专题01 整式的乘除（期中复习讲义+12重难题型+分层验收）七年级数学下学期新教材北师大版

专题01 整式的乘除（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 判断整式运算是否正确 题型02 用科学记数法表示绝对值小于1的数 题型03 完全平方式中的字母参数问题 题型04 已知多项式乘积不含某项求字母的值 题型05 幂的混合运算及逆运算 题型06 零指数幂、负整数指数幂综合计算 题型07 整式混合运算——化简求值 题型08 利用乘法公式简便运算 题型09 整式乘法与图形面积 题型10 乘法公式中几何图形的应用 题型11 多项式乘法中的规律性问题 题型12 整式的运算中的新定义型问题 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 幂的运算（同底数幂乘除、幂的乘方、积的乘方） 熟练掌握幂的 4 大运算公式，能准确进行幂的变形与计算。 基础必考点，多以选择、填空考查，易与指数运算混淆。 零指数幂与负整数指数幂 理解 a0=1(a≠0) 与 a−p=(a≠0) 的意义，能正确计算。 高频基础点，常与科学记数法结合考查，易忽略底数不为 0 的条件。 整式的乘法（单项式乘、多项式乘） 掌握整式乘法法则，能规范进行系数、指数运算并合并同类项。 必考基础计算，解答题开篇常考，符号与漏乘是高频丢分点。 整式的除法（单项式除、多项式除） 能熟练进行整式除法运算，掌握多项式除以单项式的法则。 基础考点，易与乘法互逆运算结合考查，计算步骤易出错。 乘法公式（平方差、完全平方） 熟记公式结构，能灵活运用公式进行简便计算与变形应用。 中考核心考点，解答题压轴常考，公式混淆、应用不熟练是易错点。 整式乘除的综合应用 能综合运用乘除法则解决化简求值、实际问题，提升运算能力。 综合考查点，多与解方程、几何结合，侧重考察计算准确性与逻辑思维。 知识点01 同底数幂的乘法 公式：am an = am+n（m,n为正整数） 法则：底数不变，指数相加。 示例：x3 x2 = x3+2=x5 易错点 ：1. 指数相乘，写成x6； 2. 底数不同强行套用公式； 3. 忽略a=a1，如a a3 错写成a3。 知识点02 幂的乘方 公式：(am)n = amn 法则：底数不变，指数相乘。 示例：（x2）3 = x2×3=x6 易错点： 1. 指数相加，写成x5； 2. 系数不乘方，如 (2x2)3错写成2x6。 知识点03 积的乘方 公式：(ab)n = anbn 法则：每个因式分别乘方，再把结果相乘。 示例：(2xy)3 = 23x3y3= 8x3y3 易错点： 1. 只给字母乘方，不给系数乘方； 2. 漏乘某个因式； 3. 负数乘方时符号判断错误：(-a)2=a2，(-a)3=-a3。 知识点04 同底数幂的除法 知识点 公式：am÷ an = am-n(a≠0，m>n） 法则：底数不变，指数相减。 示例：x5÷ x2 = x5-2=x3 易错点： 1. 指数相除； 2. 底数不同直接除； 3. 忘记底数不能为0。 知识点05 零指数幂与负整数指数幂 1. 零指数：a0 = 1（a≠0） 2. 负指数：a-p =（a≠0） 示例： 30=1，2-2= 易错点： 1. 认为00=1； 2. 负指数变成负数，如2-2=-4； 3. 忘记底数不为0的限制条件 知识点06 单项式乘单项式 法则：系数相乘，同底数幂相乘，单独字母照抄。 示例：2x2y×3xy2 = 6x3y3 易错点： 1. 系数不乘或算错； 2. 漏写单独字母； 3. 指数运算错误。 知识点07 单项式乘多项式 法则：用单项式去乘多项式的每一项，再相加。a(b+c)=ab+ac 示例： 2x(x+3)=2x2+6x 易错点： 1. 漏乘某一项； 2. 符号出错，尤其是括号前是负号； 3. 结果未合并同类项。 知识点08 多项式乘多项式 法则：一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再相加。(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn\) 示例： (x+2)(x+3)=x2+3x+2x+6=x2+5x+6 易错点： 1. 漏项，常见只乘首尾两项； 2. 符号错误； 3. 未合并同类项。 知识点09 平方差公式 公式：(a+b)(a-b)=a2-b2结构：相同项²−相反项² 示例：(x+3)(x-3)=x2-9 易错点： 1. 记成(a-b)2； 2. 符号混乱，写成b2-a2； 3. 系数不平方，如(2x+1)(2x-1)错写成2x2-1。 知识点10 完全平方公式 (a b)2 = a22ab + b2口诀：首平方，尾平方，积的2倍在中央。 示例：(x+2)2=x2+4x+4 易错点： 1. 漏掉中间2ab项； 2. 中间项系数忘乘2； 3. 符号错误：(a-b)2中间项写成正。 知识点11 单项式除以单项式 知识点 法则：系数相除，同底数幂相除，只在被除式里的字母照抄。 示例：6x3y ÷ 2xy = 3x2 易错点： 1. 系数相除算错； 2. 指数相减变相加； 3. 漏写剩余字母。 知识点12 多项式除以单项式 法则：多项式每一项除以单项式，再把商相加。(a+b+c)÷m = a÷m + b÷m + c÷m 示例：(4x2-2x)÷2x = 2x-1 易错点： 1. 漏项； 2. 符号出错； 3. 某一项除不尽时保留分式。 知识点13 科学记数法 知识点 1. 大数：a×10n（1≤ a<10） 2. 小数：a×10-n 示例：0.00023=2.3×10-4 易错点： 1. 指数数错位数； 2. 小数负指数写成正指数； 3.a不在1～10范围内。 知识点14 整式乘除化简求值 知识点 先化简（乘除、公式、合并同类项），再代入数值计算。 示例： 化简(x+2)2 - x(x-1)再代入x=1。 易错点： 1. 未化简直接代入，计算量大易出错； 2. 公式用错导致结果全错； 3. 代入负数时符号混乱。 题型一 判断整式运算是否正确 解｜题｜技｜巧 先看运算顺序，再检查法则：幂运算注意指数乘除，合并同类项看系数字母指数，整式乘除注意符号与分配律，可代特殊值快速验证，避免跳步出错。 【典例1】（25-26八年级上·北京·期中）下列计算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26八年级上·吉林长春·期中）下列运算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26九年级上·甘肃兰州·期中）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·黑龙江七台河·期中）下列计算正确的是（  ） A． B． C． D． 题型二 用科学记数法表示绝对值小于1的数 解｜题｜技｜巧 将小数点右移至第一个非零数字后，指数为负，指数绝对值等于左移位数；注意保持有效数字位数，结果写成a×10⁻ⁿ形式，其中1≤|a|＜10，n为正整数，前面补零不计。 【典例1】（25-26八年级上·湖南永州·期中）蜜蜂的巢房，它的截面呈正六边形，既节约空间又很坚固，巢房壁的厚度仅为0.000073米．数字0.000073用科学记数法表示为___________． 【典例2】（25-26八年级上·湖南怀化·期中）钾—氩测年法（法）是常用的地质测年方法，天然钾中放射性同位素40K的丰度为．数据用科学记数法表示为______________ 【变式1】（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）古代数学著作《九章算术》的注疏中，数学家刘徽曾提及一种用于测量微小长度的单位“忽”，经现代换算，1忽约等于0.0000033米．则0.0000033用科学记数法表示为___． 【变式2】（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）河南商丘柘城以出产蚕丝闻名，历史上有“柘丝为最”之称．柘丝的平均直径约为，将用科学记数法表示为______． 题型三 完全平方式中的字母参数问题 解｜题｜技｜巧 先写成(a±b)²形式展开对比，常数项为一次项系数一半的平方；含参数时，设完全平方后展开对应系数相等，注意符号，两解勿漏，有时需考虑二次项系数为完全平方数。 【典例1】（24-25七年级下·四川成都·期中）若关于x的多项式（其中是常数）是完全平方式，则的值是______． 【典例2】（24-25七年级下·四川成都·期中）若是一个完全平方式，则k的值为___________ ． 【变式1】（25-26八年级上·江西新余·期中）如果是一个完全平方式，那么_____． 【变式2】（25-26七年级上·上海·期中）已知关于x的整式是某个关于x的整式的平方，则k的值是______． 题型四 已知多项式乘积不含某项求字母的值 解｜题｜技｜巧 先按法则展开合并同类项，令该项系数为零列方程求解；注意“不含”指该项系数为零，有时需考虑二次项、一次项或常数项，展开时细心防止漏项，结果代入验证。 【典例1】（25-26八年级上·广东广州·期中）若的结果中不含x项，则______． 【典例2】（25-26八年级上·吉林·期中）若的展开式中不含项，则______． 【变式1】（25-26八年级上·吉林松原·期中）关于的代数式的展开式中不含的一次项，则的值为______． 【变式2】（25-26八年级上·辽宁鞍山·期中）若展开后不含x的一次项，则a的值是________． 题型五 幂的混合运算及逆运算 解｜题｜技｜巧 同底数幂乘除指数加减，幂的乘方指数相乘，积的乘方每个因式乘方；逆运算常化同底数或同指数，利用指数相等列方程，注意底数为负时指数奇偶性，底数非零为前提。 【典例1】（25-26七年级上·上海·期中）计算：． 