2026年中考数学压轴几何模型 专题12 弦图模型

专题12 弦图模型 赵爽弦图（简称“弦图模型”）分为内弦图与外弦图，是中国古代数学家赵爽发现，可以证明勾股定理，中考真题不少情景以此命题，相关的题目有一定的难度。弦图之美，美在简约，然不失深厚，经典而久远，被誉为“中国数学界的图腾”。 本专题从模型讲解、例题分析、课堂随练、巩固提高四个部分展开，循序渐进，层层剖析弦图模型的重难点，内容详实丰富，供大家学习使用，欢迎下载。 ( 模型讲解 ) 1．内弦图 如图，在正方形ABCD中，BF⊥CG，CG⊥DH，DH⊥AE，AE⊥BF，则△ABE≌△BCF≌△CDG≌△DAH． 证明： 因为∠ABC＝∠BFC＝90° 所以∠ABE＋∠FBC＝∠FBC＋∠FCB－90°． 所以∠ABE＝∠FCB． 又因为AB＝BC．所以△ABE≌△BCF， 同理可得△ABE≌△BCF≌△CDG≌△DAH． 2． 外弦图（此图中还包含了一线三等角） 如图，在正方形ABCD中，点M，N，P，Q在正方形ABCD边上，且四边形MNPQ为正方形，则△QBM≌△MCN≌△NDP≌△PAQ． 证明 ： 因为∠B＝∠QMN＝∠C＝90°， 所以∠BQM＋∠QMB＝∠QMB＋∠NMC＝90°， 所以∠BQM＝∠NMC． 又因为QM ＝MN，所以△QBM≌△MCN． 同理可得△QBM≌△MCN≌△NDP≌△PAQ． 3．用赵爽弦图证明勾股定理 把一个矩形分成四个全等的直角三角形，用四个全等的直角三角形拼成了一个大的正方形（如图1），这个正方形称为赵爽弦图，验证了一个非常重要的结论：在直角三角形中两直角边a、b与斜边c满足关系式a2+b2＝c2．称为勾股定理． 把这四个全等的直角三角形拼成了另一个大的正方形（如图2），也能验证这个结论 证明：由图2得，大正方形面积＝4×＝（a+b）2， 整理得b2+c2+2ab＝2ab+c2， ∴c2＝a2+b2， 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． 注：常见的勾股数组合 ( 例题分析 )①3,4,5； ②5,12,13；③6,8,10；④8,15,17；⑤9,12,15; 例1．公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》题时给出了“赵爽弦图”．将两个“赵爽弦图”（如图1）中的两个正方形和八个直角三角形按图2方式摆放围成正方形，记空隙处正方形，正方形的面积分别为，，则下列四个判断：①②；③若，则；④若点A是线段的中点，则，其中正确的序号是    例2．我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．若直角三角形的内切圆半径为3，小正方形的面积为49，则大正方形的面积为______． 例3．由4个直角边长分别为a，b的直角三角形围成的“赵爽弦图”如图所示，根据大正方形的面积等于小正方形的面积与4个直角三角形的面积的和证明了勾股定理，还可以用来证明结论：若、且为定值，则当_______时，取得最大值． ( 课堂随练 ) 练1．如图，2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标其原型是我国古代数学家赵爽的《勾股弦图》，它是由四个全等的直角三角形拼接而成如．如果大正方形的面积是16，直角三角形的直角边长分别为a，b，且，那么图中小正方形的面积是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 练2． 四边形ABCD是边长为4的正方形，点E在边AD所在的直线上，连结CE，以CE为边，作正方形CEFG（点D，F在直线CE的同侧），连结BF．当点E在线段AD上时，AE＝1，求BF的长． 练3． 如图，△BCD为等腰直角三角形，∠CBD＝90°，∠BAC＝ 45°，若S△ACD＝4．5，求AC的长． 练4．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD．若AE＝5，AB＝13，则中间小正方形EFGH的面积是 　49　． 练5．如图1是我国古代著名的“赵爽 弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成．若较短的直角边BC＝2.5，将四个直角三角形中较长的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，若△BCD的周长是15，则这个风车的外围周长是　38　． ( 巩固提高 ) 1．如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边（x＞y），下列结论：①；②x﹣y＝2；③2xy+4＝49；④x+y＝7．其中正确的结论是（　　） A．①② B．②④ C．①②③ D．①③ 2．如图是“赵爽弦图”，由个全等的直角三角形拼成的图形，若大正方形的面积是，小正方形的面积是，设直角三角形较长直角边为，较短直角边为，则的值是（    ） A． B． C． D． 3．用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，就是平面图形的镶嵌．