 所以|cos 〈，〉|＝＝＝，所以cos 〈，〉＝±. 因为〈，〉∈[0，π]，所以与的夹角为或. ②如图，在平面内取一点O，作＝，＝，以为邻边作▱OACB， 因为||＝||，即||＝||，所以四边形OACB为菱形，OC平分∠AOB， 这时＝＋，＝－，因为||＝||＝|－|，即||＝||＝||， 所以∠AOB＝，所以∠AOC＝，即与＋的夹角为. 题型四、平面向量数量积的性质 题型剖析 1.已知非零向量，，若⊥，则·＝0，反之也成立． 2.设与的夹角为θ，利用公式cos θ＝可求夹角θ，求解时注意向量夹角θ的取值范围θ∈[0，π]. 题型四、平面向量数量积的性质 题型剖析 变式4　若非零向量，满足||＝3||＝|＋2|，则与夹角的余弦值为________． － 解析：设与夹角为θ，因为||＝3||， 所以||2＝9||2， 又||＝|＋2|，所以||2＝||2＋4||2＋4· ＝||2＋4||2＋4||·||·cos θ＝13||2＋12||2cos θ， 即9||2＝13||2＋12||2cos θ，故有cos θ＝－. 题型四、平面向量数量积的性质 题型剖析 题型五、平面向量数量积的坐标运算 例5　(1)已知向量＝(1，2)，＝(2，x)，且·＝－1，则x的值等于(　　) A． B.－ C． D．－ 【答案】　D 【解析】　因为＝(1，2)，＝(2，x)，所以·＝(1，2)·(2，x)＝1×2＋2x＝－1，解得x＝－. 题型剖析 题型五、平面向量数量积的坐标运算 (2)已知向量＝(－1，2)，＝(3，2)，则·＝________，·(－)＝________． 1 【解析】　·＝(－1，2)·(3，2)＝(－1)×3＋2×2＝1， ·(－)＝(－1，2)·[(－1，2)－(3，2)]＝(－1，2)·(－4，0)＝4. 4 (3)已知＝(2，－1)，＝(3，2)，若存在向量，满足·＝2，·＝5，则向量＝________． () 【解析】　设＝(x，y)，因为·＝2，·＝5， 所以解得 所以＝()． 题型剖析 1.进行数量积运算时，要正确使用公式·＝，并能灵活运用以下几个关系： ||2＝·；(＋)·(－)＝||2－||2； (＋)2＝||2＋2·＋||2. 2.通过向量的坐标表示可实现向量问题的代数化，应注意与函数、方程等知识的联系． 3.向量数量积的运算有两种思路：一种是向量式，另一种是坐标式，两者相互补充． 题型五、平面向量数量积的坐标运算 题型剖析 变式5　设向量＝(1，－2)，向量＝(－3，4)，向量＝(3，2)，则(＋2)·＝(　　) A．(－15，12) B．0 C．－3 D．－11 答案：C 解析：依题意可知，＋2＝(1，－2)＋2(－3，4)＝(－5，6)， ∴(＋2)·＝(－5，6)·(3，2)＝－5×3＋6×2＝－3. 题型五、平面向量数量积的坐标运算 题型剖析 例6　(1)设平面向量＝(1，2)，＝(－2，y)，若∥，则|2－|等于(　　) A.4 B．5 C．3 D．4   【答案】　D 【解析】　由∥，得y＋4＝0， y＝－4，＝(－2，－4)， ∴2－＝(4，8)，∴|2－|＝4.故选D. 题型六、向量模问题 题型剖析 (2)已知向量＝(1，2)，＝(－3，2)，则|＋|＝________，|－|＝________． 2 4 【解析】　由题意知，＋＝(－2，4)，－＝(4，0)， 因此|＋|＝2，|－|＝4. 题型六、向量模问题 题型剖析 向量模的问题的解题策略： (1)字母表示下的运算，利用||2＝2将向量模的运算转化为向量的数量积的运算． (2)坐标表示下的运算，若＝(x，y)，则||＝. 题型六、向量模问题 题型剖析 变式6　(1)向量，满足||＝3，＝(1，2)，·＝2，则|2－|＝________. (2)已知向量＝(2x＋3，2－x)，＝(－3－x，2x)(x∈R)，则|＋|的取值范围为___________． [，＋∞) 解析：(1)由题意可得2＝12＋22＝5， 因此，|2－|＝＝ ＝＝. (2)∵＋＝(x，x＋2)， ∴|＋|＝＝ ＝， ∴|＋|∈[，＋∞)． 题型六、向量模问题 题型剖析 例7　(1)已知＝(2，1)，＝(1，t)，若·＝5，则cos 〈，〉＝________. 【解析】　由·＝5得2×1＋1×t＝5，解得t＝3， 所以＝(1，3)， 所以||＝＝，||＝＝， 所以cos 〈，〉＝＝＝. 题型七、向量数量积的运算 题型剖析 (2)已知向量＝(2，1)，＝(1，k)，且与的夹角为锐角，则实数k的取值范围是(　　) A．(－2，＋∞) B．(－2，，＋∞) C．(－∞，－2) D．(－2，2) 【答案】　B 【解析】　当与共线时，2k－1＝0，k＝，此时，方向相同，夹角为0°，所以要使与的夹角为锐角，则有·>0且，不同向．由·＝2＋k>0得k>－2，且k≠，即实数k的取值范围是(－2，，＋∞)，选B. 题型七、向量数量积的运算 题型剖析 1．利用数量积的坐标表示求两向量夹角的步骤： ①求向量的数量积．利用向量数量积的坐标表示求出这两个向量的数量积． ②求模．