5.3.2 第2课时 函数的最大(小)值-【金版新学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义配套课件PPT（人教A版）

该高中数学课件聚焦函数的最大（小）值，涵盖概念理解、求法及应用。通过问题导思结合图象分析极值与最值的区别联系，衔接导数和函数极值知识，搭建从局部极值到整体最值的学习支架。 其亮点是以问题链驱动探究，通过分层典例（如不含参数函数最值、含参数分类讨论、不等式证明）培养数学抽象、数学运算和逻辑推理素养。规律方法总结清晰，评价分层，帮助学生提升解题能力，为教师提供系统教学资源。

5.3.2　函数的极值与最大(小)值 第2课时　函数的最大(小)值 　 第五章　单元学习七　导数在研究函数中的应用 学习目标 1.理解函数的最大值、最小值的概念，了解其与极值的区别与联系，体会导数与最大(小)值的关系，培养数学抽象的核心素养. 2.能利用导数求给定区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值，提升数学运算的核心素养. 3.能利用导数研究与函数极值、最值等相关的问题，提升数学运算、逻辑推理的核心素养. 内容索引 任务一　函数在闭区间上的最大(小)值 1 任务二　求含参数的函数的最值 2 任务三　利用最值证明简单的不等式 3 课时分层评价 5 随堂评价 4 任务一　函数在闭区间上的最大(小)值 返回 (阅读教材P92－93，完成探究问题1、2、3) 如图为y＝f(x)，x∈[a，b]的图象. 问题1.观察[a，b]上函数y＝f(x)的图象，你能找出它的极大值、极小 值吗？ 提示：极大值为f(x1)，f(x3)，极小值为f(x2)，f(x4). 问题导思 问题2.结合图象判断，函数y＝f(x)在区间[a，b]上是否存在最大值，最小值？若存在，分别为多少？ 提示：存在，f(x)min＝f(a)，f(x)max＝f(x3). 问题3.函数y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值一定是某极值吗？ 提示：不一定，也可能是区间端点的函数值. 1. 函数的最大(小)值定理 一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条__________的曲线，那么它必有最大值和最小值. 2.求函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值的步骤 (1)求函数y＝f(x)在区间(a，b)内的______； (2)将函数y＝f(x)的________与______处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是________，最小的一个是________. 新知构建 连续不断 极值 各极值 端点 最大值 最小值 对函数最值的说明 (1)函数的最大(小)值是一个整体性概念，最大(小)值必须是整个区间内所有函数值中最大(小)值. (2)闭区间上的连续函数一定有最值，开区间内的连续函数不一定有最值.若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值. (3)函数y＝f(x)在[a，b]上连续，是函数y＝f(x)在[a，b]上有最大值或最小值的充分而非必要条件. 微提醒 角度1　最值与极值的区别与联系 如图是函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象，写出函数的极大值、极小值、最大值和最小值. 解：由题图可知，y＝f(x)在x1，x3处取得极小值，在x2处取得极大值， 所以极小值为f(x1)，f(x3)，极大值为f(x2)； 比较极值和端点值可知函数的最小值是f(x3)，最大值在b处取得，最大值为f(b). 典例 1 角度2　求不含参数的函数的最值 (链教材P93例6)求下列函数在给定区间上的最大值与最小值： (1)f(x)＝3x3－9x＋5，x∈[－2，2]； 解：f'(x)＝9x2－9＝9(x＋1)(x－1)， 令f'(x)＝0得x＝－1，或x＝1. 当x变化时，f'(x)，f(x)的变化情况如表所示. 典例 2 x －2 (－2，－1) －1 (－1，1) 1 (1，2) 2 f'(x)   ＋ 0 － 0 ＋   f(x) －1 单调递增 11 单调递减 －1 单调递增 11 从表中可以看出，当x＝－2，或x＝1时，函数f(x)取得最小值－1. 