如图是由四个完全相同的直角三角形和一个小正方形进行的镶嵌，其中直角三角形的一个角等于，若小正方形的边长为，则大正方形的边长为(    ) A． B． C． D． 4．用四个全等的直角三角形镶嵌而成的正方形如图所示，已知大正方形的面积为49，小正方形的面积为4，若x，y表示直角三角形的两直角边长（x＞y），给出下列四个结论正确的是 _____．（填序号即可） ①x﹣y＝2；②；③2xy＝45；④x+y＝9． 5．把图①中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形分别拼成如图②，③所示的正方形（图②中大正方形边长为5，图③中中间小正方形边长为1），则图①中菱形的面积为________． 6．如图是一幅赵爽弦图，利用此图可以证明勾股定理．现连接BE，发现AB＝BE，若DE＝1，则正方形ABCD的面积为________． 7．中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位，体现了数学研究中的继承和发展．下图是3世纪我国汉代的数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的图案，人们称它为“赵爽弦图”．此图中四个全等的直角三角形可以围成一个大正方形，中空的部分是一个小正方形．如果大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，则的值是____________． 8．汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，构造了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图，大正方形由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，若，，则的面积为（　　　） A．24 B．6 C． D． 9．如图，图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若，将四个直角三角形中的边长为的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（ ） A． B． C． D． 10．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”．如图是由弦图变化得到，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3．若S1+S2+S3＝12，则下列关于S1、S2、S3的说法正确的是（） A．S1＝2 B．S2＝3 C．S3＝6 D．S1+S3＝8 11．如图，在弦图中，正方形ABCD的对角线AC与正方形EFHI的对角线EH交于点K，对角线AC交正方形EFHI于G，J两点，记△GKH面积为S1，△JIC面积为S2，若AE＝12，CD＝4，则S1+S2的值为 　16　． 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12 弦图模型 赵爽弦图（简称“弦图模型”）分为内弦图与外弦图，是中国古代数学家赵爽发现，可以证明勾股定理，中考真题不少情景以此命题，相关的题目有一定的难度。弦图之美，美在简约，然不失深厚，经典而久远，被誉为“中国数学界的图腾”。 本专题从模型讲解、例题分析、课堂随练、巩固提高四个部分展开，循序渐进，层层剖析弦图模型的重难点，内容详实丰富，供大家学习使用，欢迎下载。 ( 模型讲解 ) 1．内弦图 如图，在正方形ABCD中，BF⊥CG，CG⊥DH，DH⊥AE，AE⊥BF，则△ABE≌△BCF≌△CDG≌△DAH． 证明： 因为∠ABC＝∠BFC＝90° 所以∠ABE＋∠FBC＝∠FBC＋∠FCB－90°． 所以∠ABE＝∠FCB． 又因为AB＝BC．所以△ABE≌△BCF， 同理可得△ABE≌△BCF≌△CDG≌△DAH． 2． 外弦图（此图中还包含了一线三等角） 如图，在正方形ABCD中，点M，N，P，Q在正方形ABCD边上，且四边形MNPQ为正方形，则△QBM≌△MCN≌△NDP≌△PAQ． 证明 ： 因为∠B＝∠QMN＝∠C＝90°， 所以∠BQM＋∠QMB＝∠QMB＋∠NMC＝90°， 所以∠BQM＝∠NMC． 又因为QM ＝MN，所以△QBM≌△MCN． 同理可得△QBM≌△MCN≌△NDP≌△PAQ． 3．用赵爽弦图证明勾股定理 把一个矩形分成四个全等的直角三角形，用四个全等的直角三角形拼成了一个大的正方形（如图1），这个正方形称为赵爽弦图，验证了一个非常重要的结论：在直角三角形中两直角边a、b与斜边c满足关系式a2+b2＝c2．称为勾股定理． 把这四个全等的直角三角形拼成了另一个大的正方形（如图2），也能验证这个结论 证明：由图2得，大正方形面积＝4×＝（a+b）2， 整理得b2+c2+2ab＝2ab+c2， ∴c2＝a2+b2， 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． 注：常见的勾股数组合 ( 例题分析 )①3,4,5； ②5,12,13；③6,8,10；④8,15,17；⑤9,12,15; 例1．公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》题时给出了“赵爽弦图”．