精品解析：2026年江苏省南通市启东市九年级学业质量监测数学试题

初三学业质量监测 数学试题 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项 1．本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将本试卷和答题纸一并交回． 2．答题前，请务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷及答题纸指定的位置． 3．答案必须按要求填涂、书写在答题纸上，在试卷、草稿纸上答题一律无效． 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填涂在答题纸上． 1. 在足球比赛中，如果甲队进3个球，记作个，那么甲队失2个球，记作（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查正负数的应用，理解相反意义的量是解题的关键．进球和失球是相反意义的量，进球记为正数，则失球记为负数，据此回答即可． 【详解】解：∵进3个球记作个， ∴失2个球应记作个． 故选：． 2. 月球距离地球的距离约为，将用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【详解】将384000用科学记数法表示为：3.84000×105． 故选：A． 【点睛】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，整式加法，积的乘方，同底数幂的乘法，幂的乘方，掌握其运算法则是解题的关键．根据同类项的加法，同底数幂乘法法则，积的乘方法则，幂的乘方，一一判断即可． 【详解】解：A、，故不符合题意； B、，故不符合题意； C、，故不符合题意； D、，故符合题意； 故选：D． 4. 如果一个正多边形的每一个内角是，那么这个正多边形的边数为（ ） A. 16 B. 12 C. 8 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了多边形的外角和为；求出正多边形的每一个外角，根据外角和为，即可求得边数． 【详解】解：正多边形的每一个内角是， 正多边形的每一个外角是， 正多边形的边数为； 故选：B． 5. 我国古代数学著作《算法统宗》中记载着这样一道题，其大意是：醇酒1瓶，可以醉倒3位客人；薄酒3瓶，可以醉倒1位客人．若有33位客人总共饮了19瓶酒，且都醉倒了，问他们醇酒、薄酒各饮了多少瓶？设他们醇酒饮了瓶，薄酒饮了瓶，根据题意可列出方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意找到等量关系是解题的关键． 根据醇酒和薄酒的醉客效率，结合总瓶数和总醉客数即可列出方程组． 【详解】解：由题意得，， 故选B． 6. 如图，在中，，根据尺规作图的痕迹，可以判断以下结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识，由作图可知，平分，，根据“角平分线上的点到角的两边的距离相等”可证明，即可判断选项A；利用“”证明，结合全等三角形的性质可得，即可判断选项B；结合 “直角三角形两锐角互余”可证明，即可判断选项C；已知条件无法证明，故选项D错误，符合题意． 【详解】解：由作图可知，平分，， ∵， ∴，故选项A正确，不符合题意； 在和中， ， ∴， ∴，故选项B正确，不符合题意； ∵，， ∴， ∴，故选项C正确，不符合题意； 已知条件无法证明，故选项D错误，符合题意． 故选：D． 7. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则可能的值是（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，根据方程有2个不相等的实数根，得到，列出不等式求出的范围，进行判断即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴， ∴或， ∴可能的值是； 故选B． 8. 如图，在中，对角线相交于点O，．若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，勾股定理，先根据平行四边形的性质得出，，再根据勾股定理得出，最后根据勾股定理即可得出答案. 【详解】解：∵在中，，， ∴，， ∴， ∴， 故选：B. 9. 已知二次函数，当自变量为时，其函数值大于零；当自变量为，时，其函数值分别为，，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】解析式化为顶点式，，注意参数c变化，图象形状不变，对称轴不变，根据图象性质求解． 