2.4.2平面向量及运算的坐标表示课件-2025-2026学年高一下学期数学北师大版必修第二册

第二章　平面向量及其应用 §4.2　平面向量及运算的坐标表示 1 学习目标 了解平面向量的正交分解,掌握向量的坐标表示.（数学抽象） 理解向量坐标的概念,掌握两个向量和、差的坐标运算法则.（数学运算） 理解向量的坐标与平面内点的坐标的区别与联系.（直观想象） 借助向量坐标的加、减线性运算,培养学生的数学运算等素养. 2 工作回顾 导入 新授 例题解析 练习巩固 课堂小结 课外习题 问题1：在平面直角坐标系内，起点不在坐标原点o的向量如何用坐标来表示? ({i，j} 为标准正交基) O x y y x A(x，y) i j a 通过向量的平移，将向量的起点移到坐标的原点O处， 我们把(x，y)称为向量a在标准正交基{i，j}下的坐标，向量a可以表示为a＝(x，y). 由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使a＝xi＋yj， a 知识点 1：平面向量的坐标表示 3 工作回顾 导入 新授 例题解析 练习巩固 课堂小结 课外习题 例1：若是与轴，轴方向相同的单位向量， 则对应的坐标分别为： 记作 . 4 工作回顾 导入 新授 例题解析 练习巩固 课堂小结 课外习题 知识点 2：平面向量运算的坐标表示 思考2：已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，你能得出a＋b，a－b，λa的坐标吗？ 解：∵a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，∴a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j， ∴a＋b＝(x1i＋y1j)＋(x2i＋y2j)＝(x1＋x2)i＋(y1＋y2)j， 即a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)， 同理a－b＝(x1－x2，y1－y2)， 设λ∈R，则λa＝λ(x1i＋y1j)＝λx1i＋λy1j，即λa＝(λx1，λy1). 5 工作回顾 导入 新授 例题解析 练习巩固 课堂小结 课外习题 知识点 2：平面向量运算的坐标表示 设向量 <m></m> , <m></m> , <m></m> ,则有 加法 <m></m> 减法 <m></m> 数乘 <m></m> 重要结论 已知点 <m></m> , <m></m> ,则 <m> 线段AB的中点 ①两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差； ②实数与向量数乘的坐标等于这个实数与向量的相应坐标的乘积； ③一个向量的坐标等于其终点的坐标减去起点的坐标. 6 工作回顾 导入 新授 例题解析 练习巩固 课堂小结 课外习题 解：， ， . 例2 已知，求的坐标. 7 工作回顾 导入 新授 例题解析 练习巩固 课堂小结 课外习题 解：如图，设点的坐标为，由， 得 即, 所以，解得， 所以点的坐标为. 例3 已知点，用向量的方法求 的顶点 的坐标. 8 工作回顾 导入 新授 例题解析 练习巩固 课堂小结 课外习题 例4 已知且，求点的坐标. 解 ， ， 于是， 设点的坐标为，则. 因此，解得， 所以点的坐标为 9 工作回顾 导入 新授 例题解析 练习巩固 课堂小结 课外习题 知识点 3：平面向量平行的坐标表示 平面向量共线的坐标表示 设 <m></m> ， <m></m> ,其中 <m></m> . （1） <m></m> , <m></m> 共线的充要条件是存在实数 <m></m> ,使得 <m></m> . （2）如果用坐标表示,那么向量 <m></m> , <m></m> 共线的充要条件是 <m></m> . 简记:纵横交错积相减. 10 工作回顾 导入 新授 例题解析 练习巩固 课堂小结 课外习题 题型一、向量共线的判定与证明 11 工作回顾 导入 新授 例题解析 练习巩固 课堂小结 课外习题 &1& 向量共线的判定方法 12 工作回顾 导入 新授 例题解析 练习巩固 课堂小结 课外习题 题型二、已知平面向量共线求参数 -3 13 工作回顾 导入 新授 例题解析 练习巩固 课堂小结 课外习题 题型三、利用共线向量求点的坐标 例3 已知点 <m></m> ， <m></m> ,点 <m></m> 在直线 <m></m> 上,且 <m></m> ,求点 <m></m> 的坐标. 方法指导 点 <m></m> 在直线 <m></m> 上,包括点 <m></m> 在线段 <m></m> 内和在线段 <m></m> 的延长线上,因此应分类讨论. [解析] 设点 <m></m> 的坐标为 <m></m> . 