【典例2】（24-25七年级下·江苏常州·期中）（1）若，，求的值． （2）若，求值． 【变式1】（25-26八年级上·广东惠州·期中）（1）计算：． （2）若，，求的值． 【变式2】（25-26八年级上·福建厦门·期中）若（且，、是正整数），则．利用上面的结论解决下面的问题： (1)如果，求的值； (2)已知，，用含，的式子表示． 题型六 零指数幂、负整数指数幂综合计算 解｜题｜技｜巧 零指数幂底数非零结果为1，负指数化为倒数正指数；运算时先化负指数为正，再按幂运算法则计算，注意底数为分数时取倒数，结果化为正整数指数形式，避免符号错误。 【典例1】（24-25七年级下·广东佛山·期中）计算： 【典例2】（24-25八年级上·湖南邵阳·期中）计算： 【变式1】（25-26九年级上·甘肃兰州·期中）计算： 【变式2】（25-26九年级上·湖南长沙·期中）计算：． 题型七 整式混合运算——化简求值 解｜题｜技｜巧 先乘方再乘除最后加减，有括号先算括号内，合并同类项化简；代入数值时负数添括号，注意整体代入或利用条件变形简化计算，避免直接代入增加运算量，结果要最简。 【典例1】（25-26八年级上·江苏南通·期中）先化简，再求值：，其中． 【典例2】（25-26八年级上·海南省直辖县级单位·期中）先化简，再求值：，其中 【变式1】（25-26七年级上·上海宝山·期中）先化简，再求值：，其中． 【变式2】（25-26七年级上·上海普陀·期中）先化简，再求值：，其中，． 题型八 利用乘法公式简便运算 解｜题｜技｜巧 观察式子结构，凑成平方差、完全平方或立方公式形式；将数字拆解成和或差，逆向运用公式简化计算，注意符号与系数，避免直接硬算。 【典例1】（25-26七年级上·上海闵行·期中）利用乘法公式简便运算： 【典例2】（24-25七年级上·上海·期中）简便运算：． 【变式1】（24-25七年级下·贵州毕节·期中）简便运算： (1)； (2)． 【变式2】（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）运用乘法公式进行简便运算： (1)； (2)． 题型九 整式乘法与图形面积 解｜题｜技｜巧 根据图形分割或补全，用不同方法表示总面积，列出整式乘法恒等式；常利用矩形、正方形面积模型解释乘法公式，通过等面积法建立方程，数形结合验证运算结果。 【典例1】（25-26七年级上·重庆璧山·期中）书籍是人类进步的阶梯！为爱护书一般都将书本用封皮包好，现有一本数学课本如图1所示，其长为、宽为、厚为．小军用一张长方形纸包好了这本数学书，他将封面和封底各折进去，封皮展开后如图所示，求： (1)小军所用的这张包书纸的长和宽各是多少？（用含的代数式表示） (2)当封面和封底各折进去时，请帮小军计算一下他所用的包书纸的面积是多少？ 【典例2】（25-26七年级上·全国·期中）如图，某学校设计在长为，宽为的大长方形场地中，并排新建三个大小一样的篮球场，三个篮球场之间及篮球场与长方形场地边缘的距离均为，篮球场的宽为． (1)用含a，b的代数式表示一个篮球场的周长； (2)当，时，求整个场地的面积． 【变式1】（25-26八年级上·广西南宁·期中）【知识回顾】有这样一类题：代数式的值与的取值无关，求的值；通常的解题方法：把，看作字母，看作系数，合并同类项，因为代数式的值与的取值无关，所以含项的系数为0，即原式，所以，即． 【理解应用】（1）的值与的取值无关，求的值； 【能力提升】（2）如图1，小长方形纸片的长为、宽为，有7张图1中的纸片按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中有两个部分（图中阴影部分）未被覆盖，设右上角的面积为，左下角的面积为，设．请解决以下问题： ①填空： ②已知的值与的取值无关，求与的数量关系． 【变式2】（25-26八年级上·福建福州·期中）对于“用一根长度为20米的绳子如何围一个面积最大的长方形？”这个问题，爱钻研的小华从不同的方向来思考这个问题. (1)小华考虑到这个长方形相邻两边的和是定值10，于是分别对相邻的两边取特殊值，通过计算得到对应长方形的面积：，，，，． 观察上面等式，可以发现：当相邻的两边满足________关系时，长方形的面积最大．请你利用所学的数学知识帮助小华解释上面发现的结论． (2)聪明的小华经过深度思考，发现此结论也可以利用数形结合加以说明，方法如下： 已知长方形相邻两边的和是定值10，设一边长是x，则相邻一边的长是． ①当时，将原长方形沿直线l剪成长方形A和长方形B（如图1、图2），再将长方形B割补到长方形A的右侧（如图3），则图3中阴影部分正方形C边长为， 通过上述割补，图1中长方形的面积可以看成图3中两个正方形的面积之差，所以代数式，25，满足的等量关系为________． ②当时，进行类似上述过程的割补（图4~图6)，由图，可得出的等量关系为________． ③当时，该长方形即为正方形，其面积为25． 综上所述，周长是20的长方形的面积的最大值是________． (3)当时，仿照（2）中的割补过程（无需描述割补过程，只需要画出示意图），求代数式的最小值． 题型十 乘法公式中几何图形的应用 解｜题｜技｜巧 用图形面积验证或推导公式，如平方差用长方形与正方形拼补，完全平方用大正方形分割；根据图形边长关系列面积等式，转化为代数恒等式，直观理解公式结构。 【典例1】（25-26八年级上·四川眉山·期中）（1）已知，，求的值． （2）已知，，求的值； （3）已知，求的值； （4）如图，在六边形中，对角线和相交于点，当四边形和四边形都为正方形时，若，正方形和正方形的面积和为36，求阴影部分的面积（直接写出答案）． 【典例2】（25-26八年级上·四川眉山·期中）【阅读材料】若x满足，求的值． 解：设，．则，． ∴． 【类比探究】解决下列问题： （1）若x满足，则的值为 ． （2）若，求的值． 【拓展应用】 （3）已知正方形的边长为x，E、F分别是、上的点，且，，长方形的面积是24，分别以，为边长作正方形和正方形．求阴影部分的面积． 【变式1】（24-25七年级下·广东河源·期中）从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是___________（填字母）． A． B． C． (2)应用你从（1）选出的等式，完成下列各题： ①已知，求的值； ②计算：； ③计算：． 【变式2】（25-26八年级上·内蒙古通辽·期中）【教材原题】 观察图1，用等式表示图中图形的面积的运算为． 【类比探究】 （1）观察图2，用等式表示图中阴影部分图形的面积和的运算为______； 【知识应用】 （2）根据图2所得的公式：①若，，求的值； ②若，求的值； 【知识拓展】 （3）如图3，某学校有一块四边形空地，于点，，，该校计划在和区域内种花，在和的区域内种草，经测量种草区域的面积和为60平方米，米，求种花区域的面积和． 题型十一 多项式乘法中的规律性问题 解｜题｜技｜巧 先计算前几项或特殊值，观察系数、指数变化规律，猜想一般式；常用公式如平方差、完全平方推广，或利用杨辉三角找系数，注意项数与次数关系，通过验证确保正确。 【典例1】（24-25七年级下·四川成都·期中）【观察思考】 ， ， ， 【规律发现】 （1）根据规律可得 ；（其中n为正整数） 【规律应用】； （2）①计算：； ②若，求的值． 【典例2】（24-25七年级下·广东深圳·期中）观察下列各式的规律，解答下列问题． 第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． 第4个等式：． …… (1)根据上述规律，请写出第5个等式：________． (2)猜想：_______． (3)利用（2）中的结论，求的值． (4)已知，化简 【变式1】（25-26七年级上·辽宁沈阳·期中）我国南宋时期杰出的数学家杨辉是钱塘人，如图所示的图表是他在《详解九章算法》中记载的“杨辉三角”． 此图揭示了（n为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律，由此规律可解决如下问题： (1)图中括号内的数为________； (2)展开式共有________项，第3项系数为________； (3)根据上面的规律，写出的展开式：________； (4)利用上面的规律计算：； 【变式2】（25-26八年级上·四川内江·期中）我们知道展开后等于，我们可以利用乘法法则将展开．如果进一步，要展开，，你一定发现解决上述问题需要大量的计算，是否有简单的方法呢？我们不妨找找规律！如果将(n为非负整数)的每一项按字母a的次数由大到小排列，就可以得到下面的等式： 上表就是我国宋朝数学家杨辉1261年的著作《详解九章算法》中提到过，而他是摘录自北宋时期数学家贾宪著作的《黄帝九章算法细草》中的“开方作法本源图”，因而人们把这个表叫做杨辉三角或贾宪三角． (1)请根据上表写出，的结果． ______________；______________ (2)请你利用“杨辉三角“求出下式的计算结果： 题型十二 整式的运算中的新定义型问题 解｜题｜技｜巧 仔细阅读新定义，明确运算法则与符号意义，将新运算转化为常规整式运算；按定义代入计算，注意运算顺序与括号，可先举例理解规则，再按步骤化简求值，避免直接套用旧习惯。 【典例1】（24-25七年级下·浙江杭州·期中）爱思考的方方同学在学习“整式的乘法”时，给出“平衡多项式”的定义：对于三个多项式：，，（其中，是非零常数），当是一个常数时，称这样的三个多项式是平衡多项式，的值是平衡因子． (1)根据方方同学给出的定义，判断是不是平衡多项式？说明理由． (2)已知是平衡多项式，求平衡因子． 【典例2】（24-25七年级下·安徽安庆·期中）规定两数a，b之间的一种运算，记作，如果．我们叫为“雅对”． 