利用||＝计算两向量的模． ③求夹角余弦值．由公式cos θ＝求夹角的余弦值． ④求角．由向量夹角的范围及cos θ求θ的值． 2．求向量夹角的方法技巧 (1)若求向量与的夹角，利用公式cos 〈，〉＝＝，当向量的夹角为特殊角时，再求出这个角． (2)非零向量与的夹角θ与向量的数量积的关系： ①若θ为直角，则充要条件为向量⊥，则转化为·＝0⇔x1x2＋y1y2＝0. ②若θ为锐角，则充要条件为·>0，且与的夹角不能为0(即与的方向不能相同)． ③若θ为钝角，则充要条件为·<0，且与的夹角不能为π(即与的方向不能相反)． 3．非零向量，垂直问题的解决方法 涉及非零向量，垂直问题时，一般借助⊥⇔·＝x1x2＋y1y2＝0来解决． 题型七、向量数量积的运算 题型剖析 变式7　(1)已知平面向量＝(3，4)，＝(9，x)，＝(4，y)，且∥，⊥. ①求与； ②若＝2－，＝＋，求向量，的夹角的大小． 解析：①因为∥，所以3x＝4×9，所以x＝12. 因为⊥，所以3×4＋4y＝0，所以y＝－3， 所以＝(9，12)，＝(4，－3)． ②＝2－＝(6，8)－(9，12)＝(－3，－4)， ＝＋c＝(3，4)＋(4，－3)＝(7，1)． 设，的夹角为θ， 则cos θ＝＝＝＝－. 因为θ∈[0，π]，所以θ＝，即，的夹角为. 题型七、向量数量积的运算 题型剖析 (2)若向量＝(k，3)，＝(1，4)，＝(2，1)，已知2－3与的夹角为钝角，则k的取值范围是___________________. 解析：2－3＝2(k，3)－3(1，4)＝(2k－3，－6)． 因为2－3与的夹角为钝角， 则(2k－3，－6)·(2，1)<0且不反向， 即4k－6－6<0， 解得k<3. 当2－3与反向时，k＝－， 所以k的范围是k<3且k≠－. (－∞，－，3) 题型七、向量数量积的运算 题型剖析 例8　已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则·的取值范围是(　　) A．(－2，6) B．(－6，2) C．(－2，4) D．(－4，6) 【答案】　A 【解析】　设P(x，y)，建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0，0)，B(2，0)，＝(x，y)，＝(2，0)，所以·＝2x，由题意可得点C的横坐标为3，点F的横坐标为－1，所以－1<x<3，所以－2<·<6. 题型八、数量积运算解决平面几何问题 题型剖析 用向量方法解决平面几何问题的步骤 题型八、数量积运算解决平面几何问题 题型剖析 变式8　已知点A(2，1)，B(3，2)，D(－1，4)． (1)求证：AB⊥AD； (2)要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标以及矩形ABCD两对角线所夹锐角的余弦值． 解析：(1)因为A(2，1)，B(3，2)，D(－1，4)，＝(1，1)，＝(－3，3)， 所以·＝1×(－3)＋1×3＝0，所以⊥， 即AB⊥AD. (2)因为⊥，四边形ABCD为矩形，所以＝，设C点的坐标为(x，y)， 则由＝(1，1)，＝(x＋1，y－4)，得解得 所以C点的坐标为(0，5)， 从而＝(－2，4)，＝(－4，2)，且||＝2，||＝2. ·＝8＋8＝16， 则cos 〈〉＝＝＝， 所以矩形的两条对角线的夹角的余弦值为. 题型八、数量积运算解决平面几何问题 题型剖析 例9.化简下列各式： ①cos (θ＋21°)cos (θ－24°)＋sin (θ＋21°)sin (θ－24°)； ②－sin 167°·sin 223°＋sin 257°·sin 313°. 【解析】　①原式＝cos [θ＋21°－(θ－24°)]＝cos 45°＝，所以原式＝； ②原式＝－sin (180°－13°)sin (180°＋43°)＋sin (180°＋77°)·sin (360°－47°)＝sin 13°sin 43°＋sin 77°sin 47° ＝sin 13°sin 43°＋cos 13°cos 43° ＝cos (13°－43°)＝cos (－30°)＝. 题型九、两角和与差的余弦公式化简求值 题型剖析 (1)在两角和与差的余弦公式中，α，β可以是单个角，也可以是两个角的和或差，在运用公式时常将两角的和或差视为一个整体． (2)在两角和与差的余弦公式求值应用中，一般思路是： ①把非特殊角转化为特殊角的和或差，正用公式直接求值． ②在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角和或差的余弦公式的结构形式，然后逆用公式求值． 题型九、两角和与差的余弦公式化简求值 题型剖析 变式9　求下列各式的值： (1)cos ； (2)sin 460°sin (－160°)＋cos 560°cos (－280°)； (3)cos (α＋20°)cos (40°－α)－sin (α＋20°)sin (40°－α)． 