第09讲 变量与函数和正比例函数（知识详解+13典例分析+习题巩固）2025-2026学年（沪教版五四制）八年级数学下册同步讲义与测试

第09讲 变量与函数和正比例函数（知识详解+13典例分析+习题巩固） 【知识点01】常量和变量 定义：一般地，在一个变化过程中，我们称数值始终不变的量为常量，数值发生变化的量为变量. 说明： (1)“常量”是已知数，是指在整个变化过程中保持不变的 量；但“常量”不等于“常数”，它可以是数值不变的字母. 如在匀速运动中的速度v 就是一个常量. (3)变量与字母的指数没有关系，如在y＝2x²中，x是变量，而不能说x²是变量. 【知识点02】函数的概念 函数的定义：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数. 说明： (1)函数研究的对象不是数，而是一个变化过程中的两个变量； (2)函数中两个变量之间的关系是单向对应关系，即对于x 的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，但是对于一个确定的y值，与其对应的x的值可以不唯一； (3)函数中两个变量具有相对性，如y＝x＋3表示y是x的函数，而将其变形成x＝2y－6 后，则表示x 是y 的函数. 【知识点03】函数自变量的取值范围与函数值 1. 自变量的取值范围 (1)定义：使函数有意义的自变量的取值的全体叫做自变量的取值范围. (2)确定自变量取值范围的方法：其一，要使函数关系式有意义；其二，对实际问题中的函数关系，还应该使实际问题有意义. (3)不同类型的函数自变量取值范围的确定 类型 特征 举例 取值范围 整式型 等号右边是关于自变量的整式 y＝2x²＋3x－1 全体实数 分式型 等号右边是关于自变量的分式 y＝ 使分母不为0的实数 根式型 二次根式 等号右边是关于自变量的二次根式 y＝ 使根号下的式子为大于或等于0 的数 三次根式 等号右边是关于自变量的三次根式 y＝ 全体实数 幂型 等号右边是关于自变量的0 指数幂(或负整数指数幂) y＝(x－2)0 或y＝2(x－3) 使底数不为0的实数 复合型 含有上述两种或多种形式 y＝ 使各部分都有意义的实数的公共部分 2. 函数值 (1)定义：如果对于自变量x在取值范围内的某个确定的数值a，函数y所对应的值为b，即当x＝a时，y＝b, 那么b 叫作当自变量的值为a时的函数值. (2)求函数值及自变量值的方法 ①当已知关系是函数关系时，求函数值，实质就是利用代入法求代数式的值. ②当自变量的值确定时，函数值是唯一确定的；当函数值确定时，求相应的自变量的值，就是解方程，对应的自变量的值可以不止一个，如y＝x²－1中，当y＝0时，x＝±1. 【知识点04】函数解析式 1. 定义：用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系是表示函数的常用方法，这种式子叫作函数的解析式. 2. 特点：(1)函数解析式是等式. (2)函数解析式中指明了哪个是自变量，哪个是函数，通常等式右边的代数式中的变量是自变量，等式左边的变量表示函数. (3)书写函数的解析式是有顺序的. 如y＝2x－1表示y是x的函数，若x＝2y－1，则表示x是y的函数. 即求y关于x的函数解析式时，必须用含x的代数式表示y，也就是等式左边是一个变量y，右边是一个含x的代数式. 【知识点05】函数的图象 1. 函数的图象 一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象．通过图象可以数形结合地研究函数 拓展：函数图象上的任意一点的坐标(x，y)中的x，y均满足函数解析式；满足函数解析式的任意一对x，y的值，所对应的点一定在这个函数的图象上. 2. 描点法画函数图象的一般步骤 步骤 描述 注意 列表 表中给出一些自变量的值及其对应的函数值 根据自变量的取值范围取值时，要从小到大或自中间向两边选取，并且取值要有代表性，以便全面地反映函数图象的全貌 描点 在平面直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点 描点时取点越多，图象就越准确 连线 按照横坐标由小到大的顺序，把所描出的各点用平滑曲线连接起来 连线时用光滑的曲线，不要出现明显的拐弯点 【知识点06】从函数图象中获取信息 审图题注意四“清”：一清楚横、纵坐标的含义；二清楚图象与不同对象的关系；三清楚不同图象的起点和终点的含义；四清楚不同图象的“折点”含义. 【知识点07】函数的表示方法 函数是从数量关系的角度反映变化规律的数学模型，函数的三种主要表示方法及其特点如下表： 表示方法 定义 优点 缺点 解析法 用数学式子表示函数关系的方法叫作解析法，其中的等式叫作函数解析式 能准确地反映整个变化过程中自变量与函数的对应关系 从函数解析式很难直观看出函数的变化规律，而且有些函数不能用解析式法表示出来 列表法 通过列出自变量的值与函数的对应值的表格来表示函数关系的方法叫作列表法 一目了然，对表格中已有自变量的每一个值，可直接查出函数的对应值 列出的对应值是有限的，而且在表格中也不容易看出自变量与函数的变化规律 图象法 用图象来表示两个变量间的函数关系的方法叫作图象法 直观、形象地反映出函数关系变化的趋势和某些性质 从自变量的值常常难以找到对应的函数的准确值 【题型一】函数的概念 例1．（22-23八年级·上海奉贤·期中）下列两个变量间不存在函数关系的是（    ） A．长方形的面积一定，它的长和宽的关系 B．与x的关系 C．匀速运动的火车，时间与路程的关系 D．某人的身高和体重的关系 【答案】D 【知识点】函数的概念 【分析】本题考查函数的定义，理解函数定义是解答的关键． 根据函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量，对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、长方形的面积一定，它的长和宽成反比例，是函数关系，故本选项不符合题意； B、随x的变化而变化，是函数关系，故本选项不符合题意； C、匀速运动的火车，时间与路程成正比例，是函数关系，故本选项不符合题意； D、某人的身高和体重不是函数关系，故本选项符合题意； 故选：D． 变式1．（22-23八年级下·上海嘉定·开学考试）已知变量和变量，那么______的函数？（填“是”或“不是”） 【答案】是 【知识点】函数的概念 【分析】根据函数的概念进行判断即可解答． 【详解】解：∵对于变量x的每一个确定的值，变量有且只有一个值与之对应， ∴根据函数的概念可知，是x的函数． 故答案为：是． 【点睛】本题主要考查了函数，解决问题的关键是掌握函数的概念．设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量． 变式2．（22-23八年级·上海·假期作业）下列各式中，是否是的函数？为什么？ (1)； (2)． 【答案】(1)是，理由见解析 (2)不是，理由见解析 【知识点】函数的概念 【分析】本题主要考查了函数的定义，对于两个变量，对于其中一个变量的任意取值（取值范围内），另一个变量都有唯一的值与之对应，那么就是的函数，熟知函数的定义是解题的关键． （1）根据函数的概念进行求解即可； （2）根据函数的概念进行求解即可． 【详解】（1）解：∵在中，对于任意的的值，都有唯一的值与之对应， ∴是的函数； （2）解：∵在中，对于任意一个正数的值，都有两个值与之对应， ∴不是的函数． 【题型二】用表格表示变量间的关系 例2．某科技小组在网上获取了声音在空气中传播的速度与空气温度之间关系的一些数据（如下表所示）： 温度x（℃） 0 10 20 30 声速y（m/s） 318 324 330 336 342 348 则下列说法中正确的是（　　） ①在这变化过程中，自变量是空气的温度，因变量是声音在空气中传播的速度； ②空气的温度越高，声音传播的速度越快； ③声音在空气中传播的速度与的关系式可以是； ④空气的温度每升高，声音的传播速度增加． A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【知识点】用表格表示变量间的关系 【分析】根据表格中所描述的声音在空气中传播的速度与空气中的温度之间的关系进行判断． 【详解】解：由题意可得： 在这变化过程中，自变量是温度，因变量是声音的速度，故①说法正确； 空气的温度越高声音传播的速度越快，故②说法正确； 温度每升高，声音速度增加，即温度每升高，声音速度增加，又因为温度为时，声音的速度是， 所以声音速度与关系式可以是，故③和④说法正确； ∴题目中4个说法都正确， 故选：D． 【点睛】本题考查了用表格表示变量之间的关系，正确从表格获取信息是解答本题的关键． 变式1．小韦同学周末的红色之旅，坐爸爸的车去百色起义纪念馆，从家里行驶7千米后，进入高速公路，在高速公路上保持匀速行驶，小韦记录高速公路上行驶的时间（和路程）数据如下表，按照这个速度行驶了2小时进入高速路出口匝道，再行驶5千米抵达纪念馆，则小韦家到纪念馆的路程是______千米． t小时 0.2 0.6 0.8 s千米 20 60 80 【答案】212 【知识点】用表格表示变量间的关系 【分析】根据路程÷时间=速度，求出在高速公路上行驶的速度，再根据路程=速度×时间求出子高速公路行驶的路程，再和其它两段路程相加即可求解． 【详解】解：在高速公路上行驶的速度为平均每小时：20÷0.2=100（千米） 在高速公路上行驶的路程为：100×2=200（千米） 所以小韦家到纪念馆的路程是：7+200+5=212（千米）． 故答案为：212 【点睛】本题主要考查了根据题意求行程的问题，解题的关键是读懂题意，弄清速度，时间，路程三者之间的关系． 变式2．（2025八年级·上海·专题练习）某校一课外小组准备进行“绿色环保”的宣传活动，需要制作宣传单，校园附近有一家印刷社，印刷收费y（元）与印刷数量x（张）之间的关系如下表： 印刷数量x（张） … 100 200 300 400 … 印刷收费y（元） … 15 30 45 60 … (1)上表中的变量是什么？ (2)从上表可知：印刷收费y（元）随印刷数量x（张）的增加而________； (3)若要印刷1000张宣传单，收费多少元？ 【答案】(1)变量是印刷收费与印刷数量 (2)增加 (3)150（元） 【知识点】用表格表示变量间的关系 【分析】本题考查常量与变量，函数的表示方法，理解常量与变量的意义，得出印刷收费的单价是解决问题的关键． （1）由表格中数据变化可得答案； （2）由表格中，印刷收费与印刷数量的变化关系得出答案； （3）求出印刷的单价，即每张的印刷收费，再求出1000张印刷收费即可． 