【详解】 如图，抛物线与x轴交于C、D两点，抛物线与x轴交于A、B两点，可知，，自变量为时，其函数值大于零，则点位于x轴上方的抛物线上，故点在点A的左侧，在点B的右侧，故均在x轴下方，所以，； 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数的图象性质，注意随着参数变化，理清函数图象的动态变化是解题的关键． 10. 如图，在矩形中，，点E在射线上运动，以为直角边向右作，使得，连接．则的最小值为（ ） A. 3 B. 4 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过点F作交于点M，交于点N，证明，设，根据相似三角形的相似比，用x表示，并求得，进而根据勾股定理，用x表示，根据二次函数的性质求得的最小值，最后便可求得的最小值． 【详解】解：如图，当点F在左侧时，过点F作交于点M，交于点N， ∵四边形是矩形， ∴，，，，， ∵， ∴， ∴四边形为矩形，四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴，， 则， ∴， ∴， 如图，当点F在右侧时，过点F作交延长线于M，交延长线于点N， 同理可得， ∴， 当时，的最小值为5， ∴的最小值是． 二、填空题（本题共6小题，第11~12题每小题3分，第13~16题每小题4分，共22分）不需写出解答过程，把最后结果填在答题纸对应的位置上． 11. 分解因式：______. 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．根据提公因式法因式分解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 将一副直角三角尺如图放置，若，则________． 【答案】25 【解析】 【分析】先根据∠COB＝155°，∠COD＝90°可求得∠BOD＝65°，再根据∠AOB＝90°，∠BOD＝65°，依据∠AOD＝∠AOB﹣∠BOD求解即可． 【详解】解：∵∠COB＝155°，∠COD＝90°， ∴∠BOD＝∠COB﹣∠COD＝155°﹣90°＝65°， 又∵∠AOB＝90°， ∴∠AOD＝∠AOB﹣∠BOD＝90°﹣65°＝25°， 故答案为：25． 【点睛】本题主要考查的是角的和差计算，明确图形中相关角之间的和差关系是解题的关键． 13. 已知一次函数（、为常数，）的图象经过点，且随的增大而减小，请写出一个符合条件的函数表达式_____． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，一次函数的坐标特征，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据题意可知，根据随的增大而减小，可知，写出一个符合题意的答案即可． 【详解】解：一次函数的图象经过点， ， 随的增大而减小， ， 可取，符合题意； 故答案为：． 14. 菱形的两条对角线长分别为6，8，则这个菱形的面积为___________． 【答案】24 【解析】 【分析】菱形的面积等于对角线乘积的一半，代入已知对角线长度计算即可得到结果． 【详解】解： 菱形的两条对角线长分别为和， 菱形的面积 ． 15. 如图，已知点，，是轴上位于点上方的一点，平分，平分，直线交于点．若反比例函数的图象经过点，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的几何应用，角平分线的性质，正方形的判定和性质等，过点分别作轴、轴的垂线，垂足分别为，作交的延长线于点，由角平分线的性质可得，即可得四边形是正方形，由勾股定理得，由对称可得，，设，则，，可得，，即得，可得，进而得到，即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：过点分别作轴、轴的垂线，垂足分别为，作交的延长线于点， ，，， ∴四边形是矩形， 平分，，， ， 又平分，，， ， ∴， ∴四边形是正方形， ∵点，， ∴，， ∴在中，， 由对称可得，，， 设，则，， ∴，， ， ， ， ， ， 故答案为： 16. 在平面直角坐标系中，已知，，，．分别连接，，，把沿翻折得到．当与重合时，______；当以、、、为顶点的四边形是矩形时，______． 【答案】 ①. 6 ②. 