8.2立体图形的直观图形课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

长沙市明达中学 高一数学 8.2 立体图形的直观图 必修第二册 高一数学组 新课标 人教版 高中数学 1 学习目标 1.掌握用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图.(重点) 2.会用斜二测画法画常见的柱体、锥体、台体、球以及简单组合体的直观图.(难点) 3.掌握直观图与原图形之间的长度和角度关系. 4.运用直观感知、操作确认等方法，建立空间观念，提升直观想象、逻辑推理素养。 情境引入 前面我们认识了柱体、锥体、台体、球以及简单组合体的结构特征.为了将这些空间几何体画在纸上，用平面图形表示出来，使我们能够根据平面图形想象空间几何体的形状和结构，这就需要我们学习直观图的有关知识. 情境引入 直观图是观察者站在某一点观察一个空间几何体获得的图形。 画立体图形的直观图，实际上是把不完全在同一平面内的点的集合，用同一平面内的点表示。 因此，直观图往往与立体图形的真实形状不完全相同，在立体几何中，立体图形的直观图通常是在平行投影下得到的平面图形。 要画立体图形的直观图，首先要学会画水平放置的平面图形。 新知探究 问题1 矩形窗户在阳光照射下留在地面上的影子是什么形状? 眺望远处成块的农田，矩形的农田在我们眼里又是什么形状? 可能是矩形，也可能是平行四边形 问题2 为什么是这样的形状？你能解释吗？ 还记得初中学过的投影分为哪几类吗？ 中心投影 平行投影 概念生成 一个物体的投影，不仅与这个物体的形状有关，而且还与投影的方式和物体与投影面的位置关系有关，若一个矩形垂直于投影面，投影线不垂直于投影面时，矩形的平行投影则是一个平行四边形. 如下图所示. 利用平行投影，人们获得了画直观图的方法，这种方法叫做斜二测画法. 利用这种画法我们可以画出水平放置的平面图形的直观图. 接下来我们一起来看看用斜二测画法画直观图的具体步骤. 1. 斜二测画法 概念生成 2. 斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤 x' y' O' ③已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段，在直观图中长度为原来的一半. ②已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x'轴或y'轴的线段. A B C D A' B' D' ① 在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O. 画直观图时，把它们画成对应的x'轴与y'轴，两轴相交两轴交于点O'，且使∠x'O'y'＝45º(或135º)，它们确定的平面表示水平面. C' 通过作图发现水平放置的正方形用斜二测画法画出的直观图是平行四边形. 概念生成 二测：指两种度量形式. 画直观图时，已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，在直观图中长度变为原来的一半.简记为 【注意】斜二测画法要点剖析 横不变,纵减半,平行性不变 斜：把直角坐标系xOy变为斜坐标系x’O’y’，使∠x’O’y’=45°（或135°） 概念辨析（牛刀小试） 1. 用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论是否正确？正确的在括号 内画“√”，错误的画“×”. （1）相等的线段在直观图中仍然相等. （ ） （2）平行的线段在直观图中仍然平行. （ ） （3）一个角的直观图仍是一个角. （ ） （4）相等的角在直观图中仍然相等. （ ） （5）三角形的直观图还是个三角形. （ ） （6）菱形的直观图还是个菱形. （ ） （7）平行四边形的直观图还是平行四边形.（ ） √ × √ × 教材109页 √ × √ 典例辨析 例1 用斜二测画法画水平放置的正六边形的直观图. 【注意】 (1)建系时要尽量考虑图形的对称性； (2)画水平放置的平面图形的关键是确定多边形顶点的位置． 画法： ①在正六边形ABCDEF中，取AD所在的直线为x轴，对称轴MN所在直线为y轴，两轴交于点O．画对应的x′，y′轴，两轴相交于点O′，使∠ x′O y′=45°. 典例辨析 ②以O′为中心，在x′上取A′D′=AD，在y轴上取 .以点N′为中心，画B′C′∥x′轴，并等于BC，再以M′为中心，画E′F′∥x′轴，并等于EF. 【注意】水平放置的线段长不变，垂直放置的线段长变为原来的一半． 典例辨析 ③连接 并擦去辅助线x′轴和y′轴，便获得正六边形ABCDEF水平放置的直观图 不变的：平行关系，与x轴平行或重合的线段长度 变化的：垂直关系，角的大小，其他线段的长度 简记为： 【注意】斜二测画法要点剖析:在直观图中“变”的量与“不变”量 横不变,纵减半,平行性不变 跟踪训练 2. 