解析：(1)cos ＝cos (π＋)＝－cos ＝－cos ()＝－cos () ＝－(cos cos ＋sin sin )＝－()＝－. (2)原式＝－sin 100°sin 160°＋cos 200°cos 280° ＝－sin 80°sin 20°－cos 20°cos 80°＝－(cos 80°cos 20°＋sin 80°sin 20°) ＝－cos 60°＝－. (3)cos (α＋20°)cos (40°－α)－sin (α＋20°)·sin (40°－α) ＝cos [(α＋20°)＋(40°－α)] ＝cos 60°＝. 题型九、两角和与差的余弦公式化简求值 题型剖析 例2　(1)已知cos α＝，α∈(π，2π)，则cos (α－)＝________． 【解析】　因为cos α＝，α∈(，2π)， 所以sin α＝－， 所以cos (α－)＝cos αcos ＋sin αsin ＝＋(－)×＝. 题型九、两角和与差的余弦公式求值应用 题型剖析 (2)α，β为锐角，cos (α＋β)＝，cos (2α＋β)＝，求cos α的值． 【解析】　因为α，β为锐角，所以0<α＋β<π. 又因为cos (α＋β)＝，所以0<α＋β<，所以0<2α＋β<π. 又因为cos (2α＋β)＝，所以0<2α＋β<， 所以sin (α＋β)＝，sin (2α＋β)＝， 所以cos α＝cos [(2α＋β)－(α＋β)] ＝cos (2α＋β)·cos (α＋β)＋sin (2α＋β)·sin (α＋β) ＝＝. 题型九、两角和与差的余弦公式求值应用 题型剖析 给值求值的解题步骤： (1)找角的差异．已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，先注意观察已知角与所求表达式中角的差异． (2)拆角与凑角．根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换．常见角的变换有： α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)，α＝(2α－β)－(α－β)，α＝[(α＋β)＋(α－β)]，α＝[(β＋α)－(β－α)]等． (3)求解．结合公式求解便可． 题型九、两角和与差的余弦公式求值应用 题型剖析 变式9已知cos α＝，cos (α＋β)＝－，且α，β∈(0，)，求cos β的值． 解析：∵α，β∈(0，)，∴α＋β∈(0，π)． 又∵cos α＝，cos (α＋β)＝－， ∴sin α＝＝，sin(α＋β)＝＝. 又∵β＝(α＋β)－α， ∴cosβ＝cos [(α＋β)－α] ＝cos (α＋β)cos α＋sin (α＋β)sin α ＝(－)× ＝. 题型九、两角和与差的余弦公式求值应用 题型剖析 例10　(1)设α，β都是锐角，且cos α＝，sin (α＋β)＝，则cos β等于(　　) A． B． C．或 D．或 【答案】　A 【解析】　依题意得sin α＝＝， cos(α＋β)＝±＝±. 又α，β均为锐角， 所以0<α<α＋β<π，cosα>cos (α＋β)． 因为>>－，所以cos (α＋β)＝－. 于是cos β＝cos [(α＋β)－α]＝cos (α＋β)cos α＋sin (α＋β)sin α＝－＝. 题型十、利用角的变换求三角函数值 题型剖析 巧妙变角是指将已知角灵活分拆、配凑成待求的角．主要针对已知某些角的三角函数值，求（或证明）另外角的三角函数值的题目，解决问题的关键是要善于观察． 常见的“变角”有： ①单角变为和（差）角，如α＝（α－β）＋β，β＝等； ②倍角化为和（差）角，如2α（α+β）+（α－β）＝等 题型十、利用角的变换求三角函数值 题型剖析 变式10　(1)设cos (α－)＝－，sin (－β)＝，其中α∈(，π)，β∈(0，)，求cos 的值． 解析：(1)∵α∈(，π)，β∈(0，)， ∴α－∈(，π)，－β∈(－)， ∴sin (α－)＝＝＝，cos(－β)＝＝＝， ∴cos ＝cos [(α－)－(－β)] ＝cos (α－)cos (－β)＋sin (α－)sin (－β) ＝－＝. 题型十、利用角的变换求三角函数值 题型剖析 (2)已知＝(cos α，sin α)，＝(cos β，－sin β)，α，β均为锐角，且|－|＝. ①求cos (α＋β)的值； ②若sin α＝，求cos β的值． (2)①由题意得||＝1，||＝1， 所以|－|2＝(－)2＝2－2·＋2 ＝2－2(cos αcos β－sin αsin β) ＝2－2cos (α＋β)＝，解得cos (α＋β)＝. ②因为α，β∈(0，)，所以α＋β∈(0，π)， 由sin α＝，cos (α＋β)＝可得cos α＝，sin (α＋β)＝， 所以cos β＝cos [(α＋β)－α] ＝cos (α＋β)cos α＋sin (α＋β)sin α ＝＝. 题型十、利用角的变换求三角函数值 题型剖析 例11　(1)＝(　　) A．－ B．