或或 【解析】 【分析】本题主要考查轴对称的性质，相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质等知识，第一空：根据轴的性质得，由勾股定理得，求得，再根据两点间距离公式求出；第二空：分点在轴上和不在轴上两种情况讨论求解即可． 【详解】解：根据题意得，当与重合时，是的垂直平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得，， ∴， ∵， ∴； 当以、、、为顶点的四边形是矩形时，有两种情况： ①当点在轴上，如图， 此时， ∴； ②当点不在轴上，如图， 过点作于点，于点， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 又， ∴， ∴，即， 解得，或， 综上，的值为：1或5或6； 故答案为：6；1或5或6． 三、解答题（本题共9小题，共98分）解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请在答题纸对应的位置和区域内解答． 17. 计算、解不等式组 （1）计算：； （2）解不等式组． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据特殊角的三角函数值，负整数指数幂和二次根式的乘法法则，计算即可； （2）根据解一元一次不等式组的步骤，求解即可． 【小问1详解】 解：（1）原式 ； 【小问2详解】 解： 解不等式①得，， 解不等式②得，， 所以不等式组的解集为：． 18. 下面是证明直角三角形的一个性质的两种辅助线添加方法，选择其中一种，完成证明． 性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 已知：如图，在中，是斜边的中线． 求证：． 方法一 证明：如图，延长至点，使得，连接． 方法二 证明：如图，取的中点，连接． 【答案】见解析 【解析】 【分析】方法一：可证明四边形是矩形，得到，根据得到； 方法二：由三角形中位线定理得到则可证明是的垂直平分线，进而可证明，．根据可证明． 【详解】解：方法一：如图，延长至点，使得，连接， 是斜边的中线， ， 又∵， 四边形是平行四边形，． ， 四边形是矩形， ， ； 方法二：如图，取的中点，连接， 点是的中点， 是的中位线， ， 是的垂直平分线， ，． ． 19. 化简求值、解方程 （1）先化简，再求值：，其中； （2）解分式方程：． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把代入进行计算即可； （2）先求出方程的解，再把x的值代入分母进行检验即可． 【小问1详解】 解：原式 ， 当时，原式； 【小问2详解】 解：方程两边同时乘，得， 去括号，得 解得 检验：当时，， 原分式方程的解为． 20. 如图，，点E，F分别在上，平分 交于点G，平分交于点H． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）当　　时，四边形是菱形． 【答案】（1）见解析 （2）120 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质、平行四边形的判定、等边三角形的判定与性质、菱形的判定等知识，证明是解题的关键． （1）由，得，因为，，所以，则，即可证明四边形是平行四边形； （2）由，得，而，所以，则，当∠AEF=120°，则，可证明是等边三角形，所以，则四边形是菱形，于是得到问题的答案． 【小问1详解】 证明：， ， 平分平分， ，， ， ， ， 四边形是平行四边形． 【小问2详解】 解：当 时，四边形是菱形， 理由：， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是菱形， 故答案为：120． 21. 如图，在一次高尔夫球的比赛中，某运动员在原点O处击球，目标是离击球点10米远的球洞，球的飞行路线是一条抛物线，结果球的落地点距离球洞2米，（击球点、落地点、球洞三点共线）球在空中最高处达3.2米． （1）求表示球飞行的高度y（单位：米）与表示球飞出的水平距离x（单位：米）之间的函数关系式； （2）当球的飞行高度不低于3米时，求x的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）由抛物线过原点可设抛物线解析式为：，可求球落地点坐标为（8，0）代入抛物线得，由球在空中最高处达3.2米，利用抛物线顶点坐标公式，联立解方程组即可； （2）先求出当y=3时，自变量的值，，解得或，由，抛物线开口向下，球的飞行高度不低于3米应在两根之间即可． 