当点 <m></m> 在线段 <m></m> 上时,可知 <m></m> , <m></m> , 即 <m></m> 解得 <m></m> ∴点 <m></m> 的坐标为 <m></m> . 14 工作回顾 导入 新授 例题解析 练习巩固 课堂小结 课外习题 题型四 共线向量与三角函数的综合 例4 已知向量 <m></m> ， <m></m> ，且 <m></m> ，则 <m></m> ___. [解析] 由 <m></m> 得 <m></m> ，即 <m></m> ， <m></m> . 3 15 工作回顾 导入 新授 例题解析 练习巩固 课堂小结 课外习题 平面向量的坐标表示 平面向量运算的坐标表示（加、减、数乘） 共线向量的坐标表示与判定 若a＝xi＋yj ，我们把(x，y)称为向量a在标准正交基{i，j}下的坐标，向量a可以表示为a＝(x，y). 设向量 <m></m> , <m></m> , <m></m> ,则有 加法 <m></m> 减法 <m></m> 数乘 <m></m> 重要结论 已知点 <m></m> , <m></m> ,则 <m> 线段AB的中点 16 工作回顾 导入 新授 例题解析 练习巩固 课堂小结 课外习题 1.与 <m></m> 平行的单位向量为( ). A. <m></m> B. <m></m> C. <m></m> 或 <m></m> D. <m></m> C 17 工作回顾 导入 新授 例题解析 练习巩固 课堂小结 课外习题 2.已知向量 <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ，若向量 <m></m> 与 <m></m> 共线，则 <m></m> _ ___. <m></m> [解析] 因为向量 <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ，所以 <m></m> ， 所以由 <m></m> 与 <m></m> 共线得 <m></m> ， 解得 <m></m> . 18 工作回顾 导入 新授 例题解析 练习巩固 课堂小结 课外习题 3.已知点 <m></m> , <m></m> , <m></m> ,求证: <m></m> , <m></m> , <m></m> 三点共线. [解析] 由题意得 <m></m> , <m></m> , <m></m> , <m></m> , 又 <m></m> , <m></m> 有公共点 <m></m> , <m></m> , <m></m> , <m></m> 三点共线. 19 工作回顾 导入 新授 例题解析 练习巩固 课堂小结 课外习题 4.已知向量 <m></m> , <m></m> .若 <m></m> 与 <m></m> 共线,则 <m></m> 与 <m></m> 的关系为______. [解析] <m></m> , <m></m> , <m></m> , <m></m> . 又 <m></m> , <m></m> ，得 <m></m> . <m></m> 20 工作回顾 导入 新授 例题解析 练习巩固 课堂小结 课外习题 5.已知点 <m></m> , <m></m> ,点 <m></m> 满足 <m></m> ,求 <m></m> 及 <m></m> 的值. [解析] 因为 <m></m> , <m></m> , 所以 <m></m> ， 即 <m></m> 解得 <m></m> 21 工作回顾 导入 新授 例题解析 练习巩固 课堂小结 课外习题 6. 已知向量 <m></m> ，向量 <m></m> （ <m></m> ， <m></m> ）.若 <m></m> ，则 <m></m> ____． [解析] 由题意得 <m></m> ，化简得 <m></m> ，所以 <m></m> . 22 谢谢大家 23 例1　下列各组向量中,共线的是(　　). A.a=(-2,3),b=(4,6) B.a=(2,3),b=(3,2) C.a=(1,-2),b=(7,14) D.a=(-3,2),b=(6,-4) [解析] 　A选项,(-2)×6-3×4=-24≠0,∴a与b不共线;B选项,2×2-3×3=4-9=-5≠0,∴a与b不共线;C选项,1×14-(-2)×7=28≠0,∴a与b不共线;D选项,(-3)×(-4)-2×6=12-12=0,∴a与b共线. 例2　(1)已知向量a=(2,6),b=(-1,λ),若a∥b,则λ=　　　　.  (2)已知点P(-1,2),线段PQ的中点M的坐标为(1,-1).若向量与向量a=(λ,1)共线,则λ=　　　　.  [解析] 　(1)由题意知,-6=2λ,所以λ=-3. (2)点P(-1,2),线段PQ的中点M的坐标为(1,-1), 所以向量=2(1-(-1),-1-2)=(4,-6), 又因为与向量a=(λ,1)共线,所以4×1+6λ=0,解得λ=- . $