例：因为，所以．我们还可以利用“雅对”定义说明等式成立．证明如下：设，，则，，故，则，即． (1)根据上述规定，填空： ； ； ． (2)计算 ，并说明理由． (3)利用“雅对”定义证明：，对于任意自然数n都成立． 【变式1】（25-26八年级上·北京·期中）定义：一个含有两个字母的代数式中，若交换它们的位置，当这两个字母的取值不相等，且都不为0时，代数式的值变为原来的相反数，这样的式子叫做反对称式． 例如：代数式中两个字母交换位置，可得到代数式，当，且都不为0时，因为，所以是反对称式． 根据上述定义，解答下列问题： (1)下列代数式中是反对称式的有________（填序号）； ①            ②        ③        ④ (2)若关于m，n的代数式为反对称式，求k的值； (3)若关于m，n的代数式（m，n均为（均为奇偶性不同的正整数）为反对称式，直接写出的值． 【变式2】（25-26八年级上·北京·期中）小明在学习有关整式的知识时，发现一个有趣的现象：对于关于的多项式，由于，所以当取任意一对互为相反数的数时，多项式的值是相等的，例如，当，即或时，的值均为3；当，即或时，的值均为6． 于是小明给出一个定义：对于关于的多项式，若当取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于对称．例如关于对称． 请结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题： (1)多项式关于____________对称； (2)若关于的多项式关于对称，则的值为_________； (3)整式关于____________对称． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25七年级下·安徽宿州·期中）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·全国·期中）如图1，将一个底边为，高为的平行四边形纸片，沿虚线剪开，把剪成的两部分(1)和(2)拼成如图2的图形，这两个图能解释下列哪个等式（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·湖南邵阳·期中）用科学记数法表示______． 4．（24-25七年级下·湖南益阳·期中）若单项式与是同类项，则这两个单项式的积是_______． 5．（25-26九年级上·湖南长沙·期中）计算：． 6．（25-26八年级上·广东惠州·期中）（1）计算：． （2）若，，求的值． 7．（25-26八年级上·江西南昌·期中）先化简，再求值：，其中，． 8．（25-26七年级上·江苏南通·期中）如图，用7张长为，宽为的长方形纸片互不重叠地放在长方形区域内，设边的长为，未被覆盖的两个区域（阴影）的面积差为（正值）． (1)若，则的值为多少时？ (2)对于下列两个问题，先回答，再通过“数学运算”说明理由； ①（1）中的值每增加的值增加（或减少）多少？ ②若，能赋予一个值使得的值不随的值的变化而变化吗？ 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（25-26八年级上·湖北襄阳·期中）已知分别是的三边长，若，则的周长是（　　） A．3 B．6 C．8 D．12 2．（25-26九年级上·贵州遵义·期中）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·四川宜宾·期中）如图，用四个完全一样的长、宽分别为、的长方形纸片围成一个大正方形，中间是空的小正方形．若，，判断以下关系式：①；②；③；④；⑤，其中正确的个数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 4．（24-25七年级下·广东深圳·期中）若的计算结果中没有关于的一次项，则________． 5．（25-26八年级上·福建泉州·期中）若关于的多项式可以表示为一个多项式的平方，则的值为___________． 6．（25-26七年级上·上海杨浦·期中）已知，的值是_________． 7．（25-26八年级上·福建泉州·期中）先化简，再求值：．其中，． 8．（25-26八年级上·湖北黄石·期中）求值： (1)已知，，求的值；（用含a、b的代数式表示） (2)已知，，求的值． 9．（25-26八年级上·河南南阳·期中）（1）已知，，求下列各式的值： ①； ②． （2）代数推理：请运用所学知识，说明下列结论的正确性． ①两个连续奇数的平方差一定是8的倍数．为什么？ ②任意两个不同奇数的平方差一定是8的倍数．为什么？ 10．（25-26八年级上·四川眉山·期中）【知识生成】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如图1可以得到，基于此，请解答下列问题： 【直接应用】（1）若，，求的值； 【类比应用】（2）①若，则________； ②若满足，求的值； 【知识迁移】（3）两块全等的特制直角三角板（）如图2所示放置，其中，，在一直线上，连接，．若，，求一块直角三角板的面积． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 整式的乘除（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 判断整式运算是否正确 题型02 用科学记数法表示绝对值小于1的数 题型03 完全平方式中的字母参数问题 题型04 已知多项式乘积不含某项求字母的值 题型05 幂的混合运算及逆运算 题型06 零指数幂、负整数指数幂综合计算 题型07 整式混合运算——化简求值 题型08 利用乘法公式简便运算 题型09 整式乘法与图形面积 题型10 乘法公式中几何图形的应用 题型11 多项式乘法中的规律性问题 题型12 整式的运算中的新定义型问题 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 幂的运算（同底数幂乘除、幂的乘方、积的乘方） 熟练掌握幂的 4 大运算公式，能准确进行幂的变形与计算。 基础必考点，多以选择、填空考查，易与指数运算混淆。 零指数幂与负整数指数幂 理解 a0=1(a≠0) 与 a−p=(a≠0) 的意义，能正确计算。 高频基础点，常与科学记数法结合考查，易忽略底数不为 0 的条件。 整式的乘法（单项式乘、多项式乘） 掌握整式乘法法则，能规范进行系数、指数运算并合并同类项。 必考基础计算，解答题开篇常考，符号与漏乘是高频丢分点。 整式的除法（单项式除、多项式除） 能熟练进行整式除法运算，掌握多项式除以单项式的法则。 基础考点，易与乘法互逆运算结合考查，计算步骤易出错。 乘法公式（平方差、完全平方） 熟记公式结构，能灵活运用公式进行简便计算与变形应用。 中考核心考点，解答题压轴常考，公式混淆、应用不熟练是易错点。 整式乘除的综合应用 能综合运用乘除法则解决化简求值、实际问题，提升运算能力。 综合考查点，多与解方程、几何结合，侧重考察计算准确性与逻辑思维。 知识点01 同底数幂的乘法 公式：am an = am+n（m,n为正整数） 法则：底数不变，指数相加。 示例：x3 x2 = x3+2=x5 易错点 ：1. 指数相乘，写成x6； 2. 底数不同强行套用公式； 3. 忽略a=a1，如a a3 错写成a3。 知识点02 幂的乘方 公式：(am)n = amn 法则：底数不变，指数相乘。 示例：（x2）3 = x2×3=x6 易错点： 1. 指数相加，写成x5； 2. 系数不乘方，如 (2x2)3错写成2x6。 知识点03 积的乘方 公式：(ab)n = anbn 法则：每个因式分别乘方，再把结果相乘。 示例：(2xy)3 = 23x3y3= 8x3y3 易错点： 1. 只给字母乘方，不给系数乘方； 2. 漏乘某个因式； 3. 负数乘方时符号判断错误：(-a)2=a2，(-a)3=-a3。 知识点04 同底数幂的除法 知识点 公式：am÷ an = am-n(a≠0，m>n） 法则：底数不变，指数相减。 示例：x5÷ x2 = x5-2=x3 易错点： 1. 指数相除； 2. 底数不同直接除； 3. 忘记底数不能为0。 知识点05 零指数幂与负整数指数幂 1. 零指数：a0 = 1（a≠0） 2. 负指数：a-p =（a≠0） 示例： 30=1，2-2= 易错点： 1. 认为00=1； 2. 负指数变成负数，如2-2=-4； 3. 忘记底数不为0的限制条件 知识点06 单项式乘单项式 法则：系数相乘，同底数幂相乘，单独字母照抄。 示例：2x2y×3xy2 = 6x3y3 易错点： 1. 系数不乘或算错； 2. 漏写单独字母； 3. 指数运算错误。 知识点07 单项式乘多项式 法则：用单项式去乘多项式的每一项，再相加。a(b+c)=ab+ac 示例： 2x(x+3)=2x2+6x 易错点： 1. 漏乘某一项； 2. 符号出错，尤其是括号前是负号； 3. 结果未合并同类项。 知识点08 多项式乘多项式 法则：一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再相加。(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn\) 示例： (x+2)(x+3)=x2+3x+2x+6=x2+5x+6 易错点： 1. 漏项，常见只乘首尾两项； 2. 符号错误； 3. 未合并同类项。 知识点09 平方差公式 公式：(a+b)(a-b)=a2-b2结构：相同项²−相反项² 示例：(x+3)(x-3)=x2-9 易错点： 1. 记成(a-b)2； 2. 符号混乱，写成b2-a2； 3. 系数不平方，如(2x+1)(2x-1)错写成2x2-1。 