专题06 圆（复习讲义）（安徽专用）2026年中考数学二轮复习讲练测

专题06 圆 目 录 01 析·考情目标 02 筑·专题框架 03 攻·重难考点 真题动向 题型01 利用垂径定理进行求解 题型02 利用圆周角定理进行求解 题型03 切线的性质与判定综合 题型04 圆的内接四边形 题型05 弧长和扇形面积的计算 必备知识 知识 圆 命题预测 命题 透视 命题形式：圆的知识覆盖所有题型，但以解答题为主，是每年必考的中档题，必须熟练掌握。 命题内容： 安徽中考对圆的考查往往不是孤立的，而是将圆作为载体，融入三角形、四边形、相似、勾股等知识，综合考查学生的几何推理和计算能力 热考角度 考点 2025年 2024年 2023年 2022年 2021年 圆 T12：切线性质、圆周角定理 T20：半圆、直径所对圆周角 T20：外接圆、直径性质、角平分线 T6：正多边形中心角 T20：直径性质、垂径定理、圆内接四边形 T7：垂径定理、弦心距 T19：切线性质、直径所对圆周角 T13：圆内接三角形、垂径定理 T20：垂径定理、圆周角、垂直弦 命题预测 1. 考情预测 必考无疑：圆仍将是每年必考内容，分值稳定在10~12分，且以解答题形式出现。 位置稳定：解答题大概率出现在第20题左右（中档题），前面可能有1道选择或填空题。 核心不变：垂径定理、圆周角定理、切线性质依然是考查重点，特别是与直角三角形、相似三角形结合的计算和证明。 可能微调：随着新课标对核心素养的强调，圆的问题可能更加注重实际应用（如圆弧形拱桥、车轮等），但安徽近年较少涉及，2026年仍以纯几何推理为主。 冷点预警：圆与圆的位置关系、弧长扇形面积近五年未考，但作为课程标准内容，不排除以选择题或填空题形式出现。 2. 备考建议 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的两条弧。会灵活运用：已知弦长、半径、弦心距三者中任意两个，求第三个。 圆周角定理：同弧所对圆周角是圆心角的一半；直径所对圆周角是90°（构造直角三角形的利器）。 切线的性质：切线垂直于过切点的半径；切线的判定：过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线。 圆内接四边形：对角互补，外角等于内对角（用于角度转换） 题型01 利用垂径定理进行求解 1）垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。 推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 2）常用辅助线：连接圆心与弦的中点（作弦心距），构造直角三角形。 3）应用： 求弦长、半径、圆心到弦的距离。 解决与弦有关的计算问题。 注意分类讨论：两条平行弦之间的距离，可能有两种情况（圆心在平行弦之间或同侧）。 1）定理条件遗漏：垂径定理中的“直径”常被忽略为“半径”，实际上半径也是直径的一部分，但必须经过圆心。用半径时需确保过圆心。 2）忽视“平分弦”时的限制：被平分的弦不能是直径，否则结论不一定成立。 3）计算时忘记勾股定理：在直角三角形中，三边关系易列错方程。 4）平行弦问题漏解：当两平行弦在圆心同侧或异侧时，距离公式不同，需分情况讨论。 5）忽略垂足位置：弦心距是圆心到弦的垂线段长度，若弦过圆心则弦心距为0 1．（2025·安徽·中考真题）如图，四边形的顶点都在半圆O上，是半圆O的直径，连接，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 2．（2025·青海西宁·中考真题）如图，是的弦，，半径分别与弦垂直，垂足分别为G，H，交于点M，交于点N，连接． (1)求证：； (2)求证：四边形是菱形； (3)若，，则_______． 3．（2025·湖北武汉·中考真题）如图，四边形内接于，．若，则的半径是（） A． B． C． D．5 题型02 利用圆周角定理进行求解 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 重要推论： 同弧或等弧所对的圆周角相等。 直径所对的圆周角是直角（90°的圆周角所对的弦是直径）。 圆内接四边形对角互补（见题型04）。 应用技巧： 寻找相等的圆周角，利用弧的桥梁作用。 在圆中构造直径，得到直角三角形。 利用圆周角定理进行角度转换，常与三角形内角和、外角等结合。 混淆圆心角与圆周角：注意圆心角顶点在圆心，圆周角顶点在圆上。 忽略“同弧”条件：不同弧所对的圆周角不一定相等，需确保对应同一段弧。 直径对直角的条件：必须强调“直径所对的圆周角”，若没有直径，需先构造。 图形复杂时找不准弧：在多条弧交织的图形中，要明确每个角对应哪段弧。 圆周角定理的逆用：如由直角推出直径，需确保直角顶点在圆上。 1．（2025·安徽·中考真题）如图，是的弦，与相切于点B，圆心O在线段上．已知，则的大小为________． 2．（2025·山东滨州·中考真题）如图，点A，B，C，D在上，，，则的值为______． 3．（2025·山东德州·中考真题）如图，点D是的内心，连接并延长交的外接圆于点E，与交于点F，连接． (1)设，则 ；（用含的式子表示） (2)求证：； (3)若，求的长． 题型03 切线的性质与判定综合 切线的判定： 定义法：直线与圆只有一个公共点。 数量关系法：圆心到直线的距离等于半径。 定理法：经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线（常用“连半径，证垂直”或“作垂直，证半径”）。 切线的性质： 圆的切线垂直于过切点的半径。 经过圆心且垂直于切线的直线必过切点。 切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 常见辅助线： 见切点，连半径，得垂直。 见切线，作垂线，得切点。 涉及两条切线时，连接圆心和圆外点，构造直角三角形或全等三角形。 判定时混淆两种方法：“连半径证垂直”必须已知直线过半径外端；“作垂直证半径”需先作垂线再证距离等于半径，不能颠倒。 切线长定理中线段对应错误：切线长是指圆外一点到切点的线段长度，不是圆外点到圆心的距离。 忽略切线与半径的垂直关系：在综合题中，垂直是重要的隐含条件，常用来建立勾股方程。 多解情况：如过圆外一点作圆的切线，通常有两条，但题目有时只考虑一条。 切线的性质与判定互逆使用时，条件要完整：例如，若已知切线，可直接得到垂直；若需证明切线，则需证垂直或距离相等。 1．（2025·四川攀枝花·中考真题）如图，是的内切圆，与分别相切于点，． (1)求的三个内角的大小； (2)设的直径为，证明：． 2．（2025·江苏盐城·中考真题）如图，是的弦，过点作直线，以为顶点作，分别交、于点、，若． (1)试判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若的半径为3，，求的长． 3．（2025·江苏淮安·中考真题）如图，是半圆O的直径，点C是弦延长线上一点，连接，． (1)求证：是的切线； (2)连接，若，，求扇形的面积． 4．（2025·山东济南·中考真题）如图，是的直径，C为上一点，P为外一点，，且，连接． (1)求证：与相切； (2)若，，求的长． 题型04 圆的内接四边形 性质： 对角互补：∠A+∠C=180∘，∠B+∠D=180∘。 外角等于内对角：如图，∠DCE=∠A（其中∠DCE是四边形的一个外角）。 判定四点共圆的方法： 若四边形对角互补，则四点共圆。 若一个外角等于它的内对角，则四点共圆。 同侧共边且张角相等（如∠ACB=∠ADB且C,D在AB同侧，则A,B,C,D共圆）。 应用： 进行角度转换，将圆内角与外角联系起来。 结合圆周角定理，解决角度计算问题。 对角互补中的“对角”理解错误：对角是指不相邻的两个角，如∠A∠与∠C。 外角与内对角的对应关系：外角通常指延长一边得到的角，它的内对角是指与它不相邻的内角，不要找错。 