将两个“赵爽弦图”（如图1）中的两个正方形和八个直角三角形按图2方式摆放围成正方形，记空隙处正方形，正方形的面积分别为，，则下列四个判断：①②；③若，则；④若点A是线段的中点，则，其中正确的序号是    【答案】①②③ 【分析】设“赵爽弦图”中，直角三角形的较短直角边为，较长直角边为，斜边为，则小正方形的边长为，正方形的边长为，正方形的边长为，正方形的边长为，由正方形面积公式，勾股定理逐项进行判断即可． 【详解】设“赵爽弦图”中，直角三角形的较短直角边为，较长直角边为，斜边为，则小正方形的边长为，正方形的边长为，正方形的边长为，正方形的边长为， ∴，，．∴． ∴．故①正确； ∵，∴． ∴．∴．故②正确； ∵，，∴．即．∴．∴．故③正确； ∵点A是线段的中点，∴．即．∴． ∴．∴．故④不正确；故答案是①②③． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，正方形的面积，关键是设“赵爽弦图”中，直角三角形的较短直角边为，较长直角边为，斜边为，用表示出相关线段的长度，从而解决问题． 例2．我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．若直角三角形的内切圆半径为3，小正方形的面积为49，则大正方形的面积为______． 【答案】289 【分析】设直角三角形的三边分别为，较长的直角边为较短的直角边为为斜边，由切线长定理可得，直角三角形的内切圆的半径等于，即，根据小正方的面积为49，可得，进而计算即即可求解． 【详解】解：设四个全等的直角三角形的三边分别为，较长的直角边为较短的直角边为为斜边， 直角三角形的内切圆半径为3，小正方形的面积为49， ， ①，②， ， ③， ， 解得或（舍去）， 大正方形的面积为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了切线长定理，勾股定理，解一元二次方程，二元一次方程组，掌握直角三角形的内切圆的半径等于是解题的关键． 例3．由4个直角边长分别为a，b的直角三角形围成的“赵爽弦图”如图所示，根据大正方形的面积等于小正方形的面积与4个直角三角形的面积的和证明了勾股定理，还可以用来证明结论：若、且为定值，则当_______时，取得最大值． 【答案】= 【分析】设为定值，则，先根据“张爽弦图”得出，再利用平方数的非负性即可得． 【详解】设为定值，则 由“张爽弦图”可知， 即 要使的值最大，则需最小 又 当时，取得最小值，最小值为0 则当时，取得最大值，最大值为 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用、平方数的非负性，掌握勾股定理是解题关键． ( 课堂随练 ) 练1．如图，2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标其原型是我国古代数学家赵爽的《勾股弦图》，它是由四个全等的直角三角形拼接而成如．如果大正方形的面积是16，直角三角形的直角边长分别为a，b，且，那么图中小正方形的面积是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据大正方形的面积即可求得，利用勾股定理可以得到，然后根据求得即可求得的值，结合即可求解． 【详解】解：∵大正方形的面积是16，∴，∴， ∵，∴，∵小正方形的边长为：， ∴．故选C 【点睛】本题考查的是完全平方公式的应用，勾股定理应用，熟记完全平方公式的灵活应用是解题关键． 练2． 四边形ABCD是边长为4的正方形，点E在边AD所在的直线上，连结CE，以CE为边，作正方形CEFG（点D，F在直线CE的同侧），连结BF．当点E在线段AD上时，AE＝1，求BF的长． 解 如图，过点F作FH ⊥AD交AD的延长线于点H， 延长FH交BC的延长线于点K． 因为四边形ABCD和四边形CEFG是正方形， 根据“弦图模型”可得△ECD ≌△FEH，所以FH ＝ED＝AD－AE＝3，EH＝ CD＝4． 因为CDHK为矩形，所以HK＝CD＝4，CK＝DH＝EH－ED＝1． 所以FK＝ FH十HK＝7，BK＝BC＋CK＝5． 所以BF＝＝ 练3． 如图，△BCD为等腰直角三角形，∠CBD＝90°，∠BAC＝ 45°，若S△ACD＝4．5，求AC的长． 解 如图，过点B作BE⊥AC于点E，过点D作DF⊥BF交EB的延长线于点F． 由“外弦图模型”可得△BFD≌△CEB， 所以BF＝CE． 易证AE＝BE，所以AC＝EF， 所以S△ACD＝AC·EF＝AC2＝4．5， 从而AC＝3． 练4．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD．若AE＝5，AB＝13，则中间小正方形EFGH的面积是 　49　． 解：∵AE＝5，AB＝13， ∴BF＝AE＝5， 在Rt△ABF中，AF＝＝12， ∴小正方形的边长EF＝12﹣5＝7， ∴小正方形EFGH的面积为7×7＝49． 故答案为：49． 练5．如图1是我国古代著名的“赵爽 弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成．