－ C． D． 【答案】　C 【解析】　 ＝ ＝ ＝＝sin 30°＝. 题型十一、两角和与差正弦公式化简 题型剖析 (2)求sin 157°cos 67°＋cos 23°sin 67°的值； 【解析】　原式＝sin (180°－23°)cos 67°＋cos 23°sin 67° ＝sin 23°cos 67°＋cos 23°sin 67°＝sin (23°＋67°)＝sin 90°＝1. (3)求sin (θ＋75°)＋cos (θ＋45°)－cos (θ＋15°)的值． 【解析】　sin (θ＋75°)＋cos (θ＋45°)－cos (θ＋15°) ＝sin (θ＋15°＋60°)＋cos (θ＋15°＋30°)－cos (θ＋15°) ＝sin (θ＋15°)cos 60°＋cos (θ＋15°)sin 60°＋cos (θ＋15°)·cos 30°－sin (θ＋15°)sin 30°－cos (θ＋15°) ＝sin (θ＋15°)＋cos (θ＋15°)＋cos (θ＋15°)－sin (θ＋15°)－cos (θ＋15°)＝0. 题型十一、两角和与差正弦公式化简 题型剖析 (1)对于非特殊角的三角函数式，要想利用两角和与差的正弦、余弦公式求出具体数值，一般有以下三种途径： ①化为特殊角的三角函数值； ②化为正负相消的项，消去，求值； ③化为分子、分母形式，进行约分再求值． (2)在进行求值过程的变换中，一定要本着先整体后局部的基本原则，先整体分析三角函数式的特点，如果整体符合三角公式，则整体变形，否则进行各局部的变换． 题型十一、两角和与差正弦公式化简 题型剖析 变式11　化简下列各式： (1)sin (x＋)＋2sin (x－)－cos (－x)； (2)－2cos (α＋β)． 解析：(1)原式＝sin x cos ＋cos x sin ＋2sin x cos －2cos x sin cos cos x－sin sin x ＝sin x＋cos x＋sin x－cos x＋cos x－sin x ＝(＋1－)sin x＋()cos x＝0. (2)原式＝ ＝ ＝ ＝. 题型十一、两角和与差正弦公式化简 题型剖析 例12　(1)设α∈(，π)，β∈(，2π)，若cos α＝－，sin β＝－， 求sin (α＋β)的值． 【解析】　因为α∈(，π)，cos α＝－， 所以sin α＝， 因为β∈(，2π)，sin β＝－， 所以cos β＝. 所以sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β ＝＋(－)×(－)＝. 题型十二、两角和与差正弦公式求值应用 题型剖析 (1)当“已知角”有两个或多个时，“所求角”一般可以表示为其中两个“已知角”的和或差的形式． (2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”． (3)角的拆分方法不唯一，可根据题目合理选择拆分方式． 提醒：解题时要重视角的范围对三角函数值的制约，从而恰当、准确地求出三角函数值． 题型十二、两角和与差正弦公式求值应用 题型剖析 变式12　已知0<β<α<，点P(1，4)为角α的终边上一点，且sin αsin (－β)＋cos αcos (＋β)＝，则角β＝(　　) A． B． C． D． 答案：D 解析：因为|OP|＝7，所以sin α＝，cos α＝. 由已知sin αsin (－β)＋cos αcos (＋β)＝， 根据诱导公式化简得sin αcos β－cos αsin β＝， 所以sin (α－β)＝， 因为0<β<α<，所以0<α－β<， 所以cos (α－β)＝＝， 所以sinβ＝sin [α－(α－β)]＝sin αcos (α－β)－cos αsin (α－β) ＝＝， 因为0<β<，所以角β＝. 题型十二、两角和与差正弦公式求值应用 题型剖析 例13　(1)函数f(x)＝sin 2x＋cos 2x的单调递增区间是(　　) A．[kπ－，kπ＋](k∈Z) B．[2kπ－，2kπ＋](k∈Z) C．[kπ－，kπ＋](k∈Z) D．[2kπ－，2kπ＋](k∈Z) 【答案】　A 【解析】　f(x)＝sin 2x＋cos 2x＝2sin (2x＋)， 由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z， 得kπ－≤x≤kπ＋，(k∈Z)， 即函数的单调递增区间为[kπ－，kπ＋](k∈Z)． 题型十三、辅助角公式应用 题型剖析 (2)设函数f(x)＝sin x＋sin (x＋)． ①求f(x)的最小值，并求使f(x)取得最小值的x的集合； ②不画图，说明函数y＝f(x)的图象可由y＝sin x的图象经过怎样的变换得到． 【解析】　①f(x)＝sin x＋sin x cos ＋cos x sin ＝sin x＋sin x＋cos x＝sin x＋cos x ＝(sin x cos ＋cos x sin )＝sin (x＋)， 当sin (x＋)＝－1时，f(x)min＝－， 此时x＋＝＋2kπ(k∈Z)，所以x＝＋2kπ(k∈Z)． 