5.3.2 课时2 导数与函数的最大(小)值课件-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

该高中数学课件聚焦“导数与函数的最大(小)值”，通过复习极值的局部性，结合图像观察引导学生发现最值的整体性，搭建从局部到整体的学习支架，帮助学生建立知识脉络。 其亮点在于以问题链驱动结合图像直观，培养数学眼光，通过表格分析导数与函数值变化强化数学思维，利用最值证明不等式提升数学语言表达能力。实例丰富步骤清晰，助力学生掌握方法，方便教师高效教学。

5.3.2 课时2 导数与函数的最大(小)值 第五章 一元函数的导数及其应用 我们知道，极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域内的性质。但是，在解决实际问题或研究函数的性质时，我们往往更关心函数在某个区间上哪个值最大，哪个值最小。 复习导入 下图是函数 y＝f(x)，x∈[a，b]的图象，你能找出它的极小值、极大值吗？ 观察图象，我们发现，f(x1)，f(x3)，f(x5)是函数的极小值， f(x2)，f(x4)，f(x6)是函数的极大值. x y O a b x1 x2 x3 x4 x5 x6 y＝f(x) 复习导入 问题1：进一步地，你能找出函数 y＝f(x) 在区间[a，b]上的最大值、最小值吗？ x y O a b x1 x2 x3 x4 x5 x6 y＝f(x) 最大值 最小值 知识讲解 问题2：在下图中，观察[a，b]上的函数 y＝f(x) 和 y＝g(x) 的图象，它们在[a，b]上有最大值、最小值吗？如果有，最大值和最小值分别是什么？ O a b x y y = f (x) O a b x y x1 y = g(x) x2 x3 x4 x5 最小值是 f (a) 最大值是 f (b) 最大值是 g(x3) 最小值是 g(x4) 知识讲解 问题 3：以上函数既有最大值，又有最小值，是不是所有的函数都有最大(小)值？ 不是 O x y a b y=f(x) 思考：什么样的函数一定会有最大值和最小值呢？ 在开区间内的连续函数不一定有最大值与最小值. 知识讲解 函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上取得最值的条件： 如果在区间[a，b]上函数 y＝f(x) 的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值. 【求最值的方法】只要把函数 y＝f(x) 的所有极值连同端点的函数值进行比较，就可以求出函数的最大值与最小值. 知识讲解 求函数 f(x) ＝ x3－4x＋4 在区间[0，3]上的最大值与最小值. 解：由例5可知，在区间[0，3]上，当x＝2时，函数f(x)有极小值， 且极小值为f (2)＝− ；又由于f (0)＝4，f (3)＝1， O 3 x y f (x) = x3 – 4x + 4 4 1 2 所以函数 f(x) ＝ x3－4x＋4在区间[0，3]上 的最大值是 4，最小值是− . ►课本P93 典例剖析 上述结论可以从函数 f(x)＝ x3－4x＋4在 区间[0，3]上的图象得到直观验证. 作者编号：32100 技巧归纳 求 f(x) 在[a，b]上的最大值与最小值的步骤： ①求函数 f(x) 在 (a，b) 内的极值； ②求函数 f(x) 在区间端点处的函数值f(a)、f(b)； ③将函数 f(x) 的各极值与f(a)、f(b)比较，其中最大的一个是 最大值，最小的一个是最小值. 说明：注意题目给定的区间，一定要在给定区间内列表 1. 参考求函数极值的练习，求下列函数在给定区间上的最大值与最小值： ►课本P94 (1) f (x)＝6x2－x－2，x∈[0，2]； (2) f (x)＝x3－27x，x∈[-4，4]； (3) f (x)＝6＋12x－x3，x∈[-，3]； (4) f (x)＝3x－x3，x∈[2，3]. x 0 (0，) (，2) 2 f ′(x) f (x) 解：(1) f ′(x)＝12x－1，令 f ′(x)＝0，解得 x＝ ； f (x)max＝20. ∴ f (x)min＝ 当堂练习 作者编号：32100 1. 参考求函数极值的练习，求下列函数在给定区间上的最大值与最小值： ►课本P94 (1) f (x)＝6x2－x－2，x∈[0，2]； (2) f (x)＝x3－27x，x∈[-4，4]； (3) f (x)＝6＋12x－x3，x∈[-，3]； (4) f (x)＝3x－x3，x∈[2，3]. 解：(2) f ′(x)＝3x2－27. f (x)max＝54. ∴ f (x)min＝-54 令f ′(x)＝0，得x＝±3 x -4 (-4，-3) -3 (-3，3) 3 (3，4) 4 f ′(x) + 0 – 0 + f (x) 44 单调递增 54 单调递减 -54 单调递增 -44 当堂练习 作者编号：32100 1. 参考求函数极值的练习，求下列函数在给定区间上的最大值与最小值： ►课本P94 (1) f (x)＝6x2－x－2，x∈[0，2]； (2) f (x)＝x3－27x，x∈[-4，4]； (3) f (x)＝6＋12x－x3，x∈[-，3]； (4) f (x)＝3x－x3，x∈[2，3]. 解：(3) f ′(x)＝12x－3x2 f (x)max＝22. 令f ′(x)＝0，得x＝±2 x - (-，2) 2 (2，3) 3 f ′(x) + 0 – f (x) 单调递增 22 单调递减 15 ∴ f (x)min＝ 当堂练习 作者编号：32100 1. 参考求函数极值的练习，求下列函数在给定区间上的最大值与最小值： ►课本P94 (1) f (x)＝6x2－x－2，x∈[0，2]； (2) f (x)＝x3－27x，x∈[-4，4]； (3) f (x)＝6＋12x－x3，x∈[-，3]； (4) f (x)＝3x－x3，x∈[2，3]. 解：(4) f ′(x)＝3－3x2 令f ′(x)＝0，得x＝±1 由于x∈[2，3] 此时 f ′(x) <0 ∴ f (x) 在[2，3]上单调递减. ∴ f (x)min＝f (3)＝-18，f (x)max＝f (2)＝-2. 当堂练习 作者编号：32100 变式练习 求函数 f(x) ＝x3－2x2＋1，x∈[-1，2]的最值. 解：f ′(x)＝3x2－4x，令 f ′(x)＝0，得x1＝0，x2＝ . 因此 x 变化时，f ′(x)，f (x)的变化情况如下表： x －1 (－1，0) 0 (0，) (，2) 2 f ′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f (x) －2 单调递增 极大值1 单调递减 极小值- 单调递增 1 ∴当x＝0或2时，f (x)取最大值1；当x＝-1时，f (x)取最小值-2 作者编号：32100 变式练习 求函数 f (x)＝2x3－6x2＋3，x∈[-2，4]的最值. 解：f ′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2). 令f ′(x)＝0，得x＝0或x＝2. 又f (0)＝3，f (2)＝-5，f (4)＝35，f (-2)＝-37， ∴当 x＝4 时，f (x)取最大值 35. 当 x＝-2 时，f (x)取最小值 -37. 即f (x)的最大值为35，最小值为-37. 作者编号：32100 思考：通过上述结论，说说函数的极值与最值有什么区别？ 极值是局部性概念，最值是整体性概念. 极值可以有多个，但最值只有一个。 极值只能在区间内取得，最值可以在端点处取得。 知识讲解 ►课本P94 典例剖析 利用函数的最值，试着证明不等式：当 x > 0 时，ln x≥1－ . 证明：将不等式转化为：ln x－1＋ ≥0， 设 s(x)＝ln x－1＋，则 s′(x)＝ － = ， 令 s′(x)＝0，解得 x＝1. x (0，1) 1 (1，＋∞) s′(x) – 0 + s(x) 单调递减 0 单调递增 ∴当x＝1时，s(x)取得最小值，s(x)≥s(1)＝0， 即 ln x－1＋ ≥ 0； ∴当x > 0时，ln x ≥1－ . 作者编号：32100 技巧归纳 用导数证明不等式 f(x)＞g(x)，x∈(a，b)的步骤： ①将不等式f(x)＞g(x)移项，转化为证明f(x)－g(x)＞0； ②构造函数F(x)＝f(x)－g(x)，研究F(x)的单调性； ③若[f(x)－g(x)]′＞0，说明函数F(x)＝f(x)－g(x)在(a，b)上是增函数. 只需保证F(a)＞0； ④若[f(x)－g(x)]′＜0，说明函数F(x)＝f(x)－g(x)在(a，b)上是减函数. 只需保证F(b)＞0. 变式练习 ►课本P94 证明不等式：x－1 ≥ln x，x∈(0，＋∞). 证明：设 f (x)＝x－1－ln x (x > 0)，则 f ′(x)＝1－ ＝， 令 f ′(x)＝0，解得 x＝1； x (0，1) 1 (1，＋∞) f ′(x) – 0 + f (x) 单调递减 0 单调递增 ∴当x＝1时，f (x) 取得最小值，f (x)≥f (1)＝0， 即 x－1－ln x≥0； ∴不等式 x－1≥ ln x，x∈(0，＋∞) 成立. 作者编号：32100 1. 函数的极值与最值的区别 2. 求一个函数的最值的步骤 3. 利用函数的最值证明不等式 通过这节课，大家收获了什么？请谈谈你的想法. 课堂总结 1. 函数 f (x)＝x3－3x＋1在闭区间[-3，0]上的最大值和最小值分别是( ) A. 1，-1 B. 1，-17 C. 3，-17 D. 9，-19 解析：f ′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)，令f ′(x)＝0，得x＝±1. 又f (－3)＝－27＋9＋1＝－17，f (0)＝1， f (－1)＝－1＋3＋1＝3，1∉[－3，0]. 所以最大值为3，最小值为－17.故选C. C 当堂检测 2. 已知函数 f (x)＝x3＋ax＋b(a，b∈R)在 x＝2 处取得极小值为-. 求 f (x)的单调递增区间. 解：f ′(x)＝x2＋a，由f ′(2)＝0，得 a＝-4， 再由 f (2)＝-得 b＝4 ∴f (x)＝x3－4x＋4，f ′(x)＝x2－4， 令f ′(x)＝x2－4＞0，得x＞2或x＜－2 ∴f (x)的单调递增区间为(－∞，－2)，(2，＋∞) 当堂检测 3. 证明不等式：ex ≥x＋1，x∈(0，＋∞). 当堂检测 证明：设f (x)＝ex－x－1，则f ′(x)＝ex－1， 由f ′(x)＝0，得x＝0， 所以当x<0时，f ′(x)<0；当x>0时，f ′(x)>0， 所以f (x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增， 所以f (x)≥f (0)＝0，即ex－x－1≥0， 所以ex≥x＋1. $