当x＝－1，或x＝2时，函数f(x)取得最大值11. (2)f(x)＝ln(1＋x)－x2，x∈[0，2]； 解：f'(x)＝－x， 令－x＝0， 化简为x2＋x－2＝0，解得x1＝－2(舍去)，x2＝1. 当0＜x＜1时，f'(x)＞0，f(x)单调递增； 当1＜x＜2时，f'(x)＜0，f(x)单调递减， 所以f(1)＝ln 2－为函数f(x)的极大值. 又f(0)＝0，f(2)＝ln 3－1＞0，f(1)＞f(2)， 所以f(0)＝0为函数f(x)在[0，2]上的最小值， f(1)＝ln 2－为函数f(x)在[0，2]上的最大值. (3)f(x)＝sin 2x－x，x∈. 解：f'(x)＝2cos 2x－1，令f'(x)＝0， 得cos 2x＝， 又因为x∈，所以2x∈[－π，π]. 所以2x＝±，所以x＝±. 所以函数f(x)在上的两个极值分别为 f＝－，f＝－＋. 又f＝－，f＝， 比较以上函数值可得f(x)max＝，f(x)min＝－. 1.最值与极值的区别与联系 (1)极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间的整体而言. (2)在函数的定义区间内，极大(小)值可能有多个，但最大(小)值只有一个(或者没有). (3)函数f(x)的极值点为定义域中的内点，而最值点可以是区间的端点. (4)对于在闭区间上图象连续不断的函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得. 规律方法 2.求函数f(x)在区间[a，b]上的最值的方法 法一：(1)求函数的定义域. (2)求f'(x)，解方程f'(x)＝0. (3)列出关于x，f'(x)，f(x)的变化表. (4)求极值、端点值，确定最值. 法二：(1)求函数的定义域. (2)求f'(x)，解方程f'(x)＝0. (3)求极值、端点值，确定最值. [注意]　不要忽视将所求极值与区间端点的函数值比较. 规律方法 对点练1.设f(x)是区间[a，b]上的连续函数，且在(a，b)内可导，则下列结论中正确的是 A.f(x)的极值点一定是最值点 B.f(x)的最值点一定是极值点 C.f(x)在区间[a，b]上可能没有极值点 D.f(x)在区间[a，b]上可能没有最值点 根据函数的极值与最值的概念知，f(x)的极值点不一定是最值点，f(x)的最值点不一定是极值点，可能是区间的端点，连续可导函数在闭区间上一定有最值，所以选项A，B，D都不正确，若函数f(x)在区间[a，b]上单调，则函数f(x)在区间[a，b]上没有极值点，所以C正确. 故选C. √ 对点练2.求下列函数的最大值与最小值： (1)f(x)＝2x3－6x2＋3，x∈[－1，1]； 解：f'(x)＝6x2－12x＝6x(x－2). 令f'(x)＝0，得x＝0，或x＝2(舍). 又f(0)＝3，f(1)＝－1，f(－1)＝－5， 所以当x＝0时，f(x)取最大值3， 当x＝－1时，f(x)取最小值－5， 所以f(x)的最大值为3，最小值为－5. (2)f(x)＝2ln x－x2＋1，x∈； 解：f'(x)＝－2x＝＝， 当≤x＜1时，f'(x)＞0， 当1＜x≤e2时，f'(x)＜0， 所以f(x)在上单调递增，在上单调递减， 所以函数f(x)在x＝1处取得极大值即最大值，则f(x)max＝f＝0， 又f＝2ln －＋1＝－－1＞－2，f＝2ln e2－＋1＝－e4＋5＜－2， 所以f(x)min＝f＝－e4＋5. (3)f(x)＝excos x，x∈［0，］. 解：f'(x)＝ex(cos x－sin x)＝ex·cos(x＋)， 当x∈［0，)时，f'(x)＞0，f(x)单调递增，当x∈(，］时，f'(x)＜0，f(x)单调递减， 所以当x＝时，f(x)取得最大值，为， 而f(0)＝1，f()＝0，故f(x)的最小值为0. 返回 任务二　求含参数的函数的最值 返回 已知函数g(x)＝aln x＋x2－(a＋2)x(a∈R). (1)若a＝1，求g(x)在区间[1，e]上的最大值； 解：因为a＝1，所以g(x)＝ln x＋x2－3x， 所以g'(x)＝＋2x－3＝， 因为x∈[1，e]，所以g'(x)≥0， 所以g(x)在[1，e]上单调递增， 所以g(x)max＝g(e)＝e2－3e＋1. 典例 3 (2)求g(x)在区间[1，e]上的最小值h(a). 