若较短的直角边BC＝2.5，将四个直角三角形中较长的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，若△BCD的周长是15，则这个风车的外围周长是　38　． 解：依题意，设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为x，AC＝y，则 x2＝4y2+2.52， ∵△BCD的周长是15， ∴x+2y+2.5＝15 则x＝6.5，y＝3． ∴这个风车的外围周长是：4（x+y）＝4×9.5＝38． 故答案是：38． ( 巩固提高 ) 1．如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边（x＞y），下列结论：①；②x﹣y＝2；③2xy+4＝49；④x+y＝7．其中正确的结论是（　　） A．①② B．②④ C．①②③ D．①③ 【答案】C 【分析】由题意知 ，①﹣②可得2xy＝45记为③，①+③得到，由此即可判断． 【详解】解：由题意知 ， ①﹣②可得2xy＝45记为③， ①+③得到， ∴， ∴ ． ∵x＞y，由②可得x-y=2 由③得2xy+4＝49 ∴结论①②③正确，④错误． 故选：C． 【点睛】本题考查勾股定理中弦图的有关计算，准确找出图中的线段关系，并利用完全平方公式求出各个式子的关系是解题的关键． 2．如图是“赵爽弦图”，由个全等的直角三角形拼成的图形，若大正方形的面积是，小正方形的面积是，设直角三角形较长直角边为，较短直角边为，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据勾股定理可以求得 等于大正方形的面积，然后求四个直角三角形的面积，即可得到ab的值，然后根据即可求解． 【详解】解：因为大正方形的面积是，小正方形的面积是， 所以一个小三角形的面积是，三角形的斜边为， 所以，， 所以， 所以． 故选：C． 【点睛】本题考查勾股定理，以及完全平方式，正确根据图形的关系求得和ab的值是关键． 3．用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，就是平面图形的镶嵌．如图是由四个完全相同的直角三角形和一个小正方形进行的镶嵌，其中直角三角形的一个角等于，若小正方形的边长为，则大正方形的边长为(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设BF=x，利用含30°角的直角三角形的三边关系可得AB=2x，AF=x，再根据EF=1，列出方程，从而解决问题． 【详解】解：设， ，， ，， ， ， 解得， ， 故选：． 【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，勾股定理，含30°角的直角三角形的三边关系等知识，熟练掌握含30°角的直角三角形的三边关系是解题的关键． 4．用四个全等的直角三角形镶嵌而成的正方形如图所示，已知大正方形的面积为49，小正方形的面积为4，若x，y表示直角三角形的两直角边长（x＞y），给出下列四个结论正确的是 _____．（填序号即可） ①x﹣y＝2；②；③2xy＝45；④x+y＝9． 【答案】①②③ 【分析】根据正方形的性质、直角三角形的性质、直角三角形面积的计算公式及勾股定理解答． 【详解】解：如图， ∴，故①正确， ∵△ABC为直角三角形， ∴根据勾股定理：， 故②正确， 由图可知，四个直角三角形的面积与小正方形的面积之和为大正方形的面积， 可得：4××xy+4=49， 即2xy=45； 故③正确； 由2xy=45①， 又∵②， ∴①+②得，， 整理得，， x+y=≠9， 故④错误， ∴正确结论有①②③． 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查了勾股定理及正方形和三角形的边的关系，完全平方公式，算术平方根的应用，熟悉勾股定理并认清图中的关系是解题的关键． 5．把图①中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形分别拼成如图②，③所示的正方形（图②中大正方形边长为5，图③中中间小正方形边长为1），则图①中菱形的面积为________． 【答案】12 【分析】设菱形较长对角线长为2a，较短对角线长为2b，根据两种拼图得到，计算a，b的值，后根据菱形的面积等于对角线乘积的一半，计算即可． 【详解】设菱形较长对角线长为2a，较短对角线长为2b， 根据两种拼图得到， 解得， 所以菱形的面积为：=12， 故答案为：12． 【点睛】本题考查了菱形的性质，方程组，熟练掌握菱形的性质，方程组是解题的关键． 6．如图是一幅赵爽弦图，利用此图可以证明勾股定理．现连接BE，发现AB＝BE，若DE＝1，则正方形ABCD的面积为________． 【答案】5 【分析】根据全等三角形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理即可得到结论． 【详解】解：如图：由题意得，， ，， ， ， 正方形的面积， 故答案为：5． 【点睛】本题考查了勾股定理的证明，正方形的性质，全等三角形的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握勾股定理． 7．