所以f(x)的最小值为－，x的集合为{x|x＝＋2kπ，k∈Z}． ②将y＝sin x的图象上所有点的横坐标不变，纵坐标变为原来的倍，得y＝sin x的图象； 然后将y＝sin x的图象上所有的点向左平移个单位长度，得f(x)＝sin (x＋)的图象． 题型十三、辅助角公式应用 题型剖析 (1)两角和与差的正弦公式的结构特点 ①公式中的α，β均为任意角． ②两角和与差的正弦公式可以看成是诱导公式的推广，诱导公式可以看成是两角和与差的正弦公式的特例． ③两角和与差的正弦公式结构是“正余余正，加减相同”，两角和与差的余弦公式结构是“余余正正，加减相反”． (2)两角和与差的正弦、余弦公式的内在联系 (3)使用和差公式时不仅要会正用，还要能够逆用公式 题型十三、辅助角公式应用 题型剖析 变式13　(1)已知＝(，－1)，＝(sin x，cos x)，x∈R，f(x)＝·，求函数f(x)的周期，值域，单调递增区间； 解析：f(x)＝sin x－cos x ＝2(sin x·－cos x·) ＝2(sin x cos －cos x sin )＝2sin (x－)， 所以T＝＝2π，值域为[－2，2]. 由－＋2kπ≤x－＋2kπ， 得单调递增区间[－＋2kπ，＋2kπ]，k∈Z. 题型十三、辅助角公式应用 题型剖析 (2)已知函数f(x)＝sin 2x＋cos 2x，将函数y＝f(x)的图象向右平移个单位，得到函数y＝g(x)的图象，则函数y＝g(x)图象的一个对称中心是(　　) A．(，0) B．(，0) C．(，0) D．(，0) 答案：C 解析：f(x)＝sin 2x＋cos 2x＝sin (2x＋)， 将函数y＝f(x)的图象向右平移个单位， 得到函数y＝g(x)的图象， 即g(x)＝sin [2(x－)＋]＝sin (2x－)， 由2x－＝kπ，得x＝，k∈Z， 当k＝1时，x＝＝， 即函数g(x)的一个对称中心为(，0)． 题型十三、辅助角公式应用 题型剖析 例14　求下列各式的值： (1)tan 15°； (2)； (3)tan 23°＋tan 37°＋tan 23°tan 37°. 【解析】　(1)tan 15°＝tan (45°－30°) ＝ ＝＝＝2－. (2)＝ ＝ ＝tan (30°－75°)＝tan (－45°)＝－tan 45°＝－1. (3)∵tan (23°＋37°)＝tan 60°＝＝， ∴tan 23°＋tan 37°＝(1－tan 23°tan 37°)， ∴原式＝(1－tan 23°tan 37°)＋tan 23°tan 37°＝. 题型十四、两角和与差正切公式化简求值 题型剖析 (1)公式Tα＋β，Tα－β是变形较多的两个公式，公式中有tan αtan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan (α＋β)(或tan (α－β)).三者知二可表示或求出第三个． (2)一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换． 题型十四、两角和与差正切公式化简求值 题型剖析 变式14　求下列各式的值： (1)； (2)tan 36°＋tan 84°－tan 36°tan 84°.   解析：(1)原式＝＝ ＝tan (45°－75°)＝tan (－30°)＝－tan 30°＝－. (2)原式＝tan 120°(1－tan 36°tan 84°)－tan 36°tan 84° ＝tan 120°－tan 120°tan 36°tan 84°－tan 36°tan 84° ＝tan 120°＝－. 题型十四、两角和与差正切公式化简求值 题型剖析 例15　已知△ABC中，tan B＋tan C＋tan B tan C＝，且tan A＋tan B＋1＝tan A tan B，判断△ABC的形状． 【解析】　由tan A＝tan [π－(B＋C)] ＝－tan (B＋C) ＝ ＝＝－. 而0°＜A＜180°， ∴A＝120°. 由tan C＝tan [π－(A＋B)]＝＝＝， 而0°＜C＜180°， ∴C＝30°，∴B＝30°. ∴△ABC是顶角为120°的等腰三角形． 题型十五、两角和与差正切公式变式应用 题型剖析 公式Tα＋β的逆用及变形应用的解题策略 (1)“1”的代换：在Tα＋β中，如果分子中出现“1”常利用1＝tan 45°来代换，以达到化简求值的目的， 如＝tan (－α)； ＝tan (α＋). (2)整体意识：若化简的式子中出现了“tan α±tan β”及“tan α·tan β”两个整体，常考虑tan (α±β)的变形公式． 题型十五、两角和与差正切公式变式应用 题型剖析 变式15　(1)例题中把条件改为“tan B＋tan C－tan B tan C＝－，且tan A＋tan B＋1＝tan A tan B”，结果如何？ 