【详解】（1）解：根据表格中的数据变化可得：上表反映了印刷收费和印刷数量之间的关系，其中印刷数量自变量，因变量是印刷收费， 故答案为：印刷收费；印刷数量； （2）解：从上表可知：收费（元）随印刷数量（张）的增加而增加， 故答案为：增加； （3）解：由表格中数据的变化情况可知，每张的印刷收费为（元）， 所以印刷1000张宣传单，收费（元）． 【题型三】用关系式表示变量间的关系 例3．李庄与张庄两地之间的距离是100千米，若汽车以平均每小时80千米的速度从李庄开往张庄，则汽车距张庄的路程y（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数关系式是（    ） A．y＝80x﹣100 B．y＝﹣80x﹣100 C．y＝80x＋100 D．y＝﹣80x＋100 【答案】D 【知识点】用关系式表示变量间的关系 【分析】根据“汽车距张庄的路程y（千米）＝原来两地的距离﹣汽车行驶的距离”建立函数关系式即可． 【详解】解：∵汽车的速度是平均每小时80千米， ∴它行驶x小时走过的路程是80x， ∴汽车距张庄的路程y（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数关系式是y＝100﹣80x＝﹣80x+100， 故选：D． 【点睛】此题主要考查了根据实际问题确定一次函数的解析式，找到汽车距张庄的路程y（千米）＝原来两地的距离﹣汽车行驶的距离是解决问题的关键． 变式1．（22-23八年级·上海青浦·期中）已知，变量x、y满足，用x的代数式表示y得 _____． 【答案】/// 【知识点】用关系式表示变量间的关系 【分析】根据等式的性质进行化简即可求出答案． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查变量之间的关系．解题的关键是熟练运用等式的性质，本题属于基础题型． 变式2．（2022八年级·上海·专题练习）已知中，，矩形的长和宽分别为9cm和2cm，点P和点A重合，和在同一条直线上（如图所示），不动，矩形沿射线以每秒1cm的速度向右移动，设移动后，矩形与重叠部分的面积为，求y与x之间的函数关系式． 【答案】 【知识点】用关系式表示变量间的关系 【分析】分图1，图2，图3三种情况，利用三角形面积公式和梯形面积公式进行讨论求解即可． 【详解】运动过程中，重叠部分图形的形状在发生改变，重叠部分面积也随之而变化，由此可知题目需进行以下分类讨论： 当时，如图1所示，重叠部分为等腰直角三角形，腰长为，得：； 当时，如图2所示，重叠部分为直角梯形，梯形高即为矩形宽为，梯形下底长为，上底长为，得：； 当时，如图3所示，重叠部分为直角梯形，梯形高即为矩形宽为，梯形下底长即为等腰直角三角形腰长保持不变，则上底长为，得保持不变． 综上所述， 【点睛】本题主要考查了求函数关系式，掌握矩形的性质，等腰直角三角形的性质，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 【题型四】用图象表示变量间的关系 例4．（23-24八年级下·上海·期末）如图所示的图像中所反映的过程是：张强从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后，又去早餐店吃早餐，然后散步走回家．其中表示时间，表示张强离家的距离．根据图像提供的信息，以下四个说法中错误的是（   ） A．体育场离张强家2.5千米 B．张强在体育场锻炼了15分钟 C．体育场离早餐店1千米 D．张强从早餐店回家的平均速度是3千米/小时 【答案】D 【知识点】用图象表示变量间的关系 【分析】本题考查函数图象的实际应用，结合图象得出从家直接去体育场，故第一段函数图象所对应的y轴最高点即为体育场离张强家的距离，进而得出锻炼时间以及整个过程所用的时间，由第三段函数图象可得体育场离开早餐店的距离，根据第五段函数图象求得张强从早餐店回家的距离及时间，再利用平均速度等于总路程除以总时间即可求张强从早餐店回家的平均速度． 【详解】解：由函数图象可得，体育场离张强家2.5千米，故A不符合题意； 由图象可得，张强在体育场锻炼了（分钟），故B不符合题意； 由图象可得，体育场离早餐店的距离为：（千米），故C不符合题意； 由图可得，张强从早餐店回家的距离是1.5千米，所需用的时间为（分）， 所以张强从早餐店回家的平均速度是（千米/小时），故D符合题意； 故选：D． 变式1．某车间的甲、乙两名工人分别同时生产同一种零件，每天完成规定工作量后即停止生产．开工两小时后，甲停下升级设备，乙每小时生产零件个数增加4个，他们一天生产零件的个数y与生产时间t（时）的关系如图所示，根据图象，下列结论正确的是______（填序号）．①乙升级设备用了2小时；②一天中甲乙生产量最多相差6个；③图中的，；③甲比乙提前1小时完成工作． 【答案】②④/④② 【知识点】用图象表示变量间的关系 【分析】本题主要考查了用图象表示两个变量的关系，根据图象即可判断①；求出升级设备前后甲的生产速度，以及2小时前后乙的生产速度，进而确定a、b、c的值，再分别求出对应时间段甲乙生产量最多相差的个数即可判断②③；求出乙需要的总时间即可判断④，进而可得结论． 【详解】解：甲升级设备用了小时，乙没有升级设备，故①说法错误； 由图象可知，当时，甲每小时生产个，乙每小时生产个， ∴当，且时，甲乙生产量最多相差个； 当时，乙每小时生产个，则当时，甲乙生产量最多相差个； 甲升级完成后每天生产个， 当时，由于甲比乙每小时生产得多，故当，甲乙生产量最多相差个，不符合题意； 当时，由于甲比乙每小时生产得多，故当时，甲乙生产量最多个； 综上所述，一天中甲乙生产量最多相差6个，故②正确； ∵， ∴，故③错误； ，， ∴甲比乙提前1小时完成工作，故④说法正确； ∴说法正确的有②④， 故答案为：②④． 变式2．甲乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发向乙地，轿车比货车晚出发1.5小时，如图，线段OA表示货车离甲地的距离y（千米）与时间x（小时）之间的关系；折线BCD表示轿车离甲地的距离y（千米）与时间x（时）之间的关系，请根据图象解答下列问题： (1)请直接写出点B所对应的数； (2)轿车到达乙地时，求货车与甲地的距离； (3)轿车出发多长时间追上货车？ 【答案】(1)1.5 (2)轿车到达乙地时，货车与甲地的距离是270千米 (3)轿车出发2.4小时追上货车 【知识点】用图象表示变量间的关系 【分析】（1）点B所对应的数为轿车出发的时间，根据题意求出轿车出发的时间即可； （2）根据图象先算出货车的速度，用轿车到达乙地所用的时间乘以货车的速度可算出货车与甲地的距离； （3）由图象可知两车相遇在第2.5小时之后，算出轿车在CD段的速度，根据等量关系，轿车行驶路程＝货车行驶路程，列出方程解决问题即可． 【详解】（1）解：∵轿车比货车晚出发1.5小时，货车是第0小时除法， ∴轿车第1.5小时出发， ∴点B所对应的数是1.5； （2）解：根据图象可知，货车速度是（千米/小时）， （千米）， ∴轿车到达乙地时，货车与甲地的距离是270千米； （3）解：∵轿车在CD段的速度是：（千米/小时）， 设轿车出发x小时追上货车， ∴， 解得， ∴轿车出发2.4小时追上货车． 【点睛】本题考查用图象表示变量间的关系，能够在图象中提取有用信息并解决问题是解决本题的关键． 【题型五】求自变量的值或函数值 例5．（23-24八年级下·上海宝山·期末）已知，那么的值是（    ） A．1 B．3 C． D． 【答案】C 【知识点】求自变量的值或函数值 【分析】本题主要考查的是求函数值，将代入解析式是解题的关键． 将代入，然后依据有理数的运算法则进行计算即可． 【详解】解：． 故选：C． 变式1．（24-25八年级下·上海嘉定·期末）已知，那么___________． 【答案】 【知识点】求自变量的值或函数值 【分析】本题考查了求函数值，熟练掌握函数值的求解方法是解题关键．将代入函数的解析式求解即可得． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 变式2．已知a是常数，函数，记． (1)当，时，求y的值； (2)若时，，试证明：． 【答案】(1) (2)见解析 【知识点】分式化简求值、求自变量的值或函数值 【分析】本题考查了求函数值，分式的混合运算，掌握知识点的应用是解题的关键． （1）将，代入，即可求解y的值； （2）先将时，代入，并整理得，，则或，然后再分类讨论求证即可． 【详解】（1）解：当，时， ； （2）解：把时，代入， 整理得， ∴或， 当，即时， 当时，， ， 综上：可得． 【题型六】函数解析式 例6．（24-25八年级·上海·期中）下列选项中，两个函数表示同一个函数的是（） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】函数解析式 【分析】本题考查同一个函数的概念，熟练掌握同一个函数的概念是解题的关键．判断两个函数是否为同一个函数的方法：①判断两个函数的的取值范围是否相同；②判断两个函数的对应法则是否相同，由此可求解． 【详解】解：A．中取值为，中取值为全体实数， 本选项两个函数不是同一个函数； B．与中取值为，对应法则也相同， 本选项两个函数是同一个函数； C．中取值为全体实数，中取值为， 本选项两个函数不是同一个函数； D．中取值为，中取值为全体实数， 本选项两个函数不是同一个函数， 故选：B． 变式1．（24-25八年级·上海·期中）上海与杭州两地之间的距离是，若汽车以每小时的速度匀速从杭州开往上海，则汽车距杭州的路程与行驶的时间之间的函数关系式为__________． 【答案】 【知识点】函数解析式 【分析】本题主要考查了根据实际问题列一次函数关系，正确掌握路程、时间、速度之间的关系是解题关键．根据题意得到时间的取值范围，再结合路程、时间、速度之间的关系列出函数关系式即可． 【详解】解：（小时）， ． 故答案为：． 变式2．（24-25八年级上·上海嘉定·期中）一根弹簧的长度为10厘米，当弹簧受到千克的拉力时（不超过10），弹簧的长度是（厘米），测得有关数据如下表所示： 拉力（千克） 1 2 3 4 … 弹簧的长度（（厘米）） … (1)写出弹簧长度（厘米）关于拉力（千克）的函数解析式及函数的定义域 (2)如果拉力是10千克，那么弹簧长度是多少厘米？ (3)当拉力是多少时，弹簧长度是13厘米？ 