知识点10 完全平方公式 (a b)2 = a22ab + b2口诀：首平方，尾平方，积的2倍在中央。 示例：(x+2)2=x2+4x+4 易错点： 1. 漏掉中间2ab项； 2. 中间项系数忘乘2； 3. 符号错误：(a-b)2中间项写成正。 知识点11 单项式除以单项式 知识点 法则：系数相除，同底数幂相除，只在被除式里的字母照抄。 示例：6x3y ÷ 2xy = 3x2 易错点： 1. 系数相除算错； 2. 指数相减变相加； 3. 漏写剩余字母。 知识点12 多项式除以单项式 法则：多项式每一项除以单项式，再把商相加。(a+b+c)÷m = a÷m + b÷m + c÷m 示例：(4x2-2x)÷2x = 2x-1 易错点： 1. 漏项； 2. 符号出错； 3. 某一项除不尽时保留分式。 知识点13 科学记数法 知识点 1. 大数：a×10n（1≤ a<10） 2. 小数：a×10-n 示例：0.00023=2.3×10-4 易错点： 1. 指数数错位数； 2. 小数负指数写成正指数； 3.a不在1～10范围内。 知识点14 整式乘除化简求值 知识点 先化简（乘除、公式、合并同类项），再代入数值计算。 示例： 化简(x+2)2 - x(x-1)再代入x=1。 易错点： 1. 未化简直接代入，计算量大易出错； 2. 公式用错导致结果全错； 3. 代入负数时符号混乱。 题型一 判断整式运算是否正确 解｜题｜技｜巧 先看运算顺序，再检查法则：幂运算注意指数乘除，合并同类项看系数字母指数，整式乘除注意符号与分配律，可代特殊值快速验证，避免跳步出错。 【典例1】（25-26八年级上·北京·期中）下列计算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了整式的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 根据同底数幂的乘法、单项式与单项式的除法、积的乘方以及合并同类项．法则逐项分析即可． 【详解】解：选项A∶ 与不是同类项，不能合并， A错误． 选项B∶ ， B错误． 选项C∶ ， C错误． 选项D∶ ， D正确． 故选D． 【典例2】（25-26八年级上·吉林长春·期中）下列运算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查整式的运算，包括同底数幂的乘法、分配律、多项式乘法和除法．需逐项验证运算是否正确． 【详解】解：A：，故原计算错误； B：，故原计算正确； C：，故原计算错误； D：，故原计算错误； 故选：B． 【变式1】（25-26九年级上·甘肃兰州·期中）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法，积的乘方，多项式除以单项式及平方差公式，熟练掌握各个运算是解题的关键；通过幂的运算、积的乘方、多项式除法和平方差公式逐一判断各选项的正确性即可． 【详解】解：对于A：，错误； 对于B：，错误； 对于C：，正确； 对于D：，错误； 故选C． 【变式2】（25-26九年级上·黑龙江七台河·期中）下列计算正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查整式的乘除运算，包括单项式乘单项式、幂的乘方、整式除法和平方差公式的应用，根据相关的运算法则逐一判断即可． 【详解】解：A、，正确； B、，错误； C、，错误； D、，错误； 故选：A． 题型二 用科学记数法表示绝对值小于1的数 解｜题｜技｜巧 将小数点右移至第一个非零数字后，指数为负，指数绝对值等于左移位数；注意保持有效数字位数，结果写成a×10⁻ⁿ形式，其中1≤|a|＜10，n为正整数，前面补零不计。 【典例1】（25-26八年级上·湖南永州·期中）蜜蜂的巢房，它的截面呈正六边形，既节约空间又很坚固，巢房壁的厚度仅为0.000073米．数字0.000073用科学记数法表示为___________． 【答案】 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是非负数，当原数绝对值小于1时，是负数，表示时关键是要正确确定的值以及的值． 【详解】解：数字0.000073用科学记数法表示为， 故答案为：． 【典例2】（25-26八年级上·湖南怀化·期中）钾—氩测年法（法）是常用的地质测年方法，天然钾中放射性同位素40K的丰度为．数据用科学记数法表示为______________ 【答案】 【分析】本题考查科学记数法表示较小数，对于绝对值小于1的数，科学记数法形式为，其中，n为负整数，其绝对值等于原数中第一个非零数字前所有零的个数（包括小数点前的零），正确的确定的值即可. 【详解】解： . 故答案为： 【变式1】（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）古代数学著作《九章算术》的注疏中，数学家刘徽曾提及一种用于测量微小长度的单位“忽”，经现代换算，1忽约等于0.0000033米．则0.0000033用科学记数法表示为___． 【答案】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，熟练掌握一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定，左起第一个不为零的数为，前面有个零，故，即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式2】（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）河南商丘柘城以出产蚕丝闻名，历史上有“柘丝为最”之称．柘丝的平均直径约为，将用科学记数法表示为______． 【答案】 【分析】本题考查科学记数法，科学记数法的表示形式为，其中，为整数．确定 的值时，看原数小数点移动的位数，原数绝对值小于1时，为负整数，据此进行作答即可． 【详解】解：0.00002． 故答案为：． 题型三 完全平方式中的字母参数问题 解｜题｜技｜巧 先写成(a±b)²形式展开对比，常数项为一次项系数一半的平方；含参数时，设完全平方后展开对应系数相等，注意符号，两解勿漏，有时需考虑二次项系数为完全平方数。 【典例1】（24-25七年级下·四川成都·期中）若关于x的多项式（其中是常数）是完全平方式，则的值是______． 【答案】4 【分析】利用完全平方公式的结构特征判断，即可得到常数的值． 【详解】解：完全平方公式的结构为，将多项式变形可得，对比完全平方公式的结构，可得， ， 【典例2】（24-25七年级下·四川成都·期中）若是一个完全平方式，则k的值为___________ ． 【答案】13或 【分析】利用完全平方公式的结构特征确定出的值即可． 【详解】解：是一个完全平方式， 又，， 根据完全平方公式的结构特征可得： ， 即， 当时，解得， 当时，解得， 【变式1】（25-26八年级上·江西新余·期中）如果是一个完全平方式，那么_____． 【答案】3或 【分析】本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键． 先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积的二倍项即可确定m的值． 【详解】解：∵， ∴， 解得：或． 故答案为：3或． 【变式2】（25-26七年级上·上海·期中）已知关于x的整式是某个关于x的整式的平方，则k的值是______． 【答案】或6 【分析】此题考查完全平方式，熟知完全平方式的特征是解答的关键． 根据整式为完全平方式，比较系数求解即可． 【详解】解：∵关于x的整式是某个关于x的整式的平方， ∴， ∴， ∴，解得或． 故答案为：或6． 题型四 已知多项式乘积不含某项求字母的值 解｜题｜技｜巧 先按法则展开合并同类项，令该项系数为零列方程求解；注意“不含”指该项系数为零，有时需考虑二次项、一次项或常数项，展开时细心防止漏项，结果代入验证。 【典例1】（25-26八年级上·广东广州·期中）若的结果中不含x项，则______． 【答案】2 【分析】本题考查多项式的乘法、合并同类项，正确理解的系数等于零是解题的关键． 先将多项式展开，合并同类项后，令的系数等于零，解方程求出a的值即可． 【详解】解：原式为，展开得：， 令x的系数为0得：， 解得, 故答案为：2． 【典例2】（25-26八年级上·吉林·期中）若的展开式中不含项，则______． 【答案】0 【分析】此题考查了单项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 将原式展开并合并同类项，根据不含项的条件，令项的系数为零，求解的值． 【详解】解：． ∵展开式不含项， ∴ 解得： 故答案为：0． 【变式1】（25-26八年级上·吉林松原·期中）关于的代数式的展开式中不含的一次项，则的值为______． 【答案】2 【分析】本题主要考查了多项式乘法计算法则，解题的关键在于熟练的掌握相关计算法则． 先根据多项式乘法计算法则进行展开并合并同类项，再令含的一次项系数为0，计算出的值即可． 【详解】解：， 代数式的展开式中不含的一次项， ， 解得：． 故答案为： 2． 【变式2】（25-26八年级上·辽宁鞍山·期中）若展开后不含x的一次项，则a的值是________． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，先将原式展开，由整式不含的一次项得出其系数为可得答案，熟练掌握法则是解题的关键． 【详解】解： ， 又该多项式展开后不含的一次项， ， 解得， 故答案为：． 题型五 幂的混合运算及逆运算 解｜题｜技｜巧 同底数幂乘除指数加减，幂的乘方指数相乘，积的乘方每个因式乘方；逆运算常化同底数或同指数，利用指数相等列方程，注意底数为负时指数奇偶性，底数非零为前提。 