解析：由tan A＝tan [π－(B＋C)] ＝－tan (B＋C)＝ ＝＝. 又0°<A<180°，所以A＝60°. 由tan C＝tan [π－(A＋B)] ＝＝＝. 又0°<C<180°， 所以C＝60°，所以B＝60°. 所以△ABC是等边三角形． 题型十五、两角和与差正切公式变式应用 题型剖析   (2)tan 72°－tan 42°－tan 72°tan 42°＝________． 解析：原式＝tan (72°－42°)(1＋tan 72°·tan 42°)－tan 72°·tan 42° ＝tan 30°(1＋tan 72°tan 42°)－tan 30°tan 72°tan 42°＝tan 30°＝. 题型十五、两角和与差正切公式变式应用 题型剖析 例16　化简求值． (1)cos4－sin4； (2)sin·cos ·cos ； (3)1－2sin2750°； (4). 【解析】　(1)cos4－sin4 ＝(cos2－sin2)(cos2＋sin2) ＝cosα. (2)原式＝(2sin cos )cos ＝sin cos ＝(2sin cos ) ＝sin ＝. (3)原式＝cos (2×750°)＝cos 1 500° ＝cos (4×360°＋60°) ＝cos 60°＝. (4)＝·＝·tan45°＝. 题型十六、利用倍角公式化简求值 题型剖析 (1)公式的逆用：逆用公式，这种在原有基础上的变通是创新意识的体现．主要形式有： 2sinαcos α＝sin 2α，sin αcos α＝sin 2α， cos α＝，cos2α－sin2α＝cos 2α，＝tan 2α. (2)公式的变形：公式间有着密切的联系，这就要求思考时要融会贯通，有目的地活用公式．主要形式有： 1±sin 2α＝sin2α＋cos2α±2sin αcos α＝(sin α±cos α)2， 1＋cos 2α＝2cos2α，cos2α＝，sin2α＝. 题型十六、利用倍角公式化简求值 题型剖析 变式16　求下列各式的值： (1)sin cos ； (2)2sin2＋1； (3)cos20°cos 40°cos 80°；(4). 解析：(1)原式＝＝＝. (2)原式＝－(1－2sin2)＋2＝2－cos＝. (3)原式＝ ＝ ＝＝＝. (4)原式＝＝＝2. 题型十六、利用倍角公式化简求值 题型剖析 例17　(1)已知sin α＝3cos α，那么tan 2α的值为(　　) A．2 B．－2 C． D．－ 【答案】　D 【解析】　因为sin α＝3cos α， 所以tan α＝3， 所以tan 2α＝＝＝－. 题型十七、倍角公式求值应用 题型剖析 (2)已知sin (＋α)＝，则cos (－2α)的值等于(　　) A． B． C．－ D．－ 【答案】　C 【解析】　因为cos (－α)＝sin [－(－α)]＝sin (＋α)＝， 所以cos (－2α)＝2cos2(－α)－1＝2×()2－1＝－. 题型十七、倍角公式求值应用 题型剖析 直接应用倍角公式求值的三种类型 (1)sin α(或cos α)cos α(或sin α)sin 2α(或cos 2α)． (2)sin α(或cos α)cos 2α＝1－2sin2α(或2cos2α－1)． (3)sinα(或cos α) 题型十七、倍角公式求值应用 题型剖析 变式17　(1)已知α∈(，π)，sin α＝，则sin 2α＝________，cos 2α＝________，tan 2α＝________． － － 解析：因为α∈(，π)，sin α＝，所以cos α＝－，所以sin 2α＝2sin αcos α＝2××(－)＝－，cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×()2＝，tan2α＝＝－. 题型十七、倍角公式求值应用 题型剖析 (2)已知sin (＋α)sin (－α)＝，且α∈(，π)，求tan 4α的值． 解析：因为sin (－α)＝sin [－(＋α)]＝cos (＋α)， 则已知条件可化为sin (＋α)cos (＋α)＝，即sin [2(＋α)]＝， 所以sin (＋2α)＝， 所以cos 2α＝.因为α∈(，π)，所以2α∈(π，2π)， 从而sin 2α＝－＝－， 所以tan2α＝＝－2，故tan 4α＝＝－＝. 题型十七、倍角公式求值应用 题型剖析 例18　求证：＝sin 2α. 【证明】　法一：左边＝＝ ＝＝ ＝sin cos cos α＝sin αcos α＝sin 2α＝右边． ∴原式成立． 法二：左边＝＝cos2α·＝cos2α·tanα＝cos αsin α ＝sin 2α＝右边． ∴原式成立． 题型十八、利用倍角公式证明 题型剖析 证明问题的原则及一般步骤 (1)观察式子两端的结构形式，一般是从复杂到简单，如果两端都比较复杂，就将两端都化简，即采用“两头凑”的思想． (2)证明的一般步骤是：先观察，找出角、函数名称、式子结构等方面的差异，然后本着“复角化单角”“异名化同名”“变量集中”等原则，设法消除差异，达到证明的目的． 