【答案】(1)（） (2)厘米 (3)千克 【知识点】函数解析式、求自变量的值或函数值 【分析】本题考查了求函数解析式等，理解实际意义，能根据表格得到函数解析式是解题的关键． （1）由表格的数据，即可求解； （2）当时，代入解析式，即可求解； （3）当时，代入解析式，即可求解； 【详解】（1）解：由题意得 （）； （2）解：当时， （厘米）， 答：如果拉力是10千克，那么弹簧长度是厘米； （3）解：当时， ， 解得：， 答：当拉力是千克时，弹簧长度是13厘米． 【题型七】函数图象识别 例7．（2026·上海徐汇·一模）已知点在同一个函数的图像上，这个函数图像可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】函数图象识别 【分析】此题考查了函数图象，根据点得到点A和点B关于y轴对称，排除A，C选项；根据点得到当时的函数值小于当时的函数值，进而求解即可． 【详解】解：∵点在同一个函数的图像上，且点A和点B关于y轴对称， ∴排除A，C选项； ∵点在同一个函数的图像上， ∴当时，，当时，，且 ∴当时的函数值小于当时的函数值，排除D选项，只有B选项符合题意． 故选：B． 变式1．如图，各情况分别可以和哪幅画来近似刻画？ （1）一个球被向上抛起，直到落到地面的过程（球的高度与时间的关系）___________； （2）常温下，往一杯凉水中倒开水（水温与时间的关系）___________； （3）将澡盆中的水放掉（水的高度与时间的关系）___________ 【答案】 C A B 【知识点】函数图象识别 【分析】（1）抛球运动，球的高度，先上升后下降，由此即可得到答案； （2）凉水中倒入开水，水的温度会逐渐上升，由此即可得到答案； （3）给澡盆放水，澡盆中的水的高度逐渐降低，由此即可得到答案． 【详解】解：（1）一个球被竖直向上抛起，球上升到最高点，垂直下落，直到地面，在此过程中球的高度与时间的关系，图象是C； 故答案为：C； （2）常温下，往一杯凉水中倒开水，水的温度会逐步上升，图象是A； 故答案为：A （3）在澡盆放水的过程中，水的高度会逐渐下降，图象是B； 故答案为：B． 【点睛】本题主要考查了函数图象的识别，正确理解题意是解题的关键． 21．“漏壶”是一种古代计时器．在它内部盛一定量的水，水从壶下的小孔漏出．壶内壁有刻度，人们根据壶中水面的位置计算时间．用x表示漏水时间，y表示壶底到水面的高度．下页哪个图象适合表示y与x的对应关系？（不考虑水量变化对压力的影响．） 【答案】图（2） 【知识点】函数图象识别 【分析】根据题意，可知y随x的增大而减小，符合一次函数图象，从而可以解答本题． 【详解】解：∵不考虑水量变化对压力的影响，水从壶底小孔均匀漏出，x表示漏水时间，y表示壶底到水面的高度， ∴y随x的增大而匀速的减小，符合一次函数图象， ∴图象（2）适合表示y与x的对应关系． 【点睛】本题考查函数图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 【题型八】从函数的图象获取信息 例8．（24-25八年级下·上海金山·月考）如图是车辆行驶过程中油箱内剩余油量（升）与行驶时间（时）的函数图象．从图象中得到的正确的信息是（    ） A．汽车行驶前剩余油量为升，行驶时每小时耗油升 B．汽车行驶前剩余油量为升，行驶时每小时耗油升 C．汽车行驶了小时后，停留了小时，然后再行驶小时，直至油用完 D．汽车行驶前剩余油量为升，至油全部用完共行驶了小时 【答案】C 【知识点】从函数的图象获取信息 【分析】本题考查了从函数图象获取信息，通过函数图象分析即可求解，明确题意，获取信息是解题的关键． 【详解】解：、汽车行驶前剩余油量为升，行驶时每小时耗油（升），原选项不符合题意； 、汽车行驶前剩余油量为升，行驶时每小时耗油（升），原选项不符合题意； 、汽车行驶了小时后，停留了小时，然后再行驶小时，直至油用完，原选项符合题意； 、汽车行驶前剩余油量为升，至油全部用完共行驶了（小时），原选项不符合题意； 故选：． 变式1．水槽在开始分钟内只进水不出水，随后分钟进水又出水，在分钟只出水不进水，得到时间（分）与水量（升）之间的关系如图所示，如果单位时间进、出的水量不变，则点的坐标为_________    【答案】 【知识点】从函数的图象获取信息 【分析】本题考查函数的知识，解题的关键是根据函数图象求出每分钟的出水量，进水量，再根据题意，求出升水的出水量的时间，最后加上，即可． 【详解】解：由函数图象可得：开始分钟内只进水不出水， ∴每分钟的进水量为：（升）， ∵在分钟后既进水又出水， ∴每分钟的进水量为：（升）， ∴进水量每分钟升，出水量每分钟升， ∵在分钟只出水不进水， ∴升水全部放完的出水量的时间为：（分钟）， ∴点的横坐标为：， ∴点的坐标为． 故答案为：． 变式2．（24-25八年级下·上海宝山·期中）某市接到上级通知，立即派出甲、乙两个抗震救灾小组乘车沿同一路线赶赴距出发点480千米的灾区．乙组由于要携带一些救灾物资，比甲组迟出发小时（从甲组出发时开始计时）．图中的折线、线段分别表示甲、乙两组的所走路程（千米）、（千米）与时间x（小时）之间的函数关系对应的图象．请根据图象所提供的信息，解决下列问题： (1)由于汽车发生故障，甲组在途中停留的时间为 小时； (2)甲组的汽车排除故障后，立即提速赶往灾区．问甲组的汽车在排除故障时，距出发地的路程是多少千米？ (3)为了保证及时联络，甲、乙两组在第二次相遇（即点C处）时约定此后两车之间的路程不超过25千米，请通过计算说明，按图象所表示的走法是否符合约定． 【答案】(1) (2)甲组的汽车在排除故障时，距出发地的路程是270千米 (3)按图象所表示的走法符合约定 【知识点】从函数的图象获取信息 【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息，正确读懂函数图象是解题的关键． （1）根据函数图象所给的信息即可得到答案； （2）可求出乙的速度，进而求出点C的坐标，则可求出甲车在段的速度，进而可求出甲组的汽车在排除故障时，距出发地的路程； （3）由于甲车在段的速度大于乙的速度，那么甲、乙两组在第二次相遇后当时两车之间的距离最大，据此求出此时两车之间的距离即可得到结论． 【详解】（1）解；由函数图象可得，甲组在途中停留的时间为（小时）． （2）解：乙组的速度为（千米/小时）， 当时，乙组所走的路程为（千米）， ∴， ∴甲车在段的速度为（千米/小时）， （千米）． 答：甲组的汽车在排除故障时，距出发地的路程是270千米． （3）解：∵甲车在段的速度大于乙的速度， ∴甲、乙两组在第二次相遇后当时两车之间的距离最大， ∴此时甲所走的路程为480千米，乙所走的路程为（千米）， ∴两车之间的最大距离为（千米）， ∵， ∴按图象所表示的走法符合约定． 【题型九】函数的三种表示方法 例9．小明从地到地（两地相距40千米）的骑车速度为10千米/小时，则小明离地的距离（千米）与骑车时间（小时）之间的函数解析式（不写自变量的取值范围）为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】函数的三种表示方法 【分析】根据题意，结合路程=速度时间列方程即可得到答案． 【详解】解：由题意可得， 故选：C． 【点睛】本题考查利用函数的表示解实际问题，读懂题意，准确利用表达式表示函数关系是解决问题的关键． 变式1．某汽车生产厂家对其生产的一款汽车进行耗油量试验，在试验过程中，汽车一直匀速行驶，该汽车油箱中的余油量（升）与汽车的行驶时间（小时）之间的关系如表： （小时） 0 1 2 3 （升） 120 112 104 96 则用关系式法表示因变量（升）与自变量（小时）之间的关系为______． 【答案】 【知识点】函数的三种表示方法 【分析】根据表格数据即可表示因变量y（升）与自变量t（小时）之间的关系． 【详解】解：根据表格数据可知： 因变量y（升）与自变量t（小时）之间的关系为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了函数的表示方法、常量与变量，解决本题的关键是函数的表示方法． 变式2．根据心理学家研究发现，学生对一个新概念的接受能力y与提出概念所用的时间x（分钟）乙间的大水如下数线． 提出概念所用时间 2 5 7 10 12 13 14 17 20 对概念的接受能力 47.8 53.5 56.3 59 59.8 59.9 59.8 58.3 55 (1)根据表格中的数据，提出概念所用时间是多少分钟时，学生的接受能力最强？ (2)学生对一个新概念的接受能力从什么时间开始逐渐减弱？ 【答案】(1)13分钟 (2)第13分钟 【知识点】函数的三种表示方法 【分析】（1）利用图表中数据得出答案； （2）先根据图表可知：当x=13时，y的值最大是59.9，在13的左边，y值逐渐增大，反之y值逐渐减小，从而得出答案． 【详解】（1）由表中数据可知：当x=13时，y的值最大是59.9，所以提出概念13分钟时，学生的接受能力最强． （2）由表中数据可知：当13＜x＜20时，y值逐渐减小，学生的接受能力逐步减弱．所以学生对一个新概念的接受能力从第13分钟以后开始逐渐减弱． 【点睛】此题主要考查了函数的表示方法以及常量与变量，正确利用表格中数据得出是解题关键． 【题型十】正比例函数的定义 例10．（24-25八年级·上海·期中）下列说法中正确的有（   ） ①是正比例函数； ②如果是正比例函数，那么； ③如果与成正比例，那么是的正比例函数； ④如果，那么与成正比例． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】D 【知识点】正比例函数的定义 【分析】本题考查正比例函数的定义，一般地，形如（k是常数，）的函数叫做正比例函数，由此即可判断． 【详解】解：①当时，是正比例函数，原说法错误； ②如果是正比例函数，那么，原说法错误； ③如果与成正比例，那么不是的正比例函数，原说法错误； ④如果，那么与成正比例，说法正确． ∴正确的只有1个， 故选：D． 变式1．（24-25八年级·上海·期中）若与成正比例，且比例系数是，则与的函数关系式为_______． 【答案】 【知识点】正比例函数的定义 【分析】本题主要考查了正比例函数的定义，掌握正比例函数的定义是解题的关键．根据正比例函数的定义：形如（为常数，且）叫正比例函数，列出表达式，化简即可得出答案． 【详解】解：与成正比例，且比例系数是， ， 整理可得：， 与的函数关系式为， 故答案为：． 变式2．（23-24八年级·上海·单元测试）已知是正比例函数，求的值． 【答案】 【知识点】正比例函数的定义 【分析】本题考查正比例函数的定义，一般地，形（k是常数，）的函数叫做正比例函数，由此即可判断． 