解：g(x)的定义域为(0，＋∞)，g'(x)＝＋2x－(a＋2)＝＝. ①当≤1，即a≤2时，g(x)在[1，e]上单调递增，h(a)＝g(1)＝－a－1； ②当1＜＜e，即2＜a＜2e时，g(x)在［1，)上单调递减，在(，e］上单调递增， h(a)＝g()＝aln －a2－a； ③当≥e，即a≥2e时，g(x)在[1，e]上单调递减，h(a)＝g(e)＝(1－e)a＋e2－2e. 综上，h(a)＝ 含参数的函数在闭区间上最值问题的两类情况 1.能根据条件确定出参数，从而化为不含参数函数的最值问题. 2.对于不能求出参数值的问题，则要对参数进行讨论，其实质是讨论导函数大于0，等于0，小于0三种情况.若导函数恒不等于0，则函数在已知区间上是单调函数，最值在端点处取得；若导函数可能等于0，则求出极值点后求极值，再与端点值比较后确定最值. 规律方法 对点练3.已知函数f(x)＝ex(x－a－1). (1)讨论f(x)的单调性； 解：f'(x)＝ex(x－a)， 因为ex＞0恒成立，所以当x∈(－∞，a)时，f'(x)＜0，f(x)单调递减，当x∈(a，＋∞)时，f'(x)＞0，f(x)单调递增. (2)求函数f(x)在[0，1]上的最小值. 解：由(1)得， 当a≥1时，f(x)在[0，1]上单调递减， f(x)min＝f(1)＝－ae； 当0＜a＜1时，f(x)在[0，a)上单调递减， 在(a，1]上单调递增，f(x)min＝f(a)＝－ea； 当a≤0时，f(x)在[0，1]上单调递增， f(x)min＝f(0)＝－a－1. 综上所述，f(x)min＝ 返回 任务三　利用最值证明简单的不等式 返回 当x＞0时，证明：不等式ln(x＋1)＞x－x2. 证明：设f(x)＝ln(x＋1)－x＋x2，则f'(x)＝－1＋x＝. 当x∈(－1，＋∞)时，f'(x)≥0， 所以f(x)在(－1，＋∞)上是增函数. 于是当x＞0时，f(x)＞f(0)＝0， 所以当x＞0时，不等式ln(x＋1)＞x－x2成立. 典例 4 证明不等式f(x)＞g(x)，x∈(a，b)的步骤 第一步：将要证明的不等式f(x)＞g(x)移项可以转化为证明f(x)－g(x)＞0； 第二步：构造函数F(x)＝f(x)－g(x)，研究F(x)的单调性； 第三步：若[f(x)－g(x)]'＞0，说明函数F(x)＝f(x)－g(x)在(a，b)上是增函数，只需保证F(a)≥0；若[f(x)－g(x)]'＜0，说明函数F(x)＝f(x)－g(x)在(a，b)上是减函数，只需保证F(b)≥0. 规律方法 对点练4.证明：x＞0时，1－≤ln x≤x－1. 证明：设f(x)＝ln x－(1－)＝ln x＋－1，x＞0，可得f'(x)＝－＝. 当x＞1时，f'(x)＞0，函数f(x)单调递增； 当0＜x＜1时，f'(x)＜0，函数f(x)单调递减. 可得x＝1时，f(x)取得极小值，且为最小值. 即f(x)min＝f(1)＝0. 所以f(x)≥0，即ln x≥1－，即1－≤ln x. 再设g(x)＝ln x－(x－1)，x＞0， 可得g'(x)＝－1＝. 当x＞1时，g'(x)＜0，函数g(x)单调递减； 当0＜x＜1时，g'(x)＞0，函数g(x)单调递增. 可得x＝1时，g(x)取得极大值，且为最大值. 即g(x)max＝g(1)＝0. 所以g(x)≤0，即ln x≤x－1. 综上，当x＞0时，1－≤ln x≤x－1成立. 教材拓展5　与ex，ln x有关的重要函数不等式链(链教材P94练习T2，P99T12) 　　上述重要函数不等式链是高考的常考内容，其中不等式ex≥x＋1(x∈R)，ln x≤x－1(x＞0)是最基础的两个不等式，许多不等式都是由这两个不等式衍生出来的，其图象可以表示为： 证明：ex－1≥x. (说明：事实上本例是由不等式ex≥x＋1(x∈R)衍生而来，即把x换为x－1后就可得到ex－1≥x) 证明：设f(x)＝ex－1－x，则f'(x)＝ex－1－1， 令f'(x)＝0，得x＝1， 当x∈(－∞，1)时，f'(x)＜0，当x∈(1，＋∞)时，f'(x)＞0， 所以f(x)min＝f(1)＝e1－1－1＝0， 所以f(x)≥0恒成立，即ex－1≥x. 典例 5 证明：x2≥2ln x＋1. (说明：事实上本例是由不等式ln x≤x－1(x＞0)衍生而来，即把x换为x2后就可得到x2≥2ln x＋1) 证明：设f(x)＝x2－2ln x－1， 则f'(x)＝2x－＝(x＞0). 