证明四点共圆时条件不全：如只证明一对角互补，但未说明是四边形，或忽略了点在同一圆上的唯一性。 在复杂图形中，利用圆内接四边形性质时容易漏掉隐含条件：如圆内接四边形的每个顶点都在圆上，要充分利用。 1．（2025·山东青岛·中考真题）如图，四边形是的内接四边形，，，直线与相切于点．若，则的度数为（） A． B． C． D． 2．（2025·甘肃平凉·中考真题）如图，四边形ABCD内接于，，连接BD，若，则的度数为（） A． B． C． D． 3．（2025·甘肃·中考真题）如图，四边形内接于，，连接，若，则的度数为（） A． B． C． D． 4．（2025·山东东营·中考真题）如图，四边形内接于，若，则的度数是（） A． B． C． D． 题型05 弧长和扇形面积的计算 1）根据扇形面积公式和弧长公式，已知S扇形，l，n，R中的任意两个量，都可以求出另外两个量． 2）在利用扇形面积公式求面积时，关键是明确扇形所在圆的半径、扇形的圆心角的度数或扇形的弧长，然后直接代入公式S扇形=或S扇形=R中求解即可． 3）当已知半径R和圆心角的度数求扇形的面积时，可以选用公式；当已知半径R和弧长l求扇形的面积时，可以选用公式. 1）公式记忆混淆：弧长公式分母是180，扇形面积分母是360，易记反；侧面积公式中πrl容易漏掉π。 2）角度单位：公式中的n是度数，若题目给出弧度需转换。 圆锥中母线、底面半径、高的关系：三者构成直角三角形，l2=r2+h2，计算时常用勾股定理，注意区分。 3）扇形面积与三角形面积类比：中的l是弧长，r是半径，不要与三角形底高混淆。 4）计算时忽略精确度要求：如题目要求取近似值，需按指定精度计算。 5）多个图形组合时，重叠部分重复或遗漏：要仔细分析图形构成。 1．（2025·四川资阳·中考真题）如图，在正六边形中，，连接，，以点D为圆心、的长为半径作圆弧，则图中阴影部分的面积是______． 2．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在中心为的正六边形中，点G，H分别在边，上，且不同于正六边形的顶点，． (1)证明：四边形为平行四边形； (2)若正六边形的边长为4，以点为圆心，为半径的扇形与正六边形形成阴影部分，求图中阴影部分的面积． 3．（2025·山东东营·中考真题）如图，是的直径，、是上的两点，，于点，延长交的延长线于点，连接． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为，求图中阴影部分的面积． 4．（2025·江苏徐州·中考真题）如图，为正三角形的外接圆，直线经过点C，． (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若圆的半径为2，求图中阴影部分的面积． 知识1 垂径定理 1.定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 2.垂径定理的推论 推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧． 推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． 知识2 圆周角定理 1.圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． 注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可． 2.圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 3.在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握． 4.注意： ①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化． ②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化． ③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角． 知识3 圆内接四边形 性质： 1）圆内接四边形对角互补. 2）圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角. 知识4 圆的位置关系 1.点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有： ①点P在圆外⇔d＞r ②点P在圆上⇔d＝r ③点P在圆内⇔d＜r 2.点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系． 3.符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端． 4.直线和圆的三种位置关系： ①相离：一条直线和圆没有公共点． ②相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点． ③相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的割线． 5.判断直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d． ①直线l和⊙O相交⇔d＜r ②直线l和⊙O相切⇔d＝r ③直线l和⊙O相离⇔d＞r． 6.切线的性质 ①圆的切线垂直于经过切点的半径． ②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． ③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． 7.切线性质的运用 运用切线的性质进行计算或证明时，常常作的辅助线是连接圆心和切点，通过构造直角三角形或相似三角形解决问题． 8.切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 4.常见的辅助线的： ①判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”； ②有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”． 知识5 圆有关的计算 1.扇形弧长公式 （弧长的长度和圆心角大小和半径的取值有关，且n表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位．） 扇形面积公式 S扇形==R 3.圆锥侧面积公式 S圆锥侧=πrl （其中l是圆锥的母线长，r是圆锥的底面半径） 4.圆锥全面积公式 S圆锥全=πrl+πr2 （圆锥的表面积=扇形面积+底面圆面积） 圆的练习 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（2025·安徽·模拟预测）如图，点A在上做圆周运动，已知，则的最大值为（） A． B． C． D． 2．（2025·安徽合肥·三模）如图，为的直径，，劣弧的长，则弦的长为（　　） A．2 B．4 C．4 D．6 3．（2025·安徽滁州·二模）如图，正六边形与正方形的中心都是点O，且顶点A，B重合，则的度数为（） A． B． C． D． 4．（2025·安徽合肥·三模）飞速发展的高铁已成为现代化建设的重要标志，如图是高铁线路在转向处的圆弧，列车在转弯时起点为A，终点为B，过点A、B的两条切线相交于点C，转角为．若圆的半径，则长为（）． A． B． C． D． 5．（2025·安徽阜阳·模拟预测）如图，为的弦，，交于点C，点D为上一点，，则的长度是（　　） A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·天津西青·期末）如图，是的直径，点C是上一点，点D是的中点，连接，，，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 7．