【典例1】（25-26七年级上·上海·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查同底数幂运算、整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 同底数幂相乘，底数不变，指数相加，同底数幂相除，底数不变，指数相减，再合并同类项计算即可． 【详解】解： ． 【典例2】（24-25七年级下·江苏常州·期中）（1）若，，求的值． （2）若，求值． 【答案】（1） （2）或 【分析】（1）逆用同底数幂的乘法运算法则，拆分指数后代入数值计算即可； （2）利用幂的乘方运算法则，对做底数统一的变形，结合乘方的定义分别求解、的值，再计算即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2）∵，，， ∴，， ∴或，， 当时，； 当时，； ∴或． 【变式1】（25-26八年级上·广东惠州·期中）（1）计算：． （2）若，，求的值． 【答案】（1）；（2）294 【分析】本题考查了幂的乘方和积的乘方，同底数幂的乘法，掌握运算法则是解题关键． （1）根据积的乘方法则化简，然后进行运算即可； （2）逆用同底数幂乘法和幂的乘方法则计算即可． 【详解】（1） ； （2）∵，， ∴． 【变式2】（25-26八年级上·福建厦门·期中）若（且，、是正整数），则．利用上面的结论解决下面的问题： (1)如果，求的值； (2)已知，，用含，的式子表示． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了幂的乘方，积的乘方，同底数幂的乘法，熟练掌握这些运算法则是解题的关键． （1）根据幂的乘方，同底数幂的乘法运算法则，进行计算即可求解； （2）根据幂的乘方，积的乘方运算法则进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ， 即 故， 解得； （2）解： ∵，， 故原式． 题型六 零指数幂、负整数指数幂综合计算 解｜题｜技｜巧 零指数幂底数非零结果为1，负指数化为倒数正指数；运算时先化负指数为正，再按幂运算法则计算，注意底数为分数时取倒数，结果化为正整数指数形式，避免符号错误。 【典例1】（24-25七年级下·广东佛山·期中）计算： 【答案】7 【详解】 【典例2】（24-25八年级上·湖南邵阳·期中）计算： 【答案】 【分析】本题考查了乘方，负整数指数幂，零指数幂，先算乘方，负整数指数幂，零指数幂，再进行减法运算即可，掌握相关运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 【变式1】（25-26九年级上·甘肃兰州·期中）计算： 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，零指数幂和负整数幂的意义，先根据乘方、绝对值、零指数幂和负整数幂的意义化简，再算加减即可． 【详解】解：原式． 【变式2】（25-26九年级上·湖南长沙·期中）计算：． 【答案】 【分析】此题考查了幂的混合运算，熟练掌握相关幂的运算法则是解题的关键． 先计算幂的运算、负整数指数幂、零指数幂及绝对值，再进行加减计算即可． 【详解】解： ． 题型七 整式混合运算——化简求值 解｜题｜技｜巧 先乘方再乘除最后加减，有括号先算括号内，合并同类项化简；代入数值时负数添括号，注意整体代入或利用条件变形简化计算，避免直接代入增加运算量，结果要最简。 【典例1】（25-26八年级上·江苏南通·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】先算整式除法及平方差公式，再代入计算． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 【典例2】（25-26八年级上·海南省直辖县级单位·期中）先化简，再求值：，其中 【答案】， 【分析】本题考查了整式的乘除法运算．先化简表达式，展开乘法和处理除法，然后合并同类项，最后代入求值． 【详解】解： 当时， 原式． 【变式1】（25-26七年级上·上海宝山·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】，2 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据完全平方公式和多项式乘以多项式的运算法则去中括号内的小括号，再合并同类项，接着计算多项式除以单项式，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解： ， 当时，原式． 【变式2】（25-26七年级上·上海普陀·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查的是整式的混合运算－化简求值，根据完全平方公式、平方差公式、合并同类项、多项式除以单项式把原式化简，把a、b的值代入计算得到答案． 【详解】解： ， 当，时，原式 题型八 利用乘法公式简便运算 解｜题｜技｜巧 观察式子结构，凑成平方差、完全平方或立方公式形式；将数字拆解成和或差，逆向运用公式简化计算，注意符号与系数，避免直接硬算。 【典例1】（25-26七年级上·上海闵行·期中）利用乘法公式简便运算： 【答案】 【分析】本题主要考查利用平方差公式进行简便计算，将原式转化为两个数的和与差的乘积，从而简化运算． 【详解】解： ． 【典例2】（24-25七年级上·上海·期中）简便运算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了运用平方差公式进行运算，灵活运用平方差公式是解题关键． 将原式整理为，然后利用平方差公式进行运算即可． 【详解】解： ． 【变式1】（24-25七年级下·贵州毕节·期中）简便运算： (1)； (2)． 【答案】(1)4008004 (2) 【分析】本题考查了完全平方公式和平方差公式的应用，熟练掌握公式是关键． （1）将变形为，根据完全平方公式即可解答 （2）把变形为，根据平方差公式利用平方差公式，即可求解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式2】（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）运用乘法公式进行简便运算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了完全平方公式，平方差公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先整理原式，再运用完全平方公式进行简便运算，即可作答． （2）先整理原式，再运用平方差公式进行简便运算，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型九 整式乘法与图形面积 解｜题｜技｜巧 根据图形分割或补全，用不同方法表示总面积，列出整式乘法恒等式；常利用矩形、正方形面积模型解释乘法公式，通过等面积法建立方程，数形结合验证运算结果。 【典例1】（25-26七年级上·重庆璧山·期中）书籍是人类进步的阶梯！为爱护书一般都将书本用封皮包好，现有一本数学课本如图1所示，其长为、宽为、厚为．小军用一张长方形纸包好了这本数学书，他将封面和封底各折进去，封皮展开后如图所示，求： (1)小军所用的这张包书纸的长和宽各是多少？（用含的代数式表示） (2)当封面和封底各折进去时，请帮小军计算一下他所用的包书纸的面积是多少？ 【答案】(1)包书纸的长是，宽是 (2)包书纸的面积是 【分析】本题考查了列代数式以及代数式求值，注意计算的准确性即可，正确读懂题意是解题关键． （1）根据封皮的展开图长和宽列代数式即可得到答案； （2）将代入计算即可求解． 【详解】（1）解：包书纸的长是， 包书纸的宽是， 答：包书纸的长是，宽是； （2）解：当时，， 答：包书纸的面积是． 【典例2】（25-26七年级上·全国·期中）如图，某学校设计在长为，宽为的大长方形场地中，并排新建三个大小一样的篮球场，三个篮球场之间及篮球场与长方形场地边缘的距离均为，篮球场的宽为． (1)用含a，b的代数式表示一个篮球场的周长； (2)当，时，求整个场地的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查求代数式的值和列代数式，能正确根据题意列出代数式是解此题的关键． （1）根据题意找到篮球场的长即可求得周长； （2）找到整个场地的长，结合面积公式把a和b的值代入，求解即可． 【详解】（1）解：一个篮球场的周长为 （2）由图可知，， 整个场地的面积为， 当，时，， 答：整个场地的面积为 【变式1】（25-26八年级上·广西南宁·期中）【知识回顾】有这样一类题：代数式的值与的取值无关，求的值；通常的解题方法：把，看作字母，看作系数，合并同类项，因为代数式的值与的取值无关，所以含项的系数为0，即原式，所以，即． 【理解应用】（1）的值与的取值无关，求的值； 【能力提升】（2）如图1，小长方形纸片的长为、宽为，有7张图1中的纸片按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中有两个部分（图中阴影部分）未被覆盖，设右上角的面积为，左下角的面积为，设．请解决以下问题： ①填空： ②已知的值与的取值无关，求与的数量关系． 【答案】（1）；（2）①，；② 【分析】本题主要考查了整式加减中的无关型问题，涉及整式的乘法、整式的加减知识，熟练掌握整式加减乘法的运算法则是解题关键． （1）先根据整式的加减化简整式，再根据含项的系数为0建立方程，解方程即可得； （2）①，根据图形求出；②由①得到，再根据的值与的取值无关，则． 