当x＝1时，f'(x)＝0；当0＜x＜1时，f'(x)＜0； 当x＞1时，f'(x)＞0， 所以函数f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以f(x)min＝f(1)＝0， 即f(x)≥0，所以x2≥2ln x＋1. 典例 6 证明：ex－ln x＞2. (说明：事实上本例是由不等式ex≥x＋1(x∈R)，ln x≤x－1(x＞0)衍生而来，即对ex≥x＋1，－ln x≥1－x相加后就可得到ex－ln x＞2) 证明：法一：不等式ex－ln x＞2可化为ex－ln x＞(x＋1)－(x－1)， 即ex－(x＋1)＞ln x－(x－1)，即证明ex－(x＋1)≥0，ln x－(x－1)≤0， 从而命题得证. (注意ex－(x＋1)＝0的条件为x＝0，而ln x－(x－1)＝0的条件为x＝1，所以有ex－(x＋1)＞ln x－(x－1)成立，即ex－ln x＞2成立.) 典例 7 法二：令h(x)＝ex－ln x－2，则h'(x)＝ex－，则h'(x)在(0，＋∞)上单调递增， 又h'＜0，h'(1)＞0，所以h'(x)在(0，＋∞)内有唯一零点，设该零点为x0，h'(x0)＝－＝0， 所以＝，x0＝－ln x0，当0＜x＜x0时，h'(x)＜0，当x＞x0时，h'(x)＞0， 所以h(x)≥h(x0)＝－ln x0－2＝＋x0－2 ≥2－2＝0，又x0≠1， 故h(x)＞0，得ex－ln x＞2. 返回 课堂小结 任务再现 1.函数在闭区间上的最大(小)值. 2.求含参数的函数的最值. 3.利用最值证明不等式 方法提炼 转化化归思想、分类讨论思想、构造法 易错警示 忽视函数的最值与极值的区别与联系 随堂评价 返回 1.下列结论正确的是 A.若f(x)在[a，b]上有极大值，则极大值一定是[a，b]上的最大值 B.若f(x)在[a，b]上有极小值，则极小值一定是[a，b]上的最小值 C.若f(x)在[a，b]上有极大值，则极小值一定是在x＝a和x＝b处取得 D.若f(x)在[a，b]上连续，则f(x)在[a，b]上存在最大值和最小值 √ 函数f(x)在[a，b]上的极值不一定是最值，最值也不一定是极值，极值一定不会在端点处取得，而在[a，b]上一定存在最大值和最小值. 故选D. 2.函数y＝x－sin x，x∈的最大值是 A.π－1 B.－1 C.π D.π＋1 √ y'＝1－cos x，当x∈时，y'＞0，则函数在区间上单调递增，所以y的最大值为ymax＝π－sin π＝π. 故选C. 3.(多选)函数y＝f(x)的导函数y＝f'(x)的图象如图所示，以下命题正确的是 A.x＝－3是函数y＝f(x)的极小值点 B.x＝－1是函数y＝f(x)的最小值点 C.y＝f(x)在区间(－3，1)上单调递增 D.y＝f(x)在x＝0处切线的斜率大于零 √ √ √ 根据导函数图象可知当x∈(－∞，－3)时，f'(x)＜0，当x∈(－3，1)时，f'(x)≥0，所以函数y＝f(x)在(－∞，－3)上单调递减，在(－3，1)上单调递增，故C正确；易知x＝－3是函数y＝f(x)的极小值点，故A正确；因为函数y＝f(x)在(－3，1)上单调递增，所以x＝－1不是函数y＝f(x)的最小值点，故B不正确；因为函数y＝f(x)在x＝0处的导数大于0，所以切线的斜率大于零，故D正确. 故选ACD. 4.已知函数f＝x3－x2－4x＋5. (1)求函数f的单调区间； 解：f的定义域为R，f'＝2x2－2x－4＝2. 令f'＝0，解得x1＝－1，x2＝2. 当x＜－1时，f'(x)＞0，当－1＜x＜2时，f'＜0，当x＞2时，f'＞0， 所以函数f在(－∞，－1)和(2，＋∞)上单调递增，在上单调 递减. (2)求函数f在区间上的最大值和最小值. 解：由(1)知，当x在区间上变化时，f'，f的变化情况如表所示. 所以函数f上的最小值为－10，最大值为. x －3 －1 (－1，2) 2 3 f'   ＋ 0 － 0 ＋   f －10 单调 递增 单调 递减 － 单调 递增 2 返回 课时分层评价 返回 1.(2025·黑龙江哈尔滨高二期中)下列命题中，真命题是 A.函数的最大值一定不是该函数的极大值 B.函数的极大值可以小于该函数的极小值 C.函数在某一闭区间上的极小值就是函数的最小值 D.函数在开区间内不存在最大值和最小值 √ 函数的最大值有可能是函数的极大值，故A错误；函数的极大值可以小于该函数的极小值，故B正确；函数在某一闭区间上的极小值不一定是该函数的最小值，故C错误；函数在开区间内有可能存在最大值和最小值，故D错误. 