题型十八、利用倍角公式证明 题型剖析 变式18　求证：cos2(A＋B)－sin2(A－B)＝cos2A cos 2B. 证明：左边＝ ＝ ＝(cos 2A cos 2B－sin 2A sin 2B＋cos 2A cos 2B＋sin 2Asin 2B)＝cos 2A cos 2B＝右边， ∴等式成立． 题型十八、利用倍角公式证明 题型剖析 例19　(1)化简：，其中θ∈(0，π)； 【解析】　(1)原式＝ － ＝ ＝|sin ＋cos |－|sin －cos |. ①当θ∈(0，]时，∈(0，]，cos ≥sin ， 此时原式＝sin ＋cos －cos ＋sin ＝2sin . ②当θ∈(，π)时，∈()，cos <sin ， 此时原式＝sin ＋cos －sin ＋cos ＝2cos . 题型十九、倍角公式应用 题型剖析 (2)f(x)＝5··－2sin 2x ＝3＋2cos 2x－2sin 2x ＝3＋4(cos 2x－sin 2x) ＝3＋4(sin cos 2x－cos sin 2x) ＝3＋4sin (－2x)＝3－4sin (2x－)， ∵≤x≤，∴≤2x－，∴sin (2x－)∈[]， 所以当2x－＝，即x＝时， f(x)取最小值为3－2. 因为y＝sin (2x－)在[]上单调递增， 所以f(x)在[]上单调递减． (2)求函数f(x)＝5cos2x＋sin2x－4sinx cos x，x∈[]的最小值，并求其单调递减区间． 题型十九、倍角公式应用 题型剖析 解决这类问题经常是先利用公式将函数表达式化成形如y＝A sin ωx＋φ的形式，再利用函数图象解决问题． 题型十九、倍角公式应用 题型剖析 变式19　设函数f(x)＝(sin x＋cos x)2＋2sin2x－. (1)求函数f(x)的单调递增区间； (2)当x∈()时，求函数f(x)的值域． 解析：(1)f(x)＝1＋sin 2x＋2 ＝1＋sin 2x－cos 2x＝2sin (2x－)＋1， 由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z， 则函数单调递增区间为[kπ－，kπ＋]，k∈Z. (2)由<x<，得<2x－<， 则－<sin (2x－)≤1， 则1－<f(x)≤3，即值域为(1－，3]. 题型十九、倍角公式应用 题型剖析 例20　已知π<α<，求的值． 【解析】　原式＝+ ∵π<α<，∴<<，∴cos <0，sin >0. ∴原式＝ ＝－＝－cos . 题型二十、三角恒等变换化简 题型剖析 要熟记一些可用公式的形式，如：1＋cos α＝2cos2，1－cosα＝2sin2，1±sinα＝(sin ±cos )2等，解题时应有意识地将这些形式变形寻求思路． 题型二十、三角恒等变换化简 题型剖析 变式20　已知<θ<2π，试化简：. 解析：∵<θ<2π，∴<<π， 所以原式＝ ＝ ＝－(sin ＋cos )－(sin －cos ) ＝－2sin . 题型二十、三角恒等变换化简 题型剖析 例21　(1)求值：sin 20°cos 70°＋sin 10°sin 50°. (2)求值：sin 20°sin 40°sin 60°sin 80°. 题型二十一、三角恒等变换求值 【解析】　(1)sin 20°cos 70°＋sin 10°sin 50° ＝(sin 90°－sin 50°)－(cos 60°－cos 40°) ＝sin 50°＋cos 40° ＝sin 50°＋sin 50°＝. (2)原式＝cos 10°cos 30°cos 50°cos 70° ＝cos 10°cos 50°cos 70° ＝(cos 60°＋cos 40°)·cos 70°] ＝cos 70°＋cos 40°cos 70° ＝cos 70°＋(cos 110°＋cos 30°) ＝cos 70°＋cos 110°＋＝. 题型剖析 (3)∵cos α－cos β＝， ∴－2sin sin ＝.　① 又∵sin α－sin β＝－， ∴2cos sin ＝－.　② ∵sin ≠0，∴由①②，得－tan ＝－，即tan ＝. ∴sin (α＋β)＝＝＝＝. (4)因为sinα＝－，π<α<，所以cos α＝－.又<<，所以sin ＝ ＝ ＝， cos ＝－ ＝－ ＝－，tan ＝＝－4. (3)已知cos α－cos β＝，sin α－sin β＝－，求sin (α＋β)的值． (4)已知sin α＝－且π<α<π，求sin ，cos ，tan 的值． 题型二十一、三角恒等变换求值 题型剖析 (1)已知θ的某三角函数值，求的相应三角函数值时，常借助于半角公式sin2＝，cos2＝，tan ＝＝来处理，由于上述式子中可能涉及解的不定性，故在求解中应注意分析的范围． (2)积化和差公式的功能与关键 ①功能：a.把三角函数的一种形式(积的形式)转化为另一种形式(和差的形式). b.