【详解】解：（1）抛物线过原点 ，设抛物线解析式为：， 球的落地点距离=10-2=8米，则落地点坐标为（8，0）， ∴， ∴， 球在空中最高处达3.2米， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴； （2）当y=3时，， 整理得：， ∴， ∴或， ∵，抛物线开口向下，球的飞行高度不低于3米应在两根之间， ∴球的飞行高度不低于3米， x的取值范围是． 【点睛】本题考查抛物线解析式与不等式的解集问题，掌握待定系数法求抛物线的解析式方法，关键是会利用二次函数与不等式的关系转化为一元二次方程的解来解决问题． 22. 已知：是射线上一点，四边形是正方形． （1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：作中点；在射线上作一点，使得；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）中所作的图形中，连接交于点交于点．当时，直接写出线段的长为___________．（如需画草图，请使用图2） 【答案】（1） 解：如图，中点；在射线上作一点，使得； （2） 【解析】 【分析】本题考查尺规作图，相似三角形的判定与性质，正方形的性质； （1）尺规作线段的垂直平分线，得到中点；以为圆心为半径画弧与射线交点即为，使得； （2）先画出图形，根据求出，再根据得到，即可求出线段的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接交于点交于点． ∵正方形，， ∴，， 由（1）可得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 23. 甲乙两名同学从学校出发进行徒步活动，目的地是距学校10千米的天府公园，甲同学先出发，24分钟后，乙同学出发．甲同学出发后第30分钟，稍作休息后骑共享单车继续赶往目的地．若两同学距学校的距离s（千米）与时间t（小时）之间的关系如图所示，请结合图象，解答下列问题： （1）甲同学在休息前的速度是 千米时，骑上共享单车后的速度为 千米/时； （2）当甲乙两同学第一次相遇时，求t的值； （3）当1≤t≤2时，什么时候甲乙两同学相距0.5千米？ 【答案】（1）4，8；（2）0.8h；（3）当1≤t≤2时，h和1.5h时，甲、乙两同学相距0.5千米． 【解析】 【分析】（1）从函数图象中找到甲同学休息前所走的路程为2km，时间是0.5h，从而求出甲休息前的速度；观察函数图象，可求出到甲休息后的路程为8km，求出休息后所用的时间为1h，从而求得休息后骑上共享单车的速度； （2）甲乙两同学第一次相遇时，甲在休息，因此甲不作为分析对象，因而围绕乙同学思考求出相遇时间，相遇时，乙同学走了2km，借助乙同学的速度，就可以求出乙走到相遇点的时间，由于乙同学一直在行走，速度不变，因此乙同学的速度可用乙走的路程除以总时间得出，因此，乙相遇的时间=乙到达相遇地点所用的时间+比甲晚走的时间； （3）根据两点确定一条直线，在1≤t≤2范围内，找到端点，求出关于t的函数关系式，再根据甲乙两同学相距0.5千米构建方程，解方程即可求解． 【详解】解：（1）由图可知，甲休息前走了2km，用了30分钟， ∴＝4km/h， 由图可知，甲骑上共享单车后所走的路程是：10﹣2＝8km，所用的时间是：2﹣1＝1h， ∴＝8km/h， 故答案为：4，8； （2）∵V乙＝＝5km/h， ∴t＝＝0.4h， ∴t相遇＝t+0.4＝0.4+0.4＝0.8h； （3）由题可得，S甲＝8t﹣6，（1≤t≤2），S乙＝5t﹣2，（1≤t≤2）， ∴|S甲﹣S乙|＝0.5 ∴①当时S甲﹣S乙＝0.5时，8t﹣6﹣5t+2＝0.5， 解得，t＝1.5， ②当S乙﹣S甲＝0.5时，5t﹣2﹣8t+6＝0.5， 解得，t＝， ∴当1≤t≤2时，h和1.5h时，甲、乙两同学相距0.5千米． 【点睛】本题考查一次函数的应用，涉及数形结合、方程等思想，解题关键是看懂函数图象的实际意义． 24. 已知二次函数图像的对称轴是经过点且平行于轴的直线，与轴分别交于A、两点（A点在点的左侧），A点为．与轴交于点． （1）求二次函数的表达式： （2）点和是二次函数图像上的两个点，比较和的大小； （3）在抛物线对称轴上找一点，使得，求点的坐标． 【答案】（1） （2）当时，； 当时， （3）或 【解析】 【分析】对于（1），根据对称轴经过点，可得，再将点代入关系式得，再解方程组即可； 对于（2），分四种情况：，，，讨论，可得答案； 对于（3），先求出点B，C的坐标，再根据勾股定理及其逆定理得 是直角三角形，可得，进而得出点P的坐标；再构造平行四边形，可知点P在以为直径的圆与对称轴的交点处，然后设点，分别求出直线，直线的关系式，同理可得直线，直线的关系式，接下来联立得，求出点的坐标，再根据勾股定理求出，然后求出的中点为，最后根据可得答案． 