【详解】（1）解： ， ∵的值与x无关， ， 解得； （2）解：①， 由图可知，，， 故答案为：，； ②则 ， 当的长变化时，的值始终保持不变， 的值与的值无关， ， ． 【变式2】（25-26八年级上·福建福州·期中）对于“用一根长度为20米的绳子如何围一个面积最大的长方形？”这个问题，爱钻研的小华从不同的方向来思考这个问题. (1)小华考虑到这个长方形相邻两边的和是定值10，于是分别对相邻的两边取特殊值，通过计算得到对应长方形的面积：，，，，． 观察上面等式，可以发现：当相邻的两边满足________关系时，长方形的面积最大．请你利用所学的数学知识帮助小华解释上面发现的结论． (2)聪明的小华经过深度思考，发现此结论也可以利用数形结合加以说明，方法如下： 已知长方形相邻两边的和是定值10，设一边长是x，则相邻一边的长是． ①当时，将原长方形沿直线l剪成长方形A和长方形B（如图1、图2），再将长方形B割补到长方形A的右侧（如图3），则图3中阴影部分正方形C边长为， 通过上述割补，图1中长方形的面积可以看成图3中两个正方形的面积之差，所以代数式，25，满足的等量关系为________． ②当时，进行类似上述过程的割补（图4~图6)，由图，可得出的等量关系为________． ③当时，该长方形即为正方形，其面积为25． 综上所述，周长是20的长方形的面积的最大值是________． (3)当时，仿照（2）中的割补过程（无需描述割补过程，只需要画出示意图），求代数式的最小值． 【答案】(1)相等 (2)①；②；③25 (3) 【分析】本题主要考查了多项式乘法在几何图形中的运用，完全平方公式，单项式乘以多项式，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）由小华计算数据即可判断； （2）①根据图1中长方形的面积可以看成图3中两个正方形的面积之差可得答案； ②计算出的结果即可得到答案； ③根据，，可得，据此可得答案； （3）根据题中图形面积的求法画出相应的图形，进而即可求出的最大值，再根据，即可求解最小值． 【详解】（1）解：通过计算得到对应长方形的面积：，，，，． 观察上面等式，可以发现：当相邻的两边满足相等关系时，长方形的面积最大， 故答案为：相等； （2）解：①∵长方形的一边长是，相邻一边长， ∴阴影部分是一个边长为的正方形， 由图可知，长方形面积大正方形面积小正方形面积， ∴， 故答案为：； ②当时，阴影部分是边长为的正方形， ， 故答案为：； ③当时，该长方形即为正方形，其面积为； ∵，， ∴ ∴周长是20的长方形的面积的最大值是25， 故答案为：25； （3）解：， 当时，如图，阴影部分是边长为的正方形， ， ， 当时，如图，阴影部分是边长为的正方形， ， ， 当时，该长方形为边长是7的正方形， 边长是和的长方形的最大面积是49， ∴， ∴代数式的最小值． 题型十 乘法公式中几何图形的应用 解｜题｜技｜巧 用图形面积验证或推导公式，如平方差用长方形与正方形拼补，完全平方用大正方形分割；根据图形边长关系列面积等式，转化为代数恒等式，直观理解公式结构。 【典例1】（25-26八年级上·四川眉山·期中）（1）已知，，求的值． （2）已知，，求的值； （3）已知，求的值； （4）如图，在六边形中，对角线和相交于点，当四边形和四边形都为正方形时，若，正方形和正方形的面积和为36，求阴影部分的面积（直接写出答案）． 【答案】（1）（2）4（3）（4） 【分析】本题考查完全平方公式及其变式应用，完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． （1）根据，代入计算即可； （2）根据，代入计算即可； （3）将变形为代入计算即可； （4）设正方形的边长为，正方形的边长为，由题意得，，根据，求出即可． 【详解】解：（1），，而， ， ； （2），，而， ， ； （3）， ； （4）设正方形的边长为，正方形的边长为，则， 正方形和正方形的面积和为36， ， 又， ， 解得， ． 【典例2】（25-26八年级上·四川眉山·期中）【阅读材料】若x满足，求的值． 解：设，．则，． ∴． 【类比探究】解决下列问题： （1）若x满足，则的值为 ． （2）若，求的值． 【拓展应用】 （3）已知正方形的边长为x，E、F分别是、上的点，且，，长方形的面积是24，分别以，为边长作正方形和正方形．求阴影部分的面积． 【答案】（1）2；（2）；（3） 【分析】本题主要考查乘法公式与图形的综合，掌握乘法公式中完全平方公式的变形，整式的混合运算方法是解题的关键． （1）仿照例题，设，，利用完全平方公式求解即可； （2）仿照例题，设，，利用完全平方公式求解即可； （3）设正方形边长为，则，，令，，得到，根据长方形的面积，得到，结合完全平方公式，得到，再根据阴影部分的面积正方形的面积正方形的面积求解即可． 【详解】解：（1）设，，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）设，， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）设正方形边长为， ∵，， ∴，， 令，， ∴， ∵长方形的面积是24， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴阴影部分的面积正方形的面积正方形的面积 ． 【变式1】（24-25七年级下·广东河源·期中）从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是___________（填字母）． A． B． C． (2)应用你从（1）选出的等式，完成下列各题： ①已知，求的值； ②计算：； ③计算：． 【答案】(1)B (2)①，②，③ 【分析】本题主要考查平方差公式的运用，熟练运用平方差公式进行拆分是解题关键． （1）根据图形左右两边阴影面积相等解题即可． （2）①利用平方差公式计算即可； ②利用平方差公式拆分每一项，再相消即可； ③利用平方差公式拆分每一项，再相消即可． 【详解】（1）解：图1中阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即， 拼成的图2是长为，宽为的长方形，因此面积为， 所以有， 故选：B； （2）解：①，即，而， ； ②原式 ； ③原式 ． 【变式2】（25-26八年级上·内蒙古通辽·期中）【教材原题】 观察图1，用等式表示图中图形的面积的运算为． 【类比探究】 （1）观察图2，用等式表示图中阴影部分图形的面积和的运算为______； 【知识应用】 （2）根据图2所得的公式：①若，，求的值； ②若，求的值； 【知识拓展】 （3）如图3，某学校有一块四边形空地，于点，，，该校计划在和区域内种花，在和的区域内种草，经测量种草区域的面积和为60平方米，米，求种花区域的面积和． 【答案】（1）；（2）①，②；（3）种花区域的面积和为102平方米 【分析】本题主要考查了几何背景下的完全平方公式，准确识图，熟练掌握完全平方公式的结构特征，图形的面积公式是解决问题的关键． （1）根据图②中“阴影部分两个正方形的面积之和=大正方形的面积-两个长方形的面积”得，据此即可得出答案； （2）①由（1）的结论得，再整体代入计算即可得出答案； ②由，再整体代入计算即可得出答案； （3）设，，，再表示出种草区域的面积和，最后代入后整体求值即可． 【详解】解：（1）∵图②中大正方形的边长为，阴影部分两个正方形的边长分别为a，b，两个长方形的宽和长分别为a，b， ∴大正方形的面积为，阴影部分两个正方形的面积分别为，，长方形的面积为， 又∵阴影部分两个正方形的面积之和大正方形的面积两个长方形的面积， ∴， 故答案为：； （2）①由（1）的结论得：， 又∵，， ∴； ②由（1）的结论得：， 又∵， ∴； （3）设，， ∵于点E，， ∴， ∵种草区域的面积和为：， ∴种花区域的面积和为： ． 答：种花区域的面积和为102平方米． 题型十一 多项式乘法中的规律性问题 解｜题｜技｜巧 先计算前几项或特殊值，观察系数、指数变化规律，猜想一般式；常用公式如平方差、完全平方推广，或利用杨辉三角找系数，注意项数与次数关系，通过验证确保正确。 【典例1】（24-25七年级下·四川成都·期中）【观察思考】 ， ， ， 【规律发现】 （1）根据规律可得 ；（其中n为正整数） 【规律应用】； （2）①计算：； ②若，求的值． 【答案】（1）；（2）①；② 【分析】（1）观察所给等式，发现各部分的变化规律即可解决问题； （2）①把原式化为，再结合（1）中发现的规律进行计算即可； ②由结合条件可得x的值，进而即可求解． 【详解】（1）解：因为， ， ， 所以（其中n为正整数）； （2）②解：原式 ； ②解：因为， 则，即， 解得或， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； 故，． 【典例2】（24-25七年级下·广东深圳·期中）观察下列各式的规律，解答下列问题． 第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． 第4个等式：． …… (1)根据上述规律，请写出第5个等式：________． (2)猜想：_______． (3)利用（2）中的结论，求的值． (4)已知，化简 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据已知等式写成第5个等式即可； （2）观察可知第个式子左边的第一个多项式为，第二个多项式中是按照字母的指数降序排列的，且每一项只含有两个字母，每一项的系数都为 1 ，字母的指数之和为，等式右边是，据此可得答案； （3）令式子中，得到，据此可得答案． （4）将变形得到，根据（ 2 ）的结论得，再代入求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，第五个等式为； （2）解：第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． 