用斜二测画法画出下列水平放置的平面图形的直观图（尺寸自定）. （1）矩形；（2）平行四边形；（3）正三角形；（4）正五边形. y x O y x O y x O y x O A C B D A B C A B C D A B C D E y′ x′ O′ y′ x′ O′ y′ x′ O′ y′ x′ O′ A′ B′ C′ D′ A′ B′ C′ D′ A′ B′ C′ A′ B′ C′ D′ E′ 教材P109-T2 概念生成 通过斜二测画法我们知道，一个圆水平放置的直观图是椭圆，因此我们一般用椭圆作为圆的直观图. 还有正方形和矩形水平放置的直观图都是平行四边形. A C B D A′ B′ C′ D′ A B C D 概念生成 水平放置的圆看起来非常像椭圆，立体几何中，我们常用正等测画法画水平放置的圆，在实际画水平放置的圆的直观图时常用下图所示的椭圆模板。 实际画图时，只要先画椭圆的轴，然后利用椭圆模板或徒手画出一个近似椭圆即可. 典例辨析 3. 斜二测画法画空间几何体的直观图的步骤 例2 已知长方体的长、宽、高分别是3cm，2cm，1.5cm，用斜二测画法画出它的直观图？ 联想水平放置的平面图形的画法，并注意高的处理. D′ A B C D A′ B′ C′ 画空间几何体直观图与平面图形的直观图画法相比，只是多画了一个与x轴、y轴都垂直的z轴，并且使平行于z轴（或在z轴上）的线段的平行性和长度都不变. 典例辨析 x y o A B C D z [画法] （1）画轴. 画x轴、y轴、z 轴，三轴相交于点 O(A)，使∠xOy=45°,∠xOz=90°. （2）画底面.在x轴正半轴上取线段 AB，使AB=3 cm;在y轴正半轴上取线段 AD，使AD=1 cm. 过点B作y轴的平行线，过点D作x轴的平行线，设它们的交点为C， 则□ABCD就是长方体的底面ABCD的直观图. 例2 已知长方体的长、宽、高分别是3cm，2cm，1.5cm，用斜二测画法画出它的直观图？ 新知探究 x y o A B C D z A′ B′ C′ D′ （3）画侧棱. 在z轴正半轴上取线段AA'，使AA'=1.5 cm，过B，C，D各点分别作z 轴的平行线，在这些平行线上分别截取1.5 cm长的线段 BB'，CC'，DD'. （4）成图.顺次连接A′，B'，C'，D'，并加以整理（去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线），就得到长方体的直观图了. 例2 已知长方体的长、宽、高分别是3cm，2cm，1.5cm，用斜二测画法画出它的直观图？ 反思感悟 斜二测画法画空间几何体的直观图的步骤 ①画出底面的直观图； ②画平行于z轴的线段，并保持长度不变; ③成图（去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线）． 横竖不变纵减半，平行性不变 典例辨析 例3 已知圆柱底面半径为1cm，侧面母线长3cm，画出它的直观图？ 新知探究 4. 常见几何体的直观图 O 1. 圆锥的直观图 对于圆锥的直观图，一般先画出圆锥的底面，再借助圆锥的轴确定圆锥的顶点，最后画出两侧的两条母线. 2. 球的直观图 画球的直观图，一般需要画出球的轮廓线，它是一个圆. 同时还经常画出经过球心的截面，它们的直观图是椭圆，用以衬托球的立体性. O 跟踪训练 3. 一个简单组合体由上下两部分组成，下部是一个圆柱，上部是一个半球，并且半球的球心就是圆柱的上底面圆心. 画出这个组合体的直观图. O O′ 典例辨析 5. 直观图的还原与计算 例3　(1)已知正三角形ABC的边长为a，那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为 学案例题 典例辨析 实际图形和直观图如图①②所示， 典例辨析 (2)如图，△A′B′C′是水平放置的平面图形的斜二测直观图，C′A′＝2，B′D′∥y′轴且B′D′＝1.5. ①将其恢复成原图形； 典例辨析 ①画法：(ⅰ)画直角坐标系xOy，在x轴上取OA＝O′A′，即CA＝C′A′. (ⅱ)在x轴上取OD＝O′D′，过D作DB∥y轴，并使DB＝2D′B′. (ⅲ)连接AB，BC，则△ABC即为△A′B′C′原来的图形，如图. 典例辨析 ②求原平面图形△ABC的面积. ∵B′D′∥y′轴，∴BD⊥AC. 又B′D′＝1.5且A′C′＝2， ∴BD＝3，AC＝2. 反思感悟 (1)直观图还原平面图形的策略 还原的关键是找与x′轴、y′轴平行的直线或线段，且平行于x′轴的线段还原时长度不变，平行于y′轴的线段还原时放大为斜二测直观图中相应线段长的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可. (2)若一个平面多边形的面积为S原，斜二测画法得到的直观图的面积为S直，则有S直＝ . 课堂小结 2.空间几何体直观图斜二测画法步骤： 画轴——画底面——画侧棱——连线成图 口诀：横竖不变纵减半，平行性不变 1.水平放置平面图形直观图斜二测画法步骤： 画轴取轴——取点——连线成图 口诀：横不变纵减半，平行性不变 斜二测画法 课后作业 1.教材习题8.2 2.分层作业P47-48；T8选做 Lavf58.51.100 A.a2 B.a2 C.a2 D.a2 由②可知，A′B′＝AB＝a，O′C′＝OC＝a， 在图②中作C′D′⊥A′B′于点D′，则C′D′＝O′C′＝a， 所以S△A′B′C′＝A′B′·C′D′＝×a×a＝a2. ∴S△ABC＝BD·AC＝3. S原 $