第2章 §4 4.2 平面向量及运算的坐标表示（课件PPT）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

该高中数学课件聚焦平面向量的坐标表示、运算及共线条件，通过“点的坐标表示”自然导入，搭建从几何到代数的学习支架，帮助学生理解向量代数化的过程。 其亮点在于以木块受力等实例引导学生用数学眼光抽象向量坐标，结合例题、母题探究培养数学思维，规范坐标运算与共线条件的数学语言表达。采用知识梳理+跟踪训练的结构，小结突出易错点，助力学生提升抽象与运算能力，也为教师提供完整教学资源。

4．2　平面向量 及运算的坐标表示 1 新课导入 学习目标 　　我们知道，在平面 直角坐标系中，每一个 点都可以用一对有序实 数(即它的坐标)来表示． 那么，如何表示直角坐标平面内的一个向量呢？ 1.借助平面直角坐标系，理解平面向量的正交分解及坐标表示． 2．掌握两个向量和、差及向量数乘的坐标运算法则． 3．通过实例理解坐标表示的平面向量共线的条件，并能够解决有关向量共线、直线平行及三点共线等问题． 返回导航 新知学习 探究 1 课堂巩固 自测 2 内 容 索 引 新知学习 探究 PART 01 第一部分 4 一　平面向量的坐标表示 如图，光滑斜面上一个木块受到的重力为G，下滑力为 F1，木块对斜面的压力为F2.  思考　这三个力的方向如何？三个力之间有什么关系？ 提示：重力G竖直向下，下滑力F1沿斜面向下，木块对斜面的压力F2垂直于斜面向下；三个力之间的关系是G＝F1＋F2. 返回导航 (x，y) (x，y) 返回导航 √ √ √ 返回导航 返回导航 返回导航 向量的坐标表示实质上是向量的代数表示，引入向量的坐标后，可使向量运算代数化，将数和形紧密结合起来，从而使许多几何问题的证明转化为代数运算．求平面向量的坐标时，应注意以下两点： (1)(x，y)在平面直角坐标系中有双重意义，它既可以表示一个固定的点，又可以表示一个向量，为加以区别，常说点(x，y)和向量(x，y). (2)在向量的坐标表示中含有等号，即a＝(x，y)，不能写成a(x，y). 返回导航 [跟踪训练1] (1)如图，{e1，e2}是平面内的一组基，且e1＝ (1，0)，e2＝(0，1)，则向量a的坐标为(　　) A．(1，3) B．(3，1) C．(－1，－3) D．(－3，－1) 解析：因为e1，e2分别是与x轴、y轴方向相同的两个单位向量，由题图可知a＝e1＋3e2，根据平面向量坐标的定义可知a＝(1，3).故选A． √ 返回导航 (4，3)，(－4，3) 返回导航 二　平面向量运算的坐标表示 [知识梳理] 1．设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j，根据向量的运算律，可得a＋b＝(x1i＋y1j)＋(x2i＋y2j)＝(x1＋x2)i＋(y1＋y2)j，即a＋b＝__________________．同理a－b＝__________________，即两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差． 2．设a＝(x1，y1)，λ∈R，则λa＝λ(x1i＋y1j)＝λx1i＋λy1j，即λa＝____________，即实数与向量数乘的坐标等于这个实数与向量的相应坐标的乘积． (x1＋x2，y1＋y2) (x1－x2，y1－y2) (λx1，λy1) 返回导航 (x2－x1，y2－y1) 返回导航 【解】　由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1，8). 3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1，8) ＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42). 返回导航 (2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n的值． 返回导航 向量坐标运算的法则 (1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行． (2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算． (3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行． 返回导航 返回导航 返回导航 (2)设点P在第三象限，求实数λ的取值范围． 返回导航 三　平面向量平行的坐标表示 [知识梳理] 在平面直角坐标系中，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，当b≠0时，向量a，b共线的充要条件是_______________． x1y2－x2y1＝0 返回导航 角度1　利用向量共线求参数 [例3] 已知a＝(1，2)，b＝(－3，2)，当k为何值时，ka＋b与a－3b平行？平行时它们是同向还是反向？ 【解】　ka＋b＝k(1，2)＋(－3，2)＝(k－3，2k＋2)， a－3b＝(1，2)－3(－3，2)＝(10，－4). 返回导航 返回导航 返回导航 母题探究1　例题中的a＝(1，2)，b＝(－3，2)，改成a＝(1，2)，b＝(1，m)，若a与a＋b共线，则实数m＝________． 解析：因为向量a＝(1，2)，b＝(1，m)，所以向量a＋b＝(2，2＋m)，因为a与a＋b共线，所以1×(2＋m)－2×2＝0，解得m＝2. 2 返回导航 返回导航 由向量共线求参数值的步骤 返回导航 √ 返回导航 返回导航 角度2　证明向量共线 返回导航 返回导航 用坐标证明向量共线：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a与b共线的充要条件为x1y2－x2y1＝0. 返回导航 √ 返回导航 √ √ √ 返回导航 对于B项，2×2－3×3＝－5≠0，所以a与b不平行，故B符合； 返回导航 课堂巩固 自测 PART 02 第二部分 36 1．(教材P104T2改编)已知向量a＝(5，2)，b＝(－4，－3)，若c满足3a－2b＋c＝0，则c＝(　　) A．(－23，－12) B．(23，12) C．(7，0) D．(－7，0) 解析：因为3a－2b＋c＝0，所以c＝－3a＋2b＝－3(5，2)＋2(－4，－3)＝(－23，－12).故选A． √ 返回导航 √ 返回导航 3．已知向量a＝(－1，2)，b＝(2，0)，c＝(1，－1)，若向量(λa＋b)∥c，则实数λ＝____________． 解析：λa＋b＝(－λ＋2，2λ)，因为(λa＋b)∥c，所以－1×(－λ＋2)＝1×2λ，解得λ＝－2. －2 返回导航 (－3，－5) 返回导航 1．已学习：平面向量的坐标表示、平面向量运算的坐标表示、两个向量共线(平行)的坐标表示． 2．须贯通：平面向量的正交分解实质上是平面向量基本定理的一种应用形式，只是要求两个向量互相垂直；向量的和与差的坐标就是它们对应向量坐标的和与差；两个向量相等，则它们的坐标相同． 3．应注意：(1)向量的坐标不一定是终点的坐标； (2)两个向量共线的坐标表示的公式易记错． 返回导航 (2，6) (2)已知长方形ABCD的长为4，宽为3，建立如图所示的平面直角坐标系，i是与x轴方向相同的单位向量，j是与y轴方向相同的单位向量，则和的坐标分别为______________________． $