将角度化为特殊角求值或化简，将函数式变形以研究其性质． ②关键是正确地选用公式，以便把非特殊角的三角函数相约或相消，从而化为特殊角的三角函数． (3)和差化积公式应用时的注意事项 ①在应用和差化积公式时，必须是一次同名三角函数方可施行，若是异名，必须用诱导公式化为同名，若是高次函数，必须用降幂公式降为一次． ②根据实际问题选用公式时，应从以下几个方面考虑： a．运用公式之后，能否出现特殊角； b．运用公式之后，能否提取公因式，能否约分，能否合并或消项． ③为了能够把三角函数式化为积的形式，有时需要把某些常数当作三角函数值才能应用公式，如－cos α＝cos －cos α. 题型二十一、三角恒等变换求值 题型剖析 变式21　(1)已知sin －cos ＝－，450°<α<540°，求sin α及tan 的值． 解析：(sin －cos )2＝1－sin α＝， ∴sin α＝，∴sin cos ＝＝， ∴＝＝， 解得tan＝2或tan ＝. ∵450°<α<540°， ∴225°<<270°， ∴tan >1，∴tan ＝2. 综上可知sin α＝，tan ＝2. 题型二十一、三角恒等变换求值 题型剖析 (2)已知cos (2α－)＝－，0<α<，则cos (α－)＝(　　) A．－　　B．　　C．　　D．－ 解析：因为cos (2α－)＝2cos2(α－)－1＝－， 所以cos(α－)＝±， 又因为0<α<，所以cos (α－)＝. 答案：B 题型二十一、三角恒等变换求值 题型剖析 例22　(1)求证：1＋2cos2θ－cos2θ＝2； (2)求证：＝. 【证明】　(1)左边＝1＋2×－cos 2θ＝2＝右边． 所以原等式成立． (2)左边＝ ＝＝＝＝＝＝右边． 所以原等式成立． 题型二十二、三角恒等变换证明 题型剖析 三角恒等式证明的五种常用方法 (1)执因索果法：证明的形式一般化繁为简． (2)左右归一法：证明左右两边都等于同一个式子． (3)拼凑法：针对题设和结论之间的差异，有针对性地变形，以消除它们之间的差异，简言之，即化异求同． (4)比较法：设法证明“左边－右边＝0”或“左边/右边＝1”． (5)分析法：从被证明的等式出发，逐步探求使等式成立的条件，一直到已知条件或明显的事实为止，就可以断定原等式成立． 题型二十二、三角恒等变换证明 题型剖析 变式22　已知0<α<，0<β<，且3sinβ＝sin (2α＋β)，4tan ＝1－tan2，求证：α＋β＝. 证明：∵3sin β＝sin (2α＋β)， 即3sin (α＋β－α)＝sin (α＋β＋α)， ∴3sin (α＋β)cos α－3cos (α＋β)sin α ＝sin (α＋β)cos α＋cos (α＋β)sin α， ∴2sin (α＋β)cos α＝4cos (α＋β)sin α， ∴tan (α＋β)＝2tan α. 又∵4tan ＝1－tan2， ∴tanα＝＝， ∴tan(α＋β)＝2tan α＝1， ∵α＋β∈(0，)，∴α＋β＝. 题型二十二、三角恒等变换证明 题型剖析 例23　已知函数f(x)＝sin (2x－)＋2sin2(x－)(x∈R)． (1)求函数f(x)的最小正周期； (2)求使函数f(x)取得最大值的x的集合． 【解析】　(1)因为f(x)＝sin (2x－)＋2sin2(x－) ＝sin[2(x－)]＋1－cos [2(x－)] ＝2{sin [2(x－)]－cos [2(x－)]}＋1 ＝2sin [2(x－)－]＋1＝2sin (2x－)＋1，所以T＝＝π. (2)当f(x)取得最大值时，sin (2x－)＝1， 有2x－＝2kπ＋，即x＝kπ＋(k∈Z)， 所以所求x的集合为{x|x＝kπ＋，k∈Z}． 题型二十三、三角恒等变换与三角函数综合 题型剖析 三角恒等变换与三角函数图象性质的综合问题的解题策略 运用三角函数的和、差、倍角公式将函数关系式化成y＝a sin ωx＋b cos ωx＋k的形式，借助辅助角公式化为y＝A sin (＋φ)＋k(或y＝A cos )＋φ(＋k)的形式，将ωx＋φ看作一个整体研究函数的性质． 题型二十三、三角恒等变换与三角函数综合 题型剖析 变式23　已知函数f(x)＝－sin (2x＋)＋6sin x cos x－2cos2x＋1，x∈R. (1)求f(x)的最小正周期； (2)求f(x)在区间[0，]上的最大值和最小值． 解析：(1)f(x)＝－sin 2x－cos 2x＋3sin 2x－cos 2x ＝2sin 2x－2cos 2x＝2sin (2x－)． 所以f(x)的最小正周期T＝＝π. (2)由(1)知f(x)＝2sin (2x－)， 由于x∈[0，]，所以2x－∈[－]， 则sin (2x－)∈[－，1]. 所以f(x)在[0，]上的最大值为2，最小值为－2. 题型二十三、三角恒等变换与三角函数综合 题型剖析 ✅ 知识构建：向量的数量积与三角恒等变换 向量数量积→向量的夹角与垂直问题→ 两角和与差的三角函数公式→三角恒等变换的应用 ✅ 思想方法： 数形结合与向量模型、化归与转化、类比推理、方程思想 今天，我们都有哪些收获？快来说说吧. 课堂总结 感谢聆听! $