故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.函数f＝x3－3x A.有最大(小)值，但无极值 B.有最大(小)值，也有极值 C.既无最大(小)值，也无极值 D.无最大(小)值，但有极值 √ f'＝3x2－3＝3，当x∈时，f'＜0，所以f上单调递减，因此函数f无最大值和最小值，也无极值. 故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.(2025·北京海淀区高二联考)函数f(x)＝x2－27ln x在区间[1，2]上的最大值是 A.0 B. C.1 D. √ f'(x)＝3x－＝，定义域为(0，＋∞)，令f'(x)＞0，解得x＞3，令f'(x)＜0，解得0＜x＜3，所以f(x)在(3，＋∞)上单调递增，在(0，3)上单调递减，所以f(x)在区间[1，2]上的最大值为f(1)＝. 故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.(2025·安徽合肥高二模考)已知函数f(x)，g(x)均为[a，b]上的可导函数，在[a，b]上连续且f'(x)＜g'(x)，则f(x)－g(x)的最大值为 A.f(a)－g(a) B.f(b)－g(b) C.f(a)－g(b) D.f(b)－g(a) √ 令F(x)＝f(x)－g(x)，因为f'(x)＜g'(x)，所以F'(x)＝f'(x)－g'(x)＜0，所以F(x)在[a，b]上单调递减，所以F(x)max＝F(a)＝f(a)－g(a). 故选A. 4 3 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 5.(多选)函数y＝2x3－3x2－12x＋5在上的最值情况为 A.最大值为12 B.最大值为5 C.最小值为－8 D.最小值为－15 √ 由题意得y'＝6x2－6x－12，令y'＝6x2－6x－12＝0，得x＝－1，或x＝2，当－2＜x＜－1时，y'＞0，当－1＜x＜1时，y'＜0，故x＝－1是函数的极大值点，则函数的极大值即为上的最大值，为2×(－1)3－3＋12＋5＝12，故A正确，B错误；而当x＝－2时，y＝1，当x＝1时，y＝－8，故函数在上的最小值为－8，故C正确，D错误. 故选AC. √ 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 1 2 6.(多选)已知函数y＝f的导函数y＝f'的图象如图所示，则下列结论正确的是 A.x＝c时，f取得极大值 B.x＝d时，f取得最小值 C.f＜f＜f D.f＜f＜f √ 结合导函数的图象可知，f上单调递增，则f＜f＜f，故C正确；在上单调递减，则f＜f＜f，故D正确；由于f＜f，显然f不是最小值，故B错误；又f上单调递增，在上单调递减，则x＝c时，f取得极大值，故A正确. 故选ACD. √ √ 4 5 6 3 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 7.函数y＝xex在x∈上的最小值为________. 因为y＝xex，所以y'＝ex＋xex＝(1＋x)ex，当x∈时， y'＝(1＋x)ex＞0，所以函数y＝xex在区间上单调递增，所以当x＝2时，函数y＝xex取得最小值，ymin＝2e2，所以函数y＝xex在x∈上的最小值为2e2. 2e2 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4 5 3 1 2 8.已知f(x)＝2x3－6x2＋m(m为常数)在[－2，2]上有最大值为3，那么此函数在[－2，2]上的最小值为______. 因为f(x)＝2x3－6x2＋m，所以f'(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)，可以得到函数在[－2，0]上单调递增，在[0，2]上单调递减，所以当x＝0时，f(0)＝m为最大值，所以m＝3，即f(x)＝2x3－6x2＋3，所以f(－2)＝2×(－8)－6×4＋3＝－37，f(2)＝－5，所以最小值是－37. －37 6 7 8 4 5 3 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 9.