第4个等式：． ， 以此类推可知，； （3）解：由（2）可知， ． （4）解： ， 根据（ 2 ）的结论，， ∴． 【变式1】（25-26七年级上·辽宁沈阳·期中）我国南宋时期杰出的数学家杨辉是钱塘人，如图所示的图表是他在《详解九章算法》中记载的“杨辉三角”． 此图揭示了（n为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律，由此规律可解决如下问题： (1)图中括号内的数为________； (2)展开式共有________项，第3项系数为________； (3)根据上面的规律，写出的展开式：________； (4)利用上面的规律计算：； 【答案】(1) (2)11，45； (3) (4)32 【分析】本题考查了二项式乘方的规律，数字的变化规律，解题关键是找出规律． （1）根据表中数据特点解题即可； （2）先找出规律，用表示出展开式中共项数，当时，用表示出倒数第三项的系数，代入数据计算即可； （3）根据图示顺推即可得到展开式； （4）根据展开式，令，时代入展开式即可得到所求代数式的值； 【详解】（1）解：依题意，， ∴图中括号内的数为； （2）解：展开式有项， ，展开式有项，第三项系数为； ，展开式有项，第3项系数为3，第三项系数为； ，展开式有项，第3项系数为6，第三项系数为； 展开式有项，第3项系数为，第三项系数为； ……； 以此类推，展开式中共有项，第三项的系数， ∴展开式共有11项，第3项系数为， 故答案为：11，45； （3）解：根据图示，， 故答案为：； （4）解：依题意， 当时，， ∴． 【变式2】（25-26八年级上·四川内江·期中）我们知道展开后等于，我们可以利用乘法法则将展开．如果进一步，要展开，，你一定发现解决上述问题需要大量的计算，是否有简单的方法呢？我们不妨找找规律！如果将(n为非负整数)的每一项按字母a的次数由大到小排列，就可以得到下面的等式： 上表就是我国宋朝数学家杨辉1261年的著作《详解九章算法》中提到过，而他是摘录自北宋时期数学家贾宪著作的《黄帝九章算法细草》中的“开方作法本源图”，因而人们把这个表叫做杨辉三角或贾宪三角． (1)请根据上表写出，的结果． ______________；______________ (2)请你利用“杨辉三角“求出下式的计算结果： 【答案】(1)；． (2) 【分析】本题考查了杨辉三角的应用及二项式展开式的规律，解题的关键是利用杨辉三角确定二项式展开式的各项系数，结合展开规律进行运算． （1）根据杨辉三角得出的系数，按降幂、升幂展开；确定的系数，将、代入展开； （2）观察式子结构，逆用二项式展开公式，将式子转化为二项式的幂的形式计算． 【详解】（1）解：由杨辉三角，的系数为1，4，6，4，1， 故； 的系数为1，5，10，10，5，1，令，，则 ． 故答案为：；． （2）解：观察式子，其符合的形式，令，，则原式． 题型十二 整式的运算中的新定义型问题 解｜题｜技｜巧 仔细阅读新定义，明确运算法则与符号意义，将新运算转化为常规整式运算；按定义代入计算，注意运算顺序与括号，可先举例理解规则，再按步骤化简求值，避免直接套用旧习惯。 【典例1】（24-25七年级下·浙江杭州·期中）爱思考的方方同学在学习“整式的乘法”时，给出“平衡多项式”的定义：对于三个多项式：，，（其中，是非零常数），当是一个常数时，称这样的三个多项式是平衡多项式，的值是平衡因子． (1)根据方方同学给出的定义，判断是不是平衡多项式？说明理由． (2)已知是平衡多项式，求平衡因子． 【答案】(1)不是平衡多项式 (2) 【分析】本题考查了整式混合运算，理解平衡多项式的定义，列出算式是解题关键． （1）根据平衡多项式定义，计算即可判断； （2）根据平衡多项式定义计算即可． 【详解】（1）解： ， ∴由定义可知，不是平衡多项式； （2）解：∵是平衡多项式， ∴， ∴， 由条件知， ∴， ∴， ∴平衡因子． 【典例2】（24-25七年级下·安徽安庆·期中）规定两数a，b之间的一种运算，记作，如果．我们叫为“雅对”． 例：因为，所以．我们还可以利用“雅对”定义说明等式成立．证明如下：设，，则，，故，则，即． (1)根据上述规定，填空： ； ； ． (2)计算 ，并说明理由． (3)利用“雅对”定义证明：，对于任意自然数n都成立． 【答案】(1)4，0， (2)2，理由见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了幂的乘方与积的乘方：幂的乘方法则：底数不变，指数相乘，即 是正整数． （1）由于，，根据“雅对”的定义可得； （2），利用新定义得到，根据同底数幂的乘法得到 （3）设，利用新定义得到，，根据幂的乘方得到，从而得到，所以，对于任意自然数n都成立． 【详解】（1）解：∵ ， ∴； ∵， ∴； ∵ ， ∴ 故答案为：4；0；； （2）解： 理由如下： 设，则， ∴， ∴ （3）证明：设， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， 即对于任意自然数n都成立． 【变式1】（25-26八年级上·北京·期中）定义：一个含有两个字母的代数式中，若交换它们的位置，当这两个字母的取值不相等，且都不为0时，代数式的值变为原来的相反数，这样的式子叫做反对称式． 例如：代数式中两个字母交换位置，可得到代数式，当，且都不为0时，因为，所以是反对称式． 根据上述定义，解答下列问题： (1)下列代数式中是反对称式的有________（填序号）； ①            ②        ③        ④ (2)若关于m，n的代数式为反对称式，求k的值； (3)若关于m，n的代数式（m，n均为（均为奇偶性不同的正整数）为反对称式，直接写出的值． 【答案】(1)②④ (2)2 (3) 【分析】本题考查了整式加减法的应用，解题关键是理解反对称式的定义． （1）根据反对称式的定义，交换字母位置后值变为相反数，判断各代数式是否满足条件． （2）将代数式化简后，根据反对称式的定义，交换m和n后令其值等于原式的相反数，解方程求k． （3）由反对称式的定义可得：代数式中两个字母交换位置后两个代数式的和为0，可得，进而可得，，由此得出m和n奇偶性不同，，结合两者条件得到的值． 【详解】（1）解：①交换和后，值不变，不是相反数，故不是反对称式． ②交换和后，，是相反数，故是反对称式． ③交换和后，(n-m)²=(m-n)²，值不变，不是相反数，故不是反对称式． ④交换和后，（因为2025是奇数），是相反数，故是反对称式． 故答案为②④． （2）∵， ∴ 交换m和n得， 由反对称式的定义可得： ． 整理得： ， 由于且不一定为0， 故， 解得． （3）交换m和n后可得． 由反对称式的定义可得： ， 又∵，， ∴ ∴， 因此，当且和奇偶性不同时，整个代数式为反对称式． 此时，由于和奇偶性不同，为奇数， 故． 【变式2】（25-26八年级上·北京·期中）小明在学习有关整式的知识时，发现一个有趣的现象：对于关于的多项式，由于，所以当取任意一对互为相反数的数时，多项式的值是相等的，例如，当，即或时，的值均为3；当，即或时，的值均为6． 于是小明给出一个定义：对于关于的多项式，若当取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于对称．例如关于对称． 请结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题： (1)多项式关于____________对称； (2)若关于的多项式关于对称，则的值为_________； (3)整式关于____________对称． 【答案】(1) 3 (2) (3) 【分析】本题主要考查多项式的配方以及根据新定义判断多项式的对称轴，解题的关键在于将多项式通过配方转化为完全平方式的形式，再根据定义确定对称轴． （1）首先对多项式进行配方，化成完全平方的形式，求解对称轴即可． （2）先对多项式进行配方，在根据多项式关于对称，求解的值即可． （3）先对整式中的两个多项式分别进行因式分解，再进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴多项式关于对称 故答案为：3； （2）解：∵， ∴关于对称， ∵关于对称， ∴， ； 故答案为：； （3）解：， ， ∴原式， ∵当取相反数时，相等，故原式值相等， ∴关于对称． 故答案为：． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25七年级下·安徽宿州·期中）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查同底数幂的乘法、同底数幂的除法、合并同类项、幂的乘方与积的乘方，掌握它们的运算法则是解题的关键．A．根据同底数幂的乘法运算法则计算即可；B．合并同类项即可；C．根据同底数幂的除法运算法则计算即可；D．根据幂的乘方与积的乘方运算法则计算即可． 【详解】解：， 故A选项不正确，不符合题意； ， 故B选项不正确，不符合题意； ， 故C选项不正确，不符合题意； ， 故D选项正确，符合题意． 故选：D． 2．（25-26七年级下·全国·期中）如图1，将一个底边为，高为的平行四边形纸片，沿虚线剪开，把剪成的两部分(1)和(2)拼成如图2的图形，这两个图能解释下列哪个等式（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平方差公式的几何背景，用代数式分别表示图1、图2的面积是解决问题的关键． 