【详解】∵是正比例函数， ∴且， 解得． 【题型十一】求自变量的取值范围 例11．（2024·上海·中考真题）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求自变量的取值范围、分式有意义的条件 【分析】本题考查求函数定义域，涉及分式有意义的条件：分式分母不为0，解不等式即可得到答案，熟练掌握求函数定义域的方法是解决问题的关键． 【详解】解：函数的定义域是，解得， 故选：D． 变式1．（24-25八年级下·上海·月考）设等腰三角形周长为a，则它的底边长y与腰长x之间的函数解析式为______，定义域是_______． 【答案】 【知识点】等腰三角形的定义、求不等式组的解集、函数解析式、求自变量的取值范围 【分析】本题考查了等腰三角形的定义以及函数关系式，一元一次不等式组的解法，正确求得函数关系式是关键．根据周长等于三边之和可得出y和x的关系式． 【详解】解：由题意得： 可得：， ∵， 解得：， 故答案为：，． 变式2．（22-23八年级·上海·假期作业）已知汽车驶出站3千米后，以40千米∕小时的速度行驶了40分钟，请将这段时间内汽车与站的距离表示成（小时）的函数． 【答案】 【知识点】求自变量的取值范围、函数解析式、函数的概念 【分析】根据路程=速度×时间可得开始计时后与站的距离关系，然后再加上开始计时时与站已有的距离即可； 【详解】解：可知汽车开始计时后所行驶的路程， ∴汽车与站的距离， ∵汽车行驶时间不超过40分钟，即小时， ∴， ∴函数关系为：； 【点睛】本题考查了路程和时间构成的一次函数关系，注意自变量的取值范围是解题关键． 【题型十二】正比例函数的图象 例12．（24-25八年级·上海崇明·期末）若正比例函数的图象经过第二、四象限，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】正比例函数的图象 【分析】本题主要考查了正比例函数的图象与所经过的象限的问题．根据正比例函数的图象经过第二、四象限列出关于m的不等式，求出m的取值范围即可． 【详解】解：∵正比例函数的图象经过第二，四象限， ∴， ∴． 故选：C． 变式1．（24-25八年级下·上海闵行·期中）定义：对于给定的两个函数，当时，它们对应函数值相等；当时，它们对应的函数值互为相反数，我们称这样的两个函数互为相关函数．例如：正比例函数，它的相关函数为．已知正比例函数，若点在这个函数的相关函数的图象上，则n的值为______． 【答案】或 【知识点】正比例函数的图象 【分析】本题考查了正比例函数的图象，以及图象上点的坐标特征，正确理解新定义是解题的关键． 根据相关函数的定义求出正比例函数的相关函数为，再分类讨论：当、时，分别把点代入相应的函数求解即可． 【详解】解：由题意可得，正比例函数的相关函数为， ∵点在这个函数的相关函数的图象上， 当时，把点代入得，， ∴， 当时，把点代入得，， ∴， ∴或． 故答案为：或． 变式2．（2024八年级·上海·专题练习）画出下列正比例函数的图象： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)见解析 【知识点】正比例函数的图象 【分析】本题考查了正比例函数的图象的作法，解题的关键是掌握理函数图象的作法，列表、描点、连线．根据三条直线的解析式其图象均过原点，再分别求另一个点，描出各点，根据两点确定一条直线画出函数图象． （1）当时，求出函数值画图即可； （2）当时，求出函数值画图即可； （3）当时，求出函数值画图即可； 【详解】（1）解：当， 当， 如图，描点后连线得： （2）解：当， 当， 如图，描点后连线即可； （3）解：当， 当， 如图，描点后连线即可． 【题型十三】正比例函数的性质 例13．（24-25八年级·上海·月考）函数是正比例函数，且y随着x的增大而减小，那么m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】正比例函数的性质 【分析】本题考查了正比例函数图象的性质：它是经过原点的一条直线．当时，图象经过一、三象限，随的增大而增大；当时，图象经过二、四象限，随的增大而减小．根据正比例函数图象的增减性可求出的取值范围． 【详解】解：函数是正比例函数，且随的增大而减小， 解得． 故选：A． 变式1．（2025·上海普陀·一模）已知正比例函数的图像经过第二、四象限，那么的取值范围是_________． 【答案】 【知识点】正比例函数的性质 【分析】本题考查了正比例函数的性质，熟知正比例函数的性质是解题的关键． 根据“，当时，该函数的图象经过第二、四象限；当时，该函数的图象经过第一、三象限”解题即可． 【详解】解：∵正比例函数的图像经过第二、四象限， ∴， ∴． 故答案为： ． 变式2．（23-24八年级·上海·月考）已知正比例函数经过点A，点A在第四象限，过点A作轴，垂足为点H，点A的横坐标为3，且的面积为3． (1)求正比例函数的解析式； (2)在x轴上能否找到一点P，使的面积为5．若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由 (3)在（2）的条件下，是否在正比例函数上存在一点M，使得若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由 【答案】(1)正比例函数的解析式是 (2)P点坐标为或 (3)点的坐标为或 【知识点】正比例函数的性质 【分析】本题考查了正比例函数图象的性质、待定系数法求正比例函数的解析式．注意点P的坐标有两个． （1）根据题意求得点A的坐标，然后利用待定系数法求得正比例函数的解析式； （2）利用三角形的面积公式求得，然后根据坐标与图形的性质求得点P的坐标． （3）设点，当或时，分点M在线段上与在线段延长线两种情况，由列方程，从而可得点M的坐标． 【详解】（1）解：∵点A的横坐标为3，且的面积为3 ∴， 解得，， ∴点A的坐标为， ∵正比例函数经过点A， ∴， 解得， ∴正比例函数的解析式是； （2）解：存在． 设， ∵的面积为5，点A的坐标为， ∴， ∴或， ∴P点坐标为或． （3）解：设，如图， ①点在上时， 当时，， 又, 若时，， ∴， 解得，， ∴， ∴点的坐标为； 当点时，， 若时，， ∴， 解得，， ∴， ∴点的坐标为； ②点在的延长线上时， 当时，， 若时，， ∴， 解得，， ∴， ∴点的坐标为； 当点时，， 若时，同理可得，点的坐标为； 综上，点的坐标为或． 一、单选题 1．正比例函数的图象经过的象限是（   ） A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第三、四象限 D．第一、四象限 【答案】B 【分析】本题主要考查了正比例函数的图象，掌握当时，正比例函数的图象经过第二、四象限是解决问题的关键． 根据正比例函数的图象与性质即可得到结论． 【详解】解：∵， ∴ 正比例函数的图象经过第二、四象限， 故选：B． 2．下列图象中，不能表示y是x的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了判断图像是否为函数，熟练掌握如何判断是解题的关键． 根据函数的定义进行判断即可 ． 【详解】解：根据函数的定义“对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与之对应”即可得知， 选项D的图像不符合； 故选： D． 3．弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度y（）与所挂的物体的质量x（）（）有下面的关系： x 0 1 2 3 4 5 y 10 11 12 下列说法不正确的是（    ） A．y是x的函数，且x是自变量 B．弹簧不挂重物时的长度为 C．物体质量每增加，弹簧长度y增加 D．所挂物体质量为时，弹簧长度为 【答案】B 【分析】本题考查了根据表格判断变量之间的关系． 通过表格数据，分析弹簧长度与物体重量的关系，发现y随x均匀变化，每增加，y增加，且时，进而逐一判断即可． 【详解】解：x与y都是变量，且x是自变量，y是因变量， ∴A正确，不符合题意； 当时，， ∴弹簧不挂重物时的长度为， ∴B不正确，符合题意； 物体质量每增加，弹簧长度y增加， ∴C正确，不符合题意； ∵弹簧不挂重物时的长度为，物体质量每增加，弹簧长度y增加， ∴y与x之间的函数关系式为， 当时，， ∴所挂物体质量为时，弹簧长度为， ∴D正确，不符合题意． 故选：B． 4．如图为正比例函数，，在同一平面直角坐标系中的图象，则比例系数k，m，n的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】正比例函数，的图象经过第一、三象限， ，， 的图象比的图象上升得快， ， 的图象经过第二、四象限， ， ． 5．嘉嘉制作了一个简易的计时工具，通过观察，他将容器中水的高度和时间的相关数据记录如下： 时间/min 1 2 3 5 6 水的高度/cm 1.5 3 4.5 7.5 9 下列描述不正确的是（   ） A．容器中水的高度是因变量，时间是自变量 B．当时间为时，容器中水的高度为 C．当容器中水的高度为时，对应的时间为 D．时间每增加，容器中水的高度变化是均匀的 【答案】B 【分析】本题主要考查了用表格表示变量之间的关系，根据表格数据发现时间每增加，水的高度增加，再逐项判断即可． 【详解】解：∵由表格数据，可知上表反映了容器中水的高度和时间两个变量之间的关系，其中容器中水的高度是因变量，时间是自变量，时间每增加，水的高度增加， 时间时，水的高度； 当时，； ∴选项A、C、D正确，选项B错误． 故选：B． 6．甲、乙两车分别从相距210km的A，B两地相向而行，乙车比甲车先出发1小时．当甲车途径A、B之间的C地时，因故停留了1小时，随后按原路原速返回A地．最后，两车同时到达A地．甲、乙两车距各自出发地的路程y（千米）与甲车出发所用的时间x（小时）的关系如图，下列说法错误的是（　　） A．甲车的速度为75千米/小时 B．乙车的速度为35千米/小时 C．甲车到达C地时，乙车距离B地70千米 D．甲车出发小时后两车第一次相遇 【答案】C 【分析】根据甲车行驶到地的路程为150千米，根据“甲车在地因故停留了1小时，随后按原路原速返回地”可知甲车行驶到地的时间为2小时，由此可判断选项A；根据乙车从地到地行驶的路程为210千米，时间为6小时，由此可判断选项B；根据甲车到达地的时间为2小时，从而可得此时乙车行驶时间为3小时，结合乙车的速度即可判断选项C；设甲车出发小时后两车第一次相遇，根据相遇时两车的路程之和等于210建立方程，解方程即可判断选项D． 