(双空题)函数f(x)＝(x∈[－2，2])的最大值是_____，最小值是_____. f'(x)＝＝＝，令f'(x)＝0，得x1＝－1，x2＝1. 因为当x∈(－2，－1)，(1，2)时，f'(x)＜0，当x∈(－1，1)时，f'(x)＞0，所以当x＝－1时，f(x)取得极小值，当x＝1时，f(x)取得极大值，因为f(－2)＝－，f(－1)＝－2，f(1)＝2，f(2)＝，所以f(x)max＝2，f(x)min＝－2. 2 －2 9 10 11 12 13 14 15 16 8 6 7 4 5 3 1 2 10.(13分)求下列函数的最大值与最小值： (1)f(x)＝sin x＋cos x，x∈； 解：f'(x)＝cos x－sin x. 令f'(x)＝0，即tan x＝1， 且x∈，所以x＝. 又因为f＝，f＝－1，f＝1， 所以当x∈时，函数的最大值为f＝，最小值为f ＝－1. 10 8 6 7 4 5 3 9 11 12 13 14 15 16 1 2 (2)f(x)＝x2－ln x. 解：函数f(x)的定义域为(0，＋∞)， f'(x)＝x－＝， 当f'(x)＝0时，x＝1(－1舍去)， 当x变化时，f'(x)，f(x)的变化情况如表所示. x (0，1) 1 (1，＋∞) f'(x) － 0 ＋ f(x) 单调递减 单调递增 所以f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， 所以f(x)无最大值，且当x＝1时，f(x)min＝f(1)＝. 10 8 6 7 4 5 3 9 11 12 13 14 15 16 1 2 11.(2025·四川雅安高二模拟)已知函数f(x)＝x3－3x－1，若对于区间[－3，2]上的任意x1，x2，都有｜f(x1)－f(x2)｜≤t，则实数t的最小值是 A.0 B.3 C.18 D.20 √ 因为f'(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)，x∈[－3，2]，所以f(x)在(－1，1)上单调递减，在(1，2)和(－3，－1)上单调递增.f(－3)＝－19，f(－1)＝1，f(1)＝－3，f(2)＝1，所以在区间[－3，2]上，f(x)max＝1，f(x)min＝－19，又由题设知在[－3，2]上｜f(x1)－f(x2)｜≤f(x)max－f(x)min＝20，所以t≥20. 故选D. 10 11 12 13 14 15 16 8 6 7 4 5 3 9 1 2 12.已知函数f(x)＝x3＋3x2－9x＋1，若f(x)在区间(k，2)上的最大值为28，则实数k的取值范围为__________. 因为f(x)＝x3＋3x2－9x＋1，所以f'(x)＝3x2＋6x－9，令f'(x)＝3x2＋6x－9＝0，解得x1＝－3，x2＝1，所以x∈(－∞，－3)和(1，＋∞)时，f'(x)＞0，x∈(－3，1)时，f'(x)＜0，所以函数f(x)在(－∞，－3)和(1，＋∞)上单调递增，函数f(x)在(－3，1)上单调递减，则f(x)在内单调递增，所以在内，f(2)最大；f(x)在(－3，1)上单调递减，所以在内，f(－3)最大；f(x)在(－∞，－3)上单调递增，所以在(－∞，－3]内，f(－3)最大；因为f(2)＝3，f(－3)＝28，且f(x)在区间(k，2)上的最大值为28，所以k＜－3. (－∞，－3) 11 12 13 14 15 16 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 13.(2025·湖北荆州模拟)在同一平面直角坐标系内，函数y＝f(x)及其导函数y＝f'(x)的图象如图所示，已知两图象有且仅有一个公共点(0，1)，则g(x)＝的最大值为_____. 1 由题意可知，虚线部分为y＝f'(x)的图象，实线部分为y＝f(x)的图象，g'(x)＝＝，由题中图象可知当x∈(－∞，0)时，g'(x)＝＞0，故g(x)＝单调递增，当x∈(0，＋∞)时，g'(x)＝＜0，故g(x)＝单调递减，所以函数g(x)＝在x＝0处取得极大值，也为最大值，即＝1. 12 13 11 10 8 6 7 4 5 3 9 14 15 16 1 2 14.