根据图1和图2用代数式分别表示（1）（2）两部分的面积和，再根据拼图前后面积之间的关系可得结论． 【详解】解：图1是由（1）（2）两部分拼成的底为，高为的平行四边形，因此面积为， 图2中（1）（2）两部分的面积和可以看作两个正方形的面积差，即， 因此有， 故选：D． 3．（24-25八年级上·湖南邵阳·期中）用科学记数法表示______． 【答案】 【分析】本题考查了科学记数法．将用科学记数法表示，即写成的形式，其中，为整数，即可作答． 【详解】解：用科学记数法表示， 故答案为： 4．（24-25七年级下·湖南益阳·期中）若单项式与是同类项，则这两个单项式的积是_______． 【答案】 【分析】由同类项的定义求出，的值，再求两个单项式的乘积即可． 【详解】解：单项式与是同类项， ，， ， 这两个单项式分别为，， 这两个单项式的积为． 5．（25-26九年级上·湖南长沙·期中）计算：． 【答案】 【分析】此题考查了幂的混合运算，熟练掌握相关幂的运算法则是解题的关键． 先计算幂的运算、负整数指数幂、零指数幂及绝对值，再进行加减计算即可． 【详解】解： ． 6．（25-26八年级上·广东惠州·期中）（1）计算：． （2）若，，求的值． 【答案】（1）；（2）294 【分析】本题考查了幂的乘方和积的乘方，同底数幂的乘法，掌握运算法则是解题关键． （1）根据积的乘方法则化简，然后进行运算即可； （2）逆用同底数幂乘法和幂的乘方法则计算即可． 【详解】（1） ； （2）∵，， ∴． 7．（25-26八年级上·江西南昌·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的化简求值．先利用平方差公式和完全平方公式展开并化简括号内的表达式，然后合并同类项，再除以 ，最后代入 和 求值，即可求解． 【详解】解： 当 ， 时， 原式 8．（25-26七年级上·江苏南通·期中）如图，用7张长为，宽为的长方形纸片互不重叠地放在长方形区域内，设边的长为，未被覆盖的两个区域（阴影）的面积差为（正值）． (1)若，则的值为多少时？ (2)对于下列两个问题，先回答，再通过“数学运算”说明理由； ①（1）中的值每增加的值增加（或减少）多少？ ②若，能赋予一个值使得的值不随的值的变化而变化吗？ 【答案】(1) (2)①，② 【分析】本题考查的是列代数式，一元一次方程的应用，单项式乘以多项式与图形面积． （1）如图，标注图形各顶点，，，，，再利用建立方程求解即可． （2）①结合（1）可得：，进一步分析即可； ②先表示，，，，可得，进一步可得答案． 【详解】（1）解：如图，标注图形各顶点， 由题意可得：， ∴，，，， ∵未被覆盖的两个区域（阴影）的面积差为， ∴， 解得：． （2）解：①结合（1）可得： ， ∴（1）中的值每增加的值增加． ②∵， ∴，，，， ∵未被覆盖的两个区域（阴影）的面积差为： ， ∵的值不随的值的变化而变化， ∴， 解得：． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（25-26八年级上·湖北襄阳·期中）已知分别是的三边长，若，则的周长是（　　） A．3 B．6 C．8 D．12 【答案】C 【分析】本题主要考查了完全平方公式，根据题意可得，则根据完全平方公式可推出，据此求出c的值，进而求出的值即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的周长是， 故选：C． 2．（25-26九年级上·贵州遵义·期中）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查整式的运算，包括幂的运算、分配律、完全平方公式和合并同类项等基本概念． 分别根据幂的积的乘方法则、单项式乘以多项式运算法则，完全平方公式以及合并同类项法则判断即可． 【详解】A∶，与选项一致，∴A正确． B∶，∴B错误． C∶，∴C错误． D∶与不是同类项，不能合并为，∴D错误． 故选A． 3．（25-26八年级上·四川宜宾·期中）如图，用四个完全一样的长、宽分别为、的长方形纸片围成一个大正方形，中间是空的小正方形．若，，判断以下关系式：①；②；③；④；⑤，其中正确的个数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查的知识点有：完全平方公式如、 、平方差公式如，利用大正方形的边长长方形的长长方形的宽，小正方形的边长长方形的长长方形的宽，大正方形的面积小正方形的面积个长方形的面积，完全平方公式，进而判定即可． 【详解】解：由图形可得：①大正方形的边长长方形的长长方形的宽，故，正确； ②小正方形的边长长方形的长长方形的宽，故，正确； ③大正方形的面积小正方形的面积个长方形的面积，故，错误； ④根据①知， 根据②知，则，正确； ⑤，正确． 所以正确的有①②④⑤，共有个． 故选：C． 4．（24-25七年级下·广东深圳·期中）若的计算结果中没有关于的一次项，则________． 【答案】 【分析】先根据多项式乘多项式法则展开，再根据结果中没有关于的一次项，得到一次项的系数为 0 ，即可求解． 【详解】解： 若的计算结果中没有关于的一次项， 则， 解得：． 5．（25-26八年级上·福建泉州·期中）若关于的多项式可以表示为一个多项式的平方，则的值为___________． 【答案】10或 【分析】本题考查完全平方公式，多项式为完全平方式，常数项25是平方数，因此中间项系数为常数项平方根的2倍，可正可负，据此解答即可． 【详解】解：∵ ∴， ∴， 故答案为：10或． 6．（25-26七年级上·上海杨浦·期中）已知，的值是_________． 【答案】或0或 【分析】题目主要考查有理数的乘方运算，方程成立需考虑三种情况：底数为1；指数为0且底数不为0；底数为且指数为偶数，即可求解． 【详解】解：当底数时， 解得，此时指数为，得到，等式成立； 当指数时， 解得，此时底数为，得到，等式成立； 当底数时， 解得，此时指数为，为偶数，得到，等式成立； 其他情况均不满足等式， 故答案为：或0或． 7．（25-26八年级上·福建泉州·期中）先化简，再求值：．其中，． 【答案】 【分析】本题考查了整式的化简求值． 先化简原整式，再将，代入化简结果计算即可． 【详解】解： ， 当，时，原式． 8．（25-26八年级上·湖北黄石·期中）求值： (1)已知，，求的值；（用含a、b的代数式表示） (2)已知，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）逆用同底数幂的乘法法则解答即可； （2）逆用同底数幂的乘法法则，逆用幂的乘方法则解答即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴． （2）解：∵，， ∴． 9．（25-26八年级上·河南南阳·期中）（1）已知，，求下列各式的值： ①； ②． （2）代数推理：请运用所学知识，说明下列结论的正确性． ①两个连续奇数的平方差一定是8的倍数．为什么？ ②任意两个不同奇数的平方差一定是8的倍数．为什么？ 【答案】（1）①；②；（2）①一定，见解析；②一定，见解析 【分析】本题考查了代数式的求值，平方差公式，完全平方公式，掌握完全平方公式的变换，奇数用代数式如何表示是解题的关键． （1）①根据完全平方公式变换即可求解；②根据完全平方公式和变换即可求解． （2）①用含n的式子将两个连续奇数表示出来，计算出平方差，即可求解；②用含n、m的式子将两个奇数表示出来，计算出平方差，再根据n、m的奇偶分类讨论，即可求解． 【详解】解：（1）①，， ； ②，， ． （2）①设这两个连续奇数分别为，（为整数）， 则 ， 为整数， 一定能被8整除，即两个连续奇数的平方差一定是8的倍数．             ②设这两个不同奇数分别为，（，均为整数，且）， ． 当、都为偶数时，则为奇数，为偶数，则一定为偶数； 当、都为奇数时，则为奇数，为偶数，则一定为偶数； 当、为一奇数一偶数时，则为偶数，为奇数，则一定为偶数； 综上所述，一定能被8整除． 即任意两个不同奇数的平方差一定是8的倍数． 10．（25-26八年级上·四川眉山·期中）【知识生成】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如图1可以得到，基于此，请解答下列问题： 【直接应用】（1）若，，求的值； 【类比应用】（2）①若，则________； ②若满足，求的值； 【知识迁移】（3）两块全等的特制直角三角板（）如图2所示放置，其中，，在一直线上，连接，．若，，求一块直角三角板的面积． 【答案】（1）；（2）①3；②；（3） 【分析】本题主要考查了三角形面积公式的应用，完全平方公式，解题的关键是掌握公式变形，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据完全平方公式进行变形计算即可； （2）①根据，得出，求出，根据，得出即可； ②设，，则，且，再根据完全平方公式即可得出答案； （3）设，，根据，，得出，，根据完全平方公式变形求出，根据三角形面积公式求出结果即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， 即：， 又， ∴， ∴； （2）①∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴； 故答案为：3； ②设，，则，且， ， ， ， 即； （3）设，， ∵，A，O，D在一直线上， ，， ，， ，， ， ． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $