5.3.2函数的极值与最大（小）值 第4课时 课件-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

5.3.2 函数的极值与最大（小）值 第5章【一元函数的导数以及应用】 第4课时 导数的综合应用 高二下学期数学人教A版选择性必修第二册 y x p 0 p T X0 O 1.会利用导数证明不等式并掌握其一般解法； 2.理解并掌握利用导数研究函数零点的思想方法； 3.能利用导数解决生活中的优化问题. 学习目标 函数的最值与极值之间有什么区别与联系？ 合作探究：教师提出问题，请几名同学回答，根据回答情况点评、指导. 区别： (1)函数的极值是函数在定义域的局部区间上函数值的比较，具有相对性； 函数的最值是函数在整个定义域上函数值的比较，具有整体性； (2)函数的极值可以有多个（也可能不存在），但最值最多只能有一个（也可能不存在）； (3)函数的极值只能在区间内取得，而最值还可以在区间端点处取得，极值点不一定是最值点，最值点也不一定是极值点. 创设情境 函数的最值与极值之间有什么区别与联系？ 合作探究：教师提出问题，请几名同学回答，根据回答情况点评、指导. 创设情境 创设情境 探究新知 利用导数证明不等式 教材 原题 探究新知 利用导数证明不等式 (2)如何严格地证明这个不等式呢？ 合作探究：教师提出问题，引导学生思考，暂时不必作答. 探究新知 利用导数证明不等式 (3)下列不等式与最值之间有什么关系？ (4)结合思考(3)，你发现了本题的证明思路吗？ 探究新知 利用导数证明不等式 合作探究： 学生独立完成证明过程，教师评价并给出完整的解题过程. 探究新知 利用导数证明不等式 (5)你能结合这个问题，总结归纳利用导数证明不等式的步骤吗？ 探究新知 利用导数研究函数的零点 合作探究：教师出示问题，让学生独立完成第小题，并请一名同学板演. 教材 原题 (1)根据前面所学习的利用导数判断函数的单调性及利用导数求函数极值的知识，你能完成第(1)小题吗？ 探究新知 利用导数研究函数的零点 探究新知 利用导数研究函数的零点 探究新知 (4)这个函数图象过哪些特殊的点？比如：与坐标轴的交点、极值点. 利用导数研究函数的零点 探究新知 利用导数研究函数的零点 探究新知 利用导数研究函数的零点 (6)你能由图象说出函数的值域与最值吗？ 合作探究：学生独立完成第(3)小题的解答过程，教师对学生解答中不足的地方进行补充，然后给出完整的解题过程. 探究新知 利用导数研究函数的零点 探究新知 利用导数求函数最值的方法 探究新知 利用导数解决生活中的优化问题 饮料瓶大小对饮料公司利润的影响 合作探究：教师引导学生思考生活中的问题： (1)你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些？ (2)是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大？ 教材 原题 探究新知 (2)如何求这个函数的最大(小)值？ (1)如何利用函数表示每瓶饮料的利润？ 合作探究：教师提出问题，让学生读题理解题意，然后引导学生分析思考. 利用导数解决生活中的优化问题 合作探究：学生尝试利用导数的方法求函数的最值，教师评价并给出完整的解题过程. 探究新知 利用导数解决生活中的优化问题 探究新知 (3)换一个角度：如果不用导数工具，直接从函数的图象(如下图)上观察，你有什么发现？ 利用导数解决生活中的优化问题 探究新知 利用导数解决生活中的优化问题 根据探究的结果，得到开始的两个问题的结论： (1)市场上等量的小包装的物品，由于其成本比大包装的高，要想保持一定的利润，就需要提高其销售价格，所以比较起来等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些； (2)饮料瓶越大，饮料公司的利润越大. 探究新知 1.最优化问题的概念： 在生活中，常常遇到求使经营利润最大、用料最少、费用最少、生产效率最高等问题，这些问题统称为最优化问题. 利用导数解决生活中的优化问题 2.解决最优化问题的基本思路 最优化问题 用函数表示成数学问题 用导数解决数学问题 最优化问题答案 探究新知 利用导数解决生活中的优化问题 探究新知 合作探究：教师出示例题，学生尝试独立完成求解过程，教师点评. 应用举例 应用举例 应用举例 合作探究：教师出示例题，学生独立完成求解过程，教师点评. 应用举例 应用举例 回顾本节课的内容，你都学到了什么？ 归纳总结 $