【详解】解：由题意可知，甲车行驶到地的路程为150千米，甲车行驶到地的时间为小时， 则甲车的速度为（千米/小时），选项A正确； 乙车从地到地行驶的路程为210千米，时间为小时， 则乙车的速度为（千米/小时），选项B正确； 当甲车到达地时，乙车行驶时间为小时， 则乙车与地的距离为（千米），选项C错误； 设甲车出发小时后两车第一次相遇， 由函数图象可知，， 则， 解得，符合题意， 即甲车出发小时后两车第一次相遇，选项D正确； 故选：C． 【点睛】本题考查了从函数图象获取信息，读懂函数图象，正确从中获取信息是解题关键． 二、填空题 7．若函数是正比例函数，则________． 【答案】1 【分析】根据正比例函数的定义可得，． 【详解】解：∵函数是正比例函数， ∴，， ∴， 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查了正比例函数，解题的关键是掌握正比例函数的概念． 8．已知函数，当时，函数值，则_________． （只填最后结果） 【答案】2 【分析】本题主要考查了求函数值，直接把代入到函数表达式中进行计算即可． 【详解】解：由题意得，， 故答案为：2． 9．把10本书随意放入两个抽屉（每个抽屉内都放），第一个抽屉放入x本，第二个抽屉放入y本．在这个变化过程中，变量为______，常量为______． 【答案】 x，y 10 【分析】根据变量与常量的定义，判断在放置书籍的过程中数值发生变化的量和保持不变的量，即可求解． 【详解】解：在一个变化过程中，数值发生变化的量称为变量，数值始终不变的量称为常量， 由题意可知，书的总数是固定不变的，所以常量为， 第一个抽屉放入的本数和第二个抽屉放入的本数会随着放置情况的不同而变化，所以变量为，． 10．已知，当时，__________，当时，______________． 【答案】 或 【分析】本题考查了求函数值，解一元二次方程，分别把和代入计算即可． 【详解】解：当时，． 当时，， 解得． 故答案为：0；或． 11．若直线经过点，则______．如果这条直线上点的横坐标，那么它的纵坐标______． 【答案】 -3 【分析】将点的坐标代入直线即可求出的值，进而得出直线解析式；再把代入求出的值即可． 【详解】解：∵直线y＝kx经过点A（，3）， ∴3＝k×，解得k＝， ∴直线y＝kx的解析式为y＝x， ∴当x＝4时，y＝×4＝． 故答案为：，． 【点睛】本题考查了一次函数图像上点的坐标特征，即一次函数图像上点的坐标特点，即一次函数图像上各点的坐标一定适合此函数的解析式． 12．若某个圆锥的底面半径为2cm那么该圆锥的体积V（）与其高h（cm）的关系式为__________． 【答案】 【分析】由圆锥的体积公式V＝πr2h得圆锥的体积V（cm3）与高h（cm）的关系式，从而求解． 【详解】解：圆锥的体积公式为V＝πr2h， ∵圆锥的底面半径是2cm， ∴V＝πh， 故答案为：V＝πh． 【点睛】本题主要考查了函数关系式，解决问题的关键是熟记圆锥的体积公式． 13．下列是关于变量与的八个解析式：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧．其中不是关于的函数的是________________（填序号）． 【答案】②④⑦ 【分析】根据函数的定义：对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与之对应，据此逐一分析每个解析式． 【详解】解：①：对于每一个的值，都有唯一的值对应，是的函数； ②：当 取一个正数时，有两个值（正、负）与之对应，不满足“唯一确定”，不是的函数； ③，即：对于每一个的值，都有唯一的值对应，是的函数； ④，即：当取正数时，有两个值与之对应，不满足“唯一确定”，不是的函数； ⑤：对于每一个的值，都有唯一的值对应，是的函数； ⑥：对于每一个的值，都有唯一的值对应，是的函数； ⑦：当 取一个正数时，有两个值（正、负）与之对应，不满足“唯一确定”，不是的函数； ⑧，即：对于每一个不为的值，都有唯一的值对应，是的函数． ∴，不是的函数的是②④⑦． 故答案为：②④⑦． 【点睛】本题考查了函数的定义，解题关键是紧扣“对于的每一个确定值，有唯一确定的值对应”这一核心条件，判断每个解析式是否满足该要求． 14．如图，在正方形中，，动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段运动，同时动点N从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段运动，当点N运动到点D时，点M，N同时停止运动，设的面积为y，运动时间为x（s），请写出y与x之间函数关系式______．    【答案】 【分析】根据点N的运动情况，写出y和x之间的函数关系式即可. 【详解】解：当点N在运动时， ∵， ∴， ∵动点M以每秒1个单位长度的速度沿线段运动，动点N以每秒2个单位长度的速度沿线段运动， ∴，， ∴， 故答案为：. 【点睛】本题是运动型综合题，考查了函数表达式、正方形的性质、三角形的面积等知识点.解题关键是深刻理解动点的函数图象，了解图象中关键点所代表的实际意义，理解动点的完整运动过程. 15．如图，将长方形放置于平面直角坐标系中，点C在第一象限，点A与坐标原点重合，过点A的直线交于点E，连接，已知，平分，则k的值为_____． 【答案】3 【分析】本题主要考查了一次函数的定义、坐标与图形、勾股定理等知识点，求出的长是解题的关键． 设，则，，再根据勾股定理求出的长，然后再代入计算即可． 【详解】解：设，则， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中， ， ∴， ∴． 故答案为：3． 16．小亮和小明在同一直线跑道AB上跑步．小亮从AB之间的C地出发，到达终点B地停止运动，小明从起点A地与小亮同时出发，到达B地休息20秒后立即以原速度的1.5倍返回C地并停止运动，在返途经过某地时小明的体力下降，并将速度降至3米/秒跑回终点C地，结果两人同时到达各自的终点．在跑步过程中，小亮和小明均保持匀速，两人距C地的路程和记为y（米），小亮跑步的时间记为x（秒），y与x的函数关系如图所示，则小明在返途中体力下降并将速度降至3米/秒时，他距C地还有______米． 【答案】180 【分析】由题意可知，小明速度比小亮速度快，把图象看作由线段DE、EF、FG、GH、HI组成，线段DE和EF代表小亮从C地、小明从A地同时出发往B地走的过程，其中点E处表示小明到达C地，故两人离C地距离和最小，随后又增大；线段FG表示小明在休息，小亮继续走，所以y=480时对应的x=100+20=120；线段GH表示小明加快速度返回；线段HI表示小明速度下降后返回． 【详解】解：由图象可知，x=0时，y=100，即开始时小亮在C地小明在A地，两人相距100米， ∴AC=100， 当x=25时，y最小，即小明到达C地， ∴小明开始速度为：100÷25=4（米/秒），返回速度为4×1.5=6（米/秒）， 当x=100时，小明到达B地， ∴AB=4×100=400（米）， ∴BC=AB-AC=300（米）， 当y=480最大时，小明休息完20秒，即x=120， 此时，小亮离C地距离为480-300=180（米）， ∴小亮速度为：180÷120=（米/秒）， ∴两人走完全程所用时间为：300÷=200（秒）， ∴小明返回C地所用时间为：200-120=80（秒）， 设小明返回时在a秒时速度下降到3米/秒，列方程得： 6a+3（80-a）=300， 解得：a=20． 此时离C地距离为：3×（80-20）=180（米）． 故答案为：180． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，关键是把条件表述的几个过程对应图象理解清楚，再找出对应x和y表示的数量关系． 三、解答题 17．已知函数，计算和时，哪一个对应的函数值较大？ 【答案】当x＝-2时对应的函数值较大 【分析】分别求出当和时的函数值，进行比较即可． 【详解】解：∵当x＝-2时，y＝14； 当x＝-1时，y＝7； ∴当x＝-2时对应的函数值较大 【点睛】本题考查二次函数求函数值，函数值是指自变量在其取值范围内取某个值时，函数与之对应的唯一确定的值，正确解出函数值是解答本题的关键． 18．为了增强学生身体素质，学校要求同学们练习跑步．下面是一次练习时的场景：开始时甲生跑了，乙生跑了，然后甲生、乙生都开始匀速跑步．已知甲生的跑步速度为，当他们分别到达终点时停止跑步，甲生从开始匀速跑步到停止跑步共用时．已知轴表示从开始匀速跑步到停止跑步的时间()，轴表示跑过的路程()，则： (1)这次练习跑步的路程为 ． (2)当甲生追上乙生时，求此时甲生距离出发点的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，正确理解题意，找出等量关系是解题的关键． （1）先求出甲生匀速跑步的路程，再求总路程即可； （2）求出乙生跑步的速度，再列方程求解即可． 【详解】（1）解：甲生匀速跑步的路程为()， 总路程为：()， 则这次练习跑步的路程为． 故答案为：； （2）设从开始匀速跑步到甲生追上乙生的时间为()， 乙生跑步的速度为， 根据题意得：， 解得， 此时甲生距离出发点的距离为()， 甲生距离出发点的距离为． 19．已知关于x的一元二次方程： (1)证明：不论m取何值时，方程总有两个不相等的实数根； (2)若，设方程的两个实数根分别为（其中），若y是关于m的函数，且，求y关于m的函数解析式． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式及一元二次方程的解法，解题的关键是掌握当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． （1）先计算判别式得到，再根据非负数的意义及已知条件得到，然后根据判别式的意义得到方程有两个不相等的实数根； （2）先解出方程的两个根，，判定根的大小，代入原式即可． 【详解】（1）证明： ， ∴方程有两个不相等的实数根； （2）解：∵， ∴， ∴或， ∴方程的两个根分别为和， ∵， 又∵， ∴， ∴． 20．“弗里热”（）是2024年巴黎奥运会和残奥会吉祥物，是法国传统的弗里古亚帽的拟人化形象，在《蓝精灵》动画片中，蓝精灵戴的便是弗里吉亚帽．吉祥物“弗里热”小钥匙扣广受欢迎，成为热销商品，某商家以每套40元的价格购进一批“弗里热”小钥匙扣．当该商品每套的售价是50元时，每天可售出200套，若每套的售价每提高2元，则每天少卖4套． (1)设“弗里热”小钥匙扣每套的售价定为x元，求该商品销售量y与x之间的函数关系式． (2)每天销售所获的利润W能否恰好达到3000元？请说明理由． 【答案】(1) (2)每天销售所获的利润W能达到3000元 【分析】本题主要考查了列函数关系式，一元二次方程的实际应用： （1）根据当该商品每套的售价是50元时，每天可售出200套，若每套的售价每提高2元，则每天少卖4套列出对应的关系式即可； （2）根据利润等于每套的利润乘以销售量列出对应的方程，看方程是否有解即可得到结论． 【详解】（1）解：根据题意：． ∴y与x之间的函数关系式：； （2）解：每天销售所获的利润W能达到3000元，理由如下： 根据题意得：． 整理得：． ∵． ∴方程有两个不相等的实数根， ∴每天销售所获的利润W能达到3000元． 21．某电信公司手机的类收费标准如下：不管通话时间多长，每部手机每月必须交月租费12元，另外，通话费按0.2元/min计． (1)写出每月应缴费用（元）与通话时间之间的关系式； (2)某手机用户这个月通话时间为，他应缴费多少元？ (3)如果该手机用户本月预缴了150元的话费，那么该用户本月可通话多长时间？ 【答案】(1) (2)应缴费36元 (3)该用户本月可通话690 【分析】本题考查了列函数关系式和求自变量和函数值，正确理解收费标准，列出函数解析式是关键． （1）根据每月应缴的费用是月租费通话费，即可写出解析式； （2）在解析式中，令，求得的值即可； （3）在解析式中令，求得即可． 【详解】（1）； 答：每月应缴费用（元与通话时间之间的关系式为， （2）当时，（元； 答：他应缴费36元． （3）当时，， 解得：． 答：该用户本月可通话690． 22．探索计算：弹簧挂上物体后会伸长．已知一弹簧的长度（）与所挂物体的质量（）之间的关系如下表： 所挂物体的质量 0 1 2 3 4 5 6 7 弹簧的长度 12 12.5 13 13.5 14 14.5 15 15.5 (1)当所挂物体的质量为时，弹簧的长度是________． (2)在弹性限度内如果所挂物体的质量为，弹簧的长度为，根据上表写出y与x的关系式：________； (3)当所挂物体的质量为时，请求出弹簧的长度； 【答案】(1)13.5 (2) (3) 【分析】（1）根据表格，找到所挂物体的质量为时，弹簧的长度即可； （2）由表格可知，质量每增加，弹簧伸长，确定y与x的关系式即可； （3）将代入解析式，求出值，即可得解． 【详解】（1）解：由表可知当所挂物体的质量为时，弹簧的长度是13.5， 故答案为：13.5； （2）由表可知：弹簧原长为，所挂物体每增加弹簧伸长， ∴弹簧总长与所挂重物之间的函数关系式为； 故答案为：； （3）当时，代入， 解得， 即弹簧长度为． 【点睛】本题考查了函数的关系式及函数值，解题关键是根据表格信息列出解析式． 23．数学来源于生活，又服务于生活．我们要善于用数学的眼光观察现实世界．姐姐帮小明荡秋千（如图1）时发现，秋千离地面的高度与摆动时间之间存在着一种关系，并通过收集数据，得出的关系如图2所示．    请结合图象回答问题： (1)时，的值为________；并说明它的实际意义________； (2)从最高点开始向前的最低点，继续向前到最高点，再返回到最低点最后回到最高点，这叫做一个周期．则秋千摆第1个周期需要________，摆第2个周期需要________，摆第3个周期需要________． (3)请你根据（2）中的规律，提出一个相关的数学问题，并给予解答． 【答案】(1)，秋千摆动时，离地面的高度为 (2)2.8，2.6，2.4 (3)问题见解析， 【分析】（1）根据图象求解即可； （2）根据图象求解即可； （3）根据（2）中的规律求解即可． 【详解】（1）由图象可得， 当时，， 它的意义是：秋千摆动时，离地面的高度为， 故答案为：，秋千摆动时，离地面的高度为； （2）由图象可得， 秋千摆第1个周期需要，摆第2个周期需要，摆第3个周期需要； 故答案为：2.8，2.6，2.4； （3）问题：如果摆第个周期，需要的时间为秒，请写出与的关系式． 结论：． 【点睛】本题考查由图象理解对应函数关系及其实际意义，掌握函数的定义是关键． 24．在一次实验中，小明把一根弹簧的上端固定，在其下端悬挂物体，下表是测得的弹簧的长度y与所挂物体的质量x的几组对应值． 所挂物体质量x/kg 0 1 2 3 4 5 弹簧长度y/cm 18 20 22 24 26 28 （1）本题反映的是弹簧的长度y与所挂物体的质量x这两个变量之间的关系，其中自变量是　 ，因变量是　 　． （2）当所悬挂重物为3kg时，弹簧的长度为　 　cm；不挂重物时，弹簧的长度为　 　cm． （3）请直接写出弹簧长度y（cm）与所挂物体质量x（kg）的关系式，并计算若弹簧的长度为36cm时，所挂重物的质量是多少kg？（在弹簧的允许范围内） 【答案】（1）所挂物体的质量xkg，弹簧的长度ycm；（2）24，18；（3）y＝2x+18，弹簧的长度为36cm时，此时所挂重物的质量是9kg 【分析】（1）上述表格反映了弹簧的长度ycm与所挂物体的质量xkg这两个变量之间的关系．其中所挂物体的质量xkg是自变量，弹簧的长度ycm是因变量； （2）设y＝kx+b，然后将表中的数据代入求解即可，从图表中直接得出当所挂重物为3kg时，弹簧的长度和不挂重物时弹簧的长度； （3）把y＝36代入（2）中求得的函数关系式，求出x的值即可； 【详解】解：（1）上述表格反映了弹簧的长度ycm与所挂物体的质量xkg这两个变量之间的关系．其中所挂物体的质量xkg是自变量，弹簧的长度ycm是因变量． （2）设弹簧长度y（cm）与所挂物体质量x（kg）的关系式为y＝kx+b， 将x＝0，y＝18；x＝1，y＝20代入得： k＝2，b＝18， ∴y＝2x+18． 当x＝3时，y＝24；当x＝0时，y＝18． 所以，当所挂重物为3kg时，弹簧有24cm长；不挂重物时，弹簧有18cm长．    （3）把y＝36代入y＝2x+18，得出：x＝9， 所以，弹簧的长度为36cm时，此时所挂重物的质量是9kg． 【点睛】本题考查函数，自变量的定义，写函数解析式、利用解析式计算函数值、自变量的值、根据实际问题写函数解析式是关键. 25．如图所示，是等腰直角三角形，是斜边的中线，分别是边上的动点，且， (1)求证： (2)若．求线段的长． (3)若的面积为，写出与的关系． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）由是等腰直角三角形，是斜边的中点，可得：即，又，可得：，故，从而可证：；根据全等三角形的性质得到，进而得出； （2）在中，运用勾股定理可将的值求出； （3）根据（2）的结论，求得，根据是等腰直角三角形，求得边长，从而求得函数关系即可求解． 【详解】（1）证明∵是等腰直角三角形，是斜边的中点，则是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， 又∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）在中，， ∵， ∴， ∴； （3）解：∵的面积为， ∴，， ∴， ∵， ∴， 又,， ∴是等腰直角三角形， ∴， 即． 【点睛】本题考查等腰直角三角形，勾股定理，全等三角形的性质与判定，掌握等腰三角形“三线合一”的性质是解题关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第09讲 变量与函数和正比例函数（知识详解+13典例分析+习题巩固） 【知识点01】常量和变量 定义：一般地，在一个变化过程中，我们称数值始终不变的量为常量，数值发生变化的量为变量. 说明： (1)“常量”是已知数，是指在整个变化过程中保持不变的 量；但“常量”不等于“常数”，它可以是数值不变的字母. 如在匀速运动中的速度v 就是一个常量. (3)变量与字母的指数没有关系，如在y＝2x²中，x是变量，而不能说x²是变量. 【知识点02】函数的概念 函数的定义：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数. 说明： (1)函数研究的对象不是数，而是一个变化过程中的两个变量； (2)函数中两个变量之间的关系是单向对应关系，即对于x 的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，但是对于一个确定的y值，与其对应的x的值可以不唯一； (3)函数中两个变量具有相对性，如y＝x＋3表示y是x的函数，而将其变形成x＝2y－6 后，则表示x 是y 的函数. 【知识点03】函数自变量的取值范围与函数值 1. 自变量的取值范围 (1)定义：使函数有意义的自变量的取值的全体叫做自变量的取值范围. (2)确定自变量取值范围的方法：其一，要使函数关系式有意义；其二，对实际问题中的函数关系，还应该使实际问题有意义. (3)不同类型的函数自变量取值范围的确定 类型 特征 举例 取值范围 整式型 等号右边是关于自变量的整式 y＝2x²＋3x－1 全体实数 分式型 等号右边是关于自变量的分式 y＝ 使分母不为0的实数 根式型 二次根式 等号右边是关于自变量的二次根式 y＝ 使根号下的式子为大于或等于0 的数 三次根式 等号右边是关于自变量的三次根式 y＝ 全体实数 幂型 等号右边是关于自变量的0 指数幂(或负整数指数幂) y＝(x－2)0 或y＝2(x－3) 使底数不为0的实数 复合型 含有上述两种或多种形式 y＝ 使各部分都有意义的实数的公共部分 2. 函数值 (1)定义：如果对于自变量x在取值范围内的某个确定的数值a，函数y所对应的值为b，即当x＝a时，y＝b, 那么b 叫作当自变量的值为a时的函数值. (2)求函数值及自变量值的方法 ①当已知关系是函数关系时，求函数值，实质就是利用代入法求代数式的值. ②当自变量的值确定时，函数值是唯一确定的；当函数值确定时，求相应的自变量的值，就是解方程，对应的自变量的值可以不止一个，如y＝x²－1中，当y＝0时，x＝±1. 【知识点04】函数解析式 1. 定义：用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系是表示函数的常用方法，这种式子叫作函数的解析式. 2. 特点：(1)函数解析式是等式. (2)函数解析式中指明了哪个是自变量，哪个是函数，通常等式右边的代数式中的变量是自变量，等式左边的变量表示函数. (3)书写函数的解析式是有顺序的. 如y＝2x－1表示y是x的函数，若x＝2y－1，则表示x是y的函数. 即求y关于x的函数解析式时，必须用含x的代数式表示y，也就是等式左边是一个变量y，右边是一个含x的代数式. 【知识点05】函数的图象 1. 函数的图象 一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象．通过图象可以数形结合地研究函数 拓展：函数图象上的任意一点的坐标(x，y)中的x，y均满足函数解析式；满足函数解析式的任意一对x，y的值，所对应的点一定在这个函数的图象上. 2. 描点法画函数图象的一般步骤 步骤 描述 注意 列表 表中给出一些自变量的值及其对应的函数值 根据自变量的取值范围取值时，要从小到大或自中间向两边选取，并且取值要有代表性，以便全面地反映函数图象的全貌 描点 在平面直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点 描点时取点越多，图象就越准确 连线 按照横坐标由小到大的顺序，把所描出的各点用平滑曲线连接起来 连线时用光滑的曲线，不要出现明显的拐弯点 【知识点06】从函数图象中获取信息 审图题注意四“清”：一清楚横、纵坐标的含义；二清楚图象与不同对象的关系；三清楚不同图象的起点和终点的含义；四清楚不同图象的“折点”含义. 【知识点07】函数的表示方法 函数是从数量关系的角度反映变化规律的数学模型，函数的三种主要表示方法及其特点如下表： 表示方法 定义 优点 缺点 解析法 用数学式子表示函数关系的方法叫作解析法，其中的等式叫作函数解析式 能准确地反映整个变化过程中自变量与函数的对应关系 从函数解析式很难直观看出函数的变化规律，而且有些函数不能用解析式法表示出来 列表法 通过列出自变量的值与函数的对应值的表格来表示函数关系的方法叫作列表法 一目了然，对表格中已有自变量的每一个值，可直接查出函数的对应值 列出的对应值是有限的，而且在表格中也不容易看出自变量与函数的变化规律 图象法 用图象来表示两个变量间的函数关系的方法叫作图象法 直观、形象地反映出函数关系变化的趋势和某些性质 从自变量的值常常难以找到对应的函数的准确值 【题型一】函数的概念 例1．（22-23八年级·上海奉贤·期中）下列两个变量间不存在函数关系的是（    ） A．长方形的面积一定，它的长和宽的关系 B．与x的关系 C．匀速运动的火车，时间与路程的关系 D．某人的身高和体重的关系 变式1．（22-23八年级下·上海嘉定·开学考试）已知变量和变量，那么______的函数？（填“是”或“不是”） 变式2．（22-23八年级·上海·假期作业）下列各式中，是否是的函数？为什么？ (1)； (2)． 【题型二】用表格表示变量间的关系 例2．某科技小组在网上获取了声音在空气中传播的速度与空气温度之间关系的一些数据（如下表所示）： 温度x（℃） 0 10 20 30 声速y（m/s） 318 324 330 336 342 348 则下列说法中正确的是（　　） ①在这变化过程中，自变量是空气的温度，因变量是声音在空气中传播的速度； ②空气的温度越高，声音传播的速度越快； ③声音在空气中传播的速度与的关系式可以是； ④空气的温度每升高，声音的传播速度增加． A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 变式1．小韦同学周末的红色之旅，坐爸爸的车去百色起义纪念馆，从家里行驶7千米后，进入高速公路，在高速公路上保持匀速行驶，小韦记录高速公路上行驶的时间（和路程）数据如下表，按照这个速度行驶了2小时进入高速路出口匝道，再行驶5千米抵达纪念馆，则小韦家到纪念馆的路程是______千米． t小时 0.2 0.6 0.8 s千米 20 60 80 变式2．（2025八年级·上海·专题练习）某校一课外小组准备进行“绿色环保”的宣传活动，需要制作宣传单，校园附近有一家印刷社，印刷收费y（元）与印刷数量x（张）之间的关系如下表： 印刷数量x（张） … 100 200 300 400 … 印刷收费y（元） … 15 30 45 60 … (1)上表中的变量是什么？ (2)从上表可知：印刷收费y（元）随印刷数量x（张）的增加而________； (3)若要印刷1000张宣传单，收费多少元？ 【题型三】用关系式表示变量间的关系 例3．李庄与张庄两地之间的距离是100千米，若汽车以平均每小时80千米的速度从李庄开往张庄，则汽车距张庄的路程y（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数关系式是（    ） A．y＝80x﹣100 B．y＝﹣80x﹣100 C．y＝80x＋100 D．y＝﹣80x＋100 变式1．（22-23八年级·上海青浦·期中）已知，变量x、y满足，用x的代数式表示y得 _____． 变式2．（2022八年级·上海·专题练习）已知中，，矩形的长和宽分别为9cm和2cm，点P和点A重合，和在同一条直线上（如图所示），不动，矩形沿射线以每秒1cm的速度向右移动，设移动后，矩形与重叠部分的面积为，求y与x之间的函数关系式． 【题型四】用图象表示变量间的关系 例4．（23-24八年级下·上海·期末）如图所示的图像中所反映的过程是：张强从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后，又去早餐店吃早餐，然后散步走回家．其中表示时间，表示张强离家的距离．根据图像提供的信息，以下四个说法中错误的是（   ） A．体育场离张强家2.5千米 B．张强在体育场锻炼了15分钟 C．体育场离早餐店1千米 D．张强从早餐店回家的平均速度是3千米/小时 变式1．某车间的甲、乙两名工人分别同时生产同一种零件，每天完成规定工作量后即停止生产．开工两小时后，甲停下升级设备，乙每小时生产零件个数增加4个，他们一天生产零件的个数y与生产时间t（时）的关系如图所示，根据图象，下列结论正确的是______（填序号）．①乙升级设备用了2小时；②一天中甲乙生产量最多相差6个；③图中的，；③甲比乙提前1小时完成工作． 变式2．甲乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发向乙地，轿车比货车晚出发1.5小时，如图，线段OA表示货车离甲地的距离y（千米）与时间x（小时）之间的关系；折线BCD表示轿车离甲地的距离y（千米）与时间x（时）之间的关系，请根据图象解答下列问题： (1)请直接写出点B所对应的数； (2)轿车到达乙地时，求货车与甲地的距离； (3)轿车出发多长时间追上货车？ 【题型五】求自变量的值或函数值 例5．（23-24八年级下·上海宝山·期末）已知，那么的值是（    ） A．1 B．3 C． D． 变式1．（24-25八年级下·上海嘉定·期末）已知，那么___________． 变式2．已知a是常数，函数，记． (1)当，时，求y的值； (2)若时，，试证明：． 【题型六】函数解析式 例6．（24-25八年级·上海·期中）下列选项中，两个函数表示同一个函数的是（） A． B． C． D． 变式1．（24-25八年级·上海·期中）上海与杭州两地之间的距离是，若汽车以每小时的速度匀速从杭州开往上海，则汽车距杭州的路程与行驶的时间之间的函数关系式为__________． 变式2．（24-25八年级上·上海嘉定·期中）一根弹簧的长度为10厘米，当弹簧受到千克的拉力时（不超过10），弹簧的长度是（厘米），测得有关数据如下表所示： 拉力（千克） 1 2 3 4 … 弹簧的长度（（厘米）） … (1)写出弹簧长度（厘米）关于拉力（千克）的函数解析式及函数的定义域 (2)如果拉力是10千克，那么弹簧长度是多少厘米？ (3)当拉力是多少时，弹簧长度是13厘米？ 【题型七】函数图象识别 例7．（2026·上海徐汇·一模）已知点在同一个函数的图像上，这个函数图像可能是（    ） A． B． C． D． 变式1．如图，各情况分别可以和哪幅画来近似刻画？ （1）一个球被向上抛起，直到落到地面的过程（球的高度与时间的关系）___________； （2）常温下，往一杯凉水中倒开水（水温与时间的关系）___________； （3）将澡盆中的水放掉（水的高度与时间的关系）___________ 21．“漏壶”是一种古代计时器．在它内部盛一定量的水，水从壶下的小孔漏出．壶内壁有刻度，人们根据壶中水面的位置计算时间．用x表示漏水时间，y表示壶底到水面的高度．下页哪个图象适合表示y与x的对应关系？（不考虑水量变化对压力的影响．） 【题型八】从函数的图象获取信息 例8．（24-25八年级下·上海金山·月考）如图是车辆行驶过程中油箱内剩余油量（升）与行驶时间（时）的函数图象．从图象中得到的正确的信息是（    ） A．汽车行驶前剩余油量为升，行驶时每小时耗油升 B．汽车行驶前剩余油量为升，行驶时每小时耗油升 C．汽车行驶了小时后，停留了小时，然后再行驶小时，直至油用完 D．汽车行驶前剩余油量为升，至油全部用完共行驶了小时 变式1．水槽在开始分钟内只进水不出水，随后分钟进水又出水，在分钟只出水不进水，得到时间（分）与水量（升）之间的关系如图所示，如果单位时间进、出的水量不变，则点的坐标为_________    变式2．（24-25八年级下·上海宝山·期中）某市接到上级通知，立即派出甲、乙两个抗震救灾小组乘车沿同一路线赶赴距出发点480千米的灾区．乙组由于要携带一些救灾物资，比甲组迟出发小时（从甲组出发时开始计时）．图中的折线、线段分别表示甲、乙两组的所走路程（千米）、（千米）与时间x（小时）之间的函数关系对应的图象．请根据图象所提供的信息，解决下列问题： (1)由于汽车发生故障，甲组在途中停留的时间为 小时； (2)甲组的汽车排除故障后，立即提速赶往灾区．问甲组的汽车在排除故障时，距出发地的路程是多少千米？ (3)为了保证及时联络，甲、乙两组在第二次相遇（即点C处）时约定此后两车之间的路程不超过25千米，请通过计算说明，按图象所表示的走法是否符合约定． 【题型九】函数的三种表示方法 例9．小明从地到地（两地相距40千米）的骑车速度为10千米/小时，则小明离地的距离（千米）与骑车时间（小时）之间的函数解析式（不写自变量的取值范围）为（    ） A． B． C． D． 变式1．某汽车生产厂家对其生产的一款汽车进行耗油量试验，在试验过程中，汽车一直匀速行驶，该汽车油箱中的余油量（升）与汽车的行驶时间（小时）之间的关系如表： （小时） 0 1 2 3 （升） 120 112 104 96 则用关系式法表示因变量（升）与自变量（小时）之间的关系为______． 变式2．根据心理学家研究发现，学生对一个新概念的接受能力y与提出概念所用的时间x（分钟）乙间的大水如下数线． 提出概念所用时间 2 5 7 10 12 13 14 17 20 对概念的接受能力 47.8 53.5 56.3 59 59.8 59.9 59.8 58.3 55 (1)根据表格中的数据，提出概念所用时间是多少分钟时，学生的接受能力最强？ (2)学生对一个新概念的接受能力从什么时间开始逐渐减弱？ 【题型十】正比例函数的定义 例10．（24-25八年级·上海·期中）下列说法中正确的有（   ） ①是正比例函数； ②如果是正比例函数，那么； ③如果与成正比例，那么是的正比例函数； ④如果，那么与成正比例． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 变式1．（24-25八年级·上海·期中）若与成正比例，且比例系数是，则与的函数关系式为_______． 变式2．（23-24八年级·上海·单元测试）已知是正比例函数，求的值． 【题型十一】求自变量的取值范围 例11．（2024·上海·中考真题）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 变式1．（24-25八年级下·上海·月考）设等腰三角形周长为a，则它的底边长y与腰长x之间的函数解析式为______，定义域是_______． 变式2．（22-23八年级·上海·假期作业）已知汽车驶出站3千米后，以40千米∕小时的速度行驶了40分钟，请将这段时间内汽车与站的距离表示成（小时）的函数． 【题型十二】正比例函数的图象 例12．（24-25八年级·上海崇明·期末）若正比例函数的图象经过第二、四象限，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 变式1．（24-25八年级下·上海闵行·期中）定义：对于给定的两个函数，当时，它们对应函数值相等；当时，它们对应的函数值互为相反数，我们称这样的两个函数互为相关函数．例如：正比例函数，它的相关函数为．已知正比例函数，若点在这个函数的相关函数的图象上，则n的值为______． 变式2．（2024八年级·上海·专题练习）画出下列正比例函数的图象： (1)； (2)； (3)． 【题型十三】正比例函数的性质 例13．（24-25八年级·上海·月考）函数是正比例函数，且y随着x的增大而减小，那么m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 变式1．（2025·上海普陀·一模）已知正比例函数的图像经过第二、四象限，那么的取值范围是_________． 变式2．（23-24八年级·上海·月考）已知正比例函数经过点A，点A在第四象限，过点A作轴，垂足为点H，点A的横坐标为3，且的面积为3． (1)求正比例函数的解析式； (2)在x轴上能否找到一点P，使的面积为5．若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由 (3)在（2）的条件下，是否在正比例函数上存在一点M，使得若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由 一、单选题 1．正比例函数的图象经过的象限是（   ） A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第三、四象限 D．第一、四象限 2．下列图象中，不能表示y是x的函数的是（    ） A． B． C． D． 3．弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度y（）与所挂的物体的质量x（）（）有下面的关系： x 0 1 2 3 4 5 y 10 11 12 下列说法不正确的是（    ） A．y是x的函数，且x是自变量 B．弹簧不挂重物时的长度为 C．物体质量每增加，弹簧长度y增加 D．所挂物体质量为时，弹簧长度为 4．如图为正比例函数，，在同一平面直角坐标系中的图象，则比例系数k，m，n的大小关系是（   ） A． B． C． D． 5．嘉嘉制作了一个简易的计时工具，通过观察，他将容器中水的高度和时间的相关数据记录如下： 时间/min 1 2 3 5 6 水的高度/cm 1.5 3 4.5 7.5 9 下列描述不正确的是（   ） A．容器中水的高度是因变量，时间是自变量 B．当时间为时，容器中水的高度为 C．当容器中水的高度为时，对应的时间为 D．时间每增加，容器中水的高度变化是均匀的 6．甲、乙两车分别从相距210km的A，B两地相向而行，乙车比甲车先出发1小时．当甲车途径A、B之间的C地时，因故停留了1小时，随后按原路原速返回A地．最后，两车同时到达A地．甲、乙两车距各自出发地的路程y（千米）与甲车出发所用的时间x（小时）的关系如图，下列说法错误的是（　　） A．甲车的速度为75千米/小时 B．乙车的速度为35千米/小时 C．甲车到达C地时，乙车距离B地70千米 D．甲车出发小时后两车第一次相遇 二、填空题 7．若函数是正比例函数，则________． 8．已知函数，当时，函数值，则_________． （只填最后结果） 9．把10本书随意放入两个抽屉（每个抽屉内都放），第一个抽屉放入x本，第二个抽屉放入y本．在这个变化过程中，变量为______，常量为______． 10．已知，当时，__________，当时，______________． 11．若直线经过点，则______．如果这条直线上点的横坐标，那么它的纵坐标______． 12．若某个圆锥的底面半径为2cm那么该圆锥的体积V（）与其高h（cm）的关系式为__________． 13．下列是关于变量与的八个解析式：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧．其中不是关于的函数的是________________（填序号）． 14．如图，在正方形中，，动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段运动，同时动点N从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段运动，当点N运动到点D时，点M，N同时停止运动，设的面积为y，运动时间为x（s），请写出y与x之间函数关系式______．    15．如图，将长方形放置于平面直角坐标系中，点C在第一象限，点A与坐标原点重合，过点A的直线交于点E，连接，已知，平分，则k的值为_____． 16．小亮和小明在同一直线跑道AB上跑步．小亮从AB之间的C地出发，到达终点B地停止运动，小明从起点A地与小亮同时出发，到达B地休息20秒后立即以原速度的1.5倍返回C地并停止运动，在返途经过某地时小明的体力下降，并将速度降至3米/秒跑回终点C地，结果两人同时到达各自的终点．在跑步过程中，小亮和小明均保持匀速，两人距C地的路程和记为y（米），小亮跑步的时间记为x（秒），y与x的函数关系如图所示，则小明在返途中体力下降并将速度降至3米/秒时，他距C地还有______米． 三、解答题 17．已知函数，计算和时，哪一个对应的函数值较大？ 18．为了增强学生身体素质，学校要求同学们练习跑步．下面是一次练习时的场景：开始时甲生跑了，乙生跑了，然后甲生、乙生都开始匀速跑步．已知甲生的跑步速度为，当他们分别到达终点时停止跑步，甲生从开始匀速跑步到停止跑步共用时．已知轴表示从开始匀速跑步到停止跑步的时间()，轴表示跑过的路程()，则： (1)这次练习跑步的路程为 ． (2)当甲生追上乙生时，求此时甲生距离出发点的距离． 19．已知关于x的一元二次方程： (1)证明：不论m取何值时，方程总有两个不相等的实数根； (2)若，设方程的两个实数根分别为（其中），若y是关于m的函数，且，求y关于m的函数解析式． 20．“弗里热”（）是2024年巴黎奥运会和残奥会吉祥物，是法国传统的弗里古亚帽的拟人化形象，在《蓝精灵》动画片中，蓝精灵戴的便是弗里吉亚帽．吉祥物“弗里热”小钥匙扣广受欢迎，成为热销商品，某商家以每套40元的价格购进一批“弗里热”小钥匙扣．当该商品每套的售价是50元时，每天可售出200套，若每套的售价每提高2元，则每天少卖4套． (1)设“弗里热”小钥匙扣每套的售价定为x元，求该商品销售量y与x之间的函数关系式． (2)每天销售所获的利润W能否恰好达到3000元？请说明理由． 21．某电信公司手机的类收费标准如下：不管通话时间多长，每部手机每月必须交月租费12元，另外，通话费按0.2元/min计． (1)写出每月应缴费用（元）与通话时间之间的关系式； (2)某手机用户这个月通话时间为，他应缴费多少元？ (3)如果该手机用户本月预缴了150元的话费，那么该用户本月可通话多长时间？ 22．探索计算：弹簧挂上物体后会伸长．已知一弹簧的长度（）与所挂物体的质量（）之间的关系如下表： 所挂物体的质量 0 1 2 3 4 5 6 7 弹簧的长度 12 12.5 13 13.5 14 14.5 15 15.5 (1)当所挂物体的质量为时，弹簧的长度是________． (2)在弹性限度内如果所挂物体的质量为，弹簧的长度为，根据上表写出y与x的关系式：________； (3)当所挂物体的质量为时，请求出弹簧的长度； 23．数学来源于生活，又服务于生活．我们要善于用数学的眼光观察现实世界．姐姐帮小明荡秋千（如图1）时发现，秋千离地面的高度与摆动时间之间存在着一种关系，并通过收集数据，得出的关系如图2所示．    请结合图象回答问题： (1)时，的值为________；并说明它的实际意义________； (2)从最高点开始向前的最低点，继续向前到最高点，再返回到最低点最后回到最高点，这叫做一个周期．则秋千摆第1个周期需要________，摆第2个周期需要________，摆第3个周期需要________． (3)请你根据（2）中的规律，提出一个相关的数学问题，并给予解答． 24．在一次实验中，小明把一根弹簧的上端固定，在其下端悬挂物体，下表是测得的弹簧的长度y与所挂物体的质量x的几组对应值． 所挂物体质量x/kg 0 1 2 3 4 5 弹簧长度y/cm 18 20 22 24 26 28 （1）本题反映的是弹簧的长度y与所挂物体的质量x这两个变量之间的关系，其中自变量是　 ，因变量是　 　． （2）当所悬挂重物为3kg时，弹簧的长度为　 　cm；不挂重物时，弹簧的长度为　 　cm． （3）请直接写出弹簧长度y（cm）与所挂物体质量x（kg）的关系式，并计算若弹簧的长度为36cm时，所挂重物的质量是多少kg？（在弹簧的允许范围内） 25．如图所示，是等腰直角三角形，是斜边的中线，分别是边上的动点，且， (1)求证： (2)若．求线段的长． (3)若的面积为，写出与的关系． 1 学科网（北京）股份有限公司 $