中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位，体现了数学研究中的继承和发展．下图是3世纪我国汉代的数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的图案，人们称它为“赵爽弦图”．此图中四个全等的直角三角形可以围成一个大正方形，中空的部分是一个小正方形．如果大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，则的值是____________． 【答案】49 【分析】根据题意和图形，可以得到，，然后变形即可得到ab的值，再将展开，将a2 + b2和ab的值代入计算即可． 【详解】解：由图可得， ，， ∴， ∵小正方形的面积是1， ∴， ∴， ∴， ∴ = = = 25+ 24 =49； 故答案为：49． 【点睛】本题考查勾股定理、完全平方公式，解答本题的关键是求出ab的值，利用数形结合的思想解答． 8．汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，构造了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图，大正方形由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，若，，则的面积为（　　　） A．24 B．6 C． D． 【答案】A 【分析】由已知得出AD＝AE＝AB，进而利用图形面积的割补关系解得即可． 【详解】解：如图： ∵∠ADE＝∠AED，∴AD＝AE＝AB，∴∠AEF＝∠ABF， ∵AF⊥BE，∴EF＝BF＝BE，∴GE＝AH，∵∠GEM＝∠HAM，∠MGE＝∠MHA， ∴△GEM≌△HAM（ASA），∴S△HAM＝S△GEM，∴S△ADE＝S△ADH+S△DGE， ∵AD＝，DH＝2AH，AD2＝DH2+AH2，∴AH＝4，DH＝8，∴DG＝GE＝4， ．故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理，全等三角形的判定与性质正确表示出直角三角形的面积是解题的关键． 9．如图，图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若，将四个直角三角形中的边长为的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意∠ACB为直角，AD=6，利用勾股定理求得BD的长，进一步求得风车的外围周长． 【详解】解：依题意∠ACB为直角，AD=6，∴CD=6+6=12， 由勾股定理得，BD2=BC2+CD2，∴BD2=122+52=169，所以BD=13， 所以“数学风车”的周长是：(13+6)×4=76．故选：D． 【点睛】本题是勾股定理在实际情况中应用，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．在直角三角形中，如果两条直角边分别为a和b，斜边为c，那么a2+b2=c2． 10．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”．如图是由弦图变化得到，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3．若S1+S2+S3＝12，则下列关于S1、S2、S3的说法正确的是（） A．S1＝2 B．S2＝3 C．S3＝6 D．S1+S3＝8 【答案】D 【分析】根据八个直角三角形全等，四边形ABCD，EFGH，MNKT是正方形，得出，，再根据三个正方形面积公式列式相加：，求出的值，从而可以计算结论即可． 【解析】解：八个直角三角形全等，四边形ABCD，EFGH，MNKT是正方形， ，，， ，， ， ，，，，故选：D． 【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，用到的知识点是勾股定理和正方形、全等三角形的性质，根据已知得出是解决问题的关键． 11．如图，在弦图中，正方形ABCD的对角线AC与正方形EFHI的对角线EH交于点K，对角线AC交正方形EFHI于G，J两点，记△GKH面积为S1，△JIC面积为S2，若AE＝12，CD＝4，则S1+S2的值为 　16　． 解：由题意可得， AF＝CI，∠AFG＝∠CIJ＝90°，FH∥EI， ∵∠AGF＝∠HGK，∠IJC＝∠KJE， ∵FH∥EI， ∴∠HGK＝∠KJE， ∴∠AGF＝∠IJC， 在△AFG和△CIJ中， ， ∴△AFG≌△CIJ（AAS）， ∴FG＝IJ， ∵四边形EFHI为正方形， ∴EI﹣IJ＝FH﹣FG，即HG＝EJ， 在△GHK和△JEK中， ， ∴△GHK≌△JEK（AAS）， ∴HK＝EK，即点K为正方形EFHI的中心， 如图，过点K作KM⊥FH于点M， ∵AE＝12，CD＝4， ∴BF＝12，AD＝， 在Rt△ADE中， 由勾股定理得DE＝＝4， ∴AF＝DE＝4，EF＝AE﹣AF＝12﹣4＝8， 则FH＝8，KM＝4， 设GH＝a，FG＝b，则a+b＝FH＝8， ∴＝， ＝＝2b， ∴S1+S2＝2a+2b＝2（a+b）＝16． 故答案为：16． 7 学科网（北京）股份有限公司 $