【小问1详解】 解：根据题意，得， 解得， 所以二次函数关系式为； 【小问2详解】 解：∵抛物线的开口向上，对称轴是， 当时，点在对称轴左侧，函数值y随着x的增大而减小， ∴； 当时，点在对称轴两侧，且点M离最低点远，； 当时，点在对称轴两侧，且点M离最低点近，； 当时，点在对称轴右侧，函数值y随着x的增大而增大， ∴． 综上所述，当时，；当时，； 【小问3详解】 解：抛物线的顶点坐标为， 当时，； 当时，或， ∴点， ∴. ∵， ∴是直角三角形，且， ∴， ∴点P与点M重合，即点； 过点B作，过点C作，与交于点N， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴点P在以为直径的圆与对称轴的交点处， 则，即． 设点， 将点代入直线的关系式，得 ， 解得， ∴直线的关系式为， 将点代入直线的关系式为， 解得， ∴直线的关系式为，直线的关系式为， 同理：直线的关系式为，直线的关系式为， 当时，解得， ∴点， ∴． 设的中点为， ∴， ∴， 解得， ∴点． 综上所述，点P的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象与几何图形的综合问题，求二次函数关系式，求一次函数关系式，勾股定理，平行四边形的性质和判定，圆周角定理，求正切等，作出圆并确定点Ｐ的位置是解题的关键． 25. 如图，在矩形中，，，动点在上，从向以每秒个单位长度的速度运动，设运动时间为（）（）．将四边形沿直线翻折得到四边形，连接，． （1）当时，请判断此时的形状并说明理由． （2）当为何值时，正好落在矩形的边所在的直线上，请判断此时的形状并说明理由． 【答案】（1）是等腰三角形， 如图，延长交于点， 由折叠得：， 四边形是矩形， ， ， ， ； 在中， ，， ， ， 是等边三角形， ， ， 过作， ， '， ， ， ， ， 是等腰三角形； （2）当是，是等腰三角形；当时，直角三角形， 解：当在直线上时，如图， ∵，， ∴ 由折叠得：， 四边形是矩形， ， ， ； ∴ ∴ 又∵， ∴当时，是等腰直角三角形 如图，当在直线上时，如图， 由折叠得：，， ∴是等腰直角三角形，是直角三角形 ∴, ∴， 此时是直角三角形 综上所述，当时，是等腰三角形；当时，是直角三角形． 【解析】 【分析】（1）根据折叠的性质和平行线的性质得：，则；先根据勾股定理计算的长，解，得出则是等边三角形，最后根据平行线分线段成比例定理，由，得，从而得结论； （2）分两种情况讨论，点在直线和上，分别画出图形，根据折叠的性质，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了折叠的性质、矩形的性质、平行线分线段成比例定理、等边三角形的判定及性质以及解直角三角形，根据图形的翻折找出相等的边角关系是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初三学业质量监测 数学试题 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项 1．本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将本试卷和答题纸一并交回． 2．答题前，请务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷及答题纸指定的位置． 3．答案必须按要求填涂、书写在答题纸上，在试卷、草稿纸上答题一律无效． 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填涂在答题纸上． 1. 在足球比赛中，如果甲队进3个球，记作个，那么甲队失2个球，记作（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 2. 月球距离地球的距离约为，将用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如果一个正多边形的每一个内角是，那么这个正多边形的边数为（ ） A. 16 B. 12 C. 8 D. 6 5. 我国古代数学著作《算法统宗》中记载着这样一道题，其大意是：醇酒1瓶，可以醉倒3位客人；薄酒3瓶，可以醉倒1位客人．若有33位客人总共饮了19瓶酒，且都醉倒了，问他们醇酒、薄酒各饮了多少瓶？设他们醇酒饮了瓶，薄酒饮了瓶，根据题意可列出方程组为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，根据尺规作图的痕迹，可以判断以下结论错误的是（ ） A. B. C. D. 7. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则可能的值是（ ） A. 0 B. C. D. 8. 如图，在中，对角线相交于点O，．若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 9. 已知二次函数，当自变量为时，其函数值大于零；当自变量为，时，其函数值分别为，，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 10. 如图，在矩形中，，点E在射线上运动，以为直角边向右作，使得，连接．则的最小值为（ ） A. 3 B. 4 C. D. 二、填空题（本题共6小题，第11~12题每小题3分，第13~16题每小题4分，共22分）不需写出解答过程，把最后结果填在答题纸对应的位置上． 11. 分解因式：______. 12. 将一副直角三角尺如图放置，若，则________． 13. 已知一次函数（、为常数，）的图象经过点，且随的增大而减小，请写出一个符合条件的函数表达式_____． 14. 菱形的两条对角线长分别为6，8，则这个菱形的面积为___________． 15. 如图，已知点，，是轴上位于点上方的一点，平分，平分，直线交于点．若反比例函数的图象经过点，则的值为______． 16. 在平面直角坐标系中，已知，，，．分别连接，，，把沿翻折得到．当与重合时，______；当以、、、为顶点的四边形是矩形时，______． 三、解答题（本题共9小题，共98分）解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请在答题纸对应的位置和区域内解答． 17. 计算、解不等式组 （1）计算：； （2）解不等式组． 18. 下面是证明直角三角形的一个性质的两种辅助线添加方法，选择其中一种，完成证明． 性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 已知：如图，在中，是斜边的中线． 求证：． 方法一 证明：如图，延长至点，使得，连接． 方法二 证明：如图，取的中点，连接． 19. 化简求值、解方程 （1）先化简，再求值：，其中； （2）解分式方程：． 20. 如图，，点E，F分别在上，平分 交于点G，平分交于点H． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）当　　时，四边形是菱形． 21. 如图，在一次高尔夫球的比赛中，某运动员在原点O处击球，目标是离击球点10米远的球洞，球的飞行路线是一条抛物线，结果球的落地点距离球洞2米，（击球点、落地点、球洞三点共线）球在空中最高处达3.2米． （1）求表示球飞行的高度y（单位：米）与表示球飞出的水平距离x（单位：米）之间的函数关系式； （2）当球的飞行高度不低于3米时，求x的取值范围． 22. 已知：是射线上一点，四边形是正方形． （1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：作中点；在射线上作一点，使得；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）中所作的图形中，连接交于点交于点．当时，直接写出线段的长为___________．（如需画草图，请使用图2） 23. 甲乙两名同学从学校出发进行徒步活动，目的地是距学校10千米的天府公园，甲同学先出发，24分钟后，乙同学出发．甲同学出发后第30分钟，稍作休息后骑共享单车继续赶往目的地．若两同学距学校的距离s（千米）与时间t（小时）之间的关系如图所示，请结合图象，解答下列问题： （1）甲同学在休息前的速度是 千米时，骑上共享单车后的速度为 千米/时； （2）当甲乙两同学第一次相遇时，求t的值； （3）当1≤t≤2时，什么时候甲乙两同学相距0.5千米？ 24. 已知二次函数图像的对称轴是经过点且平行于轴的直线，与轴分别交于A、两点（A点在点的左侧），A点为．与轴交于点． （1）求二次函数的表达式： （2）点和是二次函数图像上的两个点，比较和的大小； （3）在抛物线对称轴上找一点，使得，求点的坐标． 25. 如图，在矩形中，，，动点在上，从向以每秒个单位长度的速度运动，设运动时间为（）（）．将四边形沿直线翻折得到四边形，连接，． （1）当时，请判断此时的形状并说明理由． （2）当为何值时，正好落在矩形的边所在的直线上，请判断此时的形状并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $