24.4 数据的分组-同步探究学案 2025-2026学年人教版数学八年级下册

该初中数学导学案聚焦“数据的分组”，核心知识点为组内、组间离差平方和的概念及“组内离差平方和最小”分组原则。课堂导入通过复习离差与离差平方和旧知，结合招聘笔试成绩的实际问题，搭建从已有知识到新知的学习支架，引导学生思考合理分组标准。 该资料以实际问题驱动学习，通过计算不同分组的离差平方和培养学生数据分析能力，例题与分层练习设计兼顾不同水平学生。注重逻辑推理和应用意识的培养，让学生在解决实际问题中体会数学价值，提升用统计方法解决问题的能力。

同步探究学案 课题 24.4 数据的分组 单元 第二十四章 学科 数学 年级 八年级 学习 目标 1．理解并会计算组内、组间离差平方和，明确二者关联． 2．掌握“组内离差平方和最小”原则，能合理分组解决实际问题． 3．体会离差平方和在数据分组中的应用价值，培养数据分析与逻辑推理能力，提升用统计方法解决实际问题的意识． 重点 理解组内、组间离差平方和的概念，掌握“组内离差平方和最小”的分组原则． 难点 能运用“组内离差平方和最小”原则，对数据进行合理分组并解决实际问题． 探究过程 导入新课 【引入思考】 1．什么是离差？ 2．什么是离差平方和？ 新知探究 本节课来研究： 本节我们借助离差平方和刻画数据的离散程度，研究数据的分组。 问题：一家公司向社会招聘一名员工，所有应聘者先统一参加笔试，然后根据笔试成绩确定一部分应聘者进入面试．将10名应聘者的笔试成绩（百分制）按从小到大的顺序排列如下： 58 64 68 75 76 83 85 89 90 92 你认为哪一部分应聘者应当进入面试？ 自然，应当选择笔试成绩好的应聘者进入面试．那么笔试成绩怎样才算好呢？可以有不同的标准．例如，前三名或85分及以上等．不管哪种标准，目的都是把笔试成绩分成好和差两组． 对笔试成绩进行分组，上面提到的标准各有其合理性，在实际中也经常被采用．但这些标准都没有考虑数据自身的特点，这可能导致两个很接近的笔试成绩被分到不同的组．例如，83分与85分的差距很小，若以“85分及以上”为好成绩的标准，则85分属于好成绩，而83分属于差成绩．而从公司确定面试应聘者的角度看，把笔试成绩相对接近的分到同一组，是一种较合理的做法．因此，笔试成绩可以根据组内差异最小的原则进行分组． 将笔试成绩按从小到大的顺序排列，使相互最接近的笔试成绩都挨在了一起．因此，要使分组后的组内差异最小，只需在已排序数据的基础上寻找分组方法．可以发现，10个笔试成绩按顺序排列形成9个间隔，如图所示． 58｜64｜68｜75｜76｜83｜85｜89｜90｜92 每个间隔都可以把笔试成绩分成好和差两组，共有9种分法． 思考：怎么刻画组内笔试成绩差异的大小呢？哪种分法能使笔试成绩好和差两组的组内差异最小？ 在前面的学习中，我们知道，离差平方和可以刻画一组数据的离散程度．下面我们利用离差平方和刻画组内数据的离散程度，进而对数据进行分组． 一般地，设有n个数据x1，x2，…，xn，其平均数记为，则离差平方和为 d2＝（x1－）2＋（x2－）2＋…＋（xn－）2． 如果把这组数据分为两组，前m（m＜n）个数据为一组，后（n－m）个数据为一组，它们的平均数分别记为1和2，离差平方和分别为 ＝（x1－1）2＋（x2－1）2＋…＋（xm－1）2， ＝（xm+1－2）2＋（x m+2－2）2＋…＋（xn－2）2， 那么 d2＝（x1－1＋1－）2＋（x2－1＋1－）2＋…＋（xm－1＋1－）2＋（x m+1－2＋2－）2＋（x m+2－2＋2－）2＋…＋（xn－2＋2－）2 ＝（x1－1）2＋（x2－1）2＋…＋（xm－1）2＋（x m+1－2）2＋（x m+2－2）2＋…＋（xn－2）2＋m（x1－）2＋（n－m）（x2－）2 ＝＋m（x1－）2＋（n－m）（x2－）2 其中称为组内离差平方和，表示两个组内数据的离散程度； 记＝m（x1－）2＋（n－m）（x2－）2， 是m个第一组数据平均数、（n－m）个第二组数据平均数关于总体数据平均数的离差平方和，称为组间离差平方和，表示两个组间的差异．根据组内离差平方和最小的原则进行分组时，由于d2不变，既可以按最______来分组，也可以按最______来分组． 这样，根据组内离差平方和最小的原则，能使笔试成绩相差较小的应聘者分在同一组．利用计算器或信息技术工具，可以计算出图中的9种分法的组内离差平方和（结果保留小数点后一位），如表所示． 分组 第一组离差平方和 第二组离差平方和 组内离差平方和 第1个间隔 0 799.6 799.6 第2个间隔 18 503.5 521.5 第3个间隔 50.7 271.4 322.1 第4个间隔 152.8 170.8 323.6 第5个间隔 228.8 54.8 283.6 第6个间隔 411.3 26 437.3 第7个间隔 587.4 4.7 592.1 第8个间隔 819.5 2 821.5 第9个间隔 1026.2 0 1026.2 观察最后一列组内离差平方和可以发现，当按第5个间隔分组时，组内离差平方和最小．因此，按组内离差平方和最小的分法为 ｛58，64，68，75，76｝ 和 ｛83，85，89，90，92｝． 例：10个城市某月的每日最高温度的平均数（简称平均高温）如表所示 城市 北京 石家庄 呼和浩特 哈尔滨 上海 广州 海口 成都 贵阳 昆明 平均高温/℃ 3 3 －3 －11 10 21 22 12 9 17 根据平均高温的组内离差平方和最小的原则，把这10个城市分为两组． 问题：结合地理课所学知识，说一说这样分组合理吗？ 课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．如果组内离差平方和很大，说明（    ） A．组间差异大 B．组内差异大 C．总差异小 D．均值相等 2．学校种植园中有4盆相同品种的植物，需要按植物的株高分成两组进行培养，使得同组内植物株高尽量接近，将4盆植物的株高从小到大排序后分成两组，共有3种情况，计算它们的组内离差平方和结果如下表所示，则4盆植物的最优分组序号是___________． 序号 分组情况 组内离差平方和 ① 第一组1个，第二组3个 44 ② 第一组2个，第二组2个 28 ③ 第一组3个，第二组1个 16.67 3．设有两组数据，第一组数据为3，5，7；第二组数据为6，8，10．分别计算这两组数据各自的组内离差平方和． 选做题： 4．在引体向上测试中，5名同学完成的个数分别为13，15，7，9，12．要使个数相差较小的同学分在一组，下表是4种分法的组内离差平方和（结果保留小数点后一位） 分组 第一组离差平方和 第二组离差平方和 组内离差平方和 第1个间隔 0 第2个间隔 2 第3个间隔 2 第4个间隔 0 根据组内离差平方和最小原则，把这5名同学引体向上的个数分为两组，下列分组正确的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【综合拓展类练习】 5．某工厂生产一批零件，随机抽取6个零件的直径（单位：）为10.2，10.3，10.5，10.8，11.0，11.2．质检部门想将零件分为“合格组”和“待复检组”，要求组内直径波动最小，如何分组？计算最小组内离差平方和（结果保留小数点后两位）． 课堂小结 说一说：今天这节课，你都有哪些收获？ 作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．在分组时要求“组内离差平方和最小”，其目的是（   ） A．使每组数据量相等 B．使每组组内数据差异尽可能小，组间数据差异尽可能大 C．减少计算复杂度 D．保证组间均值相等 2．将一组数据，，，，，分成前个一组，后个一组，则这组数据的组内离差平方和是___________． 3．在统计学里，分组的方法有很多，其中较常用的方法是使“组内离差平方和达到最小”．多组数据的组内离差平方和是指每组数据的离差平方和的和．现在有10个苹果的直径分别是65，75，76，69，80，70，76，81，78，80．按照“组内离差平方和达到最小”的方法，把这10个苹果按直径大小分成两组． 选做题： 4．山西省晋南地区独特的地理与气候条件，为苹果提供了良好的生长条件，运城地处北纬，黄土层深厚肥沃，是公认的苹果“黄金生产带”．现某苹果商贩购进一批苹果按照苹果的个头进行包装销售．抽取其中的10个苹果直径为，按照“组内离差平方和达到最小”的方法分成2组，将这10个数据从小到大排序，分别按前个数据为第一组、其余数据为第二组（）进行分组，共有9种情况，如下：（结果保留整数） 分组 第一组离差平方和 第二组离差平方和 组内离差平方和 第1个间隔 0 147 147 第2个间隔 8 90 98 第3个间隔 14 34 48 第4个间隔 51 24 75 第5个间隔 82 16 98 第6个间隔 103 5 108 第7个间隔 135 1 136 第8个间隔 182 1 183 第9个间隔 218 0 218 观察最后一列组内离差平方和可以发现，当按第3个间隔分组时，组内离差平方和最小．因此，按组内离差平方和最小的分法为___________和___________． 【综合拓展类作业】 5．现有一组数据：8，12，16，20，24，28．若将其分为2组，试根据组内离差平方和最小的原则，确定最优分组方式，并计算分组后的总组内离差平方和． www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 学科网（北京）股份有限公司 $