（2025·安徽·模拟预测）如图，在中，，AC为⊙O的直径，若，，则阴影部分的面积为（） A． B． C． D． 8．（2025·安徽淮南·二模）如图，以含有角的三角尺的顶点B为圆心，长为半径画，交边于点D．若，则劣弧的长为（） A． B． C． D． 9．（2025·安徽淮南·二模）已知O为边长为2的正六边形的中心，P为正六边形内一点，且．若，则的度数为（） A． B．或 C． D．或 10．（2025·安徽芜湖·二模）如图，M是等腰直角三角形的边的中点，P是平面内一点，连接，将线段以点A为中心逆时针旋转，得到线段，连接．若，点M，P之间的距离为1，则的最小值为（） A．4 B．5 C．3 D． 二、填空题 11．（2025·安徽·模拟预测）如图，是的直径，是的弦，与相切于点，连接，若，则的大小为__________． 12．（2025·安徽合肥·二模）如图，四边形内接于，过、分别作的切线，交于点，若，则的度数为______． 13．（2025·安徽·模拟预测）如图，在扇形中，，C为中点，过C作交于点D．则阴影部分面积为______ 14．（2025·陕西榆林·模拟预测）如图，正方形内接于，点P为弧上的动点（不与端点重合），连接，过点D作于点Q，连接，若的半径为，则长的最小值为 _________________ ． 三、解答题 15．（2024·安徽马鞍山·一模）如图，在中，为弦，为直径，于E，于F，与相交于G． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 16．（2025·安徽芜湖·三模）如图，在中，，是上一点，以为直径的切于点，交于点，连接，． (1)求证：； (2)连接交于点，连接，若，求的度数． 17．（2025·安徽合肥·一模）如图，是半圆的直径，点为圆心，点，均在半圆上，连接，．过点作半圆的切线交的延长线于点． (1)证明：； (2)若，，，求的长． 18．（2025·安徽滁州·二模）如图1，为的外接圆，的平分线交于点D，交于点E，连接 (1)若，，求的长． (2)如图2，当为直径时，若，，求的长． 19．（2025·安徽·模拟预测）如图，为外接圆，为直径，平分交于，过点作交延长线于点． (1)求证：为圆切线； (2)若，求阴影部分面积（用含的代数式表示）． 20．（2024·安徽芜湖·二模）如图，在中，，以为直径作，交于点，是的切线且交于点，延长交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 21．（2025·安徽·模拟预测）如图，是的直径，，是上的点，且，分别与，相交于点，． (1)求证：平分； (2)若，，求的长． 22．（2025·安徽滁州·一模）如图，是半的直径，，点，分别在半径和弦上，且，连接，． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 23．（2025·安徽合肥·二模）如图，是的弦，点为上一点，的延长线垂直于，垂足为，点为弧上一点，且，延长交的延长线于点，连接． (1)求证：； (2)点为上一点，平分，且，求的度数． 1 / 20 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 圆 目 录 01 析·考情目标 02 筑·专题框架 03 攻·重难考点 真题动向 题型01 利用垂径定理进行求解 题型02 利用圆周角定理进行求解 题型03 切线的性质与判定综合 题型04 圆的内接四边形 题型05 弧长和扇形面积的计算 必备知识 知识 圆 命题预测 命题 透视 命题形式：圆的知识覆盖所有题型，但以解答题为主，是每年必考的中档题，必须熟练掌握。 命题内容： 安徽中考对圆的考查往往不是孤立的，而是将圆作为载体，融入三角形、四边形、相似、勾股等知识，综合考查学生的几何推理和计算能力 热考角度 考点 2025年 2024年 2023年 2022年 2021年 圆 T12：切线性质、圆周角定理 T20：半圆、直径所对圆周角 T20：外接圆、直径性质、角平分线 T6：正多边形中心角 T20：直径性质、垂径定理、圆内接四边形 T7：垂径定理、弦心距 T19：切线性质、直径所对圆周角 T13：圆内接三角形、垂径定理 T20：垂径定理、圆周角、垂直弦 命题预测 1. 考情预测 必考无疑：圆仍将是每年必考内容，分值稳定在10~12分，且以解答题形式出现。 位置稳定：解答题大概率出现在第20题左右（中档题），前面可能有1道选择或填空题。 核心不变：垂径定理、圆周角定理、切线性质依然是考查重点，特别是与直角三角形、相似三角形结合的计算和证明。 可能微调：随着新课标对核心素养的强调，圆的问题可能更加注重实际应用（如圆弧形拱桥、车轮等），但安徽近年较少涉及，2026年仍以纯几何推理为主。 冷点预警：圆与圆的位置关系、弧长扇形面积近五年未考，但作为课程标准内容，不排除以选择题或填空题形式出现。 2. 备考建议 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的两条弧。会灵活运用：已知弦长、半径、弦心距三者中任意两个，求第三个。 圆周角定理：同弧所对圆周角是圆心角的一半；直径所对圆周角是90°（构造直角三角形的利器）。 切线的性质：切线垂直于过切点的半径；切线的判定：过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线。 圆内接四边形：对角互补，外角等于内对角（用于角度转换） 题型01 利用垂径定理进行求解 1）垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。 推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 2）常用辅助线：连接圆心与弦的中点（作弦心距），构造直角三角形。 3）应用： 求弦长、半径、圆心到弦的距离。 解决与弦有关的计算问题。 注意分类讨论：两条平行弦之间的距离，可能有两种情况（圆心在平行弦之间或同侧）。 1）定理条件遗漏：垂径定理中的“直径”常被忽略为“半径”，实际上半径也是直径的一部分，但必须经过圆心。用半径时需确保过圆心。 2）忽视“平分弦”时的限制：被平分的弦不能是直径，否则结论不一定成立。 3）计算时忘记勾股定理：在直角三角形中，三边关系易列错方程。 4）平行弦问题漏解：当两平行弦在圆心同侧或异侧时，距离公式不同，需分情况讨论。 5）忽略垂足位置：弦心距是圆心到弦的垂线段长度，若弦过圆心则弦心距为0 1．（2025·安徽·中考真题）如图，四边形的顶点都在半圆O上，是半圆O的直径，连接，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2)6 【分析】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，三角形中位线定理，勾股定理，熟知圆周角定理和垂径定理是解题的关键． （1）由圆周角定理可得，则可证明，据此可证明． （2）连接，交于点E．由题意知，由直径所对的圆周角是直角得到，即，则可证明，由垂径定理可得点E为的中点，则是的中位线，即可得到．设半圆的半径为r，则．由勾股定理知，解方程即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴． （2）解：连接，交于点E．由题意知， ∵是的直径， ∴，即， ∵， ∴， ∴点E为的中点， 又∵O是的中点， ∴是的中位线， ∴． 设半圆的半径为r，则． 由勾股定理知，， 即， 解得，（舍去）． ∴． 2．（2025·青海西宁·中考真题）如图，是的弦，，半径分别与弦垂直，垂足分别为G，H，交于点M，交于点N，连接． (1)求证：； (2)求证：四边形是菱形； (3)若，，则_______． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】本题考查弧，弦，角之间的关系，垂径定理，勾股定理，菱形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）根据弧，弦，角之间的关系以及垂径定理，即可得证； （2）先证明四边形为平行四边形，等积法推出，即可得证； （3）垂径定理结合勾股定理求出的长，设，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵半径分别与弦垂直， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵，， ∴四边形为平行四边形， ∵半径分别与弦垂直， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为菱形； （3）∵， ∴， 在中，由勾股定理，得：， 由（2）知：四边形为菱形， ∴设，则：， 在中，由勾股定理，得：， 解得； ∴． 3．（2025·湖北武汉·中考真题）如图，四边形内接于，．若，则的半径是（） A． B． C． D．5 【答案】A 【分析】本题考查垂径定理，圆心角、弦、弧之间的关系，勾股定理，掌握垂径定理，圆心角、弦、弧之间的关系，勾股定理是正确解答的关键．根据垂径定理，圆心角、弦、弧之间的关系，勾股定理进行计算即可． 【详解】解：如图，过点O作，垂足为F，交于点E，连接， 则，， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 设半径为R， 在中，， 由勾股定理得，，即， 解得． 故选：A． 题型02 利用圆周角定理进行求解 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 重要推论： 同弧或等弧所对的圆周角相等。 直径所对的圆周角是直角（90°的圆周角所对的弦是直径）。 圆内接四边形对角互补（见题型04）。 应用技巧： 寻找相等的圆周角，利用弧的桥梁作用。 在圆中构造直径，得到直角三角形。 利用圆周角定理进行角度转换，常与三角形内角和、外角等结合。 混淆圆心角与圆周角：注意圆心角顶点在圆心，圆周角顶点在圆上。 忽略“同弧”条件：不同弧所对的圆周角不一定相等，需确保对应同一段弧。 直径对直角的条件：必须强调“直径所对的圆周角”，若没有直径，需先构造。 图形复杂时找不准弧：在多条弧交织的图形中，要明确每个角对应哪段弧。 圆周角定理的逆用：如由直角推出直径，需确保直角顶点在圆上。 1．（2025·安徽·中考真题）如图，是的弦，与相切于点B，圆心O在线段上．已知，则的大小为________． 【答案】20 【分析】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，直角三角形的性质，连接，由切线的性质可得，根据直角三角形两锐角互余可得的度数，再由圆周角定理即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵与相切于点B， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 2．（2025·山东滨州·中考真题）如图，点A，B，C，D在上，，，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查垂径定理，圆周角定理，特殊角的三角函数值，根据垂径定理，圆周角定理推出，再根据特殊角的三角函数值即可得出结果． 【详解】解：连接， ∵， ∴为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 3．（2025·山东德州·中考真题）如图，点D是的内心，连接并延长交的外接圆于点E，与交于点F，连接． (1)设，则 ；（用含的式子表示） (2)求证：； (3)若，求的长． 【答案】(1)或 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据内心是三角形角的平分线交点，在同圆或等圆中，同弧上圆周角相等解答即可； （2）根据内心，三角形外角性质，等腰三角形的判定证明即可； （3）设，根据题意，根据相似三角形的判定和性质，列式解答即可． 本题考查了三角形的内心，圆的性质，三角形外角性质，等腰三角形的判定和性质，三角形相似的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：∵点D是的内心， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， 故答案为：． （2）证明：连接， ∵点D是的内心， ∴，， ∵，， ， ∴， ∴． （3）解：设，根据题意， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得． 故的长为． 题型03 切线的性质与判定综合 切线的判定： 定义法：直线与圆只有一个公共点。 数量关系法：圆心到直线的距离等于半径。 定理法：经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线（常用“连半径，证垂直”或“作垂直，证半径”）。 切线的性质： 圆的切线垂直于过切点的半径。 经过圆心且垂直于切线的直线必过切点。 切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 常见辅助线： 见切点，连半径，得垂直。 见切线，作垂线，得切点。 涉及两条切线时，连接圆心和圆外点，构造直角三角形或全等三角形。 判定时混淆两种方法：“连半径证垂直”必须已知直线过半径外端；“作垂直证半径”需先作垂线再证距离等于半径，不能颠倒。 切线长定理中线段对应错误：切线长是指圆外一点到切点的线段长度，不是圆外点到圆心的距离。 忽略切线与半径的垂直关系：在综合题中，垂直是重要的隐含条件，常用来建立勾股方程。 多解情况：如过圆外一点作圆的切线，通常有两条，但题目有时只考虑一条。 切线的性质与判定互逆使用时，条件要完整：例如，若已知切线，可直接得到垂直；若需证明切线，则需证垂直或距离相等。 1．（2025·四川攀枝花·中考真题）如图，是的内切圆，与分别相切于点，． (1)求的三个内角的大小； (2)设的直径为，证明：． 【答案】(1)的度数分别为． (2)证明见解析 【分析】（1）根据题意得，，所以 ．即可求出． （2）由切线长定理得，则，由，得，由，得到四边形是矩形，则，结合的直径为d，为的半径，得到，即可求出． 此题重点考查三角形的内切圆与内心、切线的性质、切线长定理、四边形的内角和、三角形内角和定理、矩形的判定等知识． 【详解】（1）解：∵ 是的内切圆，与分别相切于点 ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的度数分别为． （2）证明：由切线长定理得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵的直径为d，为的半径， ∴， ∴． 2．（2025·江苏盐城·中考真题）如图，是的弦，过点作直线，以为顶点作，分别交、于点、，若． (1)试判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若的半径为3，，求的长． 【答案】(1)与相切，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的判定，等边对等角，正切的定义，勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解题的关键． （1）连接，根据等边对等角可得，，进而根据，得出，即可得出结论； （2）根据已知可得，进而设，，在中，，根据勾股定理建立方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：与相切； 理由如下：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵为半径， ∴与相切； （2）解：如（1）图，， ∵的半径为3， ∴ ∵，， ∴， ∴， 设，， 在中，， ∴ 解得： ∴． 3．（2025·江苏淮安·中考真题）如图，是半圆O的直径，点C是弦延长线上一点，连接，． (1)求证：是的切线； (2)连接，若，，求扇形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先根据圆周角定理得到，则，再由即可证明，即可证明是的切线； （2）先根据圆周角定理得到，再由扇形面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：∵是半圆O的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵为半径， ∴是的切线； （2）解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴扇形的面积． 【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的判定，直角三角形的性质，扇形面积的求解，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 4．（2025·山东济南·中考真题）如图，是的直径，C为上一点，P为外一点，，且，连接． (1)求证：与相切； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，利用平行线的性质及等边对等角，通过等量代换可得，进而证明，推出，即可证明与相切； （2）由可推出垂直平分，利用等面积法求出，进而求出，由圆周角定理得，最后用勾股定理解即可． 【详解】（1）证明：如图，连接， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， 与相切； （2）解：如图，连接交于点D， ， ，， 垂直平分， ，，， ， ， ， ， 是的直径， ， ， ． 【点睛】本题考查切线的判定，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，勾股定理等，正确作出辅助线是解题的关键． 题型04 圆的内接四边形 性质： 对角互补：∠A+∠C=180∘，∠B+∠D=180∘。 外角等于内对角：如图，∠DCE=∠A（其中∠DCE是四边形的一个外角）。 判定四点共圆的方法： 若四边形对角互补，则四点共圆。 若一个外角等于它的内对角，则四点共圆。 同侧共边且张角相等（如∠ACB=∠ADB且C,D在AB同侧，则A,B,C,D共圆）。 应用： 进行角度转换，将圆内角与外角联系起来。 结合圆周角定理，解决角度计算问题。 对角互补中的“对角”理解错误：对角是指不相邻的两个角，如∠A∠与∠C。 外角与内对角的对应关系：外角通常指延长一边得到的角，它的内对角是指与它不相邻的内角，不要找错。 证明四点共圆时条件不全：如只证明一对角互补，但未说明是四边形，或忽略了点在同一圆上的唯一性。 在复杂图形中，利用圆内接四边形性质时容易漏掉隐含条件：如圆内接四边形的每个顶点都在圆上，要充分利用。 1．（2025·山东青岛·中考真题）如图，四边形是的内接四边形，，，直线与相切于点．若，则的度数为（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，以及切线性质定理，等腰三角形的性质，根据可得，可求出的度数，再由和圆内接四边形的性质可求解的度数，根据圆周角定理求出，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出，最后根据切线性质定理即可求解． 【详解】解：连接，，，如图， ∵，， ∴， ∵，四边形是的内接四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵直线为的切线， ∴， ∴． 故选：C ． 2．（2025·甘肃平凉·中考真题）如图，四边形ABCD内接于，，连接BD，若，则的度数为（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆内接四边形，圆的性质，解题的关键是熟练掌握圆的性质． 根据圆的内接四边形对角互补可得的度数，由弦相等可得弧相等，从而可得圆周角相等，计算即可． 【详解】解：∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：． 3．（2025·甘肃·中考真题）如图，四边形内接于，，连接，若，则的度数为（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查圆内接四边形的性质、圆周角定理，根据圆内接四边形的性质得到，根据得到，即可得到的度数．关键是根据圆内接四边形的性质得到解答． 【详解】解：由圆内接四边形的性质可知：， ， ， ∵， ． 故选：C． 4．（2025·山东东营·中考真题）如图，四边形内接于，若，则的度数是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查圆周角定理和圆内接四边形的性质．根据圆周角等于同弧所对圆心角的一半求出的度数，再根据圆内接四边形的性质及平角的定义即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵四边形内接于， ∴且， ∴， 故选：C． 题型05 弧长和扇形面积的计算 1）根据扇形面积公式和弧长公式，已知S扇形，l，n，R中的任意两个量，都可以求出另外两个量． 2）在利用扇形面积公式求面积时，关键是明确扇形所在圆的半径、扇形的圆心角的度数或扇形的弧长，然后直接代入公式S扇形=或S扇形=R中求解即可． 3）当已知半径R和圆心角的度数求扇形的面积时，可以选用公式；当已知半径R和弧长l求扇形的面积时，可以选用公式. 1）公式记忆混淆：弧长公式分母是180，扇形面积分母是360，易记反；侧面积公式中πrl容易漏掉π。 2）角度单位：公式中的n是度数，若题目给出弧度需转换。 圆锥中母线、底面半径、高的关系：三者构成直角三角形，l2=r2+h2，计算时常用勾股定理，注意区分。 3）扇形面积与三角形面积类比：中的l是弧长，r是半径，不要与三角形底高混淆。 4）计算时忽略精确度要求：如题目要求取近似值，需按指定精度计算。 5）多个图形组合时，重叠部分重复或遗漏：要仔细分析图形构成。 1．（2025·四川资阳·中考真题）如图，在正六边形中，，连接，，以点D为圆心、的长为半径作圆弧，则图中阴影部分的面积是______． 【答案】 【分析】本题考查了正多边形的性质，扇形面积的计算，连接，根据多边形的内角求出扇形的圆心角，然后根据30°角的直角三角形的性质和勾股定理求出长，再根据解答即可． 【详解】解：连接， ∵是正六边形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 2．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在中心为的正六边形中，点G，H分别在边，上，且不同于正六边形的顶点，． (1)证明：四边形为平行四边形； (2)若正六边形的边长为4，以点为圆心，为半径的扇形与正六边形形成阴影部分，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)证明过程见解析 (2) 【分析】本题考查正多边形的概念，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，扇形面积的计算，根据正六边形的概念确定相等的角和线段，以及角的大小是解题关键． （1）根据正六边形的概念，得到正六边形的每个内角相等，每条边相等，从而证明三角形全等，再利用两组对边分别相等的四边形是平行四边形证明即可； （2）根据正六边形的概念，确定的度数，进而确定的度数和的长，再通过作差法计算阴影部分的面积即可． 【详解】（1）证明：∵六边形是正六边形， ∴，， 又， ∴， ∴， ∵，， ∴，即， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：如图，连接，，， ∵是正六边形的中心， ∴，， ∴， ∴， ∴和都是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∴阴影部分的面积为． 3．（2025·山东东营·中考真题）如图，是的直径，、是上的两点，，于点，延长交的延长线于点，连接． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了圆的切线判定定理、扇形面积与三角形面积的计算，利用弧相等推导圆心角相等，结合直角三角形性质分析线段与角度关系是解题的关键． （1）连接，，由得圆心角，进而得，由得，由得，可得，即可得，又因是的半径即可证明； （2）由，结合得，由勾股定理可得，由即可得出． 【详解】（1）证明：如图，连接，， ∵是的直径，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 4．（2025·江苏徐州·中考真题）如图，为正三角形的外接圆，直线经过点C，． (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若圆的半径为2，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)直线与相切，理由见解析 (2) 【分析】（1）由正三角形的性质可得，由平行线的性质可得，求出，可证直线与相切； （2）由圆周角定理得，根据阴影部分的面积等于，即可求解． 【详解】（1）解：直线与相切，理由如下： 如图，连接， 是正三角形， ， 为正三角形的外接圆的圆心， ∴也是正三角形的内接圆的圆心， 平分， ， ， ， ， 是半径， 直线与相切； （2）解：如图，连接，作于点H， ， ， ． ，， ，， ， ， ． 图中阴影部分的面积为：． 【点睛】本题考查切线的判定，正三角形的性质，圆周角定理，垂径定理，圆中弓形面积的计算，熟练掌握切线的判定定理，并根据题意得到阴影部分的面积为是解题的关键． 知识1 垂径定理 1.定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 2.垂径定理的推论 推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧． 推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． 知识2 圆周角定理 1.圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． 注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可． 2.圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 3.在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握． 4.注意： ①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化． ②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化． ③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角． 知识3 圆内接四边形 性质： 1）圆内接四边形对角互补. 2）圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角. 知识4 圆的位置关系 1.点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有： ①点P在圆外⇔d＞r ②点P在圆上⇔d＝r ③点P在圆内⇔d＜r 2.点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系． 3.符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端． 4.直线和圆的三种位置关系： ①相离：一条直线和圆没有公共点． ②相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点． ③相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的割线． 5.判断直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d． ①直线l和⊙O相交⇔d＜r ②直线l和⊙O相切⇔d＝r ③直线l和⊙O相离⇔d＞r． 6.切线的性质 ①圆的切线垂直于经过切点的半径． ②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． ③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． 7.切线性质的运用 运用切线的性质进行计算或证明时，常常作的辅助线是连接圆心和切点，通过构造直角三角形或相似三角形解决问题． 8.切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 4.常见的辅助线的： ①判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”； ②有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”． 知识5 圆有关的计算 1.扇形弧长公式 （弧长的长度和圆心角大小和半径的取值有关，且n表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位．） 扇形面积公式 S扇形==R 3.圆锥侧面积公式 S圆锥侧=πrl （其中l是圆锥的母线长，r是圆锥的底面半径） 4.圆锥全面积公式 S圆锥全=πrl+πr2 （圆锥的表面积=扇形面积+底面圆面积） 圆的练习 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（2025·安徽·模拟预测）如图，点A在上做圆周运动，已知，则的最大值为（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆内接四边形，圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．分点A在优弧上和点A在劣弧上求解即可． 【详解】解：当点A在优弧上做圆周运动时，如图， ∵， ∴． 当点A在劣弧上做圆周运动时，如图， ∵， ∴， ∴． 综上，则的最大值为， 故选：C． 2．（2025·安徽合肥·三模）如图，为的直径，，劣弧的长，则弦的长为（　　） A．2 B．4 C．4 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了弧长公式，勾股定理； 先利用弧长公式求出，再根据勾股定理计算即可． 【详解】解：连接， 设的度数为， ∵， ∴半径， 则， ∴， ∴弦， 故选：C． 3．（2025·安徽滁州·二模）如图，正六边形与正方形的中心都是点O，且顶点A，B重合，则的度数为（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查正多边形和圆，掌握正六边形、正方形的性质以及正三角形，等腰直角三角形的性质是正确解答的关键．根据正六边形、正方形的性质以及正三角形，等腰直角三角形的性质进行计算即可． 【详解】解：点O是正六边形的中心， 是正三角形， ， 又点O是正方形的中心， 是等腰直角三角形， ， ， 故选：B． 4．（2025·安徽合肥·三模）飞速发展的高铁已成为现代化建设的重要标志，如图是高铁线路在转向处的圆弧，列车在转弯时起点为A，终点为B，过点A、B的两条切线相交于点C，转角为．若圆的半径，则长为（）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了圆的切线的性质、弧长公式等知识点，根据题意求得是解答本题的关键．由转角为可得，由切线的性质可得，根据四边形的内角和定理可得，然后根据弧长公式计算即可． 【详解】解：， ， ∵过点的两条切线相交于点， ， ， ， 故选：B． 5．（2025·安徽阜阳·模拟预测）如图，为的弦，，交于点C，点D为上一点，，则的长度是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，弧长公式，由圆周角定理得，由垂径定理得，再根据弧长公式求解即可． 【详解】解：如图： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 6．（24-25九年级上·天津西青·期末）如图，是的直径，点C是上一点，点D是的中点，连接，，，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了圆周角定理，熟记圆周角定理是解题的关键．连接，根据圆周角定理求出，根据圆内接四边形的性质求出，根据弧、弦的关系及等腰三角形的性质求出，再根据角的和差求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵是的直径， ∴， ∵，， ∴， ∵点D是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 7．（2025·安徽·模拟预测）如图，在中，，AC为⊙O的直径，若，，则阴影部分的面积为（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直径所对的圆周角是直角得到，再根据等腰三角形三线合一得出点是的中点，从而得出是的中位线，于是，根据同底等高得到和的面积相等，从而阴影部分的面积转化为扇形的面积，根据扇形面积公式计算出扇形的面积即可得出阴影部分的面积． 【详解】解：连接，， 为的直径， ， ， ， 即点是的中点， 点是的中点， 是的中位线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了扇形的面积，圆周角定理，中位线定理，平行线间的距离相等，等腰三角形的三线合一，不规则图形的面积求法，把不规则图形转化为规则图形计算面积是解题的关键． 8．（2025·安徽淮南·二模）如图，以含有角的三角尺的顶点B为圆心，长为半径画，交边于点D．若，则劣弧的长为（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查含有角的直角三角形的性质、弧长计算．明确圆心角和半径是解题的关键．由含有角的三角形可先求出半径，再由弧长公式得出劣弧的长． 【详解】解：含有角的三角尺的顶点B为圆心， ，， ，， 长为半径画，交边于点D， ， ， ， 劣弧的长为：． 故答案为：B． 9．（2025·安徽淮南·二模）已知O为边长为2的正六边形的中心，P为正六边形内一点，且．若，则的度数为（） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】本题考查了正多边形的性质，等边三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，圆的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 根据，得点P在以O为圆心，半径为1的圆上运动，连接，连接，交于点G，证明直线是线段的垂直平分线，，都是等边三角形，延长交小圆于点P，连接，易证，得到，此时，；延长交小圆于点P，同理可得． 【详解】解：根据，得点P在以O为圆心，半径为1的圆上运动， 连接，连接，交于点G， ∵O为边长为2的正六边形的中心， ∴， ∴直线是线段的垂直平分线，，都是等边三角形， ∴，，， ∴，， 延长交小圆于点P，连接，则， 在和中， ∴ ∴，即， 此时，； 延长交小圆于点P，连接，同理可得， 此时，； 故选：B． 10．（2025·安徽芜湖·二模）如图，M是等腰直角三角形的边的中点，P是平面内一点，连接，将线段以点A为中心逆时针旋转，得到线段，连接．若，点M，P之间的距离为1，则的最小值为（） A．4 B．5 C．3 D． 【答案】C 【分析】本题考查旋转的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、圆的有关定义及性质等知识．连接，，将线段绕着点A逆时针旋转得到线段，连接，，由旋转性质可推导，是等腰直角三角形，则，，根据圆的定义可得点Q在以H为圆心，1为半径的圆上运动，进而可知当M、Q、H共线时，最小，最小值为，根据等腰直角三角形的性质求得值即可求解． 【详解】解：连接，，将线段绕着点A逆时针旋转得到线段，连接，， 由旋转性质得，，，即， ∴，是等腰直角三角形， ∴，， 则点Q在以H为圆心，1为半径的圆上运动， ∵， ∴当M、Q、H共线时，最小，最小值为， ∵点M是等腰直角三角形边的中点，， ∴，， ∴， ∴的最小值为， 故选：C． 二、填空题 11．（2025·安徽·模拟预测）如图，是的直径，是的弦，与相切于点，连接，若，则的大小为__________． 【答案】 【分析】本题考查的是圆的切线的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，熟记基本图形的性质是解本题的关键． 证明，可得，结合，证明，再利用三角形的外角的性质可得答案． 【详解】解：∵与相切于点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为： 12．（2025·安徽合肥·二模）如图，四边形内接于，过、分别作的切线，交于点，若，则的度数为______． 【答案】 【分析】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理和圆内接四边形的性质．连接、，如图，先根据圆内接四边形的性质计算出，再根据圆周角定理得到，接着根据切线的性质得到，然后利用四边形内角和定理计算出的度数． 【详解】解：连接、，如图， 四边形内接于， ， ， ， 、为的切线， ，， ， ， ． 故答案为：． 13．（2025·安徽·模拟预测）如图，在扇形中，，C为中点，过C作交于点D．则阴影部分面积为______ 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，锐角三角函数，不规则图形的面积，正确作出辅助线是解题的关键． 连接，设交于点E，证明是等腰直角三角形，利用锐角三角函数可得，再由阴影部分面积，即可求解． 【详解】解：如图，连接，设交于点E， ∵，C为中点， ∴， ∵，， ∴，， ∴是等腰直角三角形，， ∴， 在中，， ∴， ∴阴影部分面积 ． 故答案为：． 14．（2025·陕西榆林·模拟预测）如图，正方形内接于，点P为弧上的动点（不与端点重合），连接，过点D作于点Q，连接，若的半径为，则长的最小值为 _________________ ． 【答案】1/ 【分析】本题考查了圆与正多边形，勾股定理，正方形的性质等知识点，解题的关键是正确确定点的轨迹． 如图，取的中点K，以为直径作，则点Q在正方形内部的圆弧上运动（不与端点重合）．由正方形外接圆的半径可得的长，进而根据勾股定理求出的长，根据即可解决问题． 【详解】如图，取的中点K，以为直径作，连接 ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴则点Q在正方形内部的圆弧上运动（不与端点重合）． ∵四边形是正方形， ∴ ∴ ∴， ∵ ∴当B,Q,K在一条直线上时，有最小值， 此时， 故答案为：． 三、解答题 15．（2024·安徽马鞍山·一模）如图，在中，为弦，为直径，于E，于F，与相交于G． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见详解 (2)的半径为 【分析】本题考查垂径定理，圆周角定理，等腰三角形性质和判定，掌握定理是解决问题的关键． （1）连接，先证明，可推出，根据等腰三角形的性质即可得出答案； （2）连接，设，得出，表示出，根据垂径定理得出，根据勾股定理得出列方程即可求出r的值． 【详解】（1）证明：如图，连接， 于E，于F， ， 又， ， ， ， ， ， ， ， 又， ； （2）解：如图，连接，设，则， ∴， ∴， 于E，， ∴， 在中，， 即， 解得或（舍）． 即的半径为． 16．（2025·安徽芜湖·三模）如图，在中，，是上一点，以为直径的切于点，交于点，连接，． (1)求证：； (2)连接交于点，连接，若，求的度数． 【答案】(1)证明见解答； (2)的度数是． 【分析】（1）连接，则，所以，由切线的性质得，则，所以，则，即可证明，由圆周角定理得，所以； （2）由，得，推导出，则，所以，则，求得，可证明是等边三角形，则，所以． 【详解】（1）证明：连接，则， ， 切于点， ， ， ∴， ， ， ∴， ； （2）解：， ， ，， ， ， ， ∴，而， ∴， ， ， 是等边三角形， ， ， 的度数是． 【点睛】此题重点考查等腰三角形的性质、切线的性质、平行线的判定与性质、圆周角定理、直角三角形的两个锐角互余、垂径定理、等边三角形的判定与性质等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 17．（2025·安徽合肥·一模）如图，是半圆的直径，点为圆心，点，均在半圆上，连接，．过点作半圆的切线交的延长线于点． (1)证明：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长为 【分析】（1）连接，则，所以，由是的直径，得，由切线的性质推导出，由，，得，所以； （2）设交于点，由，得，所以垂直平分，则，，由，且，，，得，则，所以，再证明，得，则，所以． 【详解】（1）证明：连接，则， ， 是的直径， ， 与相切于点，交的延长线于点， 于点， ， ，， ， ． （2）解：设交于点， ， ， 垂直平分， ，， ，且，，， ， ， ， ， ， ， ， ， 的长为． 【点睛】此题重点考查等腰三角形的性质、切线的性质、垂径定理、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 18．（2025·安徽滁州·二模）如图1，为的外接圆，的平分线交于点D，交于点E，连接 (1)若，，求的长． (2)如图2，当为直径时，若，，求的长． 【答案】(1)6 (2)6 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，相似三角形的判定和性质． （1）证明，根据相似三角形的性质列出比例式，把已知数据代入计算求出； （2）过点O作于点M，连接，根据垂径定理得到，根据勾股定理求出，根据三角形面积公式求出，根据勾股定理求出，进而求出 【详解】（1）解：平分， ， 又， ， ，即， 解得：负值已舍去， 的长为6； （2）解：如图2，过点O作于点M，连接， ， 是的直径，平分， ， ，， ， ， ， 解得：， ， ． 19．（2025·安徽·模拟预测）如图，为外接圆，为直径，平分交于，过点作交延长线于点． (1)求证：为圆切线； (2)若，求阴影部分面积（用含的代数式表示）． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查圆的切线、圆周角定理、垂径定理、三角函数： （1）连接，利用垂径定理证明，再根据即可得证； （2）设与交于F点，证明F是的中点，求出的度数和圆的半径即可求解． 【详解】（1）证明：连接， ∵平分， ∴， ∴， ∵是圆的半径，是圆的弦， ∴根据垂径定理可知， 又 ∴， ∴为圆切线； （2）解：设与交于F点： ∵，， ∴，即F是中点， ∴是的中位线， ∴， 设， 则， 在中，， ∴， ∴， ∴， 又， ∴阴影部分面积为． 20．（2024·安徽芜湖·二模）如图，在中，，以为直径作，交于点，是的切线且交于点，延长交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】此题主要考查了切线的性质，圆周角定理，解直角三角形，理解切线的性质，圆周角定理，熟练掌握解直角三角形是解决问题的关键． （1）连接，证，得，再根据切线的性质得，据此即可得出结论； （2）连接，可得，则，在中根据，可得，然后由勾股定理即可求出的长． 【详解】（1）证明：连接，如图1所示： ， ， ， ， ， ， 是的切线， ， , ； （2）解：连接，如图2所示： ， ， 又， ， ， 由（1）可知：； 在中，， ， ， 由勾股定理得：． 21．（2025·安徽·模拟预测）如图，是的直径，，是上的点，且，分别与，相交于点，． (1)求证：平分； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查的是平行线的性质，勾股定理的应用，平行线分线段成比例，三角形的中位线的性质，圆的基本性质，直径所对的圆周角是直角，证明是解本题的关键． （1）根据平行线的性质及等腰三角形的性质可证； （2）先根据勾股定理得到，再利用中位线的性质得到，最后利用即可得解； 【详解】（1）证明：， ． ， ， ， 平分． （2）解：是的直径， ． 在中，由勾股定理得 ． ，， ， 即， ． ， 为的中位线， ． ， ， ． 22．（2025·安徽滁州·一模）如图，是半的直径，，点，分别在半径和弦上，且，连接，． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的性质、全等三角形的性质与判定、垂径定理、相似三角形的性质与判定，关键是全等三角形及相似三角形的判定． （1）只需找到≌即可得出结论． （2）通过论证∽，可得，即可求出的长． 【详解】（1）证明：连接，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴≌， ∴； （2）解：过点作于点， 如图，则， ∵， ∴， ∵， ∴∽， ∵， 即，解得， ∴， ∴， ∵， ∴． 23．（2025·安徽合肥·二模）如图，是的弦，点为上一点，的延长线垂直于，垂足为，点为弧上一点，且，延长交的延长线于点，连接． (1)求证：； (2)点为上一点，平分，且，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理，圆内接四边形，三角形的内角和定理，三角形的外角性质，垂直平分线的判定与性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）设与交于点，由垂径定理得，，则有，，然后通过三角形的内角和定理即可求证； （）由角平分定义可设，则，通过圆内接四边形和平角定义可得，则有，，，最后由角度和差求出的值即可． 【详解】（1）证明：设与交于点， ∵， ∴，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ； （2）解：∵平分， ∴， 设，则， ∵四边形是圆内接四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴，解得， ∴． 1 / 54 学科网（北京）股份有限公司 $