(15分)已知函数f(x)＝(2－x)ex. (1)求函数f(x)在区间[－1，2]上的最值； 解：因为f(x)＝(2－x)ex， 所以f'(x)＝－ex＋(2－x)ex＝(1－x)ex， 当－1≤x＜1时，f'(x)＞0，f(x)单调递增； 当1＜x≤2时，f'(x)＜0，f(x)单调递减， 而f(－1)＝，f(1)＝e，f(2)＝0， 所以函数f(x)在区间[－1，2]上的最大值为e，最小值为0. 13 14 15 16 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 (2)当x＞0时，证明：f(x)＜x2－x＋2e. 解：证明：记g(x)＝f(x)－x2＋x－2e＝(2－x)ex－x2＋x－2e，x＞0， 则g'(x)＝(1－x)(ex＋1)， 当0＜x＜1时，g'(x)＞0，g(x)单调递增； 当x＞1时，g'(x)＜0，g(x)单调递减. 则g(x)的最大值为g(1)＝－e，而－e＜0， 故g(x)＜0，即当x＞0时，f(x)＜x2－x＋2e. 13 14 15 16 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 15.(5分)(原创题)当x＞－1时，下列结论正确的是 A.1－≤x≤ln(x＋1) B.1－≤ln(x＋1)≤x C.x≤ln(x＋1)≤1－ D.ln(x＋1)≤1－≤x √ 设f(x)＝ln(x＋1)－x，x＞－1，则f'(x)＝－1＝－. 当－1＜x＜0时，f'(x)＞0，即f(x)在(－1，0)上单调递增；当x＞0时，f'(x)＜0，即f(x)在(0，＋∞)上单调递减. 于是函数f(x)在(－1，＋∞)上的最大值为f(x)max＝f(0)＝0，因此，当x＞－1时，f(x)≤f(0)＝0，即ln(x＋1)－x≤0，即ln(x＋1)≤x. 14 15 16 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 设g(x)＝ln(x＋1)＋－1，x＞－1， 则g'(x)＝－＝. 当x∈(－1，0)时，g'(x)＜0； 当x∈(0，＋∞)时，g'(x)＞0. 即g(x)在(－1，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，故函数g(x)在(－1，＋∞)上的最小值为g(x)min＝g(0)＝0，所以当x＞－1时，g(x)≥g(0)＝0，即ln(x＋1)＋－1≥0， 所以ln(x＋1)≥1－. 综上可知，当x＞－1时，恒有1－≤ln(x＋1)≤x. 故选B. 14 15 16 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 16.(17分)已知函数f(x)＝xln x＋x. (1)当a＝0时，关于x的方程f(x)＝m在区间内有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围； 解：当a＝0时，f(x)＝xln x－x，x∈， 则f'(x)＝ln x＋1－1＝ln x， 令f'(x)＞0，得1＜x≤3； 令f'(x)＜0，得≤x＜1， 所以函数f(x)在上单调递减，在上单调递增， 且f＝－ln 2－，f＝－1，f＝3ln 3－3，－ln 2－＜0＜3ln 3－3， 要使关于x的方程f(x)＝m在区间内有两个不相等的实数根， 则－1＜m≤－ln 2－，即实数m的取值范围为. 16 14 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 15 1 2 (2)求函数f(x)在区间上的最小值. 解：由f(x)＝xln x＋x，x∈， 则f'(x)＝ln x＋a，由f'(x)＝0得x＝e－a. ①当e－a≤，即a≥1时，f'(x)≥0，f(x)在上为增函数， 则f(x)min＝f＝； ②当＜e－a＜e，即－1＜a＜1时，在x∈时，f'(x)≤0，f(x)为减函数， 在x∈时，f'(x)＞0，f(x)为增函数， 则f(x)min＝f＝－e－a； 16 14 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 15 1 2 ③当e－a≥e，即a≤－1时，f'(x)≤0，f(x)在上为减函数， 则f(x)min＝f＝ea. 综上所述，f(x)min＝ 返回 16 14 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 15 1 2 谢 谢 观 看 第2课时　函数的最大(小)值 返回 $